精品解析：宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高一上学期期末考试模拟数学试卷（一）

2024~2025学年第一学期高一年级期末考试模拟试卷（一） 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本卷范围：必修第一册全册（人教A版2019） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合交、补运算即可求解； 【详解】由条件可得， 所以, 故选：B 2. 若都是第一象限角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由同角三角函数关系及举特例可完成判断. 【详解】因都第一象限角，则， 则，则当时，； 则“”是“”的充分条件； 注意到，但， 则“”不是“”的必要条件. 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数最小正周期的求法求得正确答案. 【详解】依题意，的最小正周期. 故选：D 4. 已知，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的解析式可知其在，上分别单调递增，从而得到的取值范围，再由题设条件得到关于的方程求得的值，进而求得即可得解. 【详解】作出函数的图象，在，上分别单调递增， 由， 因为当时，不存在满足条件的a， 所以，即，此时，， 所以，即，解得或（不满足，舍去） 此时满足题意，则， 故选：B. 5. 关于的不等式的解集中恰有个正整数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】原不等式即为，分、、三种情况讨论，解原不等式，确定满足不等式的三个正整数解，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】由得， 若时，原不等式即为，不合乎题意； 若时，则原不等式的解为或， 满足条件的正整数解有无数个，不合乎题意； 若时，则原不等式的解为， 由题意可知，满足条件的三个正整数解为、、，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数及正弦函数的性质判断即可. 【详解】，，， 所以. 故选：B. 7. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和扇形的面积公式分别求出扇形、的面积即可得解. 【详解】由题意可得，扇形的面积是， 扇形的面积是． 则扇面（曲边四边形）的面积是. 故选：C 8. 已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由题意根据函数满足的条件等式，推出函数的一个周期，再利用赋值法求出以及，结合函数周期，即可求得答案. 【详解】由题意知定为域为R的函数满足：为偶函数， 即，即，结合， 得，即， 故，即， 则，故8为函数的一个周期， 由于，，故令，则， 结合，令，得， 对于，令，则， 故， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查了抽象函数的求值问题，解答的关键是根据函数满足的条件，推出函数周期，进而结合赋值法求值，即可求解答案. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正数x，y满足，则( ) A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A、B；得答案；通过对进行等价转换，再利用基本不等式即可判断C；通过对进行等价转换，再利用对勾函数单调性即可判断D. 【详解】对于A，，，且，所以，解得， 当且仅当，时等号成立，而，则成立，故A正确； 对于B，，而，所以， 当且仅当，时等号成立，故B正确； 对于C，，，且，所以，（，）， 所以， 当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，，且， 令，则，（），因为，所以， 上单调递增，所以，从而， 当且仅当，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 10. 已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象可以由图象向左平移个单位长度得到 C. D. 若函数在上至少有11个零点，则的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】由正弦函数的单调性判断A，由图象变换判断B，由对称性判断C，求出的解，结合周期性找出11个解后判断D． 【详解】对于A，令，则，即的一个单调增区间为，则在上单调递增，故选项正确； 对于B，图象向左平移个单位长度得到，，故选项错误； 对于C，由于，故选项错误； 对于D，若函数在上至少有11个零点，即与在上至少有11个交点，令，则或，即或， 由于函数一个周期由两个点函数值为，则在正好由11个交点，故的最小值为，故选项正确. 故选：AD． 11. 对于任意实数a，b，定义运算“⊗”：.设函数，且关于x的方程恰有三个实数根，则（ ） A. 实数t可能的取值为 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意求函数的解析式，进而作出图象，结合图象判断ABC；对于D：根据，代入整理即可判断. 【详解】当，即时，则； 当，即时，则； 综上所述：， 作出函数的图象，如图所示： 若关于x的方程恰有三个实数根， 可知，且， 即实数t的值不可能为，故A错误，B正确； 又因为，故C正确； 由题意可知：，即， 可得，故D正确； 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用指对互化和对数换底公式求得即可得出结果. 【详解】∵，， ∴. ∴ 故答案为： 13. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正弦和角公式得到，进而求出，利用二倍角公式求出答案. 【详解】因为，而， 因此， 则， 所以. 故答案为： 14. 已知的定义域为，对任意的，且都有且，则不等式的解集为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由不等关系构造新的函数并得到单调性，对已知不等式按构造函数进行转换，利用单调性列出不等式后解得的解集. 【详解】不妨设，则， 令，则，∴在上单调递增， 可得， ∵，∴， 则，. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 化简求各式的值： （1）； （2）已知，计算的值； （3）已知，且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由对数运算性质可得答案； （2）由，可得，然后由可得答案； （3）由可得，据此可得， 然后由可得答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由， 化简得，因此. 所以 ； 【小问3详解】 ， ，则， ，所以， 故， 则. 16. 已知函数，函数，，用表示，中的较大者，记为． （1）用解析法表示函数，并画出函数的图像； （2）根据图像写出函数的单调区间，值域； （3）解不等式. 【答案】（1），作图见解析 （2）函数在区间单调递减；在单调递增，值域为 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据指数函数单调性和一次函数的单调性及，从而求得函数值大小关系，然后根据新定义可求的解析式，然后根据指数函数图象和一次函数图象作出分段函数图象； （2）根据（1）中的图象直接写出单调递减区间并求出值域； （3）令，则，解得，再分类讨论求解，即可得解. 【小问1详解】 函数在R上单调递增，函数在R上单调递减， 又，所以时，，时，， 所以， 作图如下： 小问2详解】 由图象可知函数在区间单调递减；在单调递增，值域为； 【小问3详解】 令，则，所以，解得，所以， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上：不等式的解集为. 17. 已知． （1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求的单调增区间； （3）当时，求函数的最大值和最小值． 【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为 （2）单调增区间为 （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）结合函数的图象与性质即可求出结果； （2）利用整体代入法即可求出函数单调区间； （3）根据求得，进而根据函数的图象与性质即可求出结果. 【小问1详解】 最小正周期，令， 所以，所以对称轴方程为； 【小问2详解】 令， 所以，所以的单调增区间为； 【小问3详解】 当时， 所以，所以， 当，即时取得最大值， 当，即时取得最小值， 所以当时，函数的最大值为，最小值为. 18. “宸宸”“琮琮”“莲莲”是2023年杭州亚运会吉祥物，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．某中国企业可以生产杭州亚运会吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”，根据市场调查与预测，投资成本（百万元）与利润（百万元）的关系如下表： （百万元） … 2 … 4 … 12 … （百万元） … 0.4 … 0.8 … 12.8 … 当投资成本不高于（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）的关系有两个函数模型与可供选择． （1）当投资成本不高于12（百万元）时，选用表中合适数据求出两种函数模型的解析式，并选出你认为最符合实际的函数模型； （2）当投资成本高于12（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）满足关系，结合第（1）问的结果，要想获得不少于一千万元的利润，投资成本（百万元）应该控制在什么范围．（结果保留到小数点后一位）（参考数据：） 【答案】（1），，最符合实际的函数模型为 （2） 【解析】 【分析】（1）分别将代入两个函数模型，由此可求函数解析式中的参数，则解析式可知，再根据时的数据判断最符合实际的模型； （2）分别考虑和时的解集，由此可求投资成本的范围. 【小问1详解】 若选函数， 将点，代入可得，解得，， 所以， 当时，可得，与实际数据差别较大； 若选函数， 将点，代入可得，解得，， 所以， 当时，可得，符合题意， 因此，最符合实际的函数模型为． 【小问2详解】 ①当时，即， 可得，解得，所以； ②当时，即，即， 因为，所以； 综上可得，， 所以要获得不少于一千万的利润，投资成本（百万）的范围是． 19. 已知函数，且． （1）求的值； （2）若函数存在零点，求a的取值范围； （3）若，证明：． 【答案】（1）1 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用赋值法可求的值； （2）函数存在零点等价于存在实数解，结合基本不等式可求a的取值范围； （3）可证明当时，成立，从而可证题设中的不等式. 【小问1详解】 因为，所以 ， 则，即． 当时，， 此时， 结合的定义域为，故为奇函数，故. 小问2详解】 由（1）可知，则． 由，得，则，其中． 若，则，不可能成立． 若． 由，得，则，当且仅当时，等号成立， 则， 故a的取值范围为． 【小问3详解】 证明：因为，所以． 任取，令． 因为，所以，从而，即，故在上单调递增． 当时，，则， 则当时，，则， 由在上单调递增，得， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第一学期高一年级期末考试模拟试卷（一） 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本卷范围：必修第一册全册（人教A版2019） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若都是第一象限角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 5. 关于的不等式的解集中恰有个正整数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则（ ） A B. C. D. 7. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（ ） A B. C. D. 8. 已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正数x，y满足，则( ) A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象可以由图象向左平移个单位长度得到 C. D. 若函数在上至少有11个零点，则的最小值为 11. 对于任意实数a，b，定义运算“⊗”：.设函数，且关于x的方程恰有三个实数根，则（ ） A. 实数t可能的取值为 B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知，，则值为______． 13 已知，则________． 14. 已知的定义域为，对任意的，且都有且，则不等式的解集为_____________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 化简求各式的值： （1）； （2）已知，计算的值； （3）已知，且，求的值. 16. 已知函数，函数，，用表示，中的较大者，记为． （1）用解析法表示函数，并画出函数的图像； （2）根据图像写出函数的单调区间，值域； （3）解不等式. 17. 已知． （1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求的单调增区间； （3）当时，求函数的最大值和最小值． 18. “宸宸”“琮琮”“莲莲”是2023年杭州亚运会吉祥物，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．某中国企业可以生产杭州亚运会吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”，根据市场调查与预测，投资成本（百万元）与利润（百万元）的关系如下表： （百万元） … 2 … 4 … 12 … （百万元） … 0.4 … 0.8 … 12.8 … 当投资成本不高于（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）的关系有两个函数模型与可供选择． （1）当投资成本不高于12（百万元）时，选用表中合适数据求出两种函数模型的解析式，并选出你认为最符合实际的函数模型； （2）当投资成本高于12（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）满足关系，结合第（1）问的结果，要想获得不少于一千万元的利润，投资成本（百万元）应该控制在什么范围．（结果保留到小数点后一位）（参考数据：） 19. 已知函数，且． （1）求的值； （2）若函数存在零点，求a取值范围； （3）若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $