专题13 线段与角计算问题中涉及数学思想方法的四类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024七年级上册

专题13 线段与角计算问题中涉及数学思想方法的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、分类讨论思想在线段的计算中的应用 类型二、分类讨论思想在角的计算中的应用 类型三、整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 类型四、整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 压轴专练 类型一、分类讨论思想在线段的计算中的应用 一、解题方法总结（2点） 1.定范围，分情况：先明确线段上的动点、分点等关键元素的位置范围，再按“在线段上”“在线段延长线（正向/反向）上”两类核心情况拆分，避免漏解。 2.设变量，列等式：设未知线段长度为未知数（如x），结合线段和差、中点性质等条件列方程，每类情况单独求解，最后验证结果是否符合所设范围。 二、解题技巧总结（2点） 1.画图辅助，直观分析：每类情况对应绘制简易线段图，标注已知长度和未知量，快速理清线段间的数量关系，减少逻辑混乱。 2.检验结果，排除矛盾：求解后对照图形和题意，排除长度为负、位置与假设冲突的错误答案，确保每类解的合理性。 例1．（25-26七年级上·辽宁·期中）已知线段，点在直线上，且，当为线段的中点，则 ． 【答案】2.5或5.5 【分析】本题主要考查两点间的距离的知识点，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键． 分类讨论：点在线段上，点在线段的延长线上两种情况讨论，根据线段中点的定义和线段的和差计算的长度． 【详解】解：当点在线段上时，，为的中点， 故，； 当点在线段的延长线上时，，为的中点， 故，． 故答案为：2.5或5.5． 【变式1-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，点是线段的一个三等分点，点为线段的中点，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的中点和三等分点的性质，熟练掌握分情况讨论点的位置是解题的关键． 分点靠近点和靠近点两种情况，利用线段中点和三等分点的性质求解的长度． 【详解】解：情况一：当点靠近点时， ∵点为线段的中点，， ∴． 又∵点是线段的一个三等分点， ∴． 情况二：当点靠近点时， ∵点为线段的中点，， ∴． 又∵点是线段的一个三等分点， ∴． 故答案为：9或18． 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·期末）如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端C，D分别落在点A，B上，将木棒在数轴上水平移动，当的中点移动到点B时，点D 所对应的数为，当的四等分点（不含中点）移动到点A 时，点 C 所对应的数为，则木棒的长度为 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了数轴上的点坐标、线段的中点与四等分点的性质，以及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上点的位置关系与线段分割比例，以及通过建立方程求解几何问题是解题的关键．根据木棒移动时中点或四等分点与特定点重合的条件，设木棒长度为，利用长度建立方程，分两种情况讨论求解． 【详解】 解：如解图，设， 由题意可知，， 如解图①，当的左四等分点移动到点A时，此时， ∵点对应的数为，点对应的数为， ∴，解得， ∴； 如解图②，当的右四等分点移动到点A 时，此时， ∵点对应的数为，点对应的数为， ∴，解得， ∴． 综上所述，木棒的长度为4或． 【变式1-3】（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）长方形纸片上有一数轴，剪下16个单位长度（从到12）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 【答案】2或4或6 【分析】本题考查了数轴、线段的和差、一元一次方程的应用，运用分类讨论思想是解题的关键．设三条线段的长分别是，，，根据题意列出方程，求出，得到三条线段的长分别是4，4，8，再分3种情况讨论：①；②；③，画出示意图，利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵这三条线段的长度之比为， ∴设三条线段的长分别是，，， 由题意得，， 解得， ∴三条线段的长分别是4，4，8， ①当时， 则折痕处对应的点所表示的数是； ②当时， 则折痕处对应的点所表示的数是； ③当时， 则折痕处对应的点所表示的数是； ∴综上所述，折痕处对应的点所表示的数可能是2或4或6． 故答案为：2或4或6． 类型二、分类讨论思想在角的计算中的应用 一、解题方法总结（2点） 1.按位置分类，明确范围：根据角的平分线、射线等关键元素的位置，分“在角内部”“在角外部（两侧）”两类情况讨论，避免遗漏隐藏位置。 2.用性质列方程，逐类求解：借助角的和差、角平分线定义等性质，设未知角度为x，针对每类情况列方程计算，确保逻辑清晰。 二、解题技巧总结（2点） 1.画图标注，简化关系：每类情况绘制角的示意图，标注已知角、未知角及关键线，直观梳理角度间的数量关系，降低思考难度。 2.验证结果，排除错误：求解后对照图形和题意，排除角度为负、位置与假设矛盾的答案，保证解的合理性。 例2．（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）水平直线上顺次三点、、，以点为顶点在直线上方作，、分别平分和，则的度数是 ． 【答案】120°或60° 【分析】本题考查了角的和与差，解决本题的关键是根据的位置分两种情况考虑，情况一、当在左边时，根据求解即可；情况二、当在右边时，根据求解即可． 【详解】解：如下图所示， ，， ， 、分别平分和， ，， ， ； 如下图所示， ，， ， 、分别平分和， ，， ， ； 综上所述，的度数是或. 故答案为：或. 【变式2-1】（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）如图，已知为从顶点出发的射线，，且，射线平分．平面内有射线和射线，射线平分．若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算及角平分线，根据且，可得，根据角的和差关系可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，然后分在的内部和外部两种情况解答即可． 【详解】解：∵且， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， 当在的内部时，如图， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴； 当在的外部时，如图， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 综上所述，或． 故答案为：或． 【变式2-2】（24-25七年级下·广东江门·期中）如图1，点、、依次在直线上．现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度转动．直线保持不动，如图2．设转动时间为秒．转动过程中，当时，t的值为 ． 【答案】10或26/26或10 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算等知识， 分两种情况讨论：①当在左侧时②当在右侧时，分别求解，即可得到的值． 【详解】解：由题意可知，， ①如图，当在左侧时，此时， ∴， 解得：， ②如图，当在右侧时，此时 ∴， 解得：． 综上所述，当时，或26． 故答案为：10或26． 【变式2-3】（24-25七年级上·全国·单元测试）某同学设计了一个“魔法棒转不停”的程序，如图所示，点O，在直线上，第一步，绕点O顺时针旋转度至；第二步，绕点O顺时针旋转度至；第三步，绕点顺时针旋转度至，以此类推，在旋转过程中若碰到直线则立即绕点O反方向旋转．当时，则等于 度． 【答案】5或25 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平角的定义，角度的和差关系，解题的关键是理解题意，掌握角度的规律探索，注意运用分类讨论的思想进行分析． 根据题意，由旋转的性质和角度的变化规律，可对射线进行讨论分析：①未反弹；②反弹后落在之间；③反弹后落在之间；④反弹后落在之间；分别求出每一种情况的答案，并结合实际情况，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，可对射线进行讨论分析： ①未反弹时，如图： ∵， ∴， ∴； 此时，满足题意； ②反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ， 此时，不符合题意，舍去； ③反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ， ， 此时，成立； ④反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ∴，不合题意舍去； 综上所述，等于或． 故答案为：或． 类型三、整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 一、解题方法总结（2点） 1. 整体思想：化零为整：将待求线段和差视为整体，不单独求各线段长度，利用已知条件中线段的和、差、倍、分关系，直接代入整体计算。 2. 从特殊到一般：归纳规律：先取特殊值（如中点、等分点）或特殊位置，计算具体结果，再分析规律，推导出一般情况下线段和差的表达式。 二、解题技巧总结（2点） 1. 整体代换，简化运算：用字母表示整体线段，通过等式变形实现整体代换，避免复杂的分步计算，提高解题效率。 2. 特例切入，突破难点：遇复杂线段和差问题，先找特殊情况入手，总结方法后迁移到一般情况，降低思维难度。 例3．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）研究数学问题常常是从特殊走向一般．如图，点A、D、C、E、B在同一直线上，D是的中点，E是的中点．如果，那么是多少呢？ (1)若，点C是的中点，求的长；（请用几何符号语言规范地表达） (2)若点C是线段上任意一点，那么如何用含a的代数式表示？（请用几何符号语言规范地表达） 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了线段中点、线段的和差，掌握线段中点的定义以及线段和差关系是解题的关键． （1）根据线段中点的定义依次求出，，，的长度，然后根据线段的和差关系求解即可； （2）类似（1）求解即可． 【详解】（1）解：是的中点，， ， 是的中点， ， 是的中点， ， ； （2）解：是的中点， ， 是的中点， ， ． 【变式3-1】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）追本溯源：题（1）来自课本中的尝试·思考，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）在直线上顺次取三点，使得，．如果是线段的中点，那么线段和的长度分别是多少？ 方法应用 （2）①已知是线段上一点，，，是的中点，则___________； ②如图，是线段上一点，是的中点，是的中点，，求的长． 【答案】（1），；（2）2；（3） 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差． （1）根据线段的和差得出，再求出，即可得解； （2）①先求出线段的长，再根据线段中点计算即可得解； ②由线段的中点可得，再由线段的和差计算即可得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴； （2）①∵，， ∴， ∵是的中点， ∴； 故答案为：2； ②∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3-2】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段上，M、N分别是、的中点．若，，求的长． （1）根据题意，小明求得__________； （2）小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，点C是线段上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下两个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M、N分别是、的中点，求的长． ②如图2，M、N分别是，的一个三等分点，且，，则_______． 【答案】（1）6；（2）①；② 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算： （1）先求出，再根据线段中点的定义得到，则； （2）①根据线段中点的定义得到，则；②先求出，则． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵M、N分别是、的中点， ∴， ∴， 故答案为；6； （2）①∵M、N分别是、的中点， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级上·全国·期末）综合与探究： 问题情境：已知：，分别是线段，的中点． 初步探究：（1）如图（1），点在线段上，且，，求线段的长． 问题解决：（2）若为线段上任意一点，且，，求出线段的长（用含有，的代数式表示）． 类比应用：（3）若点在线段的延长线上，且，，请你画出图形，并直接写出线段的长（用含有，的代数式表示）． 拓展延伸：（4）已知：如图（2），为线段的中点，为线段的中点，为线段上任意一点，为线段的中点，，，请你直接写出线段的长（用含有，的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3），图见解析；（4） 【分析】本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．在不同的情况下，灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性，同时灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． （1）根据点、分别是、的中点，先求出、的长度，再利用即可求出的长度； （2）当为线段上一点，且、分别是、的中点，可表示线段、的长度，再利用，则存在； （3）点在的延长线上时，根据、分别是、中点，即可求出的长度； （4）根据，，得，根据中点的性质得，所以． 【详解】解：，点是的中点， ， ，点是的中点， ， ， 线段的长度为； ， 点，分别是线段，的中点． ，， ； 当点在线段的延长线时，如图： 得：； 为线段的中点，为线段的中点，， ∴，， ∵， ∴， ， ， ∴， 即． 类型四、整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 一、解题方法总结（2点） 1.整体思想：合并求解：将关联角的和或差视为一个整体，用字母表示（如设∠AOB+∠COD=α），避开单独求每个角，结合角的性质直接列等式计算。 2.从特殊到一般：归纳规律：先取特殊条件（如角平分线、直角）简化运算，得出具体结果，再推广到一般情况，提炼通用解题模型。 二、解题技巧总结（2点） 1.聚焦不变角，简化运算：识别题目中度数不变的角组合，优先作为整体代入，减少未知量，快速突破解题瓶颈。 2.分步推导，迁移方法：先解决特殊场景下的角和差，梳理思路后，逐步去除特殊条件，将方法迁移到一般情况，降低思维难度。 例3．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·实践探究 【从特殊到一般思想】如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． 【计算与观察】 (1)若，则___________；若，则___________； 【猜想与证明】 (2)猜想与的大小有何特殊关系？并说明理由； 【拓展与运用】 (3)若，求的度数． 【答案】(1)， (2)与互补，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了余角和补角、角的和差定义等知识点，灵活运用所学知识解决问题成为解题的关键． （1）根据角的和差定义计算即可； （2）利用角的和差定义计算即可； （3）利用（2）的结论计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ， ． ，， ， ． 故答案为：，． （2）解：与互补．理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴与互补． （3）解：∵， ∴，， ∵， ∴，解得． 【变式4-1】（24-25七年级上·广东河源·期末）【问题背景】 直线相交于点在的逆时针方向），的平分线在直线上． (1)【数学理解】 如图1，平分． ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． (2)【构建联系】 如图2，平分，若，求的度数（用含的代数式表示）． (3)【总结应用】 若，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（1）①先根据平角定义求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，然后利用对顶角相等得到，另一方面利用余角的定义求出，最后利用角的和差求解即可；②同①思路一致； （2）先利用平角和余角分别求出和，再利用角平分线的定义求出，最后利用角的和差求解即可； （3）从种情况，①当在外时，②当在内时，分别由（1）（2）结论求解即可． 【详解】（1）解：①， ， 平分， ， ， ， ， ； ②， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：，， ，， 平分， ， ； （3）解：①当在外时，如图1， 设， 由（1）知； ∵， ∴， ∴， ∴； ②当在内时，如图2， 由（2）可知， ， ，， ． 综上，的度数为或． 【变式4-2】（24-25七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师以直线上一点O为端点作射线，，，，使平分，平分，若，求的度数．    特例探究： （1）从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图2，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点O处，即当时，则的度数为______；（直接写出答案，不写过程） （2）受“兴趣小组”的启发，“智慧小组”将三角尺角的顶点放在点O处，即当时，请你在图3中求的度数； 数学思考： （3）请你在图1中，求的度数）（用含有的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）求得，利用角平分线的定义得，据此求解即可； （2）求得，利用角平分线的定义得，据此求解即可； （3）求得，利用角平分线的定义得求解即可． 【详解】解：（1）因为，所以， 因为平分，平分， 所以，， 所以 ； 故答案为：； （2）因为，所以， 因为平分，ON平分， 所以，， 所以 ； （3）因为，所以， 因为平分，平分， 所以，， 所以 ． 【点睛】本题考查角度计算，涉及角平分线的定义，解题的关键是根据题意得到． 【变式4-3】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）同一平面内，将三角板的直角顶点落在直线上，三角板可绕点顺时针旋转，射线平分，设（）． 【特例感知】 （）时，的度数为 ； （）时，的度数为 ； （）如图，时，的度数为 ．（用含的代数式表示）； 【深入探究】 （）如图，时，与之间有怎样的数量关系． 解∶因为，所以， 因为平分，所以∠， 请根据提示，接着完成探究过程∶ ． 【结论应用】 （）如图，同一平面内，将三角板的一条直角边放在直线上，将三角板绕直角顶点以每秒的速度逆时针旋转秒（），平分，平分，当旋转时间为多少秒时，． 【答案】（）；（）；（）；（），补充见解析；（） 【分析】（）平角定义得，进而由角平分线的定义得，再由平角定义得，最后根据角的和差关系即可求解； （）由角的和差可得，进而由角平分线的定义得，最后根据平角定义即可求解； （）同理（）解答即可求解； （）根据题意完成解答过程即可； （）由题意得，进而由特例感知可得，又由角平分线的定义得，即得，最后根据列出方程即可求解； 本题考查了角平分线的定义，角的和差，一元一次方程的应用，正确识图是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （）因为， 所以， 因为平分， 所以∠， 因为， 所以， 所以； （）由题意得，， 又由特例感知可得，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知线段，点C在直线AB上，且线段，则线段AC的长为（   ） A．1 B．9 C．1或9 D．2或8 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 分类讨论：在线段上，在线段的延长线上，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：当在线段上时，； 当在线段的延长线上时，． 综上所述：的长度为或． 故选：C． 2．（24-25七年级上·辽宁·期末）已知线段，点是的三等分点，点是的中点，则的长为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点间距离，解决问题的关键是分类讨论，画出相应的图形进行计算．分两种情况进行讨论，分别依据点是线段的三等分点，点是线段的中点，即可得到线段的长． 【详解】解：如图，当时， ∵点是的中点， ∴的长为 如图，当时， ∵点是的中点， ∴的长为 故选：B． 3．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）已知，平分，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的定义，几何图形中角的计算． 熟练掌握角平分线的定义，角的和差倍分关系，根据题意画出图形，分类讨论，是解题的关键． 分两种情况进行讨论，①在的外部，②在的内部，继而根据角平分线的定义分别运算即可得出答案． 【详解】解：∵，平分， ∴， 当在的外部时，如图所示： ∵， ∴； 当在的内部时，如图所示： ； ∴C正确． 故选：C． 4．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）已知具有公共顶点O的与，，则的度数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了角的计算，借助图形分析是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．分两种情况，射线在内，射线在外． 【详解】解：分两种情况： 当射线在内，如图： ， ， ； 当射线在外，如图： ， ， ； 综上所述：的度数为或． 故选：D 5．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 二、填空题 6．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）线段，点C在直线上，且，点M为的中点，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算．分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别画出图形，讨论求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如图1所示：点C在线段的延长线上， ∵，， ∴，则， ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴； ②如图2，点C在线段上， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵为BC中点， ∴， ∴， 综上可知：的长为：或， 故答案为：或 7．（24-25七年级上·江西赣州·期末）已知，是的平分线，，是的平分线，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，先根据角平分线的定义得出，，再分当在内部时，当在外部时两种情况，结合角平分线定义及各角之间的数量关系得出答案，弄清各角之间的数量关系是解题的关键． 【详解】解：当在内部时，如图， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， 当在外部时，如图， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， 故答案为：或． 8．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知直线上有、、三点，其中，，、分别是、的中点，则线段的长为 ． 【答案】8或2 【分析】本题考查了两点间的距离，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解题的关键．分类讨论：当点C在线段的延长线上时，当点C在线段之间时，利用线段的中点公式及两点的距离公式即可求解． 【详解】解：当点C在线段的延长线上时，如图： ，且M、N分别是的中点， ， ， 当点C在线段之间时，如图： ，且M、N分别是的中点， ， 综上所述，的长是8或2， 故答案为：8或2． 9．（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图，已知，是的三等分线，射线在内部，且，则的大小等于 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了角的和差计算，理解图示，掌握角的三等分线的定义，角和差计算方法是解题的关键． 根据题意，分类讨论，数形结合分析即可求解． 【详解】解：∵，是的三等分线， ∴每一份是， 如图所示，， ∴； 如图所示，， ∴； 如图所示，， ∴， ∴； 如图所示，， ∴， ∴； 故答案为：或或 ． 10．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点连续这样操作2024次，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段规律性问题，线段中点的有关计算，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：是和的中点， ， 是和的中点， ， 是和的中点， ， ， 发现规律：， 当时，， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，点是线段上一点，，，点是的中点． (1)求的长． (2)已知点在线段上，且，求的长． 【答案】(1) (2)的长为或 【分析】本题考查了线段的和差、与线段中点有关的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，由线段的中点得出，再由计算即可得解； （2）由题意可得，再分两种情况：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别计算即可得解． 【详解】（1）解：∵点是线段上一点，，， ∴， ∵点是的中点 ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴当点在点左侧时，， 当点在点右侧时，， 综上所述，的长为或． 12．（2025七年级上·全国·专题练习）O是直线AC上一点．已知射线OB，OD是不与OC重合的两条射线，且射线OB，OD在直线AC的同一侧，与互为补角，OE平分． (1)如下图，若，则的度数为________，的度数为________． (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）用互补算出，通过平分求得，然后用减法计算即可； （2）分情况讨论，在的内部和外部两种情况，根据（1）的方法计算即可． 【详解】（1）解：∵与互为补角， ∴． ∵平分 ∴， ． 故答案为：，； （2）解：设，则． 因为OE平分， 所以． 分以下两种情况讨论： ①当射线OE在的外部时（如图①）， ． 因为， 所以， 解得，即； ②当射线OE在的内部时（如图②）， ． 因为， 所以，解得，即． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查的是余角、补角和角平分线，解题的关键是掌握余角、补角和角平分线之间两角的数量关系． 13．（24-25七年级下·云南昆明·开学考试）如图，点C在线段上，点M、N分别是线段的中点． (1)若，求线段的长度； (2)若，其他条件不变，请猜想线段的长度，并说明理由； 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查的是线段的和差，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键． （1）由中点的性质得，，根据可得答案； （2）由中点的性质得，，根据可得答案． 【详解】（1）解：， ， 点，分别是，的中点， ，， ； （2）解：，理由如下： 、分别是、的中点， ，， ， ． 14．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，C为线段上一点，B为线段的中点，且． (1)图中共有 条线段； (2)求线段的长； (3)若点E在直线上，且，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段两点间的距离，线段中点的有关计算，直线、射线、线段，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据图形，即可解答； （2）先利用线段中点的定义可得，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （3）分两种情况：当点E在线段的延长线上时；当点E在线段上时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：图中共有6条线段，分别是：， 故答案为：6； （2）点B为的中点，， ， ， ， 的长为； （3）分两种情况： 当点E在线段的延长线上时，如图： ， ； 当点E在线段上时，如图： ， ； 综上所述：的长为或． 15．（24-25七年级下·江西赣州·期末）【课本原型】 （1）如图（1），点、、在同一条直线上，射线和射线分别平分和．则______°． 【拓展与延伸】 （2）如图（2），点、、不在同一条直线上，射线和射线分别平分和． ①若，求的度数； ②若，则的度数为______． 【答案】（1）；（2）①；②． 【分析】本题考查了角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义及角的和差即可得出答案； （2）根据角平分线的定义及角的和差得到与的数量关系，即可得出①②答案 【详解】（1）解： 射线和射线分别平分和 ， 故答案为：； （2）射线和射线分别平分和 ， ①若，则； ②若，则， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·山东济宁·期末）如图，点在线段上，点，分别是，的中点． (1)若，求线段的长； (2)在其他条件不变前提下，若点为线段上任意一点（不与点重合），且满足，猜想线段的长．请直接写出结论，不必说明理由． (3)若点在线段的延长线上（不与点重合），且满足，点，分别是，的中点，猜想线段的长．请画出图形，写出你猜想的结论，并说明理由． 【答案】(1)13 (2) (3)，图及理由见解析 【分析】本题考查了线段中点的有关计算； （1）由线段的中点得，，由线段的和差得，即可求解； （2）由线段的中点得，，由线段的和差得，即可求解； （3）由线段的中点得，，由线段的和差得，即可求解； 能熟练利用线段的中点及线段的和差进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：点，分别是，的中点， ， ， ； （2）解：； 理由如下： 点，分别是，的中点， ， ， ； （3）解：如图， ； 理由如下： 点，分别是，的中点， ， ， ． 17．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师以直线上一点O为端点作射线，，，，使平分，平分，若，求的度数．    特例探究： （1）从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图2，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点O处，即当时，则的度数为______；（直接写出答案，不写过程） （2）受“兴趣小组”的启发，“智慧小组”将三角尺角的顶点放在点O处，即当时，请你在图3中求的度数； 数学思考： （3）请你在图1中，求的度数）（用含有的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）求得，利用角平分线的定义得，据此求解即可； （2）求得，利用角平分线的定义得，据此求解即可； （3）求得，利用角平分线的定义得求解即可． 【详解】解：（1）因为，所以， 因为平分，平分， 所以，， 所以 ； 故答案为：； （2）因为，所以， 因为平分，ON平分， 所以，， 所以 ； （3）因为，所以， 因为平分，平分， 所以，， 所以 ． 【点睛】本题考查角度计算，涉及角平分线的定义，解题的关键是根据题意得到． 18．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）【新知理解】 如图①，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． （1）下列说法正确的有 ． ①若点C是线段的中点，则点C是的巧点； ②若点D在线段上，且，则点D是的巧点． （2）已知点C，D都是线段的巧点，且点C是线段的中点，，，求线段的长； 【解决问题】 （3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？请你说明理由． 【答案】（1）①②；（2）；（3）当t为，3，， ，s时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点 【分析】本题主要考查了新定义、线段的和差、一元一次方程的应用等知识点，正确理解“巧点”的定义是题的关键． （1）根据“巧点”的定义判断即可； （2）由题意得，故有； （3）用t表示线段长，分类讨论哪一个点事巧点，再利用“巧点”的定义列方程求解即可． 【详解】解：①∵点C是线段的中点， ∴， ∴点C是的巧点，①正确； ②∵点D在线段上，且， ∴， ∴点D是的巧点，②正确． 故答案为：①②． （2）∵，点C是线段的中点， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴线段的长为． （3）t秒后，， ①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除． ②当P为A、Q的巧点时， Ⅰ．，即，解得； Ⅱ．，即，解得； Ⅲ．，即，解得； ③当Q为A、P的巧点时， Ⅰ．，即，解得（舍去）； Ⅱ．，即，解得；． Ⅲ．，即，解得． 综上所述，当t为，3，，，时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点． 19．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）【实验操作】 如图①，把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中． （1） 填空： ； （2）如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒． ①当时， ； ②当t为何值时，？ 【拓展延伸】 （3）如图③，在（2）的条件下，若平分，平分．请问在三角板旋转的过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数． 【答案】（1）75；（2）①；②；（3）不变， 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关角的度数． （1）把，，代入计算即得；（2）①把代入计算即得答案；②由，得，解方程即得； （3）根据角平分线定义得，，代入计算即得 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为：75； （2）①当时，， 故答案为：69； ②由题意得，，则， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴当t为时，； （3）的度数不会发生变化，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ， ∴ ， ∴的度数不会发生变化，它的度数为． 20．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图1，已知射线，，，． (1)若，是的平分线，是的平分线，则___________． (2)若，，分别是和的平分线，，求的度数． (3)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． ①若平分，且为的“分余线”，则___________； ②如图2，，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数． 【答案】(1)75 (2) (3)①60；②或 【分析】本题考查了角平分线定义，互为余角的概念，角的和差计算，以及新定义的“分余线”的应用，熟练掌握相关知识，对新定义的理解和正确应用是解题的关键． （1）利用角平分线的定义与角的和差进行计算； （2）设，可得则，，，利用角平分线的定义和列方程求解； （3）①根据新定义，结合角平分线的定义求解；②设，根据角平分线的定义和 为的“分余线”，列方程求解． 【详解】（1）是的平分线，， ， 是的平分线， ， ． （2）如图1， 设，则， 若，则，，， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ， ，解得， ． （3）①平分， ， 为的“分余线”， 或， 又， ， 解得． ②设，则， 在的内部作射线，使， ， 为的平分线， ， ， 当为的“分余线”时，或， 或， 解得或， 或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题13线段与角计算问题中涉及数学思想方法的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、分类讨论思想在线段的计算中的应用 类型二、分类讨论思想在角的计算中的应用 类型三、整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 类型四、整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 压轴专练 典例详解 类型一、分类讨论思想在线段的计算中的应用 、 解题方法总结(2点) 1.定范围，分情况：先明确线段上的动点、分点等关键元素的位置范围，再按“在线段上”“在线段延长 线（正向/反向）上”两类核心情况拆分，避免漏解。 2.设变量，列等式：设未知线段长度为未知数（如x),结合线段和差、中点性质等条件列方程，每类情 况单独求解，最后验证结果是否符合所设范围。 二、解题技巧总结(2点) 1.画图辅助，直观分析：每类情况对应绘制简易线段图，标注己知长度和未知量，快速理清线段间的数 量关系，减少逻辑混乱。 2.检验结果，排除矛盾：求解后对照图形和题意，排除长度为负、位置与假设冲突的错误答案，确保每 类解的合理性。 例1.(25-26七年级上辽宁.期中)已知线段AB=4cm,点C在直线AB上，且BC=3cm,当P为线段BC 的中点，则AP= cm 【变式1-1】(24-25七年级上黑龙江哈尔滨·开学考试)已知，点C是线段AB的一个三等分点，点D为线 段BC的中点，若CD=3,则AB= 【变式1-2】(25-26七年级上全国期末)如图，有一根木棒CD放置在数轴上，它的两端C,D分别落在 点A,B上，将木棒在数轴上水平移动，当CD的中点移动到点B时，点D所对应的数为-2，当CD的四 等分点（不含中点）移动到点A时，点C所对应的数为-9，则木棒CD的长度为 D 0 1/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1-3】(25-26七年级上河南郑州阶段练习)长方形纸片上有一数轴，剪下16个单位长度（从-4到 12)的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）.若这 三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 折痕 剪断处 类型二、分类讨论思想在角的计算中的应用 “、 解题方法总结(2点) 1.按位置分类，明确范围：根据角的平分线、射线等关键元素的位置，分“在角内部”“在角外部（两侧） 两类情况讨论，避免遗漏隐藏位置。 2.用性质列方程，逐类求解：借助角的和差、角平分线定义等性质，设未知角度为x,针对每类情况列方 程计算，确保逻辑清晰。 二、解题技巧总结(2点) 1.画图标注，简化关系：每类情况绘制角的示意图，标注己知角、未知角及关键线，直观梳理角度间的 数量关系，降低思考难度。 2.验证结果，排除错误：求解后对照图形和题意，排除角度为负、位置与假设矛盾的答案，保证解的合 理性。 例2.(24-25八年级下·辽宁铁岭阶段练习)水平直线上顺次三点A、0、B,以0点为顶点在直线上方作 ∠C0D=60°，OM、ON分别平分∠AOC和∠BOD,则∠MON的度数是 【变式2-1】(24-25七年级上湖南永州阶段练习)如图，己知0C为从∠A0B顶点出发的射线， ∠AOB=5∠BOC,且∠AOB=120°，射线OM平分∠AOC.平面内有射线0D和射线ON,射线ON平分 ∠BOD.若∠M0N=18°，则∠A0D=」 M 【变式2-2】(24-25七年级下·广东江门期中)如图1，点A、0、B依次在直线MN上.现将射线OA绕点 O沿顺时针方向以每秒4°的速度转动，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度转动.直线MN保 持不动，如图2.设转动时间为t秒0≤1≤30.转动过程中，当∠A0B=80°时，t的值为」 2/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B M A 0 B N M 图1 图2 【变式2-3】(24-25七年级上全国·单元测试)某同学设计了一个“魔法棒转不停”的程序，如图所示，点O, A在直线MN上，第一步，OA,绕点O顺时针旋转度(0°<<30)至OA,;第二步，OA,绕点O顺时针旋 转2a度至OA,；第三步，OA,绕点O顺时针旋转3α度至OA,,以此类推，在旋转过程中若碰到直线MN则 立即绕点O反方向旋转.当∠A,0A,=35°时，则a等于度. 类型三、整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 一、解题方法总结(2点) 1,整体思想：化零为整：将待求线段和差视为整体，不单独求各线段长度，利用已知条件中线段的和、 差、倍、分关系，直接代入整体计算。 2.从特殊到一般：归纳规律：先取特殊值（如中点、等分点）或特殊位置，计算具体结果，再分析规律， 推导出一般情况下线段和差的表达式。 二、解题技巧总结(2点) 1.整体代换，简化运算：用字母表示整体线段，通过等式变形实现整体代换，避免复杂的分步计算，提 高解题效率。 2.特例切入，突破难点：遇复杂线段和差问题，先找特殊情况入手，总结方法后迁移到一般情况，降低 思维难度。 例3.(24-25七年级上·江苏扬州期末)研究数学问题常常是从特殊走向一般.如图，点A、D、C、E、B 在同一直线上，D是AC的中点，E是CB的中点.如果AB=a,那么DE是多少呢？ A D (I)若AB=20,点C是AB的中点，求DE的长；（请用几何符号语言规范地表达）》 (2)若点C是线段AB上任意一点，那么DE如何用含a的代数式表示？（请用几何符号语言规范地表达） 【变式3-1】(24-25七年级上陕西咸阳阶段练习)追本溯源：题(1)来自课本中的尝试思考，请你完成 解答，提炼方法并完成题(2). 3/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)在直线1上顺次取A,B,C三点，使得AB=4cm,BC=3cm·如果O是线段AC的中点，那么线段AC和 OB的长度分别是多少？ 方法应用 (2)①己知C是线段AB上一点，AB=7cm,BC=3cm,M是AC的中点，则MC= cm; ②如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点，AB=I2cm,求MN的长 AM C B 【变式3-2】(23-24七年级上·河南南阳·阶段练习)小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了 探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M、N分别是AC、BC的中点.若AB=12,AC=8,求MN的长 A M C N B 图1 (1)根据题意，小明求得MN= (2)小明在求解(1)的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开 始深入探究： 设AB=a,点C是线段AB上任意一点（不与点A,B重合），小明提出了如下两个问题，请你帮助小明解答， ①如图1，M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长. ②如图2，M、N分别是AC,BC的一个三等分点，且AM=;AC,BN=BC,则MN= 3 A M C N B 图2 【变式3-3】(24-25七年级上全国期末)综合与探究： 问题情境：己知：M,N分别是线段AC,BC的中点 A M C N B A D C E M B (1) (2) 初步探究：(1)如图(1)，点C在线段AB上，且AC=9,BC=6,求线段MN的长， 问题解决：(2)若C为线段AB上任意一点，且AC=a,CB=b,求出线段MN的长（用含有a,b的代数 式表示). 类比应用：(3)若点C在线段AB的延长线上，且AC=a,CB=b,请你画出图形，并直接写出线段MN的 长（用含有a,b的代数式表示）. 4/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 拓展延伸：(4)已知：如图(2)，C为线段AB的中点，D为线段AC的中点，E为线段BC上任意一点， M为线段EB的中点，DM=m,CE=n,请你直接写出线段AB的长（用含有m,的代数式表示）， 类型四、整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 “、 解题方法总结(2点) 1.整体思想：合并求解：将关联角的和或差视为一个整体，用字母表示（如设∠AOB+∠COD=a),避开 单独求每个角，结合角的性质直接列等式计算。 2.从特殊到一般：归纳规律：先取特殊条件（如角平分线、直角）简化运算，得出具体结果，再推广到 般情况，提炼通用解题模型。 二、解题技巧总结(2点) 1.聚焦不变角，简化运算：识别题目中度数不变的角组合，优先作为整体代入，减少未知量，快速突破 解题瓶颈。 2.分步推导，迁移方法：先解决特殊场景下的角和差，梳理思路后，逐步去除特殊条件，将方法迁移到 般情况，降低思维难度。 例3.（2024七年级上·全国·专题练习)学习情境实践探究 【从特殊到一般思想】如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起 B 【计算与观察】 (I)若∠DCE=45°，则∠ACB= 若∠ACB=130°，则∠DCE= 【猜想与证明】 (2)猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由； 【拓展与运用】 (3)若∠DCE:∠ACB=4:5,求∠DCE的度数 【变式4-1】(24-25七年级上·广东河源·期末)【问题背景】 直线EF,CD相交于点O,∠AOB=90(OB在OA的逆时针90°方向)，∠A0F的平分线在直线CD上. 5/13 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B 图1 图2 (1)【数学理解】 如图1,0C平分∠A0F. ①若LA0E=50°，求∠BOD的度数； ②若∠AOE=a,请直接写出∠BOD的度数（用含a的代数式表示）. (2)【构建联系】 如图2，OD平分∠AOF,若∠AOE=B,求∠BOD的度数（用含B的代数式表示). (3)【总结应用】 若∠BOD=20°，请直接写出∠DOE的度数 【变式4-2】(24-25七年级上山西吕梁期末)综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师以直线AB上一点O为端点作射线0C,OD,OM,ON,使OM平分∠AOC,ON平 分∠BOD,若LCOD=a,求∠MOC+∠D0N的度数. 图1 图2 图3 特例探究： (1)从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图2，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点O处，即当 LC0D=90°时，则LM0C+∠D0N的度数为；直接写出答案，不写过程) (2)受“兴趣小组”的启发，“智慧小组”将三角尺60°角的顶点放在点O处，即当∠C0D=60°时，请你在图 3中求∠MOC+∠DON的度数； 数学思考： 6/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)请你在图1中，求LM0C+∠D0N的度数)（用含有a的式子表示）. 【变式4-3】(24-25七年级上·江苏盐城期末)同一平面内，将三角板C0D的直角顶点0落在直线AB上， 三角板可绕点0顺时针旋转，射线OE平分∠B0C,设∠A0C=a(0°<a<180°). 图 图3 备用图 【特例感知】 (1)∠A0C=80°时，∠D0E的度数为_： (2)∠D0E=35°时，∠A0C的度数为_： (3)如图1,0°<a<90°时，∠D0E的度数为_·（用含a的代数式表示）； 【深入探究】 (4)如图2,90°<M<180°时，∠A0C与∠D0E之间有怎样的数量关系. 解：因为∠A0C=a,所以∠B0C=180°-a, 因为OE平分∠B0C,所以∠C0E=180°-a, 请根据提示，接着完成探究过程：-， 【结论应用】 (5)如图3，同一平面内，将三角板FOG的一条直角边0F放在直线AB上，将三角板FOG绕直角顶点O 以每秒3°的速度逆时针旋转t秒(0<1<60)，OH平分∠A0F,OK平分∠F0G,当旋转时间t为多少秒时， ∠HOK=∠FOG. 3 7/13 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 物章 压轴专练 一、单选题 1.(25-26七年级上·全国·课后作业)已知线段AB=5,点C在直线AB上，且线段BC=4,则线段AC的 长为() A.1 B.9 C.1或9 D.2或8 2.(24-25七年级上辽宁.期末)已知线段AB=12cm,点C是AB的三等分点，点M是AC的中点，则CM 的长为() A.3cm或1cm B.4cm或2cm C.4cm D.2cm 3.(23-24七年级下·陕西汉中·期末)已知∠A0B=40°，0D平分∠A0B,∠B0C=60°，则∠D0C的度数 为() A.20° B.35° C.40°或80° D.35°或65 4.(24-25七年级上河南周口阶段练习)己知具有公共顶点O的∠A0B与∠B0C, ∠A0B=2LB0C=100°，则∠A0C的度数为() A.150° B.100° C.50° D.50°或150° 5.(24-25七年级上·浙江湖州期末)定义：从∠A0B的顶点出发，在角的内部引一条射线0C,把∠A0B 分成1：2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线.若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线 O0是∠MOP的三等分线，设∠MOQ=x,则∠MON用含x的代数式表示为() A. 度碳子B.子或或9：c子或号碳：D.3政号碳0： 9 二、填空题 6.(24-25七年级下黑龙江绥化期末)线段4B=18cm,点C在直线AB上，且AC=号BC,点M为BC的 中点，则AM的长为 7.(24-25七年级上·江西赣州·期末)已知∠A0B=80°，OM是∠A0B的平分线，∠BOC=20°，ON是 ∠BOC的平分线，则∠MON的度数为一 8.(24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习)己知直线1上有A、B、C三点，其中AB=10,BC=6,M、 N分别是AB、BC的中点，则线段MN的长为 9.(24-25七年级上·江西南昌·期末)如图，己知∠A0B=120°，0C是∠A0B的三等分线，射线0D在 8/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠A0B内部，且LC0D=20°，则∠BOD的大小等于°. 10.(24-25七年级上江苏扬州阶段练习)如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=5,第一次操 作：分别取线段AM和AN的中点M,N；第二次操作：分别取线段AM,和AN的中点M,N2;第三次操 作：分别取线段AM,和AN2的中点M,N,…连续这样操作2024次，则线段Mo24N2o24的长度为一 N3.N2 N A M3 M2 M 三、解答题 1山，(2425七年级上浙江杭州期未)如图，点C是线段AB上一点，AC=12,CB=写4C,点D是4C的 中点 L A DE C B (I)求DB的长. ②)已知点E在线段AB上，且DE=DB,求BE的长。 12.(2025七年级上·全国，专题练习)O是直线AC上一点.已知射线OB,OD是不与OC重合的两条射线， 且射线OB,OD在直线AC的同一侧，∠AOB与∠BOD互为补角，OE平分∠AOB. 0 (1)如下图，若LA0B=150°，则LA0D的度数为，∠D0E的度数为 (2)若∠D0E=30°，求∠A0B的度数. 13.(24-25七年级下·云南昆明·开学考试)如图，点C在线段AB上，点M、N分别是线段AC、BC的中点. (①若CV=}AB=2cm,求线段MN的长度： 5 9/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若AC+BC=acm,其他条件不变，请猜想线段MN的长度，并说明理由； 14.(24-25七年级上江苏扬州阶段练习)如图，C为线段AD上一点，B为线段CD的中点，且 AD =15cm,BC =3cm C B D 备用图 (1)图中共有_条线段： (2)求线段AC的长： (3)若点E在直线AD上，且EA=4cm,求线段CE的长. 15.(24-25七年级下·江西赣州期末)【课本原型】 (1)如图(1)，点A、O、B在同一条直线上，射线0D和射线OE分别平分∠A0C和∠B0C.则 ∠D0E=°. 【拓展与延伸】 (2)如图(2)，点A、O、B不在同一条直线上，射线0D和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC. ①若∠AOB=120,求∠D0E的度数； ②若LAOB=a,则LDOE的度数为 B 图(1) 图(2) 16.(24-25七年级上山东济宁.期末)如图，点C在线段AB上，点D,E分别是AC,BC的中点. C E B B 备用图 (1)若AC=16,CB=10求线段DE的长： (2)在其他条件不变前提下，若点C为线段AB上任意一点（不与点A,B重合），且满足AC+CB=m,猜想 线段DE的长.请直接写出结论，不必说明理由. (3)若点C在线段AB的延长线上（不与点B重合），且满足AC-BC=n,点D,E分别是AC,BC的中点， 猜想线段DE的长，请画出图形，写出你猜想的结论，并说明理由， 17.(24-25七年级上山西吕梁期末)综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师以直线AB上一点O为端点作射线OC,OD,OM,ON,使OM平分∠AOC,ON平 10/13