第四章：指数函数、对数函数与幂函数章末重点题型复习（14题型）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第二册）

第四章：指数函数、对数函数与幂函数章末重点题型复习 题型一 指数与对数的化简求值 1．（23-24高一上·江苏南通·月考）计算： ． 2．（24-25高一上·河北唐山·月考）下列根式计算错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏连云港·月考）（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 4．（23-24高一下·贵州遵义·月考）求值： (1)； (2)． 题型二 整体换元法求代数式的值 1．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知实数满足，则的值为（    ） A．14 B．16 C．12 D．18 2．（24-25高一上·广西玉林·开学考试）已知，则的值为 . 3．（23-24高一上·河南漯河·月考）（多选）已知，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知正实数满足. (1)求的值； (2)求的值. 题型三 由已知对数表示其他对数 1．（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河南驻马店·月考）已知，则 （用含的代数式表示）． 3．（23-24高一上·云南丽江·月考）若，，则 . 4．（23-24高一上·湖北荆州·月考）已知，，则 .（结果用，表示） 题型四 指对幂函数的概念和解析式 1．（23-24高一上·吉林延边·月考）给出下列函数，其中是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·河北唐山·月考）下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·海南·月考）在函数①，②，③，④，⑤，⑥中，是幂函数的是（    ） A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 4．（23-24高一上·广东云浮·月考）（多选）函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型五 指对幂函数的定义域问题 1．（23-24高一上·重庆黔江·月考）函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·贵州毕节·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山西吕梁·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·湖北·月考）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 题型六 指对幂函数的值域问题 1．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东江门·月考）函数在上的值域为 ． 3．（23-24高一上·宁夏吴忠·月考）下列函数中，与函数的值域相同的函数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河南郑州·月考）求函数，的值域. 题型七 指数函数的图象与性质 1．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江西南昌·月考）若指数函数为减函数，则实数的取值范围为 ． 3．（23-24高一上·江苏淮安·月考）已知函数（且）恒过定点，则 4．（24-25高一上·辽宁·期中）（多选）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 题型八 对数函数的图象与性质 1．（23-24高一上·重庆荣昌·月考）函数(且)的图象经过定点 . 2．（23-24高一上·福建莆田·期末）函数的单调递减区间是 ． 3．（23-24高一上·浙江嘉兴·月考）已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·宁夏银川·月考）（多选）函数的大致图象不可能为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·四川绵阳·月考）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．存在最大值 D．图象关于对称 题型九 幂函数的图象与性质 1．（24-25高一上·天津·期中）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河北石家庄·期中）“”是“幂函数在上是减函数”的一个（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·江苏镇江·月考）（多选）关于幂函数，下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．的图象关于点对称 4．（23-24高一上·浙江宁波·月考）已知幂函数的图象不经过第二象限，则 ． 题型十 利用单调性解指对幂不等式 1．（24-25高一上·山东济南·期中）已知幂函数，满足，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河南洛阳·月考）已知函数，则不等式的解集为 . 3．（23-24高一上·山东青岛·月考）已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 4．（23-24高一上·广东韶关·月考）求满足下列条件的的取值范围． (1)； (2)（，且）． 题型十一 指对幂比较大小问题 1．（23-24高一上·青海海东·期中）（多选）下列判断正确的有（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·青海西宁·月考）已知，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·山西大同·月考）已知，设，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·湖南衡阳·月考）设，，，则（    ） A． B． C． D． 题型十二 反函数及其应用 1．（23-24高一上·河北石家庄·月考）函数的反函数为 ，它们的图象关于直线 对称． 2．（23-24高一上·重庆黔江·月考）已知函数和函数（且）互为反函数，则恒过定点的坐标为 . 3．（23-24高一上·云南昆明·期末）若的反函数为，且，则的最小值为 . 4．（23-24高一上·四川成都·月考）已知，分别是关于的方程，的根，则 题型十三 指对幂函数模型的应用 1．（23-24高一上·安徽亳州·月考）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（    ） A．11分钟 B．14分钟 C．16分钟 D．20分钟 2．（23-24高一上·北京·月考）通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级.一般地，如果强度为的声音对应的等级为，则有﹒生活在深海的抹香鲸是一种拥有高分贝声音的动物，其声音约为，而人类说话时，声音等级约为，则抹香鲸声音强度与人类说话时声音强度之比为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·云南昆明·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家规定，驾驶人员每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克为饮酒后驾车；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时的速度减少，那么他想要驾车至少要经过（参考数据：，）（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东菏泽·月考）某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表： 时间t 50 110 250 种植成本Q 150 108 150 根据上表数据，函数①，②，③，④．能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型十四 指对幂函数的综合应用 1．（24-25高一上·广东·期中）已知幂函数是奇函数，函数. (1)求； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)若在上的最小值为，求. 2．（24-25高一上·山东·期中）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的最小值为3，求k的值； (3)在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围. 3．（23-24高一上·海南·月考）已知函数. (1)求的定义域； (2)求的最大值，并求出取得最大值时的值； (3)设函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 4．（23-24高一上·山东·月考）已知函数的图象经过点，函数． (1)求n的值； (2)求的定义域； (3)若，在区间上的值域为，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章：指数函数、对数函数与幂函数章末重点题型复习 题型一 指数与对数的化简求值 1．（23-24高一上·江苏南通·月考）计算： ． 【答案】11 【解析】. 故答案为： 2．（24-25高一上·河北唐山·月考）下列根式计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，A正确； 由，B正确； 由，C正确； 由，D错误．故选：D 3．（24-25高一上·江苏连云港·月考）（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】（1）; （2）； （3）. 4．（23-24高一下·贵州遵义·月考）求值： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)0 【解析】（1）原式. （2）. 题型二 整体换元法求代数式的值 1．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知实数满足，则的值为（    ） A．14 B．16 C．12 D．18 【答案】A 【解析】因为， 所以. 故选：A. 2．（24-25高一上·广西玉林·开学考试）已知，则的值为 . 【答案】1或 【解析】根据题意，，所以， 则或. 故答案为：1或. 3．（23-24高一上·河南漯河·月考）（多选）已知，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【解析】A：，故A正确； B：，故B正确； C：，故C正确； D：， 故D正确；故选：ABCD. 4．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知正实数满足. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）将两边平方得， 所以. （2）因为是正实数，令， 则，所以， 可得， 所以. 题型三 由已知对数表示其他对数 1．（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得， 所以，解得，故选：A. 2．（23-24高一上·河南驻马店·月考）已知，则 （用含的代数式表示）． 【答案】/ 【解析】. 故答案为：. 3．（23-24高一上·云南丽江·月考）若，，则 . 【答案】 【解析】因为，， 所以， 故答案为：. 4．（23-24高一上·湖北荆州·月考）已知，，则 .（结果用，表示） 【答案】 【解析】，则，，则， 则， 故答案为： 题型四 指对幂函数的概念和解析式 1．（23-24高一上·吉林延边·月考）给出下列函数，其中是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，是幂函数，故错误， 对于B，显然前面系数不为1，故错误， 对于C，显然前面系数不为1，故错误， 对于D，符合指数函数定义，故正确.故选：D 2．（22-23高一上·河北唐山·月考）下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数(且)为对数函数， 所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.故选：D. 3．（23-24高一上·海南·月考）在函数①，②，③，④，⑤，⑥中，是幂函数的是（    ） A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 【答案】C 【解析】幂函数是形如（为常数）的函数， ①是的情形；②是的情形； ⑥是的情形；所以①②⑥都是幂函数；③是一次函数，不是幂函数； ④是常函数，不是幂函数；⑤中的系数是2，不是幂函数． 所以只有①②⑥是幂函数．故选C. 4．（23-24高一上·广东云浮·月考）（多选）函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】ACD 【解析】由指数函数的定义知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3.故选：ACD. 题型五 指对幂函数的定义域问题 1．（23-24高一上·重庆黔江·月考）函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，解得，故定义域为.故选：A 2．（23-24高一上·贵州毕节·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】要使函数有意义需满足，解得，则函数的定义域为.故选：A. 3．（23-24高一上·山西吕梁·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使函数有意义，即满足，解得， 所以函数的定义域为，故选：D. 4．（23-24高一下·湖北·月考）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【解析】因为函数的定义域是， 所以，解得，所以函数的定义域为． 要使有意义，则，解得， 所以的定义域是． 故答案为： 题型六 指对幂函数的值域问题 1．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减， 则，所以函数的值域为.故选：B 2．（23-24高一上·广东江门·月考）函数在上的值域为 ． 【答案】 【解析】；； 时，取最小值时，取最大值67； 的值域为． 故答案为：． 3．（23-24高一上·宁夏吴忠·月考）下列函数中，与函数的值域相同的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为幂函数的值域为， 对于A，指数复合函数的值域为，故A错误； 对于B，对数复合函数的值域为，故B正确； 对于C，幂函数的值域为，故C错误； 对于D，反比例函数的值域为，故D错误.故选：B. 4．（23-24高一上·河南郑州·月考）求函数，的值域. 【答案】 【解析】. 设，且，故， 则且，图象的对称轴为， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，，当时，. ∴的值城为. 题型七 指数函数的图象与性质 1．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】是增函数，的减区间是， 因此根据同增异减法则得所求复合函数的减区间是.故选：C． 2．（24-25高一上·江西南昌·月考）若指数函数为减函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为指数函数为减函数， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 3．（23-24高一上·江苏淮安·月考）已知函数（且）恒过定点，则 【答案】/ 【解析】因为函数（且）恒过定点， 所以函数恒过定点，可得， 则. 4．（24-25高一上·辽宁·期中）（多选）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 【答案】BD 【解析】对于A，由图象可知函数单调递减，则，故A错误； 对于B，当时，，由图象可得，解得，故B正确； 对于C，由，则，由是增函数，则，故C错误； 对于D，由，，则函数是增函数， 当时，，故D正确.故选：BD. 题型八 对数函数的图象与性质 1．（23-24高一上·重庆荣昌·月考）函数(且)的图象经过定点 . 【答案】 【解析】因为， 令，即，则， 所以的图象经过定点. 故答案为：. 2．（23-24高一上·福建莆田·期末）函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【解析】令，解得， 令，对称轴为， 则在上单调递增，则在上单调递减， 而在上单调递减， 所以在上单调递减. 故答案为：. 3．（23-24高一上·浙江嘉兴·月考）已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可知在定义域内单调递增，所以， 令，即，所以函数的零点为， 结合函数图象可知，所以， 因此，故A错误； ，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误； 因为，即，且，所以，故C正确； 因为，所以，即，故D错误，故选：C. 4．（23-24高一上·宁夏银川·月考）（多选）函数的大致图象不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数， 当时，为减函数，且过定点， 故函数的大致图象不可能为BCD选项.故选：BCD. 5．（23-24高一上·四川绵阳·月考）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．存在最大值 D．图象关于对称 【答案】CD 【解析】由且，得，即的定义域为， ， 令，，则， 二次函数的图象开口向下，对称轴为， 从而图象关于对称，故D正确； ∵在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， ∴在上单调递增，在上单调递减，故AB错误； ∵，当时，有最大值1，所以有最大值0，故C正确.故选：CD. 题型九 幂函数的图象与性质 1．（24-25高一上·天津·期中）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于B，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于C，由函数的图象可知， 由的图象可知且，符合题意，正确； 对于D，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，错误.故选：C 2．（24-25高一上·河北石家庄·期中）“”是“幂函数在上是减函数”的一个（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立； 若幂函数在上是减函数， 则，解得或，故必要性不成立， 因此""是"幂函数在上是减函数"的一个充分不必要条件.故选：B 3．（23-24高一上·江苏镇江·月考）（多选）关于幂函数，下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】对于选项A，因为，所以， 得到的定义域为，所以选项A正确， 对于选项B，由知，所以选项B错误， 对于选项C，任取，且， 则， 因为，所以，，又， 所以，即，所以选项C正确， 对于选项D，因为定义域关于原点对称，又， 所以为奇函数，故选项D正确，故选：ACD. 4．（23-24高一上·浙江宁波·月考）已知幂函数的图象不经过第二象限，则 ． 【答案】 【解析】因为是幂函数， 所以，解得或， 当时，，显然其图象不经过第二象限，满足题意； 当时，，显然其图象经过第二象限，不满足题意； 综上，. 故答案为：. 题型十 利用单调性解指对幂不等式 1．（24-25高一上·山东济南·期中）已知幂函数，满足，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是幂函数，所以， 因此，所以是定义在上的增函数， 又因为，所以，解得，故选：A. 2．（23-24高一上·河南洛阳·月考）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由于，显然在定义域上为增函数， 由，， 则，且，可得， 所以，故不等式的解集为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·山东青岛·月考）已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题设，定义域为， ，即为偶函数， 在上，令，且， 则， 由，故，即函数在上递增， 而在定义域上递增，故在上递增， 所以，可得， 故，可得. 故答案为： 4．（23-24高一上·广东韶关·月考）求满足下列条件的的取值范围． (1)； (2)（，且）． 【答案】(1)；(2)当时，；当时，. 【解析】（1）因为，所以， 又因为在上单调递减， 所以， 所以的取值范围为； （2）当时，在上单调递减， 因为，所以，即，解得或， 所以的取值范围为； 当时，在上单调递增， 因为，所以，即，解得， 所以的取值范围为； 综上所述，当时，；当时，. 题型十一 指对幂比较大小问题 1．（23-24高一上·青海海东·期中）（多选）下列判断正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】在上是减函数，，故A不正确； 在上是增函数，，故B正确； 在上是增函数，，故C正确； 在上是减函数，，故D正确．故选：BCD. 2．（24-25高一上·青海西宁·月考）已知，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为对数函数在上为减函数，则， 指数函数在上为减函数，则，即，故.故选：C. 3．（23-24高一下·山西大同·月考）已知，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 可得， 因为，所以， 又由，可得，则，即， 所以.故选：A. 4．（23-24高一下·湖南衡阳·月考）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以，则，即， 因为，， 所以，所以，则，即， 又，所以，所以.故选：D 题型十二 反函数及其应用 1．（23-24高一上·河北石家庄·月考）函数的反函数为 ，它们的图象关于直线 对称． 【答案】； 【解析】函数和函数互为反函数，和图象关于对称， 故答案为：； 2．（23-24高一上·重庆黔江·月考）已知函数和函数（且）互为反函数，则恒过定点的坐标为 . 【答案】 【解析】因为（且）过定点 且函数和函数（且）互为反函数， 所以恒过定点的坐标为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·云南昆明·期末）若的反函数为，且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为和（，）互为反函数， 若，则， 又因为， 所以，所以，且，， 又， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 4．（23-24高一上·四川成都·月考）已知，分别是关于的方程，的根，则 【答案】2023 【解析】由已知条件有，， 令，画出函数的图象， 曲线和关于直线对称，曲线关于， 设曲线分别与交于点， 则点关于直线对称， 而点关于直线对称点为，即为点， 则，所以. 故答案为：2023. 题型十三 指对幂函数模型的应用 1．（23-24高一上·安徽亳州·月考）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（    ） A．11分钟 B．14分钟 C．16分钟 D．20分钟 【答案】A 【解析】由题意得，当时，，将其代入解析式，解得， 故解析式为，令，解得， 化简得，结合，可得，故选：A 2．（23-24高一上·北京·月考）通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级.一般地，如果强度为的声音对应的等级为，则有﹒生活在深海的抹香鲸是一种拥有高分贝声音的动物，其声音约为，而人类说话时，声音等级约为，则抹香鲸声音强度与人类说话时声音强度之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当声音约为时，则，解得， 当声音约为时，则，解得， 所以抹香鲸声音强度与人类说话时声音强度之比为.故选：D. 3．（23-24高一上·云南昆明·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家规定，驾驶人员每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克为饮酒后驾车；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时的速度减少，那么他想要驾车至少要经过（参考数据：，）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】经过小时后，该驾驶员体内的酒精含量为：. 只需，即，. 因为函数在R上为减函数， 所以， 故他至少要经过5个小时后才能驾车.故选：C. 4．（24-25高一上·山东菏泽·月考）某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表： 时间t 50 110 250 种植成本Q 150 108 150 根据上表数据，函数①，②，③，④．能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【解析】根据上表数据，西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不是常函数，也不是单调函数， 而，，，在时，均为单调函数，这与所提供的数据不符， 故能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系是，故选：B 题型十四 指对幂函数的综合应用 1．（24-25高一上·广东·期中）已知幂函数是奇函数，函数. (1)求； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)若在上的最小值为，求. 【答案】(1)；(2)；(3)或5. 【解析】（1）由题意得，得或. 当时，是偶函数，不符合题意； 当时，是奇函数. 故. （2）由（1）得图象的对称轴为直线， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为在上单调，所以或，解得或， 即的取值范围为. （3）当，即时，在上单调递减， ，解得，舍去； 当，即时，在上单调递增， ，解得； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得或0（，舍去）. 故或5. 2．（24-25高一上·山东·期中）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的最小值为3，求k的值； (3)在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）由题设， 而，所以； （2）令，则，开口向上且对称轴为， 当时，在上递增，此时无最值，不满足； 当时，在上递减，在上递增， 所以，可得（正值舍）. （3）由题意有解，即有解， 对于，当且仅当时取等号， 又趋向正负无穷时，分别趋向于0、正无穷，故均趋向于正无穷， 故只需，即. 3．（23-24高一上·海南·月考）已知函数. (1)求的定义域； (2)求的最大值，并求出取得最大值时的值； (3)设函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)最大值为1，此时的值为1；(3) 【解析】（1）函数有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为； （2）函数， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在定义域上单调递增， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 所以当时，取得最大， 故函数的最大值为1，此时的值为1； （3）由题意可得，不等式在上恒成立， 则在上恒成立， 即在上恒成立，可得在上恒成立， 令， 则，当且仅当，即时取等号， 所以， 故实数的取值范围为． 4．（23-24高一上·山东·月考）已知函数的图象经过点，函数． (1)求n的值； (2)求的定义域； (3)若，在区间上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)1；(2)；(3) 【解析】（1）因为的图象经过点，所以，解得． （2）由（1）可得， 令，因为，所以，解得． 故的定义域为． （3）因为，． 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 又函数在定义域上单调递增， 所以在上单调递减． 因为在区间上的值域为， 所以，则，即 令，则关于的方程在上有两个不等实数根， 原方程化简可得． 令函数， 则，解得． 故的取值范围是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$