专题6.1 直线、射线、线段（高效培优讲义）数学苏科版2024七年级上册

专题6.1 直线、射线、线段 教学目标 1.牢记直线、射线、线段的定义、端点情况、表示法等基础知识。 2.会准确画出直线、射线、线段，能进行简单的线段长度计算与比较，解决相关几何问题。 3.感受几何图形的基本构成元素的魅力，培养对几何学习的兴趣与严谨态度。 教学重难点 1.重点 （1）掌握直线、射线、线段的定义； （2）掌握直线、射线、线段的画法； （3）掌握线段的中点有关计算。 2.难点 （1）掌握直线、射线、线段的联系与区别； （2）掌握线段中的动点问题。 知识点01 直线 1.直线：把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线. 直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述； 直线没有端点，可以向两端无限延伸，不可度量. 2.直线的表示方法： （1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)； （2）直线也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线a. 3.直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线. 4.点与直线的位置关系 （1）点在直线上，如图1所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A； （2）点在直线外，如图2，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B. 知识点02 射线 1.射线的概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点. 2.射线的特点：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长，可以向一个方向无限延伸. 3.射线的表示方法： （1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图1所示，可记为射线AB； （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，也可记为射线a. 在用两个大写字母表示射线时，两个字母的顺序不能写反了，首字母表示射线的端点；端点不同，所表示的射线也不同. 若一条直线上有n个点，则有2n条射线，其中有（2n－2）条射线可以用表示这些点的字母表示出来. 知识点03 线段 1.线段：直线上两点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点. 2.线段的特征：有两个端点，有长度，无方向. 3.线段的表示方法： （1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA； （2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图2所示，记作：线段a. 4.线段基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短. 5.线段没有方向，但线段的延长线和反向延长线是有方向的，如“线段AB的延长线”和“线段BA的延长线”表示的方向是不同的.（延长线一般用虚线）. 6.线段的中点：如图所示，点C把线段AB分成两条相等的线段AC和CB，点C就叫做线段AB的中点. （1）线段的中点只有一个，且线段的中点一定在这条线段上； （2）若点C是线段AB的中点，则AC＝BC，；反过来，若AC＝BC，则点C不一定是线段AB的中点（点C可能在线段AB外）. 7.线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图形 表示方法 线段AB或线段BA或线段a 射线AB或射线a 直线AB或直线BA或直线a 端点个数 2 1 0 延伸情况 不能延伸 向一方无限延伸 向两方无限延伸 度量情况 能度量 不能度量 不能度量 联系 射线和线段都是直线的一部分，线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为了直线，射线向反方向无限延伸就成为直线 【即学即练】 1．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点O在线段的延长线上 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）下列说法正确的是（   ） A．直线与直线不是同一条直线 B．射线与射线是同一条射线 C．延长线段和延长线段的含义一样 D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 3．在学习《线段、射线、直线》时，小明通过画图尝试，发现了如下的规律： 图形 直线上点的个数 共有射线条数    1 2    2 4    3 6 … … … (1)当直线上点的个数为4时，共有射线的条数为________； (2)若一条直线上共有20条射线时，请你求出该直线上点的个数． 知识点04 线段的基本事实及两点之间的距离 1. 线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短（两点之间，线段最短）. 2. 两点之间的距离：两点之间线段的长度叫作两点之间的距离. 【即学即练】 4．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，已知点为线段上一点，，，点、分别为线段、的中点， (1)求线段的长； (2)求线段的长． 知识点05 线段的画法及长短比较 1.尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 2.画一条线段等于已知线段 （1）可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段； （2）如图所示，先用直尺画一条射线，再用圆规在射线上截取一条线段使其等于已知线段. 3.线段长短的比较 （1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短； （2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短. 【即学即练】 5．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，已知线段a、b、c，用圆规和无刻度的直尺画线段，使它等于．（只需画图，不要求写画法） 知识点06 线段的中点 如果一个点把一条线段分成两条相等的线段，那么这个点叫作这条线段的中点. 如图所示，如果点C是线段AB的中点，那么或. 【即学即练】 6．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，线段，点C是的中点，点D是的中点，E是的中点， (1)求线段的长， (2)求线段 的长． 题型01 直线、线段、射线的数量问题 1．一条直线上有个点，则以这个点为端点的射线共有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 2．平面上有四个点，且任何三点都不在同一条直线上，那么过每两点作一条直线，最多可以作（    ）． A．8条 B．6条 C．5条 D．1条 3．在线段之间加入了7个点，则共增加了 条线段． 4．如图，点，，在直线上，则图中有 条线段， 条射线，有 条直线． 5．高铁出行，方便快捷．为保证雄安、保定、石家庄、邢台、邯郸每两个城市之间都有高铁可乘，需要印制多少种不同的火车票？ 题型02 直线相交的交点个数问题 6．下列说法错误的是（    ）． A．经过一点的直线有无数条 B．经过两点的直线只有一条 C．一条直线上只有两个点 D．两条直线相交，只有一个交点 7．平面上互不重合的三条直线相互间的交点个数是（   ） A．3 B．1或3 C．1或2或3 D．0或1或2或3 8．我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，……10条直线两两相交最多能有（   ） A．28 B．36 C．45 D．55 9．平面内三条直线两两相交，最多有m个交点，最少有n个交点，则 ． 10．平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？ 题型03 线段的应用 11．生活中，我们可以用身体中的“尺子”来估计长度，其中一拃是张开的大拇指尖和中指尖之间的最大距离（如图所示）． 以下估计正确的是（    ） A．一支水笔的长度约1拃 B．课桌的高度约2拃 C．黑板的长度约3拃 D．试卷的宽度约6拃 12．兰州市某公交线路上共设6个车站，则在这条线路上往返行车需要设计车票价有（    ） A．25种 B．15种 C．30种 D．21种 则线段的总条数是， 因为要有往返车票，即两点之间是两种车票，所以应设计（种）． 故选：C． 13．如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（    ）种车票，共有（    ）种票价．    A．； B．； C．； D．； 14．如图（一），为一条拉直的细线，两点在上，且，．若先固定点，将折向，使得重叠在上，如图（二），再从图（二）的点及与点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为 ． 15．2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票． 题型04 直线、射线、线段的联系与区别 16．如图，A，B在直线l上，下列说法错误的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线是同一条直线 C．线段和线段是同一条线段 D．图中以点A为端点的射线有两条 17．如图，下列说法错误的是（    ）． A．图中共有2条线段 B．直线与直线表示的是同一条直线 C．射线与射线表示的是同一条射线 D．线段与线段表示的是同一条线段 18．观察图形，下列说法正确的个数是（   ） （1）直线和直线是同一条直线；（2）射线和射线是同一条射线；（3）线段和线段是同一条线段． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 19．观察图形，下列说法正确的有 个． 直线和直线是同一条直线； 线段和线段是两条不同的线段； 射线和射线是同一条射线． 20．学习情境·学科内融合已知数轴上的原点为O点，点A表示3，点B表示，回答下列问题．    (1)数轴在原点左边的部分（包括原点）是一条什么线？怎么表示？ (2)射线上的点表示什么数？ (3)数轴上表示不大于3，且不小于的数的部分是什么图形？怎么表示？ 题型05 画出直线、射线、线段 21．如图，在同一平面内有四个点，请按要求完成下列问题．（请用直尺和圆规作图，不写作图步骤，保留作图痕迹，作图时先使用铅笔画出，确定后再用黑色字迹的签字笔描黑） (1)作直线； (2)作射线，在射线上作线段，使线段； (3)分别连接、； (4)______（填“”、“”或“”），理由：______． 22．已知，如图在平面内有A、B、C、D四点，根据下列语句画出图形． (1)画直线、线段、射线； (2)在线段上任取一点E（不同于点B，C）连接，； (3)数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 23．在图中有A，B，C，D四个点，请按下列语句画图并填空： (1)画射线． (2)画线段和，它们相交于O． (3)画直线，连接和． (4)此时，图中共有线段________条，射线________条，直线________条． 24．如图，已知平面上不共线的三点A，B，C，请按如下要求尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)画直线，射线，线段； (2)在射线上作一点D，使得； (3)比较大小： ． 25．如图，在平面内有、、三点．按下列步骤作图： （1）画直线、线段、射线； （2）取线段的中点D，连接； （3）延长线段到，使． 题型06 点与线的位置关系 26．如图，平面上有四个点，根据下列语句画图： (1)画射线； (2)作直线； (3)画线段； (4)找到一点，使点到、、、四点距离之和最短． 27．如图，下面说法中错误的是（   ）    A．点B在直线上 B．点A在直线外 C．点C在线段上 D．点M在线段上 28．下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．延长线段到C B．射线经过点A C．直线a与直线b相交于点P D．射线与线段没有交点 29．如图，下列表述点与直线关系的语句：①点A在直线外；②直线m和n相交于点C；③点B既在直线l上又在直线m上．其中正确的是 （直接填写序号）． 30．直线的位置关系如图所示，则下列语句： ①点B在直线上；②直线经过点C；③直线两两相交；④点B是直线的交点，以上语句正确的有 （只填写序号） 题型07 两点确定一条直线 31．下列说法：①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫作两点的距离；③两点之间，线段最短；④，则点B是线段的中点；⑤射线比直线短．其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．下列说法正确的是（    ） A．直线a比直线b长 B．延长直线，使得它经过点P C．因为两点确定一条直线，所以任何三个点都不可能在一条直线上． D．经过两点有且只有一条直线 33．平面内三点可确定的直线的条数为（    ）． A．3 B．0或1 C．1或3 D．0 34．在纸上画出四个点（其中任意三个点都不在同一直线上），经过每两个点用直尺画一条直线，一共可以画 条． 35．下列生活生产现象中，可用两点确定一条直线解释的现象有 ． ①植树时只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上； ②从到架设电线，总是尽可能沿线段架设； ③建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙； ④在三角形中任意两边之和大于第三边． 题型08 线段的和与差 36．点A，B，C在同一条直线上，若，． （1）AC的长为 cm； （2）若点C在线段AB的延长线上，且D是线段AB的中点，E为线段BC的中点，则AD的长为 cm，DE的长为 cm． 37．定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则____ ． 38．如图，点，，，在数轴上的位置如图所示，为原点，，，若点表示的数为，则点表示的数为 ． 39．如图，已知线段 ，点 C 在 的延长线上，且，求 的长度．    40．如图，是线段上的点，，两点分别从同时出发，以个单位长度/秒，个单位长度/秒的速度沿直线向左运动，当点和点分别在线段上时，求的值． 题型09 线段中点的有关计算 41．如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求： (1)的长度为______； (2)的长度为______； (3)若在直线上，且，求的长度． 42．线段，点在线段上，点、分别是和的中点．求的长． 43．如图，C为线段AD上一点，B为线段CD的中点，且． (1)线段AC的长为 cm． (2)若点E在线段AD上，，则线段BE的长为 cm． 44．如图，是线段的中点，点在线段上，为的中点，，，求线段、的长． 45．已知点C在线段上，，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧，点E在点C的右侧，，线段在线段上移动． (1)求的长 (2)如图，当E为的中点时，求的长； (3)在（2）的条件下，如果在线段上取一点F，使得，此时点F是线段的几等分点？请说明理由． 题型10 线段n等分点的有关计算 46．如图，点是线段上一点，，．点是线段的中点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 47．如图，线段，点C在线段AB上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 48．如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是 ． 49．已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 50．如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点．      (1)求线段的长； (2)若在线段上有一点E，，求的长． 题型11 线段之间的数量关系 51．如图，线段为线段的中点，下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 52．如图，M是线段的中点，N是线段上一点，下列各式可以表示的长度的是（   ） A． B． C． D． 53．如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 54．点，在线段上，是线段中点，，若，则长为 ． 55．已知线段，延长至点，使，是线段的中点． (1)若，则求的长； (2)试探究线段、间的数量关系，并说明理由． 题型12 与线段有关的动点问题 56．如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 57．如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（   ） A．随之变化 B．不改变，且为 C．不改变，且为 D．不改变，且为 58．已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则 ． 59．如图，，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，点C是线段AB上一动点，则 ． 60．在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足. (1)求线段的长； (2)若A、B两点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，经过多少秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10？ (3)点P为射线上的一个点，且不与A、B两点重合，M为线段的的中点，N为线段的的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否会发生改变？若不变，求出的长度，若改变，请说明理由． 题型13 两点之间线段最短 61．如图所示，某同学的家在处，书店在处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（　　） A． B． C． D． 62．如图，A、B是河l两侧的两个村庄．现要在河l上修建一个抽水站P，使它到两个村庄A，B的距离和最小，小丽认为在图中连接AB与l的交点就是抽水站P的位置，你认为这里用到的数学基本事实是（   ） A．经过一点能画无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离 63．如图是天桥的侧面图，现实生活中，总有人横穿马路（如图中），却不愿从天桥（如图中）通过．请用数学知识解释这一现象，其原因为（    ） A．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 64．下列三个生活、生产现象：①从A地到B地修建公路，只要尽可能沿着线段AB修建，就能缩短路程；②建筑工人在砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别固定一根木桩，然后拉一条直的细线作参照线；③用两个钉子可以把一根木条固定在墙上．其中可以用“两点确定一条直线”来解释的有 ．（填序号） 65．如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请根据下列语句用尺规画图并回答问题．（保留作图痕迹，不写作法） (1)分别画直线、线段． (2)画出射线与射线，两射线相交于点P． (3)连接，延长至E，使得． (4)在线段上找一点Q，使的值最小，这样画图的依据是____． 题型14 两点间的距离 66．线段，P为线段的中点，C在直线上，，Q为的中点，求的长． 67．如图，线段cm，点是的中点，点在上且cm，求线段的长度． 68．如图所示，点C在线段上，，，点N是的中点． (1)如图①，求的长度； (2)如图②，若M是线段上的一点，且，试判断点M是否是线段的中点，并说明理由． 69．如图，已知平面上三点，，． (1)画射线，直线，线段； (2)若线段的长度为8，点在直线上，且，求的长． 70．如图，已知线段，点在线段上，，是的中点． (1)求线段的长度； (2)若在线段上有一点，满足，求线段的长度． 题型15 最短路径问题 71．如图是一个正方体，有一只蚂蚁从点A沿表面爬向点B，则它所爬过的最短路径在部分侧面展开图中用虚线可以表示为（　　） A． B． C． D． 72．昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 73．如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点到的路径最短的是（   ） A． B． C． D． 74．如图，在公路两侧分别有七个工厂，各工厂与公路（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”，由以上几个描述：①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置在B点与C点之间任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长短无关．其中，正确的是 ． 75．【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】 （1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】 （3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 题型16 作线段 76．已知线段，，用尺规作一条线段，使得； 77．如图所示，点A、B表示的数分别是a、b． 用刻度尺或圆规作图：在数轴上画出表示的点；（用两种方法，写出必要的文字说明） 方法一： 方法二： 78．如图，C为线段上一点，D为线段的中点． (1)若，，求线段的长． (2)延长到点E，使．在图中完成作图，并写出图中所有相等的线段．（除外） 79．如图，已知线段，，． (1)请用尺规按下列要求作图；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①延长到，使； ②反向延长线段到，使． (2)在（1）的条件下，如果，，，点为的中点． ①求线段的长度； ②若点在线段上，且，则线段的长为__________． 80．尺规作图，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹． (1)如图1，已知平面内的三个点A，B，C． ①画线段，射线，直线； ②在射线上作点D，使得； (2)如图2，在四边形内取一点P，使得之和最小，你的依据是______． 1．下列说法中，正确的有（    ） A．过一点有且只有一条直线 B．连接两点的线段叫做两点的距离 C．两点之间，线段最短 D．，则点B是线段的中点 2．如图，已知数轴上点、、所表示的数分别为、、，点是线段的中点，且，如果原点的位置在线段上，那么等于（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．下列说法错误的个数有（   ）． ①经过两点有一条直线，有且只有一条直线；    ②两点之间直线最短； ③有理数包括正有理数和负有理数；    ④的最高次项是． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．已知线段，点是的三等分点，点是的中点，则的长为（   ） A．或 B．或 C． D． 5．有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（　　） A． B． C．或 D．或 6．在平面上有四个点，其中任意三点都不在同一条直线上．过其中的任意两点都可以作一条直线，那么，这四个点可以作出(   )条直线． A．2 B．4 C．6 D．8 7．直线平行于直线．直线上有10个点．分别是，直线上有11个点．分别是将上的每个点与上的每个点相连．可以得到许多线段．已知没有三条线段相交于、外的一点．这些线段一共有（    ）个交点 ．不包括 A．110 B．2475 C．9900 D．2024 8．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 9．如图，能用字母表示的直线有 条，线段有 条，射线有 条 10．如图，线段，点C在线段上，点D是的中点，E是中点，，则线段的长为 ． 11．如图，已知线段，点C、D分别是线段上的两点，且满足，点K是线段的中点，则线段的长为 ． 12．如图，在一条可以折叠的数轴上，A、B两点表示的数分别是，3，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A折叠后在点B的右边，且，则C点表示的数是 ． 13．如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，n是整数）处，经过这样2025次跳动后的点与的中点的距离是 ． 14．如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端C，D分别落在点A，B上，将木棒在数轴上水平移动，当的中点移动到点B时，点D 所对应的数为，当的四等分点（不含中点）移动到点A 时，点 C 所对应的数为，则木棒的长度为 ． 15．根据题意，补全解题过程（每空只能填一条线段或一个数） 已知点为线段的中点，点在线段上．如图，若，点为中点，，求线段的长． 解：∵点是的中点， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴ ∵， ∴______， ∴， 又∵， ∴， ∴． 16．如图，已知三点A、B、C，请用尺规作图完成． (1)画直线、射线； (2)连接并延长到E，使得（保留画图痕迹） (3)在（2）条件下，若，点F为的中点，求线段的长的解法如下，请将过程填写完整． 解：∵ ∴ ∵点F为的中点 ∴______=______ ∴______（填写线段名称）=______ 17．已知：如图，，点是线段的中点，点在线段上，且满足． (1)求线段的长； (2)若点为线段上一点，且，求线段的长． 18．用数轴上的点表示下列各数． (1)点A表示的倒数，点B表示2的相反数，点C表示，点D表示绝对值最小的数； (2)已知点E与B的距离为线段长的一半，则点E表示的数是_________． 19．如图，已知点为线段上一点，，，分别为线段、的中点．求线段的长． 20．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动． 设运动时间为t秒（）． (1)填空：①A，B两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______； (2)求当t为何值时，P，Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)求当t为何值时，． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1 直线、射线、线段 教学目标 1.牢记直线、射线、线段的定义、端点情况、表示法等基础知识。 2.会准确画出直线、射线、线段，能进行简单的线段长度计算与比较，解决相关几何问题。 3.感受几何图形的基本构成元素的魅力，培养对几何学习的兴趣与严谨态度。 教学重难点 1.重点 （1）掌握直线、射线、线段的定义； （2）掌握直线、射线、线段的画法； （3）掌握线段的中点有关计算。 2.难点 （1）掌握直线、射线、线段的联系与区别； （2）掌握线段中的动点问题。 知识点01 直线 1.直线：把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线. 直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述； 直线没有端点，可以向两端无限延伸，不可度量. 2.直线的表示方法： （1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)； （2）直线也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线a. 3.直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线. 4.点与直线的位置关系 （1）点在直线上，如图1所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A； （2）点在直线外，如图2，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B. 知识点02 射线 1.射线的概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点. 2.射线的特点：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长，可以向一个方向无限延伸. 3.射线的表示方法： （1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图1所示，可记为射线AB； （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，也可记为射线a. 在用两个大写字母表示射线时，两个字母的顺序不能写反了，首字母表示射线的端点；端点不同，所表示的射线也不同. 若一条直线上有n个点，则有2n条射线，其中有（2n－2）条射线可以用表示这些点的字母表示出来. 知识点03 线段 1.线段：直线上两点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点. 2.线段的特征：有两个端点，有长度，无方向. 3.线段的表示方法： （1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA； （2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图2所示，记作：线段a. 4.线段基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短. 5.线段没有方向，但线段的延长线和反向延长线是有方向的，如“线段AB的延长线”和“线段BA的延长线”表示的方向是不同的.（延长线一般用虚线）. 6.线段的中点：如图所示，点C把线段AB分成两条相等的线段AC和CB，点C就叫做线段AB的中点. （1）线段的中点只有一个，且线段的中点一定在这条线段上； （2）若点C是线段AB的中点，则AC＝BC，；反过来，若AC＝BC，则点C不一定是线段AB的中点（点C可能在线段AB外）. 7.线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图形 表示方法 线段AB或线段BA或线段a 射线AB或射线a 直线AB或直线BA或直线a 端点个数 2 1 0 延伸情况 不能延伸 向一方无限延伸 向两方无限延伸 度量情况 能度量 不能度量 不能度量 联系 射线和线段都是直线的一部分，线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为了直线，射线向反方向无限延伸就成为直线 【即学即练】 1．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点O在线段的延长线上 【答案】A 【分析】本题考查了直线、射线、线段的相关概念，根据直线、射线、线段的相关概念逐项分析即可得出答案． 【详解】解：射线和射线是同一条射线，故A选项说法正确； 直线和直线是同一条直线，故B选项说法错误； 线段和线段是同一条线段，故C选项说法错误； 点O在线段的延长线上，故D选项说法错误； 故选A． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）下列说法正确的是（   ） A．直线与直线不是同一条直线 B．射线与射线是同一条射线 C．延长线段和延长线段的含义一样 D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段的性质．根据直线、射线、线段的定义和性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A、直线与直线是同一条直线，原说法错误，本选项不符合题意； B、射线与射线不是同一条射线，端点不同，原说法错误，本选项不符合题意； C、延长线段和延长线段的含义不一样，原说法错误，本选项不符合题意； D、经过两点有一条直线，并且只有一条直线，说法正确，本选项符合题意； 故选：D． 3．在学习《线段、射线、直线》时，小明通过画图尝试，发现了如下的规律： 图形 直线上点的个数 共有射线条数    1 2    2 4    3 6 … … … (1)当直线上点的个数为4时，共有射线的条数为________； (2)若一条直线上共有20条射线时，请你求出该直线上点的个数． 【答案】(1)8 (2)10 【分析】本题主要考查了射线的定义以及图形变化规律，理解并应用图表数据中直线上点的个数与射线的条数的关系是解题的关键． （1）根据已知表格中数据变化规律进而得出答案； （2）根据已知表格中数据变化规律进而得出答案． 【详解】（1）解：根据已知表格中数据变化规律得出：当直线上点的个数为4时，共有射线的条数为8条； 故答案为：8； （2）根据已知表格中数据变化规律得出：若一条直线上共有20条射线时，则该直线上点的个数为10个． 知识点04 线段的基本事实及两点之间的距离 1. 线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短（两点之间，线段最短）. 2. 两点之间的距离：两点之间线段的长度叫作两点之间的距离. 【即学即练】 4．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，已知点为线段上一点，，，点、分别为线段、的中点， (1)求线段的长； (2)求线段的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是两点间的距离． （1）先根据题意得出及的长，再根据中点的定义得出线段的长； （2）根据中点的定义得出线段的长，进而可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴； （2）解：∵为的中点， ∴， ∴． 知识点05 线段的画法及长短比较 1.尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 2.画一条线段等于已知线段 （1）可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段； （2）如图所示，先用直尺画一条射线，再用圆规在射线上截取一条线段使其等于已知线段. 3.线段长短的比较 （1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短； （2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短. 【即学即练】 5．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，已知线段a、b、c，用圆规和无刻度的直尺画线段，使它等于．（只需画图，不要求写画法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了最基本的尺规作图：画一条线段等于已知线段．先画一条射线，在射线上，以A点为端点，顺次截取，，再以D点为端点反向截取，则，因此线段就是所求作的线段．熟练掌握用圆规画一条线段等于已知线段是解题的关键． 【详解】解：如图所示，，即线段就是所求作的线段． 知识点06 线段的中点 如果一个点把一条线段分成两条相等的线段，那么这个点叫作这条线段的中点. 如图所示，如果点C是线段AB的中点，那么或. 【即学即练】 6．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，线段，点C是的中点，点D是的中点，E是的中点， (1)求线段的长， (2)求线段 的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了中点的性质，线段的和差关系，解题的关键是掌握中点的性质，线段的和差关系； （1）由中点的性质先求出，进而求出； （2）由线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：C是的中点， ， 点D是的中点， ． （2）解：由（1）知：， ， E是的中点， ． 题型01 直线、线段、射线的数量问题 1．一条直线上有个点，则以这个点为端点的射线共有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】D 【分析】本题主要考查图形规律题，掌握射线的定义，识别射线的条数． 根据射线的定义，图形结合分析即可求解． 【详解】解：如图所示，    当有个点时，共有条射线； 如图所示，    当有个点时，共有条射线； 如图所示，    当有个点时，共有条射线； 以此类推，当有个点时，共有条射线； 故选D． 2．平面上有四个点，且任何三点都不在同一条直线上，那么过每两点作一条直线，最多可以作（    ）． A．8条 B．6条 C．5条 D．1条 【答案】B 【分析】此题考查了两点确定一条直线，读懂题意，找出规律是解题的关键． 根据两点确定一条直线，则通过画图发现每个点都可以和其他3个点画一条直线，共可以画（条）直线，排除重合的条数，即可求得结果． 【详解】解：∵每个点都可以和其他3个点画一条直线， ∴共可以画（条）直线，但又有重合的直线， ∴实际条数为（条）． 故选：B． 3．在线段之间加入了7个点，则共增加了 条线段． 【答案】35 【分析】本题考查点与线段的数量关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．先计算加入7个点之后共有几个点，一共有多少条线段，再减去原来的线段即可得解． 【详解】解：根据题干分析可得， 在之间加入7个点，则组成的子线段有8条， 则共有条， 所以增加了条， 故答案为：35． 4．如图，点，，在直线上，则图中有 条线段， 条射线，有 条直线． 【答案】 3 6 1 【分析】本题考查了直线、射线和线段的认识，直线没有端点，是无限长的；射线有一个端点，可以向一端无限延伸，不能度量长度；线段有两个端点，可以度量长度．据此解答． 【详解】解：由图可知，直线上有A、B、C三个点， 根据直线的特征可知，图中有1条直线； 根据射线的特征可知，以A为端点时，有2条射线；以B为端点时，有2条射线；以C为端点时，有2条射线， 所以一共有（条）射线； 根据线段的特征可知，图中有线段、线段、线段，3条线段． 即图中有1条直线，6条射线，3条线段． 故答案为：1；6；3． 5．高铁出行，方便快捷．为保证雄安、保定、石家庄、邢台、邯郸每两个城市之间都有高铁可乘，需要印制多少种不同的火车票？ 【答案】种 【分析】本题主要考查了线段的运用，注意根据规律计算的同时，注意火车票的往返情况是解题关键． 把个车站雄安、保定、石家庄、邢台、邯郸看作是直线上的个点，先求出线段的条数，再计算车票的种数． 【详解】解：把个车站雄安、保定、石家庄、邢台、邯郸看作是直线上的个点，则这条直线上的线段条数就是单程车票的种数，因为直线上有个点，所以这条直线上的线段条数为：（条），所以单程火车票的种数为种，又因为每两个城市之间都有高铁可乘，即每两个城市之间往返都有不同的车票，所以需要印制不同的火车票种． 题型02 直线相交的交点个数问题 6．下列说法错误的是（    ）． A．经过一点的直线有无数条 B．经过两点的直线只有一条 C．一条直线上只有两个点 D．两条直线相交，只有一个交点 【答案】C 【分析】本题考查了直线定义与性质，掌握直线定义与性质是解题关键． 根据直线定义与性质进行解答即可． 【详解】解：A、经过一点的直线有无数条，正确，不符合题意； B、经过两点的直线只有一条，正确，不符合题意； C、一条直线上有无数个点，选项错误，符合题意； D、两条直线相交，只有一个交点，正确，不符合题意． 故选：C． 7．平面上互不重合的三条直线相互间的交点个数是（   ） A．3 B．1或3 C．1或2或3 D．0或1或2或3 【答案】D 【分析】本题考查平面中不重合的直线交点个数问题，准确分类讨论是解题关键．平面中不重合的三条直线可能平行或相交，相交时又可以分为两直线平行且和第三条直线相交，或三条直线相交于一点，或三条直线两两相交，据此分类讨论即可． 【详解】解：当三条直线互相平行时交点个数是0个； 当两条直线互相平行，另一条直线与它们相交时，交点个数是2个； 当三条直线交于一点时，交点个数是1个； 当三条直线两两相交，并且不交于一点时，交点个数是3个； 综上，平面上互不重合的三条直线相互间的交点个数是0或1或2或3． 故选：D． 8．我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，……10条直线两两相交最多能有（   ） A．28 B．36 C．45 D．55 【答案】C 【分析】此题考查了直线的交点问题，找到规律是解题关键． 根据题干总结规律即可解题． 【详解】解：由题意可得： 3条直线两两相交最多有3个交点，即， 4条直线两两相交最多有6个交点，即， 5条直线两两相交最多有10个交点，即， 6条直线两两相交最多有15个交点，即， … ∴10条直线两两相交最多能有． 故选：C． 9．平面内三条直线两两相交，最多有m个交点，最少有n个交点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查直线相交的交点个数，代数式求值，根据平面内三条直线两两相交，最多有3个交点，最少有1个交点，即可求解． 【详解】解：当三条直线相交于同一点时，交点只有1个，即， 当三条直线的交点不是同一点时，交点最多有3个，即， 所以． 故答案为：． 10．平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？ 【答案】34个 【分析】画出图形，数出交点个数即可． 【详解】解：如图，图中共有34个交点． 【点睛】此题考查了图形的变化规律，画出图形是解题的关键．先根据具体数值得出规律，即可计算出正确结果． 题型03 线段的应用 11．生活中，我们可以用身体中的“尺子”来估计长度，其中一拃是张开的大拇指尖和中指尖之间的最大距离（如图所示）． 以下估计正确的是（    ） A．一支水笔的长度约1拃 B．课桌的高度约2拃 C．黑板的长度约3拃 D．试卷的宽度约6拃 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的数学，估计的知识，解题的关键是要联系生活实际．结合题意，并联系生活实际逐项判断，即可解题． 【详解】解：A.一支水笔的长度约1拃，估计正确，符合题意；     B. 课桌的高度约2拃，估计错误，不符合题意； C. 黑板的长度约3拃，估计错误，不符合题意；     D. 试卷的宽度约6拃，估计错误，不符合题意； 故选：A． 12．兰州市某公交线路上共设6个车站，则在这条线路上往返行车需要设计车票价有（    ） A．25种 B．15种 C．30种 D．21种 【答案】C 【分析】此题考查了线段之间的总条数，解题的关键是往返车票需要两种车票．根据线段之间的总条数计算即可． 【详解】解：如图所示，兰州市某公交线路上共设6个车站，可看作六个点， 则线段的总条数是， 因为要有往返车票，即两点之间是两种车票，所以应设计（种）． 故选：C． 13．如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（    ）种车票，共有（    ）种票价．    A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【分析】分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制种车票，而有5个起始站，故可以直接列出算式． 【详解】解：，， ∴需印制20种车票，共有10种票价． 故选：C． 【点睛】本题在线段的基础上，考查了排列与组合的知识，解题关键是要理解题意，每个车站都既可以作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站． 14．如图（一），为一条拉直的细线，两点在上，且，．若先固定点，将折向，使得重叠在上，如图（二），再从图（二）的点及与点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段长短的比较，理解题意，找出各线段的长度是解题的关键． 根据题意可以设出线段的长度，从而根据比值可以得到图一中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的长度，从而可以求得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决． 【详解】设的长度为， ∵， ∴，，，， ∴， ∵再从图（二）的 点及与 点重叠处一起剪开，使得细线分成三段， ∴剪开后这三段的长度分别是： 的长度，即； 的长度的2倍，即； 图（二）中的长度，即， ∴此三段细线由小到大的长度比为：． 故答案为：． 15．2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票． 【答案】20 【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可． 【详解】解：5个点中线段的总条数是（种）， ∵任何两站之间，往返两种车票， ∴应印制（种）， 故答案为：20． 【点睛】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有个点，则线段的数量有条”． 题型04 直线、射线、线段的联系与区别 16．如图，A，B在直线l上，下列说法错误的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线是同一条直线 C．线段和线段是同一条线段 D．图中以点A为端点的射线有两条 【答案】A 【分析】本题考查了直线，射线，线段的定义．直线：在平面内，无端点，向两方无限延伸的线，射线：在平面内，有一个端点，向一方无限延伸，线段：在平面内，有两个端点，不延伸． 根据直线，射线，线段的定义进行判断即可． 【详解】解：A． 射线和射线不是同一条射线，原说法错误； B． 直线和直线是同一条直线，原说法正确； C． 线段和线段是同一条线段，原说法正确； D． 图中以点A为端点的射线有两条，原说法正确； 故选：A． 17．如图，下列说法错误的是（    ）． A．图中共有2条线段 B．直线与直线表示的是同一条直线 C．射线与射线表示的是同一条射线 D．线段与线段表示的是同一条线段 【答案】A 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A．图中有线段、线段、线段，共3条线段，故错误，符合题意； B．直线与直线表示的是同一条直线，正确，不符合题意； C．射线与射线表示的是同一条射线，正确，不符合题意； D．线段与线段表示的是同一条线段，正确，不符合题意． 故选：A． 18．观察图形，下列说法正确的个数是（   ） （1）直线和直线是同一条直线；（2）射线和射线是同一条射线；（3）线段和线段是同一条线段． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段的表示方法，根据直线、射线、线段表示方法逐项判断即可求解，注意直线、线段的表示方法没有方向性，射线表示方法要注意方向． 【详解】解：（1）直线和直线是同一条直线，说法正确，符合题意； （2）射线和射线是同一条射线，说法正确，符合题意； （3）线段和线段是同一条线段，说法正确，符合题意． 综上分析可知：正确的有3个． 故选：D． 19．观察图形，下列说法正确的有 个． 直线和直线是同一条直线； 线段和线段是两条不同的线段； 射线和射线是同一条射线． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段，解决本题的关键是根据直线、射线、线段的定义进行判断． 【详解】解：直线是向两个方向无限延伸的，直线和直线是同一条直线，故正确； 线段有两个端点，不延伸，线段和线段是同一条线段，故不正确； 射线有一个端点，向一个方向无限延伸，射线和射线的端点相同，延伸的方向相同，是同一条射线，故正确； 说法正确的有个． 故答案为：． 20．学习情境·学科内融合已知数轴上的原点为O点，点A表示3，点B表示，回答下列问题．    (1)数轴在原点左边的部分（包括原点）是一条什么线？怎么表示？ (2)射线上的点表示什么数？ (3)数轴上表示不大于3，且不小于的数的部分是什么图形？怎么表示？ 【答案】(1)是一条射线，表示为射线 (2)非正数 (3)线段，线段 【分析】本题考查了数轴，弄清题意是解本题的关键． （1）观察数轴，利用射线定义判断，表示即可； （2）找出射线上的点表示的数即可； （3）由线段的定义可直接得出结论． 【详解】（1）解：数轴在原点O左边部分（包括原点）是一条射线，表示为射线； （2）解：射线上的点表示非正数； （3）解：线段，可表示为线段． 题型05 画出直线、射线、线段 21．如图，在同一平面内有四个点，请按要求完成下列问题．（请用直尺和圆规作图，不写作图步骤，保留作图痕迹，作图时先使用铅笔画出，确定后再用黑色字迹的签字笔描黑） (1)作直线； (2)作射线，在射线上作线段，使线段； (3)分别连接、； (4)______（填“”、“”或“”），理由：______． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 (4)；两点之间，线段最短 【分析】（）根据题意画出图形即可； （）根据题意画出图形即可； （）根据题意画出图形即可； （）根据两点之间，线段最短即可求解； 本题考查了直线、射线及线段，掌握直线、射线及线段的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，射线及线段即为所求； （3）解：如图所示，线段即为所求； （4）解：由图可知，，理由：两点之间，线段最短， 故答案为：；两点之间，线段最短． 22．已知，如图在平面内有A、B、C、D四点，根据下列语句画出图形． (1)画直线、线段、射线； (2)在线段上任取一点E（不同于点B，C）连接，； (3)数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)共有7条线段，6条射线 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的定义，熟练掌握各定义是解题的关键． （1）利用直线、线段、射线的定义作图即可； （2）依据在线段上任取一点E，连接即可； （3）根据线段和射线的定义即可求解． 【详解】（1）解：直线、线段、射线如图所示， （2）解：点，如图所示， （3）解：根据题意可知，线段有，图中共有7条线段；以点为端点的射线共有2条，以点为端点的射线共有2条，以点为端点的射线共有1条，以点为端点的射线共有1条，则共有6条射线． 23．在图中有A，B，C，D四个点，请按下列语句画图并填空： (1)画射线． (2)画线段和，它们相交于O． (3)画直线，连接和． (4)此时，图中共有线段________条，射线________条，直线________条． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)10，6，1 【分析】本题主要考查了直线，射线，线段的画法和数量，掌握直线，射线，线段的定义是解题的关键． （1）根据射线的定义画图即可； （2）根据线段的定义画图即可； （3）根据直线的定义画图即可； （4）根据直线，射线，线段的定义求数量即可． 【详解】（1）解：射线如图， （2）解：线段和如图， （3）解：直线，连接和如图， （4）解：从图中可以知道图中有10条线段，有6条射线，有1条直线， 故答案为：10，6，1． 24．如图，已知平面上不共线的三点A，B，C，请按如下要求尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)画直线，射线，线段； (2)在射线上作一点D，使得； (3)比较大小： ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了直线、射线、线段的概念与尺规作图方法，以及“两点之间，线段最短”的运用，解题的关键是明确直线、射线、线段的不同延伸特性，掌握“作一条线段等于已知两条线段和”的尺规作图步骤，并能运用“两点之间，线段最短”来比较线段大小． （1）根据直线（无端点、向两端无限延伸）、射线（有一个端点、向一端无限延伸）、线段（有两个端点、不延伸）的定义，用尺规分别画出直线、射线、线段； （2）先以为圆心、长为半径画弧确定等长线段，再在射线上从 出发，先截取长，再接着截取长，最终确定点； （3）利用“两点之间，线段最短”，结合，比较与的大小． 【详解】（1）解：如图所示．   （2）解：如图，点即为所求．   （3）解： ∵、、三点不共线， ∴、、可构成；   根据三角形三边关系，得；   又∵， ∴． 故答案为：． 25．如图，在平面内有、、三点．按下列步骤作图： （1）画直线、线段、射线； （2）取线段的中点D，连接； （3）延长线段到，使． 【答案】见详解 【分析】如图，直线，线段，射线即为所求； 如图，线段即为所求； 如图，线段即为所求． 【详解】如图所示 【点睛】本题考查作图，根据直线、射线、线段的定义等知识，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 题型06 点与线的位置关系 26．如图，平面上有四个点，根据下列语句画图： (1)画射线； (2)作直线； (3)画线段； (4)找到一点，使点到、、、四点距离之和最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查画直线、射线、线段，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握基本概念． （1）根据射线的定义作图即可； （2）根据直线的定义作图即可； （3）根据线段的定义作图即可； （4）根据两点之间线段最短，连接、交于点F，点F即为所求． 【详解】（1）解：射线即为所求， （2）解：直线即为所求， （3）解：线段即为所求， （4）解：点即为所求． 27．如图，下面说法中错误的是（   ）    A．点B在直线上 B．点A在直线外 C．点C在线段上 D．点M在线段上 【答案】D 【分析】本题主要考查点与线的位置关系，解题的关键是掌握点与线的位置关系．根据点与线的位置关系求解即可． 【详解】解：A、点B在直线上，本选项说法正确； B、点A在直线外，本选项说法正确； C、点C在线段上，本选项说法正确； D、点M在射线上，本选项说法错误． 故选：D 28．下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．延长线段到C B．射线经过点A C．直线a与直线b相交于点P D．射线与线段没有交点 【答案】C 【分析】本题考查直线、射线、线段，关键是掌握直线、射线、线段的概念．由直线、射线、线段的概念，即可判断． 【详解】解：A、延长线段到C，故选项不符合题意； B、射线不经过点A，故选项不符合题意； C、几何图形与相应语言描述相符，故选项符合题意； D、射线与线段有交点，故选项不符合题意． 故选：C． 29．如图，下列表述点与直线关系的语句：①点A在直线外；②直线m和n相交于点C；③点B既在直线l上又在直线m上．其中正确的是 （直接填写序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了直线的基本特征，点与直线的关系，熟记直线的基本知识是解题的关键． 根据直线的基本特征及点与直线的关系进行判断即可． 【详解】解：①点A在直线外，正确； ②直线m和n相交于点C，正确； ③点B既在直线l上又在直线n上，原描述错误． 综上所述，其中正确的是①②． 故答案为：①②． 30．直线的位置关系如图所示，则下列语句： ①点B在直线上；②直线经过点C；③直线两两相交；④点B是直线的交点，以上语句正确的有 （只填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了点与直线的位置关系，熟练掌握点经过直线，说明点在直线上和点不经过直线，说明点在直线外是解题的关键．依据点与直线的位置关系进行判断，即可得到正确结论． 【详解】 由图可得，①点B在直线上，正确； ②直线不经过点C，错误； ③直线两两相交，正确； ④点B是直线的交点，正确； 故答案为：①③④． 题型07 两点确定一条直线 31．下列说法：①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫作两点的距离；③两点之间，线段最短；④，则点B是线段的中点；⑤射线比直线短．其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查直线、射线、线段和两点间距离，根据直线、射线、两点间距离的相关知识逐一分析即可． 【详解】解：①过两点有且只有一条直线，正确； ②连接两点的线段的长度叫做两点的距离，原说法错误； ③两点之间、线段最短，正确； ④，则点B是线段的中点，只有当B点在线段上时才成立，原说法错误； ⑤射线和直线不能比较距离，原说法错误； 故①③正确，共2个， 故选：B． 32．下列说法正确的是（    ） A．直线a比直线b长 B．延长直线，使得它经过点P C．因为两点确定一条直线，所以任何三个点都不可能在一条直线上． D．经过两点有且只有一条直线 【答案】D 【分析】本题主要考查直线、射线、线段；根据直线、射线、线段的定义逐一判断即可． 【详解】解：A． 根据直线是可以无限延长的，所以它不能比较大小，所以A选项错误； B．根据直线是无限延伸的，故延长直线这种说法错误，所以B选项错误； C．一条直线上可以有无数个点，只有不共线的三点不在同一直线上，所以C选项错误； D．经过两点有且只有一条直线，D正确； 故选：D． 33．平面内三点可确定的直线的条数为（    ）． A．3 B．0或1 C．1或3 D．0 【答案】C 【分析】本题考查两点确定一条直线，分三点共线和三点不共线两类讨论求解即可得到答案． 【详解】解：当三点共线时，能确定1条直线， 当三点不共线时，能确定3条直线． 故选：C． 34．在纸上画出四个点（其中任意三个点都不在同一直线上），经过每两个点用直尺画一条直线，一共可以画 条． 【答案】6 【分析】本题考查了直线，熟练掌握直线的性质是解题关键．根据两点确定一条直线解答即可得． 【详解】解：画出图形如下： 一共可以画直线的条数为（条）， 故答案为：6． 35．下列生活生产现象中，可用两点确定一条直线解释的现象有 ． ①植树时只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上； ②从到架设电线，总是尽可能沿线段架设； ③建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙； ④在三角形中任意两边之和大于第三边． 【答案】①③ 【分析】本题考查的知识点是两点确定一条直线、两点之间线段最短，解题关键是熟练掌握相关定理． 根据两点确定一条直线、两点之间线段最短的实际应用即可得解． 【详解】解：①植树时只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上，应用的原理是两点确定一条直线； ②从到架设电线，总是尽可能沿线段架设，应用的原理是两点之间线段最短； ③建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，应用的原理是两点确定一条直线； ④在三角形中任意两边之和大于第三边，应用的原理是两点之间线段最短． 故答案为：①③． 题型08 线段的和与差 36．点A，B，C在同一条直线上，若，． （1）AC的长为 cm； （2）若点C在线段AB的延长线上，且D是线段AB的中点，E为线段BC的中点，则AD的长为 cm，DE的长为 cm． 【答案】 2或4 1.5 2 【分析】（1）（2）根据线段的和与差的关系求解； 【详解】解：（1）如图：当点C在线段AB的延长线上， ； 当点C在线段AB上， ； 故答案为：2或4； （2）如图： ； ， ， ； 故答案为：，． 【点睛】本题考查了线段的和与差，正确的运算是解题的关键． 37．定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则____ ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差，熟练找出已知条件中线段的和差关系是解题的关键． 对点P在线段之间和在的反向延长线上时的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【详解】解：由题知， 当点P在线段之间时，如图所示， 点P是点M关于点N的“半距点”， 当点P在的反向延长线上时，如图所示， 因为点P是点M关于点N的“半距点”， 综上所述，或 ． 故答案为：或． 38．如图，点，，，在数轴上的位置如图所示，为原点，，，若点表示的数为，则点表示的数为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了数轴，数形结合思想是解题的关键．先根据图形结合题意得到A所表示的数，再根据相反数的位置关系求出结果． 【详解】解：∵，点C表示的数为， ∴点A表示的数为， ∵， ∴点B所表示的数为6． 故答案为：6． 39．如图，已知线段 ，点 C 在 的延长线上，且，求 的长度．    【答案】 【分析】本题考查线段的和差，根据求出长，然后根据线段的和差解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵点 C 在 的延长线上， ∴． 40．如图，是线段上的点，，两点分别从同时出发，以个单位长度/秒，个单位长度/秒的速度沿直线向左运动，当点和点分别在线段上时，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离,线段的和差，设，则，设运动的时间为，则，，可得，，进而得到，即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，设，则， 设运动的时间为，则，， ∴，， ∴， ∴． 题型09 线段中点的有关计算 41．如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求： (1)的长度为______； (2)的长度为______； (3)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)的长度为或 【分析】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键． （1）直接根据是的中点可得答案； （2）先求出的长，然后根据是的中点求出，根据即可求解； （3）分在点的右侧、在点的左侧两种情况进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，是的中点． ∴ 故答案为：； （2）∵，， ∴（）， ∵是的中点 ∴， ∴（）， 故答案为：； （3）当在点的右侧时，（）， 当在点的左侧时，（）， ∴的长度为或． 42．线段，点在线段上，点、分别是和的中点．求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 根据题意，由线段的中点定义可得：，从而得到，再根据，即可得出的长． 【详解】解：点分别是和的中点， ， ， ， ， ． ， ． 43．如图，C为线段AD上一点，B为线段CD的中点，且． (1)线段AC的长为 cm． (2)若点E在线段AD上，，则线段BE的长为 cm． 【答案】(1) 5 (2)4 【分析】（1）先根据中点求出的长度，再用的长度减去的长度得到； （2）先求出的长度，再确定点的位置，求BE的长度． 【详解】（1）因为B为线段的中点，且， 所以 又因为， 所以． （2）由（1）知 所以 已知， 所以点E在之间，． 【点睛】本题考查了线段的中点性质和线段的和差计算，掌握以上知识是解题的关键． 44．如图，是线段的中点，点在线段上，为的中点，，，求线段、的长． 【答案】， 【分析】本题考查了两点间的距离，根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论． 【详解】解：∵，N为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵M是线段的中点， ∴， ∴． 45．已知点C在线段上，，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧，点E在点C的右侧，，线段在线段上移动． (1)求的长 (2)如图，当E为的中点时，求的长； (3)在（2）的条件下，如果在线段上取一点F，使得，此时点F是线段的几等分点？请说明理由． 【答案】(1)16 (2)24 (3)五 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的性质，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． （1）根据题意得，即可求出； （2）求出，再由E为中点求出，由求出，再根据求出结论即可； （3）首先求出，再求出，求出结论即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴， ∴； （2）， ∴ 又E为中点 ∴ ∵ ∴ 又 ∴； （3）∵ ∴ ∵ ∴ ∴点F是线段的五等分点． 题型10 线段n等分点的有关计算 46．如图，点是线段上一点，，．点是线段的中点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的定义，由，可得，再根据点是线段的中点，即可求出的长，掌握线段中点的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∵点是线段的中点， ∴ ∴， 故选：． 47．如图，线段，点C在线段AB上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，n等分点的定义，数形结合是解题的关键．由三等分点的定义得，，然后由两点间的距离求解即可． 【详解】解：∵P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点， ∴，， ∴． 故选C． 48．如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是 ． 【答案】8或10 【分析】本题主要考查了线段和差倍分的计算，解题关键是熟练掌握线段与线段之间的和差倍分关系．先根据已知条件求出和的长，然后根据点的位置，分两种情况讨论，画出图形，利用已知条件，求出的值即可． 【详解】解：，点是中点， ， 分两种情况讨论： ①点的位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； ②点位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； 综上可知：的长度为8或10， 故答案为：8或10． 49．已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的计算，由题意可知或，再结合线段和差关系即可求解，明确线段三等分点的意义，正确分类计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，则， ∵点D是线段的三等分点， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，或， 故答案为：或． 50．如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点．      (1)求线段的长； (2)若在线段上有一点E，，求的长． 【答案】(1)6 (2)3 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段的和差关系． （1）由线段中点的有关计算得出，，再根据线段的和差关系即可得出． （2）根据已知条件可得出，再根据线段的和差关系即可得出． 【详解】（1）解：∵线段，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 题型11 线段之间的数量关系 51．如图，线段为线段的中点，下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据线段中点的定义可得，再结合已知和等式的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：A．为线段的中点，， ，，，故A不符合题意； B．，，故B不符合题意； C．，，故C不符合题意； D．点不是的中点，和不一定相等，故选D符合题意； 故选：D． 52．如图，M是线段的中点，N是线段上一点，下列各式可以表示的长度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，根据线段中点的定义和线段的和差倍分关系逐项判断即可求解． 【详解】解：由图可知，，故A选项不合题意； 因为，所以，故B选项不合题意； 因为 是线段的中点， 所以 ， 所以 ，故C选项符合题意； 因为点不一定是线段的中点，所以D选项不合题意． 故选：C. 53．如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了线段的比例关系、中点及三等分点的性质，解决本题的关键是通过代数方法验证几何结论． 先通过设定的长度为，将各线段长度用表示，再明确点D（中点）、点E（三等分点）的位置，再通过代数计算，判断各结论是否成立即可． 【详解】解：设，则， 故， 点D是的中点， 故， 点E是的三等分点， 故，， ∴，此时，结论①成立； ，而，故，结论②成立； ，，故，结论③不成立； ，故，结论④成立， ∴正确的结论为①②④． 故选：B ． 54．点，在线段上，是线段中点，，若，则长为 ． 【答案】9或15/15或9 【分析】本题考查的是两点间的距离，解题的关键是灵活运用中点的性质，先求出，再分点D在点C的左侧和右侧，两种情况讨论即可． 【详解】解：∵C是线段中点，， ∴， ∴， 当点D在点C的左侧时，则； 当点D在点C的右侧时，则； 综上，长为9或， 故答案为：9或15． 55．已知线段，延长至点，使，是线段的中点． (1)若，则求的长； (2)试探究线段、间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)，理由见解析； 【分析】本题注意考查线段的和差运算，结合图形，正确的表示出线段的和与差关系是解题的关键． （1）根据题意得到，结合是线段的中点，，得到，最后根据即可得解； （2）由（1）可知，，结合是线段的中点，得到，由，即可得出结论； 【详解】（1）， ， ， 是线段的中点,，， ， ， （2），理由如下 由（1）可知：， 是线段的中点， ， ， ． 题型12 与线段有关的动点问题 56．如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出红光， ∵图中共有线段、、、、、， ∵四点之中相邻两点之间的距离相等 ∵和中点是同一个， ∴光点P发出红光的次数为5． 故选：C． 57．如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（   ） A．随之变化 B．不改变，且为 C．不改变，且为 D．不改变，且为 【答案】D 【分析】把DE的长度转化为DC与CE的长度之和，转化为AB的长度即可求解． 【详解】∵为中点，为中点， ∴DC= AC，CE= BC ∴DE=DC+CE =AC+BC =AB =m 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是线段动点问题以及线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键． 58．已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则 ． 【答案】1或 【分析】分两种情况：当点N在线段上，当点N在线段的延长线上，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况：当点N在线段上，如图：   ，， ， ， ， ， ； 当点N在线段的延长线上，如图：   ，， ， ， 综上所述：的值为1或， 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况进行计算是解题的关键． 59．如图，，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，点C是线段AB上一动点，则 ． 【答案】5 【分析】由于点M是AC中点，所以MC=AC，由于点N是BC中点，则CN=BC，而MN=MC+CN=（AC+BC）=AB，从而可以求出MN的长度． 【详解】解：∵M是AC的中点，N是CB的中点， ∴MC=AC，CN=CB， ∴MN=MC+CN=AC+CB=（AC+CB）=×10=5． 【点睛】本题考查了两点间的距离．不管点C在哪个位置，MC始终等于AC的一半，CN始终等于BC的一半，而MN等于MC加上（或减去）CN等于AB的一半，所以不管C点在哪个位置MN始终等于AB的一半． 60．在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足. (1)求线段的长； (2)若A、B两点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，经过多少秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10？ (3)点P为射线上的一个点，且不与A、B两点重合，M为线段的的中点，N为线段的的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否会发生改变？若不变，求出的长度，若改变，请说明理由． 【答案】(1)； (2)经过2秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10； (3)线段的长度不会发生改变，的长度为6； 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点的距离公式，一元一次方程的应用，线段的中点以及和差计算，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据平方和绝对值的非负性，求出、的值，再根据数轴上两点的距离公式求解即可； （2）设经过t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，再根据数轴上两点的距离公式列方程求解即可； （3）由线段中点可知，，分两种情况讨论：当点P在A、B两点之间运动时；当点P在点A左侧运动时，利用线段的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：设经过t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为， ∵点B在点A的右侧， ∴， 解得：， ∴经过2秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10； （3）解：∵M为线段的中点，N为线段的中点， ∴，， 当点P在A、B两点之间运动时，， 即； 当点P在点A左侧运动时，， 即； ∴综上所述，线段的长度不会发生改变，其值为6． 题型13 两点之间线段最短 61．如图所示，某同学的家在处，书店在处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两点之间线段最短的实际运用，读懂题意是解决问题的关键．结合题中图形，根据两点之间线段最短选择路径即可得到答案． 【详解】解：根据两点之间的线段最短，可得两点之间的最短距离是线段的长度， 想尽快赶到书店，一条最近的路线是， 故选：B． 62．如图，A、B是河l两侧的两个村庄．现要在河l上修建一个抽水站P，使它到两个村庄A，B的距离和最小，小丽认为在图中连接AB与l的交点就是抽水站P的位置，你认为这里用到的数学基本事实是（   ） A．经过一点能画无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离 【答案】B 【分析】本题考查了线段的性质，利用线段的性质即可求解． 【详解】解：这里用到的数学基本事实是：两点之间线段最短． 故选：B． 63．如图是天桥的侧面图，现实生活中，总有人横穿马路（如图中），却不愿从天桥（如图中）通过．请用数学知识解释这一现象，其原因为（    ） A．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了两点之间，线段最短．根据两点之间，线段最短作答即可. 【详解】现实生活中，总有人横穿马路（如图中），却不愿从天桥（如图中）通过，其原因为两点之间，线段最短． 故选：D． 64．下列三个生活、生产现象：①从A地到B地修建公路，只要尽可能沿着线段AB修建，就能缩短路程；②建筑工人在砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别固定一根木桩，然后拉一条直的细线作参照线；③用两个钉子可以把一根木条固定在墙上．其中可以用“两点确定一条直线”来解释的有 ．（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了线段的应用，两点确定一条直线的应用，理解两点间线段最短及两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】解：①依据：两点间线段最短； ②③依据：两点确定一条直线； 故答案为：②③． 65．如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请根据下列语句用尺规画图并回答问题．（保留作图痕迹，不写作法） (1)分别画直线、线段． (2)画出射线与射线，两射线相交于点P． (3)连接，延长至E，使得． (4)在线段上找一点Q，使的值最小，这样画图的依据是____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)图见解析，两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了画直线，射线和线段，线段的尺规作图，两点之间线段最短，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据直线和线段的画法画图即可； （2）根据射线的画法画图即可； （3）以点D为圆心，的长为半径画弧交延长线于点E，则点E即为所求； （4）根据两点之间线段最短可知线段的交点即为点Q． 【详解】（1）解：如图所示，直线、线段即为所求； （2）解：如图所示，射线与射线以及点P即为所求； （3）解：如图所示，点E即为所求； （4）解：如图所示，线段的交点Q即为所求，依据为两点之间线段最短． 题型14 两点间的距离 66．线段，P为线段的中点，C在直线上，，Q为的中点，求的长． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段中点的性质，线段的和差，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 根据中点的性质求出相关线段的长度，再利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：①如图所示， ∵线段，P为线段的中点, ∴， ∵，Q为的中点， ∴， ∴； ②如图所示， ∵线段，P为线段的中点, ∴， ∵，Q为的中点， ∴， ∴； ∴的长为2或4． 67．如图，线段cm，点是的中点，点在上且cm，求线段的长度． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键．根据线段中点的性质，可得的长，根据线段的和差，可得答案． 【详解】 解：由线段，点是的中点，得 ． 由线段的和差，得 ， 线段的长度是． 68．如图所示，点C在线段上，，，点N是的中点． (1)如图①，求的长度； (2)如图②，若M是线段上的一点，且，试判断点M是否是线段的中点，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)点M的的中点，理由见解析 【分析】本题主要考查了两点间的距离，解题关键是正确识别图形，理解线段之间的和差倍分关系． （1）先根据已知条件求出，再根据，求出，最后根据线段中点的定义求出即可； （2）先根据已知条件求出，再根据，求出，最后根据线段中点的定义求出，再根据，求出，根据线段中点的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴； （2）解：点M是的中点，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴点M是的中点． 69．如图，已知平面上三点，，． (1)画射线，直线，线段； (2)若线段的长度为8，点在直线上，且，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)5或11． 【分析】本题考查了直线、射线、线段作图，以及线段长度的求解，熟练掌握以上知识点并分情况讨论，数形结合是解题的关键． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）分当点在线段上时和点在的左侧时两种情况，结合图形分别得出的长即可． 【详解】（1）解：如图，射线，直线，线段为所作： （2）解：分以下两种情况： 如图，当点在线段上时， ，， ； 如图，当点在的左侧时， ，， ； 综上所述，的长为5或11． 70．如图，已知线段，点在线段上，，是的中点． (1)求线段的长度； (2)若在线段上有一点，满足，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了两点间的距离，正确计算是解题的关键． （1）根据线段中点的定义求出的长，即可求出的长； （2）根据计算即可． 【详解】（1）解：∵M是的中点，， ∴， ∴； （2）解：如图： ∵，， ∴． 题型15 最短路径问题 71．如图是一个正方体，有一只蚂蚁从点A沿表面爬向点B，则它所爬过的最短路径在部分侧面展开图中用虚线可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 把此正方体的一面展开，然后在平面内，根据两点之间线段最短即可得到答案． 【详解】解：把此正方体的一面展开，根据两点之间线段最短可知，蚂蚁所爬过的最短路径（虚线）在侧面展开图中的位置如选项B中所示， 故选B． 72．昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径，先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，此时，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答． 【详解】解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小， ∴先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，学校C的位置如图所示： ∴此时， 故选：C． 73．如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点到的路径最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点之间线段最短，掌握最短路径的计算方法是解题的关键． 求的最小值，因为是定值，则当的值最小时即可，将线段沿着方向，平移得到，当点重合时，点三点共线，此时的值最小，由此即可求解． 【详解】解：从点到的路径为的值， ∵是定值， ∴当的值最小时，从点到的路径最短， 如图所示，将线段沿着方向，平移得到，点与点重合， 当时，点三点共线，， ∴由两点之间线段最短得，的值最小， 故选：D ． 74．如图，在公路两侧分别有七个工厂，各工厂与公路（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”，由以上几个描述：①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置在B点与C点之间任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长短无关．其中，正确的是 ． 【答案】①③/③① 【分析】根据最优化问题，即可判断出正确答案．此题属于最优化问题，做这类题要做到规划合理，也就是要考虑到省时省力． 【详解】解；如图， 因为A、D、E点各有一个工厂相连，B，C，各有两个工厂相连，把工厂看作“人”．可简化为“A，B，C，D，E处分别站着1，2，2，1，1个人（如图），求一点，使所有人走到这一点的距离和最小”把人尽量靠拢，显然把人聚到B、C最合适，靠拢完的结果变成了，最好是移动3个人而不要移动4个人．所以车站设在C点，且与各段小公路的长度无关． 故答案为：①③． 75．【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】 （1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】 （3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，正确画出图形是解题关键． （1）作点关于直线的对称点连接交于点，点即为所求； （2）先由轴对称的性质得到，，则，再由两点之间线段最短即可证明结论； （3）分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线即为所求. 【详解】解：（1）如图所示，点C即为所求， ； （2）直线是点、的对称轴，点、在上， ，， ， 在中， ， ； （3）如图所示， ，， 则， 根据两点之间线段最短可得路线即为所求． 题型16 作线段 76．已知线段，，用尺规作一条线段，使得； 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作线段．先作射线，在射线上截取，再在射线上截取，则线段即为所求． 【详解】解：如图，线段即为所求． ． 77．如图所示，点A、B表示的数分别是a、b． 用刻度尺或圆规作图：在数轴上画出表示的点；（用两种方法，写出必要的文字说明） 方法一： 方法二： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图——作一条线段等于已知线段．根据作一条线段等于已知线段的作法解答即可． 【详解】解：方法一：如图，以点A为圆心，为半径画弧交原点左侧数轴点D，则点D即为所求； 方法二：如图，以原点O为圆心，为半径画弧交原点左侧数轴于点D，则点D即为所求． 78．如图，C为线段上一点，D为线段的中点． (1)若，，求线段的长． (2)延长到点E，使．在图中完成作图，并写出图中所有相等的线段．（除外） 【答案】(1)4 (2)作图见解析，，， 【分析】本题主要考查了线段的有关计算及线段的尺规作图，根据题意弄清线段之间的关系是解题的关键． （1）将转化为，结合D为线段的中点，即可求解； （2）画出图形，由，再在两段线段上分别加上相等的线段，所得线段也相等即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵D为线段的中点， ∴， ∴． （2）解：如图所示为所求： ∵，， ∴，， 即，， ∴图中相等的线段有：，，． 79．如图，已知线段，，． (1)请用尺规按下列要求作图；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①延长到，使； ②反向延长线段到，使． (2)在（1）的条件下，如果，，，点为的中点． ①求线段的长度； ②若点在线段上，且，则线段的长为__________． 【答案】(1)见解析 (2)①；②1或5 【分析】本题考查了作线段，与线段中点有关的计算，线段的和差关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据延长到，使，得出点的位置，再结合反向延长线段到，使得出点的位置，即可作答； （2）①先根据点为的中点进行作图，再结合线段的和差关系进行列式得出，然后运用线段的中点进行分析，即可作答． ②理解题意，得出，结合点在线段上，且，进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：①∵，，， ∴， ∴， ∵点为的中点． ∴， ∴． ②由①得出， ∵， ∴， ∵点在线段上，且， ∴当点在线段上，则； ∴当点在线段上，则． 80．尺规作图，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹． (1)如图1，已知平面内的三个点A，B，C． ①画线段，射线，直线； ②在射线上作点D，使得； (2)如图2，在四边形内取一点P，使得之和最小，你的依据是______． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)两点之间线段最短 【分析】本题考查了尺规作图． （1）①分别根据线段、射线、直线的定义作图即可； ②以C为圆心，为半径，在射线上取F，以F为圆心，为半径，在射线上取D即可； （2）根据两点之间线段最短作出线段、的交点P即可． 【详解】（1）①如图，线段，射线，直线即为所求； ②如图，点D即为所求； （2）如图2中，点P即为所求．作图依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短 1．下列说法中，正确的有（    ） A．过一点有且只有一条直线 B．连接两点的线段叫做两点的距离 C．两点之间，线段最短 D．，则点B是线段的中点 【答案】C 【分析】本题考查了直线、线段的基本性质以及距离和中点的定义． 根据直线、线段的基本性质以及距离和中点的定义，逐一判断每个选项的正确性． 【详解】解：过一点有无数条直线， ∴ A错误； 连接两点的线段的长度叫做两点的距离， ∴ B错误； 两点之间，线段最短， ∴ C正确； 时，点B不一定在线段上，也不一定是线段的中点， ∴ D错误． 故选：C． 2．如图，已知数轴上点、、所表示的数分别为、、，点是线段的中点，且，如果原点的位置在线段上，那么等于（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的中点性质以及绝对值的化简，解题的关䋖是利用中点性质得出、与的关系，再结合原点位置分析绝对值内式子的值． 先根据线段中点的性质得出、、的关系，再结合原点位置判断绝对值内式子的结果，进而化简绝对值． 【详解】因为点是线段的中点，根据线段中点的性质：若点是线段的中点， 则，由此可得， 将代入中，得到， 所以， 故选：D． 3．下列说法错误的个数有（   ）． ①经过两点有一条直线，有且只有一条直线；    ②两点之间直线最短； ③有理数包括正有理数和负有理数；    ④的最高次项是． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了直线的性质，线段的性质，有理数的分类，多项式的定义，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①经过两点有一条直线，有且只有一条直线，故①正确； ②两点之间线段最短，故②错误； ③有理数包括正有理数和负有理数以及，故③错误；     ④的最高次项是，故④错误． 说法错误的有②③④，共3个， 故选：D． 4．已知线段，点是的三等分点，点是的中点，则的长为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点间距离，解决问题的关键是分类讨论，画出相应的图形进行计算．分两种情况进行讨论，分别依据点是线段的三等分点，点是线段的中点，即可得到线段的长． 【详解】解：如图，当时， ∵点是的中点， ∴的长为 如图，当时， ∵点是的中点， ∴的长为 故选：B． 5．有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查线段两点间的距离，理解题意、分类作出相应图形是解题的关键． 分两种情况讨论：①当A、C或B、D重合且剩余两端点在重合点同侧时；②当B、C或A、D重合，且剩余两端点在重合点两侧时；让分别作出相应图形，并结合图形求解即可． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ①当A、C或B、D重合，且剩余两端点在重合点同侧时， 由图可得：； ②当B、C或A、D重合，且剩余两端点在重合点两侧时， 由图可得：； ∴两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：C． 6．在平面上有四个点，其中任意三点都不在同一条直线上．过其中的任意两点都可以作一条直线，那么，这四个点可以作出(   )条直线． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查平面上不共线点的直线数量计算．根据题意，四个点中任意三点不共线，因此每两点确定一条唯一直线 【详解】解：设在平面上有四个点、、、，其中任意三点都不在同一条直线上 可连成直线、、、、、，共6条． 所以这四个点可作出条直线，对应选项C． 故选：C． 7．直线平行于直线．直线上有10个点．分别是，直线上有11个点．分别是将上的每个点与上的每个点相连．可以得到许多线段．已知没有三条线段相交于、外的一点．这些线段一共有（    ）个交点 ．不包括 A．110 B．2475 C．9900 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了直线、线段、射线的数量问题．直线上分别取点和，连接，得到四边形，而这个四边形的对角线的交点恰好是我们要求的点，故想要求出这些线段一共有多少个交点，只需要求出在直线上能找到多少个满足条件的四边形即可求解． 【详解】解：如图， 直线上分别取点和，连接，得到四边形，而这个四边形的对角线的交点恰好是我们要求的点，故想要求出这些线段一共有多少个交点，只需要求出在直线上能找到多少个满足条件的四边形就可以了． 确定线段，有（种）， 确定线段，有（种）， 共可以产生个四边形， 所以这些线段一共有2475个交点． 故选：B． 8．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的应用，线段的中点性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 根据两点间距离进行计算即可判断①；利用路程除以速度即可判断②；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，由题意求出的长， 再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断④； 【详解】∵A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且， ∴B对应的数为，故①正确； ∵， ∴点P到达点B时，，故②是正确的； 当点P在点B右边时， ∵， ∴， ∴； 当点P在点B左边时， ∵， ∴， ∴， ∴时，或，故③错误； 在点P的运动过程中，当点P在点B右边时， ； 在点P的运动过程中，当点P在点B左边时， ； ∴在点P的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故④错误； ∴正确结论有①②， 故选：A． 9．如图，能用字母表示的直线有 条，线段有 条，射线有 条 【答案】 1 3 4 【分析】首先识别图中直线、射线、线段的数量，同时结合还要能用字母表示线段、直线、射线即可解决问题． 【详解】解：直线没有端点，可向两端无限延伸。图中A、B、C三点在同一条直线上，能用字母表示的直线只有条(可表示 为直线，直线直线，本质是同一条直线)； 线段有两个端点，不可延伸，表示线段有共三条； 直线上有三个点，共有六条射线，但是用字母来表示的只有射线，射线，射线，射线共四条． 故答案为：①1  ②3  ③4． 【点睛】本题考查了线段、直线、射线的定义，其中理解能用字母表示线段、直线、射线是解本题的关键． 10．如图，线段，点C在线段上，点D是的中点，E是中点，，则线段的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，根据线段中点的定义求出，根据线段的和差关系求出，最后根据线段中点的定义求解即可． 【详解】解：∵，E是中点， ∴， ∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 故答案为：8． 11．如图，已知线段，点C、D分别是线段上的两点，且满足，点K是线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离． 根据线段的比例，可用x表示，，，根据线段的和差，可得关于x的方程，解方程可得x的值，再根据线段中点的性质，可得的长，根据线段的和差，可得答案． 【详解】∵， ∴设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵点K是线段的中点． ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，在一条可以折叠的数轴上，A、B两点表示的数分别是，3，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A折叠后在点B的右边，且，则C点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．根据所给折叠方式，求出折叠后点A所表示的数，再根据点C为折叠前后点A及其对应点所成线段的中点即可解决问题． 【详解】解：由题意可知， 点B表示的数为3，点A在点B的右边，且， 折叠后的点A表示的数为． 折叠前点A表示的数为， 则， 即点C表示的数为． 故答案为：． 13．如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，n是整数）处，经过这样2025次跳动后的点与的中点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2025次跳动的点表示的数，再求出的中点，然后根据两点之间的距离得出答案. 【详解】解：由题意可得， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为. ∵的中点表示的数为， ∴2025次跳动后的点与的中点的距离是：. 故答案为：． 14．如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端C，D分别落在点A，B上，将木棒在数轴上水平移动，当的中点移动到点B时，点D 所对应的数为，当的四等分点（不含中点）移动到点A 时，点 C 所对应的数为，则木棒的长度为 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了数轴上的点坐标、线段的中点与四等分点的性质，以及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上点的位置关系与线段分割比例，以及通过建立方程求解几何问题是解题的关键．根据木棒移动时中点或四等分点与特定点重合的条件，设木棒长度为，利用长度建立方程，分两种情况讨论求解． 【详解】 解：如解图，设， 由题意可知，， 如解图①，当的左四等分点移动到点A时，此时， ∵点对应的数为，点对应的数为， ∴，解得， ∴； 如解图②，当的右四等分点移动到点A 时，此时， ∵点对应的数为，点对应的数为， ∴，解得， ∴． 综上所述，木棒的长度为4或． 15．根据题意，补全解题过程（每空只能填一条线段或一个数） 已知点为线段的中点，点在线段上．如图，若，点为中点，，求线段的长． 解：∵点是的中点， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴ ∵， ∴______， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【答案】,,,,,,,． 【分析】本题考查的知识点是线段的中点性质以及线段的和差关系．通过利用中点将线段进行等分，再结合已知的线段倍数关系，运用线段和差来逐步推导所求线段的长度． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：，，，，，，，． 16．如图，已知三点A、B、C，请用尺规作图完成． (1)画直线、射线； (2)连接并延长到E，使得（保留画图痕迹） (3)在（2）条件下，若，点F为的中点，求线段的长的解法如下，请将过程填写完整． 解：∵ ∴ ∵点F为的中点 ∴______=______ ∴______（填写线段名称）=______ 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了画直线，射线，线段；线段的和差关系，与中点有关的线段运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据射线，直线的定义进行作图，即可作答． （2）理解题意，先画出射线，再以点为圆心，以为半径，画弧，交射线的延长线于点，然后以点为圆心，以为半径，画弧，交射线的延长线于点，即可作答． （3）理解题意，再联系上下过程，进行补充完整，即可作答． 【详解】（1）解：直线、射线如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：依题意， ∵， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴． 17．已知：如图，，点是线段的中点，点在线段上，且满足． (1)求线段的长； (2)若点为线段上一点，且，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）根据线段中点的定义求出，进而根据比即可求解； （）分点在点左侧和右侧两种情况，根据线段的和差关系解答即可求解； 本题考查了线段的中点，线段的和差，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：当点在点左侧时，如图， ∵，， ∴； 当点在点右侧时，如图， ∵，， ∴； 综上，线段的长为或． 18．用数轴上的点表示下列各数． (1)点A表示的倒数，点B表示2的相反数，点C表示，点D表示绝对值最小的数； (2)已知点E与B的距离为线段长的一半，则点E表示的数是_________． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了有理数与数轴，数轴上两点间的距离，于线段中点有关的计算，倒数，相反数等知识点． （1）先确定A、B、C、D各数，再在数轴表示即可； （2）先求出的长，即可求出，即可求出点E表示的数． 【详解】（1）解：点A表示的倒数，即为 点B表示2的相反数，即为 点C表示，即为； 点D表示绝对值最小的数，即为， ∴数轴表示为： （2）解：， ∴， ∵点表示的数为， ∴点E表示的数是为或 ∴点E表示的数是或， 故答案为：或． 19．如图，已知点为线段上一点，，，分别为线段、的中点．求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差，解决本题的关键是掌握线段的中点定义． 先求出的长，再根据线段的中点定义即可求解． 【详解】解：， ． ∵， ． 、分别为的中点， ，， ． 20．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动． 设运动时间为t秒（）． (1)填空：①A，B两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______； (2)求当t为何值时，P，Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)求当t为何值时，． 【答案】(1)①10，3②， (2)当时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数为4 (3)或 【分析】本题主要考查了数轴、整式的加减，一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． （1）①利用两点间的距离公式，和中点公式，进行求解即可； ②根据速度乘以时间等于路程，利用左减右加，用含t的代数式表示点P，Q所表示的数即可； （2）根据（1）的结论，列出一元一次方程，解方程即可求解； （3）利用两点间的距离公式和绝对值的几何意义，列方程进行求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意得，， 线段的中点表示的数为， 故答案为：10，3； ②点P表示的数为， 点Q表示的数为， 故答案为：，； （2）解：设运动时间为t秒，根据题意得， ， 解得， ， ∴当时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数为4； （3）解：根据题意得， ， 解得或， ∴当t为1或3时，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $