专题01 线段垂直平分线、角平分线的性质9大题型（专项训练）数学冀教版2024八年级上册

专题01 线段垂直平分线、角平分线的性质9大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、垂直平分线的判定 1 题型二、垂直平分线的性质 2 题型三、尺规作垂直平分线 3 题型四、垂直平分线综合问题 5 题型五、角平分线的判定 6 题型六、角平分线的性质 8 题型七、角平分线性质的实际应用 8 题型八、尺规作角平分线 8 题型九、角平分线的综合问题 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、垂直平分线的判定 1．如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若的周长为，求的长； (2)试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点F是在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟知线段垂直平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得到，根据三角形周长计算公式可推出，据此可得答案； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，据此可得结论． 【详解】（1）解：∵分别垂直平分和， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即； （2）解：点F是在边的垂直平分线上，理由如下： 如图所示，连接， ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴点F是在边的垂直平分线． 2．如图，在中，的垂直平分线分别交于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线交于点P．求证：点P在线段的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可． 【详解】证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上． 3．如图，在中，边的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；线段垂直平分线的判定：到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上． 先由线段垂直平分线的性质得到，则，再由线段垂直平分线的判定即可证明． 【详解】证明：∵边的垂直平分线交于点P， ∴． ∴． ∴点P必在的垂直平分线上． 4．如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接．证明：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． 证明，可得，，从而得到点A和点D在的垂直平分线上，即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 5．求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 请把下面的说理过程补充完整． 已知：如图，在中，分别作边、边的垂直平分线，两线相交于点，分别交边、边于点、． 求证：、、的垂直平分线相交于点，___________ 证明：连接、、． 点是边垂直平线上的一点，___________（　　） 同理可得，___________．（等量代换）． 点是___________边垂直平线上的一点（　　） 、、的垂直平分线相交于点．    【答案】见解析 【分析】此题考查线段的垂直平分线的知识．先根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等求得，进而求得结论；然后再利用线段垂直平分线的判定方法即可确定边的垂直平分线经过点P． 【详解】已知：如图，在中，分别作边、边的垂直平分线，两线相交于点，分别交边、边于点、． 求证：、、的垂直平分线相交于点，； 证明：点是边垂直平线上的一点， （垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）． 同理可得，．（等量代换）． 点是边垂直平线上的一点（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条垂直平分线上）， 、、的垂直平分线相交于点．   ． 题型二、垂直平分线的性质 6．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，可，再根据，得到是的垂直平分线，等量代换，即可； （2）根据题意，则，求出，再根据，得到，最后根据求出结论即可． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ， 是的垂直平分线， ， ； （2）解：的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 7．如图，在四边形中，，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，当时，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】此题主要考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题关键是根据证明和全等． （1）根据证明和全等即可； （2）根据全等三角形的性质结合线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵E为的中点， ∴． 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴垂直平分， ∴． 答：的长为5． 8．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求∠B的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质． （1）连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知； （2）设，由（1）可知，然后根据三角形的内角和为列出方程即可求出x的值． 【详解】（1）解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质， ， ∵， ∴， 在中，， 解得，， ∴． 9．如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若，则的度数为 ； (2)若，则的度数为 ；（用含α的代数式表示） (3)连接，的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理及等腰三角形的性质．熟练掌握以上知识并且恰当的运用等量代换是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质可得，则，，根据三角形内角和定理即可求出的度数． （2）根据线段垂直平分线的性质可得，则，．在中根据三角形内角和定理即可求出的值．在中，又由，即可求出的值． （3）根据线段垂直平分线的性质可得．由的周长，可得．由的周长，可得，由此可得，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵中，， ∴． ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：； （2）解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴． 又∵中，， ∴， 即， ∴． 在中，， ∵， ∴ ． 故答案为：． （3）解：如图，连接， ∵的周长， ∴． 又∵， ∴， 即； ∵的周长， ∴， ∴； ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴． 10．如图， 中，是的中点，过点的直线交于，交的平行线于点，，交于点，连接、． (1)求证：； (2)请你猜想与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，垂直平分线的性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． （1）先利用判定，从而得出； （2）再利用全等的性质可得，再有，从而得出，两边和大于第三边从而得出． 【详解】（1）证明：， ． 为的中点， 又， 在与中， ． ； （2）解：．理由如下： ， ，． 又， （垂直平分线到线段端点的距离相等）． 在中，， 即． 题型三、尺规作垂直平分线 11．如图，已知在中，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线分别交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，若的周长为，的长为，则的周长是多少． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、尺规作图等知识点，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用尺规作图作的垂直平分线即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换得到的周长，再根据题意求得即可解答． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， ∵的周长为，的长为， ∴， ∴， ∴的周长是． 12．如图，已知，P为边上一点， (1)请用尺规作图的方法在边上求作一点E，使；（保留作图痕迹，不写作法） (2)已知，周长为24，求的周长． 【答案】(1)图见解析 (2)18 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，垂直平分线的性质： （1）作的中垂线，交于点，即可； （2）根据垂直平分线的性质，得到的周长，进行求解即可． 【详解】（1）解：作的垂直平分线，交于点，则：， ； （2）解：∵，周长为24， ∴， ∵， ∴的周长． 13．已知：如图． 求作：点，使得点在边上，且的周长等于． 作法：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点； ②作直线，交线段于点．所以点为所求． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明： 证明：连接，，，，． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∴直线是线段的垂直平分线． ∵点在直线上， ∴________．（________）（填推理的依据） ∴________． 即的周长等于． 【答案】(1)作图见解析 (2)，垂直平分线的性质， 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的作图以及垂直平分线的性质，准确分析证明是解题的关键． （1）根据作图步骤补全图形即可； （2）根据垂直平分线的性质求解即可； 【详解】（1）如图， 点即为所求． （2）证明：连接，，，，． ， ∴点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， 点在直线上， ∴．（垂直平分线的性质）（填推理的依据） ∴； 即的周长等于． 14．如图，在中，是钝角． (1)画出边上的中线； (2)画出边上的高； (3)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查了作图—基本作图，利用中线的性质求三角形面积． （1）作的垂直平分线交于点，连接即可； （2）利用垂线的作法作图即可； （3）先求出，再由三角形中线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线交于点，连接，则为边上的中线． （2）解：如图，过点向的延长线作垂线段，垂足为，则为边上的高． ； （3）解：，高， ． 是的中线， ． 15．要求用尺规作图，画图必须用铅笔，不要求写作法，但要保留作图痕迹． (1)如图①，已知点M在直线l上，A，B是直线l外的两点，按照下面要求完成作图： ①过点M作直线l的垂线； ②在已作出的垂线上确定一点P，使得点P到A，B两点的距离相等． (2)如图②，已知点A是锐角内的一点，试分别在，上确定点B、点C，使的周长最小． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了复杂作图，掌握相关作图方法是解题的关键． （1）①根据过直线上一点作已知直线的垂线的作法作图； ②作线段的垂直平分线即可； （2）分别过作，的对称点，再连接两个对称点与，的交点即可． 【详解】（1）解：如图示； （2）解：分别作点A关于，的对称点；连接，分别交，于点B、点C，则点B、点C即为所求． 如图所示；此时的周长最小． 题型四、垂直平分线综合问题 16．综合与实践： 【模型背景】 相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】 如图①，小甘将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小甘作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小甘对此进行了说明，请帮他补全说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线l对称，直线l是的垂直平分线． _____， _____．___________． 在中，，，即最小． 【模型应用】 如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，求周长的最小值． 【答案】模型解决：，，，；模型应用：周长的最小值是9 【分析】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 模型解决：由点与点关于直线l对称得出直线l是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，，再结合三角形三边关系即可得解； 模型应用：设直线与交于点，由题意可得点、关于直线对称，从而可得当点和点重合时，的值最小，最小值等于的长． 【详解】模型解决：在直线l上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ， 在中，， ，即最小 模型应用：设直线与交于点， ∵直线是边的垂直平分线， ∴点、关于直线对称， ∴当点和点重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 17．综合与实践 【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，．是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接． 请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 证明：延长到点，使，连接． 是的中点（已知）， （_________）， 在和中， （_________）． （2）进一步探究可得出的取值范围是__________________； 【问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，．连接，若，求的长． 【答案】（1）中点定义；；对顶角相等； （2） （3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过“倍长中线”法构造全等三角形，将分散的线段和角的关系集中，进而解决问题． （1）根据中点定义得到，结合对顶角相等的性质，利用判定定理证明； （2）由全等三角形性质得，再根据三角形三边关系求出的取值范围，进而得到的取值范围； （3）延长交延长线于，利用证明，得出、，结合得，最后计算长度即得的长． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接． ∵是的中点（已知）， （中点定义）， 在和中， ， ； 故答案为：中点定义；；对顶角相等；． （2）由题意可得：， ， 即， ， 故答案为：． （3）延长交的延长线于点，如图： ， ， ∵是的中线， ∴， 在和中． ， ， ， ， ∴垂直平分， ， ． 18．（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，　 　 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，　　 ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】(1)三角形任意两边之和大于第三边，，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 (2)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，中垂线的性质，两点之间线段最短，正确画出图形是解题关键． （1）根据所给推理正确填空即可； （2）如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线，，即为所求． 【详解】（1）解：如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在中，（三角形任意两边之和大于第三边） 点与点关于直线对称， 直线垂直平分 ，（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） ， ． 故答案为：三角形任意两边之和大于第三边； ；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （2）如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线，，即为所求． ，，则， 根据两点之间线段最短可得路线，，即为所求． 19．在等腰直角中，，点P是边上垂直平分线上的一点，连结，交于点M，N是点M关于的对称点，连结并延长交于点D，连结交于点G． (1)如图①，点P在的下方时，①求证：； ②请猜想线段，，三者之间的数量关系，并加以证明； (2)如图②，若点P移动到的内部时，其他条件不变，线段，，三者有什么数量关系，请画出图形，直接写出结果，不必证明． 【答案】(1)①证明见解析②证明见解析 (2)，画图见解析 【分析】本题考查了垂直平分线、角平分线、三角形全等等知识，解题的关键是对垂直平分线、三角形全等的运用． （1）①作的平分线交于点Q， 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点，易得，，结合对顶角的知识解答即可；通过证明、，进而解答即可；②由①可得，，运用等量代换，进而解答即可； （2）通过证明、，得到，，运用等量代换，进而解答即可． 【详解】（1）证明：①如图．作的平分线交于点Q， 于点H． ，， ． 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点， ，，． ． ，， ． ，， 在与中 ． 在与中 ． ． ， ． ． ． ②，， ，． ， ． （2）证明∶如图．作的平分线交于点K．， 于点H． ，， ． 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点， ，，． ． ，即． 在和中 ． ，． 在和中 ． ． ， ． 20．如图，已知中内部的射线与的外角的平分线相交于点P．若，． (1)求证：平分； (2)如图，点是射线上一点，垂直平分于点，于点，连接，若，，求． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，三角形外角性质，垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平分，则，由外角性质可得，，则有，从而求证； （）连接，过点作于，证明，则，，再证明，故有，通过即可求解． 【详解】（1）证明：如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）解：如图，连接，过点作于， 由（）可知平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型五、角平分线的判定 21．如图，在与中，，，，过点作，垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)四边形的面积为． 【分析】（1）利用“边角边”证明，由全等三角形性质得，，作交于点，利用“角角边”证明，由全等三角形性质得，最后由角平分线的判定即可得解； （2）由得，利用“”证得，则，根据即可得解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ，， 作交于点， ， 和中， ， ， ， 又，， 点在的角平分线上， 即平分； （2）解：， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、角平分线的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 22．已知，如图所示，，是的中点，平分．连接． (1)是否平分？请证明你的结论； (2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)平分，证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质及平行线的性质．正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）过点作，垂足为，先求出，再求出，从而证明平分； （2）利用两直线平行同旁内角互补可得，所以两直线垂直． 【详解】（1）解：平分， 证明：过点作，垂足为， 平分， ， ，， ， 是的中点， ， ， ，， 平分； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， 又，， ， ， ． 即． 23．已知：如图，在中，分别是与角平分线，与相交于点，垂足分别为M，N． (1)求证：在的角平分线上； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键： （1）过点F作，根据角平分线的性质，推出，即可； （2）证明，即可得证； 【详解】（1）证明：（1）过点F作， ∵分别是与角平分线，， ，； ， ， 在的角平分线上； （2）， ， 分别是与角平分线， ， ， ， ， ， ∴， ， 在与中 ， ， ． 24．如图，的外角、的平分线交于点，过点作，，垂足分别为、． (1)若，，求的度数； (2)连接，证明：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的判定和性质，掌握角平分线的判定和性质是解题的关键． （1）根据三角形的外角可以得到和的度数，然后根据角平分线的定义得到，，然后计算解题； （2）过作于，根据角平分线的性质得到，再根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，，， 根据三角形内角和定理，， 由三角形的外角性质， 是的外角，则， 是的外角，则， 平分，平分， ，， 在中，根据三角形内角和定理有： 故的度数为； （2）过点作于， 平分，，， ； 平分，， ， ， 又，， 根据角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角的平分线上）， 可得点在的平分线上，即平分． 25．如图，已知：，M是的中点，平分．求证： (1)平分； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是根据角平分线的性质找边和角之间的关系． （1）过点作，根据角平分线的性质可证，根据中点的定义可知，所以可证，根据到角两边的距离相等的点在角平分线上，可证结论成立； （2）证明，得到，同理可证，，得到，从而可证结论成立． 【详解】（1）证明：如下图所示，过点作， 平分，， ， ， 是的中点， ， ， 平分； （2）证明： 平分， ， ， ∴ ∴， 同理可证，， ∴， ∴ 题型六、角平分线的性质 26．如图，在中，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．记的面积为，的面积为． (1)求； (2)当与全等时，请求出t的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据角平分线的性质，得到，根据等高三角形的面积比等于底边比，即可得出结果； （2）根据全等三角形的性质，得到，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）可知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由题意，可知：， 当与全等时，则， 当点在线段上时，即时，，解得； 当点在线段上时，即时，，解得； 综上：或． 27．如图，四边形中，平分；，于． (1)求证：； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键： （1）过点作，交的延长线于，根据角平分线的性质可得，再证明，进而得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出，求出，进而可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，过点作，交的延长线于， 平分， ，， ， ，即， 在和中，， ， ； （2）解：， ， 由（1）知， ， ， ， ． 28．如图，在中，，过点G作交的延长线于点F，交于点E．    (1)与全等吗？说明理由； (2)当，，，时，求的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)6 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定和性质． （1）由平行线的性质得到，直接利用即可判定； （2）由（1）得，由垂直的定义得出，即可根据判定，即可得到，再由平行线的性质及角平分线的定义即得出平分，再根据角平分线的性质结合三角形面积公式即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2）解：如图，过点D作于点M，    由（1）得， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， 的面积． 29．如图，已知，是的角平分线，的周长为，到的距离为． (1)求证：点到三边，，的距离相等； (2)求的面积； (3)如图，，分别是的一个内角及一个外角的平分线，，连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)的面积为； (3)． 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作于点，作于点，作于点，根据角平分线性质即可求证； （）连接，由（）得，然后通过即可求解； （）过点作，，垂足分别为点，，通过角平分线性质和判定得出点在平分线上，所以，然后通过角度和差，角平分线定义即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过作于点，作于点，作于点， ∵，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴点到三边，，的距离相等； （2）解：如图，连接， 由（）得， ∴ ， ∴的面积为； （3）解：如图，过点作，，垂足分别为点，， ∵，分别是的一个内角及一个外角的平分线，， ∴，， ∴， ∴点在平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴． 30．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． (1)若，，求的大小； (2)求证； (3)在上，若平分，求证：点在的平分线上． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形外角性质、角平分线的性质定理与判定定理，解题的关键是灵活运用三角形外角等于不相邻两内角和的性质，结合角平分线的定义推导角度关系，利用角平分线的性质定理与判定定理证明点F的位置． （1）先根据角平分线定义求出，再利用三角形外角性质 求解； （2）由角平分线得，结合三角形外角性质分别表示和，联立推导等式； （3）过点作三边的垂线，利用角平分线的性质证明垂线段相等，再根据角平分线判定定理得出结论． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴， 答：的大小为。 （2）证明：∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴，① ∵是的外角， ∴，② 将②代入①得：， 整理得：。 （3）证明：过点作于点，于点，于点， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上． 题型七、角平分线性质的实际应用 31．为响应眉山市委市政府创建“全国卫生城市”的工作，某乡镇拟在两个村庄、与两条公路、附近修建一个垃圾中转站，要求垃圾中转站到两条公路、的距离相等，到两个村庄、的距离也相等并且运送距离和最短，那么点应选在何处？请在图中用尺规作图作出点的位置（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的作图以及性质，解答本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作图以及性质． 根据线段垂直平分线和角平分线的性质即可画出中转站的位置． 【详解】解：如图所示：点即为中转站． 作线段的垂直平分线， 两条公路的夹角的平分线， 两条线相交于点． 32．已知：如图三条公路，，两两相交，是公路上的两个村庄．求作：加油站，使得到，两条公路的距离相等，且到两个村庄距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质的应用以及作法，关键是熟练掌握角平分线、线段垂直平分线的基本作图方法． 作的平分线，再作线段的垂直平分线，两线的交点就是所求点． 【详解】解：如图，分别作的平分线、线段的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． 33．如图，两条公路与相交于点，在的内部有两个小区与，现要在的内部修建一个市场，使市场到两条公路的距离相等，且到两个小区的距离相等． (1)市场应修建在什么位置？（请用文字加以说明） (2)在图中标出点的位置（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并写出结论）． 【答案】(1)的角平分线和线段的垂直平分线的交点处 (2)见解析 【分析】本题考查了作图的应用与设计作图，正确掌握角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键，直接利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法即可得出答案． 【详解】（1）解：点应修建在的角平分线和线段的垂直平分线的交点处； （2）解：如图所示，点即为所求． 34．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    (1)根据以上材料，任选一种方法证明：； (2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】（1）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到，的条件即可得到答案； （2）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到的条件即可得到答案； 【详解】（1）证明：方法一，    ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，在上截取，使得，连接，   　　　　　　　 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，　　　　 ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 35．如图所示，平面内两条互相垂直的直线相交于点O，，点A，B分别在射线，上移动，是的平分线，为的平分线，的延长线与的反向延长线交于点P．试问：随着点A，B位置的变化，的大小是否会变化？若保持不变，请求出∠P的度数；若发生变化，请求出变化范围． 【答案】的大小保持不变，始终等于． 【分析】本题主要考查角平分线的性质以及三角形的外角性质，根据角平分线的性质，结合三角形的外角性质可以得到的度数，由此确定的大小，因此可以确定答案． 【详解】解：的大小始终保持不变，理由如下： ∵（三角形外角性质）， 又∵平分，平分， ∴， ∴， 又∵（三角形外角性质） ∴． 故答案为：的保持大小不变，始终等于． 题型八、尺规作角平分线 36．如图，在中，． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①作的平分线交于点； ②作边上的高； (2)若，的面积为13，求的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作角平分线和垂线，角平分线的性质定理，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． （1）①根据角平分线的作法，画出图形即可； ②过C点作即可； （2）作于，得到，根据三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：①如图所示，即为的平分线； ②如图所示，高即为所求； （2）解：如图，作于点H． ∵平分， ∴， ∵的面积为13， ∴ ∴ ∴． 37．如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规在上作点、，使点到与的距离相等，点到点与的距离相等（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)连接、，若，，则________． 【答案】(1)作图见详解 (2) 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，线段垂直平分线，三角形内角和定理计算角度，等边对等角，掌握尺规作图的方法，三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等得到点D，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到点E，由此即可求解； （2）根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，由垂直平分线得到，根据即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 作的角平分线交线段于点，则点到与的距离相等， 作线段的垂直平分线交线段于点，则点到点与的距离相等， ∴点D，E即为所求点； （2）解：在中，，设线段的垂直平分线交于点F， ∴， 根据作图得到线段是角平分线，线段是垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 38．尺规作图，要求保留作图痕迹，不要求写作法． (1)如图1，已知，在边上作一点，使到的两边、的距离相等． (2)如图2，在的边上方作，并在射线上截取，连接． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，作一个角等于已知角，作线段． （1）作出的角平分线与交点即为点，根据角平分线的判定即可； （2）根据作一个角等于已知角的方法先作，再按照题意作图即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求： （2）解：如图所示，即为所作： 39．在学习了全等三角形的判定和性质后，小明进行了更深入的研究，他发现，时，若与的角平分线分别为，则一定有，可利用证明三角形全等得到此结论，根据他的想法和思路完成以下作图和填空： (1)如图，在与中，是的角平分线，用尺规作的角平分线，交于点N（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知，与的角平分线分别为，求证：． 证明：∵， ∴，，①______． ∵平分， ∴， 又∵平分， ∴． ∴②______． ∴（③______）． ∴． 将上述已证明的结论用文字可表述为：④______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，尺规作图—角平分线，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据尺规作角平分线的步骤作图即可； （2）先根据全等得到，，，再由角平分线证明，即可证明，则． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求： （2）证明：∵， ∴，，． ∵平分， ∴， 又∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴． 将上述已证明的结论用文字可表述为：全等三角形的对应角的角平分线相等． 40．如图，在中，．请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法），并解决问题： (1)在图1中，作的平分线，与边交于点D；此时若的面积是24，，求的长； (2)在图2中，把折叠，使得点B与点A重合，折痕分别交，于点E，F． ①请作出折痕； ②连接，若，，求的周长． 【答案】(1)见解析；3 (2)①见解析；②10 【分析】本题考查尺规作图：作角的平分线、作垂线，垂直平分线的性质； （1）根据作角平分线的方法步骤画图，过作交于，根据角平分线定理及即可求解； （2）①根据尺规作垂线的方法作图即可； ②根据作图知，，利用三角形周长公式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 过作交于， 平分，且， （角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又 ， 解得， 所以； （2）解：①如图，折痕即为所求； ②连接， 由作图知， ∴的周长为， 所以的周长为10． 题型九、角平分线的综合问题 41．如图，已知，，相交于点M，，． (1)试判断与的数量与位置关系，并说明理由． (2)连接，求的度数 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）利用说明，利用全等三角形的性质说明，，再利用对顶角相等和三角形的内角和定理得，因此得到，进而可得； （2）如图，过点A作于点P，于点Q．利用全等三角形的对应高相等得到，再根据角平分线的判定得到平分，进而可求解． 【详解】（1）解：，． 证明：∵，， ∴． ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． 设与交点为G， ∵，， ∴． ∴． ∴， 即，； （2）解：如图，过点A作于点P，于点Q． ∵， ∴， ∵于点P，于点Q， ∴平分，又， ∴． 42．【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． (1)【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且． （当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，，于D，于E． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． (2)【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，求证：． (3)【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为______米． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)50 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再证明，即可证明结论； （2）在上截取点，使得，连接，由角平分线的定义可得，证明，得出，，再证明，得出，即可得证； （3）由题意可得米，米，延长至点，使得，连接，证明，得出米，，，再证明，即可得解． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴米，，， ∵， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴米， 即此时甲、乙两人的距离为米． 43．材料阅读：如图1，在中，，分别平分，，连接． 求证：平分． 小星同学看到，分别平分，，想到了角平分线的性质，他过点分别作，，的垂线段，，，得到，，之间的数量关系，从而证明平分． (1)请用小星的方法或自己的方法证明平分； (2)方法应用：如图2，在中，是的延长线上一点，分别平分，，连接． ① 探究与之间的数量关系，并说明理由； ② 当时，如图3，过点作交于点，连接并延长交于点，与交于点，探究，与之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析； (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）过点分别作，，，垂足分别为M，N，P，通过角平分线的性质，可以得到，，从而得到，从而可以推出平分； （2）①． 理由如下：过点分别作，交的延长线于点，过点分别作，，垂足分别为N，P，通过角平分线的性质，先证明出平分，然后利用三角形的外角推出，；②在上截取，连接，由①，知，，接着证明，，从而得出． 【详解】（1）证明：如图1，过点分别作，，，垂足分别为M，N，P． 平分， ∴． ∵平分， ∴． ∴． 又，， 平分． （2）解：①． 理由如下： 如图2，过点分别作，交的延长线于点，过点分别作，，垂足分别为N，P． ∵平分，，， ∴，． ∵平分，，， ∴，． ∴． 又，， ∴平分． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， 即． ② 如图3，在上截取，连接． 由①，知，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴平分． ∵平分， ∴． 由(1)，知平分． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴，． 在和中，，，， ∴． ∴． ∴． ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形外角的定义，三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 44．已知是的角平分线，点是上一点，，分别是，上的动点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，、、在同一直线上，平分，交于点，作于点．若，，，请直接写出的值_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形． （1）过点作于于，利用角平分线性质得到相等线段，再结合角的关系证明三角形全等，从而得出； （2）过点作于于，利用角平分线性质和角的关系证明三角形全等，进而得到； （3）利用角平分线的性质，通过线段的转化求出的值． 【详解】（1）证明：过点作于于，如图 是的角平分线，， ． ， ． 在和中： ， ； （2）证明：过点作于于，如图 是的角平分线，， ， ， ． 在和中， ， ， ； （3）解：如图，过点作于，过点作于， 是的角平分线，， ， 又平分， ， ， 平分， 在和中， ， 同理可证，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 45．如图，在中，是它的角平分线． (1)求证：． (2)求证： (3)如图，四边形中，，对角线、相交于点，且分别平分和，若，则的值为______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形面积比与线段比的关系及角平分线定理的拓展应用，运用面积法、比例推导思想； （1）（2）通过作高结合面积公式和角平分线性质证明比例关系； （3）利用角平分线定理及线段比例推导，解题关键是熟练运用面积法和角平分线定理，易错点是比例推导时的逻辑或公式应用失误． 【详解】（1）证明：如图，过分别作于点，于点. ，. 在和中，，. 而（已证），. （2）证明：设在边上的高为， 则，，. 又由（1）知，，. （3）解：. 在上截取，，使得，. 设，， 对角线、相交于点，且分别平分和 ，， ，，，， ，. 平分，，，. 平分，，. 平分，. 1．如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，连接，由线段垂直平分线的性质得到，则当A、D、M三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此根据三角形面积计算公式求出线段的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵腰的垂直平分线交于点F， ∴， ∴， ∵，且垂线段最短， ∴当A、D、M三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵的长为，的面积是， ∴此时， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 2．如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，； ②作直线交于点，连接． 若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题目中的作图方法确定是线段的垂直平分线，得到，即； 接下来根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得以及的度数；再根据三角形外角的性质以及可求得的度数，然后根据列式计算即可得到答案．本题考查线段垂直平分线的画法及应用、三角形内角和定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质等． 【详解】解：∵由作图可知，垂直平分， 故选：D． 3．如图，在中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G．若的周长为16，且，则的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了线段的垂直平分线，三角形的周长等知识．解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可． 【详解】解：∵中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G． ∴． ∵的周长为16，即， ∵， ∴． 故选：B． 4．如图，在中， ，平分交AB于点D，E为线段上一点，连接，且，若，则的长是（ ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，过D作于F，根据角平分线的性质得出，证明，得出，进而求出，证明，得出，即可求解． 【详解】解：过D作于F， ∵，平分， ∴ 又，， ∴， ∴， 又， ∴， ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．下列结论正确的是（   ）． ①        ② ③平分        ④平分 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．通过证明，根据全等三角形的性质可得②；利用三角形内角和定理和对顶角相等，可判断①，过点O分别作，垂足分别为E，F，根据全等三角形对应边的高相等可得，进而可判断③④． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，故②正确； ， 设和交于点N， ∵， ∴，即，故①正确； 过点O分别作，垂足分别为E，F， ∵， ∴， ∴平分，故③错误，④正确； 综上，正确的有①②④， 故选：B． 6．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接．若的周长为，，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，推出，再根据的周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分，， ∴，， ∴， ∴， ∵的周长， ∴； 故答案为：6． 7．如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条垂直平分线分别交于点、．若，，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，可知，则，而，则的度数可求． 【详解】解： 是 的垂直平分线， 边的垂直平分线，   ∴， ∵， ∴ ．   故答案为：． 8．如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交，于点，．若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为 ． 【答案】/52度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，由得，根据线段垂直平分线的性质可得，，推出，再结合三角形的外角性质可得，最后根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在的垂直平分线上，在的垂直平分线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了两直线平行同旁内角互补，角平分线的性质定理． 过点作于点，由可得，由两直线平行同旁内角互补可得，于是可得，则，由角平分线的性质定理可得，，进而可得，结合，可得，于是得解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 和分别平分和，且，，， ，， ， 又， ， ， 故答案为：． 10．如图，是的边的中点，平分，于点，且，，，则的长是 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，结合角平分线的性质求解是解题的关键． 根据角平分线的性质得到，证明，得到，，即可得解； 【详解】延长线段交于， 平分， ， ， 在与中， ， ， ，， 又是的边的中点， ， ． 故答案是：． 11．如图，与相交于点O，，． (1)求证：； (2)若平分，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得，证明出，得到，再由垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴， ∴． （2）证明：由（1）得， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 12．如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为20． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，则___________． 【答案】(1)20 (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论； （3）根据线段垂直平分线的性质得到，进而求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：垂直平分， ， 同理， ； （2）点在边的垂直平分线上， 理由：连接， 与是，的垂直平分线， ， ， 点在边的垂直平分线上； （3）解：垂直平分线段垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 13．阅读下列材料，然后解决问题： (1)如图，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接，把、、集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 ． (2)问题解决：如图，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质及三角形三边关系的应用， （1）先证明，得出，再根据求出结论即可； （2）延长至点M，使，连接，同（1）证明得出，再根据得出结论． 【详解】（1）解：是边上的中线， ． 在和中， ， ． 在中，由三角形的三边关系，得， ，即， ． 故答案为：． （2）证明：如图，延长至点M，使，连接， 同（1）得， ∴． ∵， ． 在中，由三角形的三边关系，得， ​​​​​​​∴． 14． （1）【感知】：如图1，点P是角平分线上一点，过点P作于点C，于点D，证明（不需要证明）． （2）【探究】如图2，在中，，是的平分线，点E在边上，． ①证明：； ②请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图3，的外角的平分线与内角的平分线交于点P，若，请直接写出的度数． 【答案】（2）①见解析；②，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． （2）①过D作于F，则；证即可； ②根据推出，再证，得，即可； （3）过P作交延长线于H，于G，于K，由题意得，，推出，得出平分，即可求解； 【详解】（2）①证明：过D作于F，如图： ∵是的平分线，， ∴， ∵，且． ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：之间的数量关系为，理由如下： 由①知， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：过P作交延长线于H，于G，于K，如图： ∵平分 ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 任务： 共边黄金三角形是在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为“共边黄金三角形”，相等的边所对的相等的角称为“黄金角”．如图1，，则与是“共边黄金三角形”，是黄金角． (1)如图2，与是“共边黄金三角形”，，，则与的“黄金角”的度数为　　　　； (2)图2中，在（1）的条件下，若，点到直线的距离是2，的面积是　　　　． (3)如图3，已知平分，，与是“共边黄金三角形”，试说明． 【答案】(1) (2)5 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义、全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“共边黄金三角形”的定义可得，即可求解； （2）根据角平分线的性质可得点到直线的距离是2，再由三角形的面积公式解答即可； （3）证明，可得，再结合“共边黄金三角形”的定义可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵，与是“共边黄金三角形”，， ∴， ∵， ∴， 即与的“黄金角”的度数为； 故答案为： （2）解：∵，点到直线的距离是2， ∴点到直线的距离是2， ∵， ∴的面积是； 故答案为：5 （3）解：∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵与是“共边黄金三角形”， ， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 线段垂直平分线、角平分线的性质9大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、垂直平分线的判定 1 题型二、垂直平分线的性质 2 题型三、尺规作垂直平分线 3 题型四、垂直平分线综合问题 5 题型五、角平分线的判定 6 题型六、角平分线的性质 8 题型七、角平分线性质的实际应用 8 题型八、尺规作角平分线 8 题型九、角平分线的综合问题 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、垂直平分线的判定 1．如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若的周长为，求的长； (2)试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 2．如图，在中，的垂直平分线分别交于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线交于点P．求证：点P在线段的垂直平分线上． 3．如图，在中，边的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段的垂直平分线上． 4．如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接．证明：垂直平分． 5．求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 请把下面的说理过程补充完整． 已知：如图，在中，分别作边、边的垂直平分线，两线相交于点，分别交边、边于点、． 求证：、、的垂直平分线相交于点，___________ 证明：连接、、． 点是边垂直平线上的一点，___________（　　） 同理可得，___________．（等量代换）． 点是___________边垂直平线上的一点（　　） 、、的垂直平分线相交于点．    题型二、垂直平分线的性质 6．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 7．如图，在四边形中，，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，当时，，，求的长． 8．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求∠B的度数． 9．如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若，则的度数为 ； (2)若，则的度数为 ；（用含α的代数式表示） (3)连接，的周长为，的周长为，求的长． 10．如图， 中，是的中点，过点的直线交于，交的平行线于点，，交于点，连接、． (1)求证：； (2)请你猜想与的大小关系，并说明理由． 题型三、尺规作垂直平分线 11．如图，已知在中，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线分别交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，若的周长为，的长为，则的周长是多少． 12．如图，已知，P为边上一点， (1)请用尺规作图的方法在边上求作一点E，使；（保留作图痕迹，不写作法） (2)已知，周长为24，求的周长． 13．已知：如图． 求作：点，使得点在边上，且的周长等于． 作法：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点； ②作直线，交线段于点．所以点为所求． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明： 证明：连接，，，，． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∴直线是线段的垂直平分线． ∵点在直线上， ∴________．（________）（填推理的依据） ∴________． 即的周长等于． 14．如图，在中，是钝角． (1)画出边上的中线； (2)画出边上的高； (3)若，求的面积． 15．要求用尺规作图，画图必须用铅笔，不要求写作法，但要保留作图痕迹． (1)如图①，已知点M在直线l上，A，B是直线l外的两点，按照下面要求完成作图： ①过点M作直线l的垂线； ②在已作出的垂线上确定一点P，使得点P到A，B两点的距离相等． (2)如图②，已知点A是锐角内的一点，试分别在，上确定点B、点C，使的周长最小． 题型四、垂直平分线综合问题 16．综合与实践： 【模型背景】 相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】 如图①，小甘将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小甘作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小甘对此进行了说明，请帮他补全说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线l对称，直线l是的垂直平分线． _____， _____．___________． 在中，，，即最小． 【模型应用】 如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，求周长的最小值． 17．综合与实践 【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，．是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接． 请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 证明：延长到点，使，连接． 是的中点（已知）， （_________）， 在和中， （_________）． （2）进一步探究可得出的取值范围是__________________； 【问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，．连接，若，求的长． 18．（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，　 　 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，　　 ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 19．在等腰直角中，，点P是边上垂直平分线上的一点，连结，交于点M，N是点M关于的对称点，连结并延长交于点D，连结交于点G． (1)如图①，点P在的下方时，①求证：； ②请猜想线段，，三者之间的数量关系，并加以证明； (2)如图②，若点P移动到的内部时，其他条件不变，线段，，三者有什么数量关系，请画出图形，直接写出结果，不必证明． 20．如图，已知中内部的射线与的外角的平分线相交于点P．若，． (1)求证：平分； (2)如图，点是射线上一点，垂直平分于点，于点，连接，若，，求． 题型五、角平分线的判定 21．如图，在与中，，，，过点作，垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求四边形的面积． 22．已知，如图所示，，是的中点，平分．连接． (1)是否平分？请证明你的结论； (2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． 23．已知：如图，在中，分别是与角平分线，与相交于点，垂足分别为M，N． (1)求证：在的角平分线上； (2)求证：． 24．如图，的外角、的平分线交于点，过点作，，垂足分别为、． (1)若，，求的度数； (2)连接，证明：平分． 25．如图，已知：，M是的中点，平分．求证： (1)平分； (2)． 题型六、角平分线的性质 26．如图，在中，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．记的面积为，的面积为． (1)求； (2)当与全等时，请求出t的值． 27．如图，四边形中，平分；，于． (1)求证：； (2)若，，求和的长． 28．如图，在中，，过点G作交的延长线于点F，交于点E．    (1)与全等吗？说明理由； (2)当，，，时，求的面积． 29．如图，已知，是的角平分线，的周长为，到的距离为． (1)求证：点到三边，，的距离相等； (2)求的面积； (3)如图，，分别是的一个内角及一个外角的平分线，，连接．若，求的度数． 30．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． (1)若，，求的大小； (2)求证； (3)在上，若平分，求证：点在的平分线上． 题型七、角平分线性质的实际应用 31．为响应眉山市委市政府创建“全国卫生城市”的工作，某乡镇拟在两个村庄、与两条公路、附近修建一个垃圾中转站，要求垃圾中转站到两条公路、的距离相等，到两个村庄、的距离也相等并且运送距离和最短，那么点应选在何处？请在图中用尺规作图作出点的位置（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 32．已知：如图三条公路，，两两相交，是公路上的两个村庄．求作：加油站，使得到，两条公路的距离相等，且到两个村庄距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 33．如图，两条公路与相交于点，在的内部有两个小区与，现要在的内部修建一个市场，使市场到两条公路的距离相等，且到两个小区的距离相等． (1)市场应修建在什么位置？（请用文字加以说明） (2)在图中标出点的位置（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并写出结论）． 34．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    (1)根据以上材料，任选一种方法证明：； (2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 35．如图所示，平面内两条互相垂直的直线相交于点O，，点A，B分别在射线，上移动，是的平分线，为的平分线，的延长线与的反向延长线交于点P．试问：随着点A，B位置的变化，的大小是否会变化？若保持不变，请求出∠P的度数；若发生变化，请求出变化范围． 题型八、尺规作角平分线 36．如图，在中，． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①作的平分线交于点； ②作边上的高； (2)若，的面积为13，求的值． 37．如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规在上作点、，使点到与的距离相等，点到点与的距离相等（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)连接、，若，，则________． 38．尺规作图，要求保留作图痕迹，不要求写作法． (1)如图1，已知，在边上作一点，使到的两边、的距离相等． (2)如图2，在的边上方作，并在射线上截取，连接． 39．在学习了全等三角形的判定和性质后，小明进行了更深入的研究，他发现，时，若与的角平分线分别为，则一定有，可利用证明三角形全等得到此结论，根据他的想法和思路完成以下作图和填空： (1)如图，在与中，是的角平分线，用尺规作的角平分线，交于点N（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知，与的角平分线分别为，求证：． 证明：∵， ∴，，①______． ∵平分， ∴， 又∵平分， ∴． ∴②______． ∴（③______）． ∴． 将上述已证明的结论用文字可表述为：④______． 40．如图，在中，．请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法），并解决问题： (1)在图1中，作的平分线，与边交于点D；此时若的面积是24，，求的长； (2)在图2中，把折叠，使得点B与点A重合，折痕分别交，于点E，F． ①请作出折痕； ②连接，若，，求的周长． 题型九、角平分线的综合问题 41．如图，已知，，相交于点M，，． (1)试判断与的数量与位置关系，并说明理由． (2)连接，求的度数 42．【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． (1)【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且． （当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，，于D，于E． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． (2)【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，求证：． (3)【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为______米． 43．材料阅读：如图1，在中，，分别平分，，连接． 求证：平分． 小星同学看到，分别平分，，想到了角平分线的性质，他过点分别作，，的垂线段，，，得到，，之间的数量关系，从而证明平分． (1)请用小星的方法或自己的方法证明平分； (2)方法应用：如图2，在中，是的延长线上一点，分别平分，，连接． ① 探究与之间的数量关系，并说明理由； ② 当时，如图3，过点作交于点，连接并延长交于点，与交于点，探究，与之间的数量关系． 44．已知是的角平分线，点是上一点，，分别是，上的动点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，、、在同一直线上，平分，交于点，作于点．若，，，请直接写出的值_____． 45．如图，在中，是它的角平分线． (1)求证：． (2)求证： (3)如图，四边形中，，对角线、相交于点，且分别平分和，若，则的值为______． 1．如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为（    ）． A． B． C． D． 2．如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，； ②作直线交于点，连接． 若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G．若的周长为16，且，则的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 4．如图，在中， ，平分交AB于点D，E为线段上一点，连接，且，若，则的长是（ ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 5．如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．下列结论正确的是（   ）． ①        ② ③平分        ④平分 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 6．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接．若的周长为，，则的长是 ． 7．如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条垂直平分线分别交于点、．若，，则的度数为 ． 8．如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交，于点，．若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为 ． 9．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 ． 10．如图，是的边的中点，平分，于点，且，，，则的长是 ． 11．如图，与相交于点O，，． (1)求证：； (2)若平分，求证：垂直平分． 12．如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为20． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，则___________． 13．阅读下列材料，然后解决问题： (1)如图，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接，把、、集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 ． (2)问题解决：如图，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：． 14． （1）【感知】：如图1，点P是角平分线上一点，过点P作于点C，于点D，证明（不需要证明）． （2）【探究】如图2，在中，，是的平分线，点E在边上，． ①证明：； ②请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图3，的外角的平分线与内角的平分线交于点P，若，请直接写出的度数． 15．下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 任务： 共边黄金三角形是在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为“共边黄金三角形”，相等的边所对的相等的角称为“黄金角”．如图1，，则与是“共边黄金三角形”，是黄金角． (1)如图2，与是“共边黄金三角形”，，，则与的“黄金角”的度数为　　　　； (2)图2中，在（1）的条件下，若，点到直线的距离是2，的面积是　　　　． (3)如图3，已知平分，，与是“共边黄金三角形”，试说明． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $