专题03 平行线中的6大基本模型（高效培优专项训练）数学苏科版2024七年级上册

专题03 平行线中的6大基本模型专项训练 题型一：猪蹄模型 题型二：铅笔模型 题型三：锯齿模型 题型四：骨折模型 题型五：三角尺模型 题型六：平行线模型综合 题型一：猪蹄模型 【结论1】若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C 【结论2】若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD. 【结论3】如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 结论3的模型也称为锯齿模型； 锯齿模型的变换解题思路 拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型 1．生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据角的和差即可解题． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：C． 2．如图，，点E， F分别在直线，上，，，点M在的角平分线上，且 则的度数是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，能熟练利用平行线的判定及性质进行求解，并根据点的位置不同进行分类讨论是解题的关键． 分类讨论：①当在平行线之间时，过作，过作，由平行线的性质得，，，，结合角的和差，即可求解；+②当在直线上方时，同理可求． 【详解】解：①当在平行线之间时， 过作，过作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ； ②当在直线上方时， 由①同理可求：，， ； 的度数是或， 故选：D． 3．如图，已知，于点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，结合图形添加平行线的辅助线，利用平行线的性质求角度是解题的关键．过点作，过点作，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，已知，F为上一点，，若，则的度数可能为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 先过E作，根据平行线的性质可得，再设，则，根据，即可得到，解得，即可求解． 【详解】解：如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得， 即， ∴的度数可能为． 故选：B． 5．如图，，平分，平分，，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点E，F分别作，．然后运用平行线的性质进行推导． 【详解】解：如图所示，过点E，F分别作，， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．如图，，，分别是直线，之间的点，连接，，，，已知，，当时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质和判定，根据题意正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，过点作，则，根据平行线的性质可得，再根据得，，可得，最后利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：过点作，过点作，则， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 7．如图，已知，， ，，点为内一点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得出和的值，求出，再根据求出， 进而即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．如图，，点C在点D的右侧，平分，平分，所在直线交于点E，． （1） °； （2）若，则 °(用含x的式子表示)． 【答案】 40 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质. （1）根据角平分线的定义即可得到答案； （2）过点E作，由角平分线的定义得到，，再证明，则由平行线的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵平分，， ∴． 故答案为：． （2）如图，过点E作． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴，． ∴， 故答案为：． 9．【引入】在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个“美味”的模型—“猪蹄模型”．如图1所示，，点在直线与之间，连接、，嘉琪想到了过点作，证明：． 【思考】（1）当点在如图2所示的位置时，其他条件不变．写出，，三者之间的数量关系并说明理由． 【应用】（2）如图3，延长线段交直线于点，已知，，求的度数． 【提升】（3）点、、在直线与之间，连接、、和，其他条件不变，如图4．若，则______．（直接写出答案） 【答案】（1），理由见解析（2）（3） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）过点作，得到， 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ， ， 即； （2）由（1）可知：， ， ， ； （3）如图，过点作，则， 由（1）的结论得：， ， ， ， ， ， ． 10．【知识储备】构造平行线是初中数学常见的一种作辅助线的方法，两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们把这个图形形象地称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图，，E为，之间一点，连接，，得到．写出与，之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】已知直线，P为平面内一点，连接，． （2）如图，已知，，求的度数． （3）如图，根据图形直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，，熟练掌握平行线的性质正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）过作，根据平行线性质即可证明结论成立； （2）过点作，根据平行线性质可得，，即可求出的度数； （3）过点作，根据平行线性质可得，，即可得出，从而得出结论． 【详解】解：（1）如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）如图，过点作， ，， ， ，， ， ∴； （3）如图，过点作， ，， ， ，， ， . 11．【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）100°；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，构造辅助线掌握“猪蹄模型”是解本题的关键． （1）过点M作，证明，则，进而得，由此可得∠B+∠D的度数； （2）过点M作，则，证明，由（1）得，则，进而得，再根据，即可得出和之间的数量关系； （3）过点G作，依题意得，证明，由（1）得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）过点M作，如图①所示： ， ， ， ， ， ； （2）和之间的数量关系是：，理由如下： 过点M作，如图②所示， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 又， ， ； （3），理由如下： 过点G作，如图③所示： ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． 12．铁一陆港七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，M是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，直接写出、、三者之间的数量关系． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过点N作的平行线，设，则，由“猪蹄模型”可表示，再借助平行线的性质计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过点N作的平行线． ∵， ∴由“猪蹄模型”知， 设，则， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴ ∴ 即：． ∴、、三者之间的数量关系：． 题型二：铅笔模型 【结论1】如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360° 【结论2】如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD. 变异的铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1） 拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n 13．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过顶点作，利用平行线的性质得到，利用角的和差得到，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过顶点作， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：D． 14．已知如图，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键．过点作平行线，根据平行的性质计算即可． 【详解】解：过点作平行线， ， ． 故选C． 15．如图，已知，，，则的度数是（    ） A．80° B．120° C．100° D．140° 【答案】C 【分析】过E作直线MN//AB，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠1，进而可求出∠2，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得MN//CD，根据平行线性质从而求出∠C． 【详解】解：过E作直线MN//AB，如下图所示， ∵MN//AB， ∴∠A+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°， ∵， ∴ ∵MN//AB，AB//CD， ∴MN//CD， ∴∠C+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°， 故选：C． 【点睛】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键． 16．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； ③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A； ④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可． 【详解】解： ①如图1，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°， ∴∠A+∠AEC+∠C=360°， 故①正确； ②如图2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1， 即∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； ③如图3，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故③错误； ④如图4，∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为3， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 17．如图，如果，那么 ． 【答案】540 【分析】本题主要考查了平行线的性质等知识点，过点E作，过点F作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答，构造辅助线，是解答本题的关键． 【详解】过点E作，过点F作，如图， ∵，，， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， 故答案为：540． 18．如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】过点F作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 19．如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则 （度）；    （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则 （度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则 （度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是 （度）． 【答案】 360 540 720 180n 【分析】过点作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍； （1）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍； （2）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍； （3）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 【详解】过作（如图②）． ∵原四边形是长方形， ∴， 又∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴， 又∵， ∴；    （）分别过、分别作的平行线，如图③所示，    用上面的方法可得； （）分别过、、分别作的平行线，如图④所示，    用上面的方法可得； （）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 故答案为：；；；． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． 20．已知． （1）如图1，当时，则的度数为 ； （2）如图2，判断，，之间的数量关系为 ； （3）如图3，设，，．请直接写出的大小 （用含α、β、γ的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质和判定、垂直的定义即可求解； （2）过点作，利用平行线的性质和判定即可求解； （3）过点作，过点作，根据平行线的性质和判定得到，，，推出，，，再根据即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， ； 故答案为：． （3）如图，过点作，过点作， ，，， ， ，，， ，，， ，，， ； 故答案为：． 21．探究题： (1)如图1，若，则，你能说明理由吗？ (2)若将点E移至图2的位置，此时、、之间有什么关系？并证明 【答案】(1)理由见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，由平行线的性质可得和，再利用角的和差即可解答； （2）过点作，由平行线的性质可得和，再利用角的和差即可解答． 【详解】（1）解：能，理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ． （2）解：，证明如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， 又， ． 22．（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现，请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作． ，， ． __________． ， __________． __________． 即； （2）拓展探究： 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：； （3）解决问题： 如图③，，，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确过拐点作出辅助线是解此题的关键，注意：①两直线平行，内错角相等；②两直线平行，同位角相等；③两直线平行，同旁内角互补；④平行于同一直线的两直线平行． （1）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可； （2）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可； （3）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可． 【详解】（1）证明：如图①， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （2）证明：如图②，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图③，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 【答案】【感知探究】证明见解析；【类比迁移】；【结论应用】20 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可求解； （2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， 则， 又∵， ∴， ， ， 即； （2）解：． 证明：如图②，过作， ， ∵， ∴， ， ， 即：． 故答案为：； （3）如图③，过作， ， ∵， ∴， ， ， 故答案为：20． 24．问题情境：如图1，，，，求的度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数； 小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数； 小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为　 　°； 问题迁移： （1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系． 【答案】110；（1），理由见解析；（2）或，理由见解析 【分析】小明的思路是：过P作，构造同旁内角，利用平行线性质，可得． （1）过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）画出图形（分两种情况：①点P在的延长线上，②点P在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】解：小明的思路：如图2，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：110； （1），理由如下： 如图5，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）当P在延长线时，； 理由：如图6，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； 当P在之间时，． 理由：如图7，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角． 题型三：锯齿模型 模型特征 条件 AB//CD,点E,F在平行线的内部，连接BE,EF,FC,且图形中至 少有两个拐点 图示 结论 ∠B+∠F=∠E+∠C 模型拓展 拓展方向 研究拐点较多时的情况 图示 拆分思路 拆分成“猪蹄”模型和内错角 拆分成2个“猪蹄”模型 25．如图，，用含，，的式子表示，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行的性质，作出相应的辅助线是解题的关键．过点作，过点作，可得，从而推出，，即可得到答案． 【详解】解：过点作，过点作， 故选：D． 26．如图，直线，． 其中，，则的最大整数值是（　 　）      A．109° B．110° C． D． 【答案】A 【分析】先添加辅助线，再根据平行线的性质和三角形外角性质，求出与的关系式，最后由，即可求出范围，得出答案． 【详解】如图，延长，分别交和于点，，      ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，整理得：， ∴， 解得：， ∴的最大整数值是． 故选：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质及等角度的转换． 27．如图，已知，点E，F分别在上，点G，H在两条平行线之间，与的平分线交于点M．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理及推论，角平分线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点G，M，H作，先证明 得到，，继而推导出，，再证明，即可解答． 【详解】解：如图所示，过点G，M，H作， ， ∵和是角平分线， 即． 故答案为：． 28．已知，，，则之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点D作，过点C作，则，进而得到，由垂线的定义和角的和差关系可得，证明，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作，过点C作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 故答案为：． 29．如图，，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，作平行线是解题的关键； 分别过点C、D作，则，则，；由，由此即可求得三个角间的关系． 【详解】解：如图，分别过点C、D作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 即， 故答案为：． 30．如图，已知，，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． 如图：过B作，过C作，易得；由平行线的性质可得、，再根据角的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：如图：过B作，过C作，即,, ∵， ∴． ∴，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 31．如图，，分别平分和，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质求角度，角平分线的计算，正确构造平行线是解题的关键． 延长交射线于点，过点分别作，则，那么，由角平分线得到，，则，再由得到内错角相等求解即可． 【详解】解：如图，延长交射线于点，过点分别作， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴ ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 32．已知直线，E为两直线间一定点，，若点F为平面内一动点，且满足，连接，则的平分线与的平分线所在直线交于点G，则 . 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质、角平线的定义．根据题意可分两种情况进行讨论，一种是点F在下方，一种是点F在上方，先作平行线，设出来角度，再根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义可得到结果． 【详解】解：当点F在下方时， 过点F作，过点E作，如图1所示： 设， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②当点F在上方时，过点E作，如图2所示： 设， ∵，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 综上所示：的值为或， 故答案为：或． 33．已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 【答案】/88度 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐点”作平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题；过点、、分别作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解； 【详解】过点、、分别作， ∵ ， ， 平分，平分 ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 34．如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化，的度数为； (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （2）解：不发生变化，，理由为： 由（1）可得，， 、的角平分线交于点， ，， 如图，过点作， ，， ， ，， ； （3）解：由（2）得，，由（1）得， ， ， 如图，过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上，的度数为或． 35．已知：，分别为，上任意一点．，为和之间任意两点．连接，，，，． (1)如图1，若，求证：，； (2)当时 ①如图2，求证：； ②如图3，分别过点，点引射线，．交于，交于，，．和两角的角平分线交于点．当时，和的数量关系为：________（用含有的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据可证，再根据可证，，然后根据平行公理推论可证； （2）①延长，交直线于点，先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行线的判定即可得证； ②先求出，，，，，再过点作，过点作，根据平行线的性质可得，根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，则可得，同理可得，然后根据建立等式，化简即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴． （2）证明：①如图，延长，交直线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②∵，，，， ∴，，， ∴， ∵和两角的角平分线交于点，且， ∴，， 如图，过点作，过点作， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）①已证：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 36．在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为M，机械臂与轨道的接触点记为N，为了实现复杂的操作任务，通过关节P和关节Q来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，=___________（用含α的式子表示）直接写出，无需证明． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和平行公理的推论，熟知相关定理，根据题意正确添加辅助线是解题关键． （1）延长交于点E，根据得到，根据得到，即可证明； （2）分别过点P、Q作，根据得到，即可求出进而求出，根据求出，即可求出 【详解】（1）解：如图，延长交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，分别过点P、Q作， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 题型四：骨折模型 37．如图，已知直线，点在射线上，射线分别交于点，．如果，，与的平分线交于点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，邻补角的性质，角平分线的定义，由平行线的性质和判定可得，即得，又由邻补角的性质得，，进而得，再根据角平分线的定义得到，，过点作，则，根据平行线的性质求出和即可求解，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 过点作，则， ∴，， ∴， 故选：． 38．如图，，点是两平行线之间的一点，连接，射线分别平分，直线与射线交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，一元一次方程；过点F作，由平行线的性质，设，，由四边形内角和及已知条件，即可求解． 【详解】解：过点F作，如图； ∵， ∴， ∴，； ∵分别平分， ∴，； 设，， ∴，； 在四边形中， ， ∴①； ∵， ∴②， ②代入①得：， 解得； 故选：C． 39．如图，，P、B、Q三点在同一直线上，，，如果，那么 °． 【答案】48 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．作交于点，延长交于点，设，，求得，，根据题意得到，据此求解即可． 【详解】解：作交于点，延长交于点，设，， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即， 故答案为：48． 40．如图，小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，，交于点，，，平分，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，对顶角，灵活应用平行线的性质是解题的关键． 过点作，由平行公理得，根据平行线的性质得，由角平分线的定义得，由，即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 41．如图，，为上一点，的平分线的反向延长线交的平分线于N点，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，角平分线的定义等知识，根据图形得出角之间的关系是解题的关键． 过作，过作，则，设，根据平行线的性质得，，由，求出，即可求解． 【详解】过作，过作， ∴， ∵的平分线的反向延长线交的平分线于点， ∴设， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 42．如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，解题的关键是作出已知直线的平行线得到内错角相等．过点作，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可． 【详解】解：过点作， ， ， ，， ， 又平分， ， ， ：：，， ， ， 故答案为：． 43．某同学结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图所示，已知，点E的位置移到上方，点F在延长线上，与的平分线相交于点G，则与之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据平行线的性质可得，，最后根据角的和差、等量代换即可得出结论． 【详解】解：过点作，过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵与的平分线相交于点G， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 故答案为： 44．已知，，点为射线上一点． (1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数． (2)如图2，当点在的延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的等量关系，请说明你的结论． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）过E作，根据平行线的性质得到，，即可求得. （2）过E作，根据平行线的性质得到，，即． 【详解】（1）解：过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴. （2）解：． 理由如下： 过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 45．下列图形是用钉子把橡皮筋紧钉在墙壁上而成的，其中． (1)如图1，若、，则___________； (2)如图2，若、，则___________（用含的式子表示）； (3)如图3，若、，那么与、之间有什么数量关系？请加以证明． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查的是平行线的性质，解题的关键是由平行线性质得出角相等从而求出答案； （1）先过作，由平行线的性质得，，所以求得的度数． （2）首先过作，根据平行线的性质可得：，，，从而表示出． （3）由平行线的性质得，再根据三角形的外角性质，表示出与、之间的关系． 【详解】（1）解：过作，，， ， 故答案为：． （2）解：过作，，， ， ， ． 故答案为：． （3）证明： 证明：， 又， ． 46．已知，点为直线、所确定的平面内一点． (1)如图，，．求的度数 (2)如图，直接写出， 和的数量关系（不用写具体证明过程） (3)如图，点在直线上，若，，，过点作，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论， （1）如图，过点作，根据平行线的性质及平行公理的推论得，，继而得到，再由可得结论； （2）如图，过点作，根据平行线的性质及平行公理的推论得，，继而得到，可得结论； （3）如图，设交于点，由（2）知得，根据平行线的性质得，，，再代入计算即可． 解题的关键是掌握：平行线的性质，平行公理的推论（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 和的数量关系为； （3）如图，设交于点， ∵，，， 由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的度数为． 47．已知直线，点A在上，点B在上． (1)如图1，点C在上方，连、，求证：； (2)如图2，点C在与之间，连、，延长交于点D，点S在直线上 ①当点S在点D的左边时，则、、、之间有何数量关系？请说明理由； ②当点S在点D的右边时，直接写出、、、之间的数量关系． 【答案】(1)见详解 (2)①，理由见详解；② 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，能熟练利用平行线的判定及性质探究角之间的关系是解题的关键． （1）过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，即可得证； （2）①过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，，即可求解； ②当在线段上（不与重合）时，过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质，，，即可求解； 当在的右边时，同理可求． 【详解】（1）证明：过作， ， ， ，， ； （2）解：①； 理由如下：过作， ， ， ， ， ， ； ②当在线段上（不与重合）时， 过作， ， ， ， ， ， ； ； 当在的右边时， 过作， 同理可求：； 综上所述：． 48．已知，点M、N分别在、上． (1)、间有一点E，点E在直线左侧，如图1．求证：． (2)当、间的点E在直线右侧时，如图2．之间有什么关系？ (3)如图3，当点E在、外侧时，探索之间有何关系？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）过点E作直线，则，由平行线的性质（两直线平行，内错角相等）即可得解； （2）过点E作直线，则，由平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）即可得解； （3）过点E作直线，则，由平行线的性质（两直线平行，内错角相等）即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 题型五：三角尺模型 模型特征 类 型 1： 单一三角尺 类型2 ：常见角度的拼接 模型拓展 拓展方向：常见的直尺与三角尺的拼接 49．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，已知，，，则①，②，③，④．结论不正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算，根据，即可判断①；由，得到，即可判断③；过点F作，根据平行线的性质求出，然后根据平行线的性质求出的度数，即可判断②；由即可判断④． 【详解】解：， ，故①正确； ， ，故③不正确； 过点F作，如图， ， ， ， ， ， ，故②正确； ， ， ，故④正确． ∴正确的有3个，不正确的有1个， 故选：B． 50．如图，，一副三角尺（，，）的 和恰好落在两平行线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是掌握“两直线平行，内错角相等”． 根据“两直线平行，内错角相等”得到，，然后求出， ，从而求出的度数． 【详解】如图，过点 O 作 ∵， ∴， ∴，， ∵， ， ， ∴， ， ∴． 故选 ：B． 51．如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角板的特征、角度的计算等知识点，作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 如图：过A作，则，利用平行线的性质得出，进而利用三角板的特征求出，最后利用平行线的性质即可． 【详解】解：如图：过A作，则， ， ， ， ∵，直线， ∴ ， 故选C． 52．现将两个直角三角尺作如图摆放，，，直线过点，在直线上．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，根据直角三角尺可得，过点作交于点，得，然后逐一判断即可．解题的关键是掌握：直角三角尺中各个角的度数及平行线的性质． 【详解】解：∵将两个直角三角尺作如图摆放，且，， ∴， 过点作交于点， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，故选项B不符合题意； ∴， ∴，故选项A不符合题意； ∴，故选项C不符合题意； ∵，， ∴，故选项D符合题意． 故选：D． 53．将一副三角尺如图1所示摆放，分别在直线上，，直线．现将三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设时间为秒，当时，如果边与三角尺的一条直角边平行（旋转过程中三角尺任意两边所在的直线不重合），那么所有满足条件的的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先根据题意画出旋转后的图形，由已知条件，利用平行线的旋转，求出旋转角之间的关系，列出方程解答即可．解题关键是根据题意，画出旋转后的图形． 【详解】解：由题意得：，， （1）当时， 如图所示：延长交于点， ①在上方， ，，， ， ， ， ， ， 即， 解得：； ②在下方时，， ，，， ， ， ， ， ， 即， 解得：（舍去）； 如图：当时，延长交于点， ①在上方，度， ，， ， ， ， ， ， 即，解得：； ②在下方，度， ，，， ， ， ， ， ， 即，解得：（舍去）， 综上可知：所有满足条件的的值为：或， 故答案为：或． 54．把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间．如图1，若直角三角尺的顶点G落在上，且，则的度数为 ．如图2，若直角三角尺的直角顶点F落在上，顶点G落在上，则与的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线性质是解题关键． 根据平行线的性质可知，依据，可求出结果；依据，可知，再根据，即可求出结果． 【详解】解：因为， 所以， 因为，， 所以， 解得， 因为， 所以， 即， 所以， 故答案为：，． 55．把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间． （1）如图1，若三角尺的角的顶点G落在上，且，则的度数为 ． （2）如图2，若把三角尺的直角顶点F落在上，角的顶点G落在上，则与的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线性质是解题关键． （1）根据平行线的性质可知，依据，可求出结果； （2）依据，可知，再根据，即可求出结果． 【详解】解：（1）， ， ， ， 解得， ； （2）， ， 即， 整理得， 故答案为：，． 56．综合与实践 【活动准备】在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，且中， 【操作发现】 （1）如图①中，边落在直线上时，且点在直线上，则___________； （2）如图②中，若，与直线相交于点，，，求的度数； 【探索证明】 （3）如图③中，当直角顶点在直线上时，请写出的值，并说明理由． 【答案】（1）（2）（3），见解析 【分析】（1）根据，得，解答即可； （2）根据平行线的性质，平角的定义解答即可． （3）过B作，利用平行线的判定和性质，角的和定义，解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，平角的定义，角的和，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵ ，， ∴， ∵， ∴． （3）解：．理由如下： 如图，过B作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 57．综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b，且，三角形是直角三角形，，，． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由； (3)如图3，直线与直线a交于点E，直线与直线b交于点平分交直线于点平分交直线于点N，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是角平分线定义、平行线的性质与判定，解题的关键是掌握平行线的性质定理． （1）根据、及的和为可求出，根据平行线的性质解答； （2）过点B作，根据平行线的性质得到，，结合图形计算，证明结论； （3）分别过点作，则，设，根据角平分线的定义、平行线的性质计算即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：如图，过点B作， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，分别过点作，则， 设， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 58．在综合与实践课上，老师以“两条平行线AB，CD和一块含角的直角三角尺EFG（，）”为主题开展数学活动． (1)如图（1），若三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； (2)如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，请你探索与之间的数量关系； (3)如图（3），小亮把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点在上．若，，请直接写出与的数量关系是什么？用含的式子表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）根据平行线的性质可知，依据，可求出的度数； （2）过点作，得到，通过平行线的性质把和转化到上即可； （3）依据，可知，再根据，，代入，即可求出． 【详解】（1）解：， ， ， ，即， ； （2）解：，理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； 故答案为：； （3）解：，理由如下： ， ， ，， ， ， ． 59．综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含的三角尺如图方式摆放，点A、C分别在边和上，．三角尺中，，，．猜想与的数量关系，并说明理由． 问题初探： （1）若，则__________°； （2）小宇同学通过小组合作探究，发现了一种证明方法．如图2，过点C作，交于点H，请你根据小宇同学提供的辅助线，先确定与的数量关系，再说明理由； 类比再探： （3）如图3，把“”改为“”，其它条件不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）60；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质．辅助线的添加是解题的关键也是解题的难点． （1）过点C作，交于点H，利用平行线的判定和性质求解即可； （2）过点C作，交于点H，设，利用平行线的判定和性质求解即可； （3）过点C作，交于点H，设，同样的方法求解即可． 【详解】解：（1）过点过点C作，交于点H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：60； （2）过点C作，交于点H， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点C作，交于点H，设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即； 60．在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，直线互相平行，一块的直角三角板放置在图中，直角顶点C在两条平行线之间，A在上方，B在下方．分别交于点D、E，分别交于点． (1)若，求的度数； (2)点H为线段上一点，若_______，求证：_______． 从①②中选择一个条件，③④中选择一个结论，如果是真命题将序号填在对应的横线上，并全部加以证明． ①；②；③是定值；④是定值． 【答案】(1) (2)若①，求证：④；若②，求证：③． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质是本题解题的关键． （1）过C作，先根据平行线的性质求出，再根据余角求出，再根据平行线的性质求出，最后根据补角求出即可； （2）根据（1）的结论，可以用表示出，进而得出结论． 【详解】（1）解：过C作，如图 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）当选题设①时，如图： 由（1）知， ， ， ∴，为定值，即④正确； 当选题设②时，由①可得：， ∴， ∴， ∴，为定值，即③正确． 故答案为：若①，求证：④；若②，求证：③． 题型六：平行线模型综合 61．数学活动课上，李老师给出如下问题让学生探究如图，，点，分别在，上，点在，之间连接，，． (1)求的度数； (2)小红在李老师所给问题的基础上，提出如下问题：如图，作的平分线和的平分线，与的反向延长线相交于点，求的度数； (3)小张在李老师所给问题的基础上，提出如下问题：如图，在线段上取点，在射线上取点，连接，作和的平分线相交于点，判断和的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）作，证明，可得，故从而可得； （2）作，证明，设，则可得设故，又，即得，知； （3）作，，设设，，有，而，得，即可得． 本题考查平行线的判定与性质，解题的根据是作出辅助线，构造平行解决问题 【详解】（1）解：作，如图： ， ， ， ， ， ， ． ， ； （2）解：作，如图： ， ． ， ． ． ． ． 由平分，设，则． ． 由平分，设． ， 由（1）可知， ， ； （3）解：，理由如下： 作，，如图： 设，， 平分， ， 由（1）可知，． ， ， ． ． ． 62．已知直线，点、分别为直线、上的点，点是与之间任意一点，连接、过直线上的另一点作直线，直线交直线于点． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，求证：； (3)如图，点是与之间除了点外的任意一点，，，过点作的垂线交于点，连接，，，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的计算，合理运用倍角关系是本题解题的关键． （1）根据平行线的性质依次求出和即可； （2）过作，根据平行线的性质求证即可； （3）先根据三角形内角和求出，然后根据补角的性质以及给出的两个倍角关系，得出，过作，根据平行线的性质求出，然后根据倍角关系求出即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）证明：过作，如图： ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 过作，如图： ， ，， ， ． 63．已知直线． (1)在图1中，点E在直线上，点F在直线上，点G在直线，之间，若，，则_____； (2)如图2，若点H是与的角平分线的交点，求出的值； (3)如图3，作，与的平分线交于点M，若的余角等于的补角，求的度数． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线，余角和补角等知识，解题的关键是充分利用平行线的性质进行求解； （1）过点作，利用平行线的性质求解即可； （2）过点G作，利用平行线的传递性，则，再利用平行线的性质，得到，结合角平分线的定义，得到，即可得到之间的关系，即可求解； （3）由（1）得再根据平分，，再根据条件，分别用表示出根据补角得出两者之间的等量关系，建立等式求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如答案图，过点G作，则． ∴ ∴． 同理可得． ∵平分，平分 ． （3）解：由（1）得 平分， ， 又， ， 的余角等于的补角， ， 即， ， ， ． 64．如图，，的角平分线与的角平分线交于，若设． (1)如图1，求的度数（用含的式子表示）； (2)如图2，当时，点在延长线上，点是上一点，若，求的度数 （用含的式子表示）； (3)如图3，的延长线交于点，点 是线段上一点，且，过点作交直线于点，若在直线上取一点，使，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义； （1）根据平行线的性质得出，进而根据角平分线的定义，即可得出 （2）过点作 ，根据平行线的性质得出，根据（1）得出，根据，即可求解． （3）当在线段上时，当在的延长线上时，分别画出图形，根据已知得出，，结合图形，即可求解． 【详解】（1） 平分 （2）过点作 ， 由（1）可得， ∴ （3）如图，当在线段上时 由（1）可得， ∵ ， 如图，当在的延长线上时 同理可得，， ∴． 65．已知，直线，为平面内一点，点E，F分别在直线，上，连接，，． (1)如图（1），若点在直线，之间，当，时，求的度数； (2)如图（2），若点在直线，之间，、分别是的平分线，、分别是的平分线，猜想与的数量关系以及与的数量关系，并说明理由； (3)如图（3），若点在直线的下方，、分别是的平分线，平分，平分，的反向延长线与直线相交于点，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)度 (2)，，见解析 (3)， 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，利用拐点作出辅助线是解题的关键． （1）过点向右作，利用平行线的判定和性质求解即可； （2）设，，过点作，求得，得到，，过点作，过点Q向左作，据此即可求得，； （3）设，，求得，过点P向右作，过点Q向左作，同（2）的方法即可求得，，再求解即可． 【详解】（1）解：过点向右作， ， ， ∵，， ∴， ， ， ； （2）解：，， 设，， 分别是的平分线， ，， ，， 过点作， ， ∵，，， ∴， ， ， 分别是的平分线， ，， 过点作，过点Q向左作， 同理，可得， ， ，； （3）解：，， 过程如下： 设，， 分别是的平分线， ，， ，， 分别是的平分线所在直线相交于点， ，， ， ， 过点P向右作， ∵， ∴， ，， ， 过点Q向左作，同理可得： ， ， ， ， ，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平行线中的6大基本模型专项训练 题型一：猪蹄模型 题型二：铅笔模型 题型三：锯齿模型 题型四：骨折模型 题型五：三角尺模型 题型六：平行线模型综合 题型一：猪蹄模型 【结论1】若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C 【结论2】若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD. 【结论3】如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 结论3的模型也称为锯齿模型； 锯齿模型的变换解题思路 拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型 1．生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，，点E， F分别在直线，上，，，点M在的角平分线上，且 则的度数是（   ） A． B．或 C． D．或 3．如图，已知，于点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知，F为上一点，，若，则的度数可能为（   ）． A． B． C． D． 5．如图，，平分，平分，，那么的度数为 ． 6．如图，，，分别是直线，之间的点，连接，，，，已知，，当时，的度数为 ． 7．如图，已知，， ，，点为内一点，，则 ． 8．如图，，点C在点D的右侧，平分，平分，所在直线交于点E，． （1） °； （2）若，则 °(用含x的式子表示)． 9．【引入】在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个“美味”的模型—“猪蹄模型”．如图1所示，，点在直线与之间，连接、，嘉琪想到了过点作，证明：． 【思考】（1）当点在如图2所示的位置时，其他条件不变．写出，，三者之间的数量关系并说明理由． 【应用】（2）如图3，延长线段交直线于点，已知，，求的度数． 【提升】（3）点、、在直线与之间，连接、、和，其他条件不变，如图4．若，则______．（直接写出答案） 10．【知识储备】构造平行线是初中数学常见的一种作辅助线的方法，两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们把这个图形形象地称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图，，E为，之间一点，连接，，得到．写出与，之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】已知直线，P为平面内一点，连接，． （2）如图，已知，，求的度数． （3）如图，根据图形直接写出，，之间的数量关系． 11．【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 12．铁一陆港七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，M是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，直接写出、、三者之间的数量关系． 题型二：铅笔模型 【结论1】如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360° 【结论2】如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD. 变异的铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1） 拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n 13．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ）      A． B． C． D． 14．已知如图，，则（    ） A． B． C． D． 15．如图，已知，，，则的度数是（    ） A．80° B．120° C．100° D．140° 16．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．如图，如果，那么 ． 18．如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 19．如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则 （度）；    （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则 （度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则 （度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是 （度）． 20．已知． （1）如图1，当时，则的度数为 ； （2）如图2，判断，，之间的数量关系为 ； （3）如图3，设，，．请直接写出的大小 （用含α、β、γ的式子表示）． 21．探究题： (1)如图1，若，则，你能说明理由吗？ (2)若将点E移至图2的位置，此时、、之间有什么关系？并证明 22．（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现，请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作． ，， ． __________． ， __________． __________． 即； （2）拓展探究： 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：； （3）解决问题： 如图③，，，，求的度数． 23．【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 24．问题情境：如图1，，，，求的度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数； 小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数； 小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为　 　°； 问题迁移： （1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系． 题型三：锯齿模型 模型特征 条件 AB//CD,点E,F在平行线的内部，连接BE,EF,FC,且图形中至 少有两个拐点 图示 结论 ∠B+∠F=∠E+∠C 模型拓展 拓展方向 研究拐点较多时的情况 图示 拆分思路 拆分成“猪蹄”模型和内错角 拆分成2个“猪蹄”模型 25．如图，，用含，，的式子表示，则的值为（　　） A． B． C． D． 26．如图，直线，． 其中，，则的最大整数值是（　 　）      A．109° B．110° C． D． 27．如图，已知，点E，F分别在上，点G，H在两条平行线之间，与的平分线交于点M．若，则的度数为 ． 28．已知，，，则之间的关系式为 ． 29．如图，，则，，的大小关系是 ． 30．如图，已知，，则 ． 31．如图，，分别平分和，若，则的度数是 ． 32．已知直线，E为两直线间一定点，，若点F为平面内一动点，且满足，连接，则的平分线与的平分线所在直线交于点G，则 . 33．已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 34．如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 35．已知：，分别为，上任意一点．，为和之间任意两点．连接，，，，． (1)如图1，若，求证：，； (2)当时 ①如图2，求证：； ②如图3，分别过点，点引射线，．交于，交于，，．和两角的角平分线交于点．当时，和的数量关系为：________（用含有的式子表示）． 36．在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为M，机械臂与轨道的接触点记为N，为了实现复杂的操作任务，通过关节P和关节Q来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，=___________（用含α的式子表示）直接写出，无需证明． 题型四：骨折模型 37．如图，已知直线，点在射线上，射线分别交于点，．如果，，与的平分线交于点，则（　　） A． B． C． D． 38．如图，，点是两平行线之间的一点，连接，射线分别平分，直线与射线交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 39．如图，，P、B、Q三点在同一直线上，，，如果，那么 °． 40．如图，小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，，交于点，，，平分，若，则的度数为 ． 41．如图，，为上一点，的平分线的反向延长线交的平分线于N点，已知，则 ． 42．如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则 ． 43．某同学结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图所示，已知，点E的位置移到上方，点F在延长线上，与的平分线相交于点G，则与之间的数量关系是 ． 44．已知，，点为射线上一点． (1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数． (2)如图2，当点在的延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的等量关系，请说明你的结论． 45．下列图形是用钉子把橡皮筋紧钉在墙壁上而成的，其中． (1)如图1，若、，则___________； (2)如图2，若、，则___________（用含的式子表示）； (3)如图3，若、，那么与、之间有什么数量关系？请加以证明． 46．已知，点为直线、所确定的平面内一点． (1)如图，，．求的度数 (2)如图，直接写出， 和的数量关系（不用写具体证明过程） (3)如图，点在直线上，若，，，过点作，求的度数． 47．已知直线，点A在上，点B在上． (1)如图1，点C在上方，连、，求证：； (2)如图2，点C在与之间，连、，延长交于点D，点S在直线上 ①当点S在点D的左边时，则、、、之间有何数量关系？请说明理由； ②当点S在点D的右边时，直接写出、、、之间的数量关系． 48．已知，点M、N分别在、上． (1)、间有一点E，点E在直线左侧，如图1．求证：． (2)当、间的点E在直线右侧时，如图2．之间有什么关系？ (3)如图3，当点E在、外侧时，探索之间有何关系？ 题型五：三角尺模型 模型特征 类 型 1： 单一三角尺 类型2 ：常见角度的拼接 模型拓展 拓展方向：常见的直尺与三角尺的拼接 49．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，已知，，，则①，②，③，④．结论不正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 50．如图，，一副三角尺（，，）的 和恰好落在两平行线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 51．如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 52．现将两个直角三角尺作如图摆放，，，直线过点，在直线上．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 53．将一副三角尺如图1所示摆放，分别在直线上，，直线．现将三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设时间为秒，当时，如果边与三角尺的一条直角边平行（旋转过程中三角尺任意两边所在的直线不重合），那么所有满足条件的的值为 ． 54．把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间．如图1，若直角三角尺的顶点G落在上，且，则的度数为 ．如图2，若直角三角尺的直角顶点F落在上，顶点G落在上，则与的数量关系为 ． 55．把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间． （1）如图1，若三角尺的角的顶点G落在上，且，则的度数为 ． （2）如图2，若把三角尺的直角顶点F落在上，角的顶点G落在上，则与的数量关系为 ． 56．综合与实践 【活动准备】在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，且中， 【操作发现】 （1）如图①中，边落在直线上时，且点在直线上，则___________； （2）如图②中，若，与直线相交于点，，，求的度数； 【探索证明】 （3）如图③中，当直角顶点在直线上时，请写出的值，并说明理由． 57．综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b，且，三角形是直角三角形，，，． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由； (3)如图3，直线与直线a交于点E，直线与直线b交于点平分交直线于点平分交直线于点N，求的度数． 58．在综合与实践课上，老师以“两条平行线AB，CD和一块含角的直角三角尺EFG（，）”为主题开展数学活动． (1)如图（1），若三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； (2)如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，请你探索与之间的数量关系； (3)如图（3），小亮把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点在上．若，，请直接写出与的数量关系是什么？用含的式子表示． 59．综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含的三角尺如图方式摆放，点A、C分别在边和上，．三角尺中，，，．猜想与的数量关系，并说明理由． 问题初探： （1）若，则__________°； （2）小宇同学通过小组合作探究，发现了一种证明方法．如图2，过点C作，交于点H，请你根据小宇同学提供的辅助线，先确定与的数量关系，再说明理由； 类比再探： （3）如图3，把“”改为“”，其它条件不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 60．在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，直线互相平行，一块的直角三角板放置在图中，直角顶点C在两条平行线之间，A在上方，B在下方．分别交于点D、E，分别交于点． (1)若，求的度数； (2)点H为线段上一点，若_______，求证：_______． 从①②中选择一个条件，③④中选择一个结论，如果是真命题将序号填在对应的横线上，并全部加以证明． ①；②；③是定值；④是定值． 题型六：平行线模型综合 61．数学活动课上，李老师给出如下问题让学生探究如图，，点，分别在，上，点在，之间连接，，． (1)求的度数； (2)小红在李老师所给问题的基础上，提出如下问题：如图，作的平分线和的平分线，与的反向延长线相交于点，求的度数； (3)小张在李老师所给问题的基础上，提出如下问题：如图，在线段上取点，在射线上取点，连接，作和的平分线相交于点，判断和的数量关系并说明理由． 62．已知直线，点、分别为直线、上的点，点是与之间任意一点，连接、过直线上的另一点作直线，直线交直线于点． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，求证：； (3)如图，点是与之间除了点外的任意一点，，，过点作的垂线交于点，连接，，，求的度数． 63．已知直线． (1)在图1中，点E在直线上，点F在直线上，点G在直线，之间，若，，则_____； (2)如图2，若点H是与的角平分线的交点，求出的值； (3)如图3，作，与的平分线交于点M，若的余角等于的补角，求的度数． 64．如图，，的角平分线与的角平分线交于，若设． (1)如图1，求的度数（用含的式子表示）； (2)如图2，当时，点在延长线上，点是上一点，若，求的度数 （用含的式子表示）； (3)如图3，的延长线交于点，点 是线段上一点，且，过点作交直线于点，若在直线上取一点，使，求的值． 65．已知，直线，为平面内一点，点E，F分别在直线，上，连接，，． (1)如图（1），若点在直线，之间，当，时，求的度数； (2)如图（2），若点在直线，之间，、分别是的平分线，、分别是的平分线，猜想与的数量关系以及与的数量关系，并说明理由； (3)如图（3），若点在直线的下方，、分别是的平分线，平分，平分，的反向延长线与直线相交于点，当时，直接写出的度数． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $