专题6.1 直线、射线、线段（知识梳理+16个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共57题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上册同步培优讲练

专题6.1 直线、射线、线段 （知识梳理+16个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共57题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：直线 2 知识点梳理02：线段 2 知识点梳理03：射线 3 知识点梳理04：直线、射线、线段的区别与联系 3 优选题型 考点讲练 4 考点1 直线、线段、射线的数量问题 4 考点2 直线相交的交点个数问题 5 考点3 线段的应用 6 考点4 直线、射线、线段的联系与区别 7 考点5 画出直线、射线、线段 7 考点6 点与线的位置关系 8 考点7 两点确定一条直线 9 考点8 线段的和与差 10 考点9 线段中点的有关计算 10 考点10 线段n等分点的有关计算 11 考点11 线段之间的数量关系 12 考点12 与线段有关的动点问题 13 考点13 两点之间线段最短 13 考点14 两点间的距离 14 考点15 最短路径问题 15 考点16 作线段（尺规作图） 16 中考真题 实战演练 17 难度分层 拔尖冲刺 19 基础夯实 19 培优拔高 21 知识点梳理01：直线 1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述． 2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线． 3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． 要点提示：直线的特征： （1）直线没有长短，向两方无限延伸． （2）直线没有粗细． （3）两点确定一条直线． （4）两条直线相交有唯一一个交点． 4.点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． （2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B． 知识点梳理02：线段 1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段． 2.表示方法： （1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA． （2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a． 3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 知识点梳理03：射线 1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图6所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点． 图6 2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． 3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图6所示，可记为射线OA． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l． 要点提示： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图7中射线OA，射线OB是不同的射线． 图7 (2) 端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图8中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 图8 知识点梳理04：直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 考点1 直线、线段、射线的数量问题 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图． (1)【试验观察】 如果每2个点画1条直线，那么 第1组最多可以画________条直线； 第2组最多可以画________条直线； 第3组最多可以画________条直线； …… (2)【探索归纳】如果平面上有个点，且任意3个点均不在1条直线上，那么经过个点最多可以画________条直线（用含的式子表示）． (3)【解决问题】（3）某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握一次手问好，那么一共需要握多少次手？ 【变式训练】（24-25七年级上·江苏·期末）如图，点C为线段上一点，点B为的中点，且． (1)图中共有 条线段； (2)求的长； (3)若点E在直线上，且，求的长． 考点2 直线相交的交点个数问题 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，同一平面内2条直线相交，只有1个交点；3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有 个交点；5条直线两两相交，最多有 个交点．请你猜想：10条直线两两相交，最多有 个交点；n条直线两两相交，最多有 个交点． 【变式训练】（24-25七年级上·全国·随堂练习）平面上有A，B，C，D四点． (1)经过这四个点中任意两点可以作_______条直线． (2)当直线m上有n个点时，试用含n的式子表示线段的总条数为_______． (3)在一次联欢活动中，共有60人，若每人都与其余人握一次手，则共要握_______次手． (4)已知往返于甲、乙两地的客车，中途停靠五个站（每两站之间距离不等），假如你是客运公司经理： ①要定_______种不同的票价；    ②要准备_______种不同的车票． 考点3 线段的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·四川绵阳·期末）按要求作图，并回答问题： (1)若平面内有三个点，且不在同一直线上，将每两个点进行连接，可以连成几条线段？ (2)若平面内有四个点，且每三点都不在同一条直线上，将每两个点进行连接，可以连成几条线段？ (3)利用以上原理解决问题： 某趟高铁从起始点A市到终点E市会经过B，C，D三个站点，中途共停靠3次，每个站点到A市的距离如表所示： 站点 B C D E 与A市的距离（公里） 115 254 367 493 已知高铁的票价由路程决定，求共有几种不同的票价； (4)写出一个可以用以上问题中的原理解决的实际问题． 【变式训练】（22-23七年级上·辽宁阜新·期中）如图，已知、在线段上． (1)图中共有_______条线段； (2)若． ①比较线段的长短： _______ （填：“”、“”或“”）； ②若，，是的中点，是的中点，求的长度． (3)若与长度不相等，是的中点，是的中点，设，．请用含有，的代数式表示的长度．（直接写出结果） 考点4 直线、射线、线段的联系与区别 【典例精讲】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．射线比直线短 B．射线与射线是同一条射线 C．若，则点为线段的中点 D．已知、为线段上的两点，若，则 【变式训练】（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．图中有直线1条，射线3条，线段2条 B．射线还可以表示为射线 C．点在直线外，直线经过点 D．图中线段，则点是线段的中点 考点5 画出直线、射线、线段 【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，已知线段，点D是线段上的一点，延长到C，使． (1)请补全图形； (2)若．求线段的长． (3)试说明：． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，已知直线，点在直线上，点在直线外，按要求作图： (1)画射线，画线段，画直线； (2)尺规作图：在射线上画一条线段，使得（保留尺规作图痕迹）； (3)若，． 比较大小线段 ，依据： ； 比较大小： ． 考点6 点与线的位置关系 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·随堂练习）按下列语句画出图形： (1)直线经过点C； (2)点A在直线l外； (3)经过点O的三条线段； (4)线段相交于点B，连接． 【变式训练】（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，平面上有三个点． (1)根据下列语句画图：作出射线，直线；在射线上取一点（不与点重合），使． (2)在（1）的条件下，回答问题： ①用适当的语句表述点D与直线的关系：___________； ②若，则___________． (3)点以同样的速度同时从点向点运动，点沿线段运动，点沿的路线运动，请你判断谁先到达点C：___________（填“点P”或“点Q”），理由是___________． 考点7 两点确定一条直线 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，网格纸上有八个点同时经过其中3个点的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式训练】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图点B，D在线段上． (1)填空： ①图中有 条线段． ② ． (3) 若D线段的中点，点B在点D的右侧，且，求线段的长． 考点8 线段的和与差 【典例精讲】（24-25七年级上·山西·期末）已知：点分别是线段的中点． (1)如图，点在线段上，且，求线段的长； (2)若点为线段上任一点，且，用含有的代数式表示线段的长度； (3)若点为线段的延长线上，且，请你画出图形，并且用含有的代数式表示线段的长度． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏·阶段练习）已知A，B两点在数轴上的位置如图所示，P是数轴上的一个动点． (1)当P，B两点之间的距离为2时，求点P表示的数； (2)当点P将A，B两点之间的距离分成长为的两部分，求点P表示的数； (3)是否存在点P，使点P到A，B两点之间的距离之和最小？若存在，请写出所有符合条件的整数点P的坐标，并求出点P到A，B两点之间的距离之和的最小值；若不存在，请说明理由． 考点9 线段中点的有关计算 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，P、Q两点将线段分成了1：2：6的三个部分，点G是线段的中点，，则线段的长为 ． 【变式训练】（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）阅读理解： 定义：在数轴上表示和的两点之间的距离是，这是绝对值的几何意义．如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为3，则之间的距离为．另，线段的中点表示的数是，即； (1)若在数轴上有、、三点，点对应的数是，且、两点间的距离为6，为的中点，则点所对应的数是___________． (2)当满足___________时，的值最小，最小值为___________． (3)，则___________． (4)若数轴上点表示的数是4，点表示的数是16，动点从点开始以每秒3个单位长度的速度向数轴正半轴方向运动，求多少秒后点到点的距离是到点距离的2倍？ 考点10 线段n等分点的有关计算 【典例精讲】（24-25六年级下·山东烟台·期末）已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长； (3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 【变式训练】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,， (1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长； (2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长． 考点11 线段之间的数量关系 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为．． （1）若点为折点，则绳子原长为 ； （2）若点为折点，则绳子原长为 ． 【变式训练】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图，、、、四点在同一直线上． (1)如图1，若，，且，求的长； (2)如图2，若线段被点、分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长． 考点12 与线段有关的动点问题 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图①，点M在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“二倍点”． (1)一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； (2)如图②，若，点N是线段的二倍点，则 ；（用含a的代数式表示） (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移动，设移动的时间为，求当t为何值时，点Q恰好是线段的二倍点． 【变式训练】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 考点13 两点之间线段最短 【典例精讲】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）问题提出： 如图1，A、B、C、D表示四个村庄，村民们准备合打一口水井． （1）问题解决：你能给出一种使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若能，请在图2中标出水井的位置点M，并说明理由． 问题拓展： 如果（1）问中找出的水井经过招标，由两个工程队修建（不存在同时修建），已知甲工程队单独完成需要80天，乙工程队单独完成需要120天，且甲工程队比乙工程队每天多修建； （2）水井要修建几米？ （3）若甲工程队每天的施工费为0.5万元，乙工程队每天的费用是0.25万元，为了缩短工期和节约资金，则甲工程队施工几天才能使工程款正好是35万元？（甲、乙两队的施工时间不足一天按一天算） 【变式训练】（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，已知平面内有四个点，，，．根据下列语句按要求画图． (1)连接；作射线；作直线与射线交于点； (2)观察图形发现，线段与线段的数量关系是 （填、或），得出这个结论的理由是： ． 考点14 两点间的距离 【典例精讲】（21-22七年级上·浙江台州·期末）如图，已知，，且D是的中点．求和的长度． 【变式训练】（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，已知C为线段上的一点， (1)在线段延长线上求作点B，使得（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，点M是线段的中点，N为的中点若，请求出线段的长． 考点15 最短路径问题 【典例精讲】（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）如图，是一条公路上的3个村庄，间的路程为，间的路程为，要在之间设一个车站，设之间的路程为． (1)用含的代数式表示车站到3个村庄的路程之和； (2)若车站到3个村庄的路程之和为，问车站应设在何处？ (3)若要使车站到3个村庄的路程总和最小，问车站应设在何处？ 【变式训练】（24-25七年级上·湖北咸宁·期末）如图，甲、乙两个圆柱体，底面半径分别为，高均为． (1)请分别画出它们的侧面展开图并标注各边长； (2)请用代数式表示两个圆柱体的侧面的面积之和______________； (3)如果一只蚂蚁从点A沿甲圆柱体侧面爬行两圈到达点，另一只蚂蚁从点沿乙圆柱体侧面爬行一圈到达点，均沿最短路线爬行，请猜想：它们的路线长是否相等？请在（1）问所画的侧面展开图基础上，用虚线画出最短路线． 考点16 作线段（尺规作图） 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知线段和线段，按照下列要求完成作图和计算． (1)延长线段到，使，延长线段到，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，为的中点，求线段的长． 【变式训练】（24-25七年级上·河南信阳·期末）如图， (1)设、、、四点为个居民小区，现要在四边形内建一个购物中心，不考虑其他因素，请你画图确定购物中心的位置点，使个居民小区到购物中心的距离之和最小； (2)尺规作图：在图中作射线，在射线上找一点，使得； (3)点在直线上，，，点、分别是，的中点，则线段 ． 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（    ） A．B． C． D． 3．（2022·广西桂林·中考真题）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝ cm． 4．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 5．（2021·河北·中考真题）如图，已知四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（    ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列语句准确规范的是（   ） A．直线，相交于一点 B．延长直线 C．延长射线 D．延长线段到点，使 2．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，点C在线段的延长线上，，点D是线段的中点，，则的长度是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）直线，，的位置关系如图所示，有下列说法：①点在直线上；②直线经过点；③点在直线外；④直线，，两两相交；⑤点是直线，的交点．其中正确的有 （填序号）． 4．（25-26七年级上·辽宁本溪·期中）已知线段，，若A，B，C在同一条直线上，点D是线段的中点，则线段的长为 ． 5．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）如图，，是线段的三等分点，是的中点，若，则 ． 6．（2025七年级上·全国·专题练习）定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则____ ． 7．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，已知，M为的中点，点P在上，N为的中点． (1)图中共有 条线段； (2)若，求的长． 8．（2025·北京东城·一模）快递员小明每天从快递点骑电动三轮车到三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点．之间的距离（单位：）如图所示． （1）若小明按照的路线骑行，则小明骑行的距离为 ； （2）小明骑行的最短距离为 ． 9．（2025七年级上·河北·专题练习）如图，点E是线段的中点，C是线段上一点，； (1)若，求的长； (2)若F为的中点，求长． 10．（25-26七年级上·全国·单元测试）问题提出 （1）数轴上，点、点表示的数分别为，则线段的长为 ，线段的中点表示的数为 ； 问题探究 （2）如图，直线上顺次有四个点，，．点是的中点，点是的中点．若线段以每秒的速度沿直线向右运动，同时，线段以每秒的速度沿直线向左运动．在运动的过程中，记的中点为，的中点为．设运动时间为秒． 求在运动过程中时的值； 在运动过程中是否存在，使得的值最小？若存在，求出满足的条件，并求出的最小值；若不存在，说明理由． 培优拔高 1．（24-25七年级上·山东·期中）以下给出的四个语句中，正确的是（   ） A．若线段，则点，，在同一直线上 B．如果线段，则是线段的中点 C．线段厘米，为直线上的一点，且厘米，那么的长度是1厘米 D．两点之间的线段叫做这两点间的距离 2．（25-26七年级上·福建福州·阶段练习）如图，已知数轴上点、、所表示的数分别为、、，点是线段的中点，且，如果原点的位置在线段上，那么等于（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法错误的个数有（   ）． ①经过两点有一条直线，有且只有一条直线；    ②两点之间直线最短； ③有理数包括正有理数和负有理数；    ④的最高次项是． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，，为线段上两点，，且，则 ． 5．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在一条可以折叠的数轴上，A、B两点表示的数分别是，3，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A折叠后在点B的右边，且，则C点表示的数是 ． 6．（25-26七年级上·全国·期末）如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端C，D分别落在点A，B上，将木棒在数轴上水平移动，当的中点移动到点B时，点D 所对应的数为，当的四等分点（不含中点）移动到点A 时，点 C 所对应的数为，则木棒的长度为 ． 7．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知B、C在线段上． (1)图中共有______条线段； (2)若． ①比较线段的长短：______ （填“”、“”或“”）； ②若，，求的长度； (3)在（2）的条件下，点M是线段的中点，点N是线段的三等分点，求线段的长度． 8．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点A的右侧顺次有B、M两点，线段，，线段在直线上，点位于原点的右侧且绝对值为8，点恰好为线段的中点． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______． (2)若线段以每秒1个单位长度的速度向右运动，当点到达点时线段停止运动；同时线段以每秒3个单位长度的速度向右运动，当点到达点时线段停止运动．设线段的运动时间为秒． ①当点A与点D到原点距离相等时，求t的值； ②当点D为线段中点时，直接写出t的值； ③当时，直接写出t的值； 9．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）数轴上有、、、四个点，分别对应的数为、、、，且满足，，，与互为相反数． (1)求、、、的值； (2)若、两点以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动，同时、两点以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，并设运动时间为秒．则为何值时，的中点与的中点距离3个单位长度； (3)在（2）的条件下，满足什么条件时，、两点都运动在线段上（不与，两个端点重合）． 10．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）如图，在单位长度为 1 的数轴上，点 A 在数轴上表示的数是 ，点 D 在数轴上表示的数是 15，线段 AB 长为 2，线段 CD 长为 1． (1)点 B 在数轴上表示的数是___________，点 C 在数轴上表示的数是___________，线段 的长 =___________； (2)若线段 以 1 个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以 2 个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点B与点C相距 3 个单位长度时，点B在数轴上表示的数为多少？ (3)若线段 以 1 个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2 个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为 秒，当 时，为中点，为中点，则线段 的长为多少？ 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1 直线、射线、线段 （知识梳理+16个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共57题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：直线 2 知识点梳理02：线段 2 知识点梳理03：射线 3 知识点梳理04：直线、射线、线段的区别与联系 3 优选题型 考点讲练 4 考点1 直线、线段、射线的数量问题 4 考点2 直线相交的交点个数问题 6 考点3 线段的应用 8 考点4 直线、射线、线段的联系与区别 11 考点5 画出直线、射线、线段 12 考点6 点与线的位置关系 14 考点7 两点确定一条直线 16 考点8 线段的和与差 18 考点9 线段中点的有关计算 20 考点10 线段n等分点的有关计算 23 考点11 线段之间的数量关系 25 考点12 与线段有关的动点问题 27 考点13 两点之间线段最短 29 考点14 两点间的距离 31 考点15 最短路径问题 32 考点16 作线段（尺规作图） 34 中考真题 实战演练 36 难度分层 拔尖冲刺 39 基础夯实 39 培优拔高 46 知识点梳理01：直线 1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述． 2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线． 3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． 要点提示：直线的特征： （1）直线没有长短，向两方无限延伸． （2）直线没有粗细． （3）两点确定一条直线． （4）两条直线相交有唯一一个交点． 4.点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． （2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B． 知识点梳理02：线段 1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段． 2.表示方法： （1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA． （2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a． 3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 知识点梳理03：射线 1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图6所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点． 图6 2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． 3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图6所示，可记为射线OA． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l． 要点提示： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图7中射线OA，射线OB是不同的射线． 图7 (2) 端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图8中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 图8 知识点梳理04：直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 考点1 直线、线段、射线的数量问题 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图． (1)【试验观察】 如果每2个点画1条直线，那么 第1组最多可以画________条直线； 第2组最多可以画________条直线； 第3组最多可以画________条直线； …… (2)【探索归纳】如果平面上有个点，且任意3个点均不在1条直线上，那么经过个点最多可以画________条直线（用含的式子表示）． (3)【解决问题】（3）某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握一次手问好，那么一共需要握多少次手？ 【答案】（1）3，6，10；（2）；（3）一共需要握990次手． 【思路引导】本题主要考查规律的探究，找出其中的规律是解题的关键． （1）先根据图中点的个数，画出图形，从而可确定出图形中直线的条数； （2）由（1）规律求得即可； （3）根据（1）（2）规律应用求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示： 直线的条数分别可表示为： ， 故答案为：3，6，10； （2）解：由（1）规律可得， 如果平面上有个点，且任意3个点均不在1条直线上，那么经过个点最多可画， 故答案为： ； （3）解：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握1次手问好， 那么共握手次数（次）， 答：一共需要握990次手． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏·期末）如图，点C为线段上一点，点B为的中点，且． (1)图中共有 条线段； (2)求的长； (3)若点E在直线上，且，求的长． 【答案】(1)6 (2) (3)或 【思路引导】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，线段的和差，正确的理解题意是解题关键． （1）根据线段的定义，有两个端点，根据题目所给线段，枚举出所有线段即可； （2）根据点B为的中点，，即可求得的长； （3）分两种情况讨论：当点E在上时，当点E在延长线上时，根据线段的和差关系求解即可． 【规范解答】（1）解：图中的线段有共6条， 故答案为：6； （2）解：∵点B为的中点，， ∴． ∵， ∴； （3）解：分两种情况讨论： ①如图（1），当点E在上时， ∵， ∴； ②如图（2），当点E在延长线上时， ∵， ∴； 综上所述，的长为或． 考点2 直线相交的交点个数问题 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，同一平面内2条直线相交，只有1个交点；3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有 个交点；5条直线两两相交，最多有 个交点．请你猜想：10条直线两两相交，最多有 个交点；n条直线两两相交，最多有 个交点． 【答案】 6 10 45 【思路引导】本题通过分析不同数量直线两两相交时最多交点数的规律，进而推导出条直线两两相交时最多交点数的通用公式． 本题考查了直线相交时交点数的规律探索，掌握通过分析少量直线相交的最多交点数，总结出条直线两两相交最多交点数的公式是解题的关键． 【规范解答】解：条直线两两相交，最多交点数为，所以①处填6； 条直线两两相交，最多交点数为，所以②处填10； 条直线两两相交，最多交点数为，所以③处填45； 条直线两两相交，最多交点数为 ，所以④处填． 故答案为： ． 【变式训练】（24-25七年级上·全国·随堂练习）平面上有A，B，C，D四点． (1)经过这四个点中任意两点可以作_______条直线． (2)当直线m上有n个点时，试用含n的式子表示线段的总条数为_______． (3)在一次联欢活动中，共有60人，若每人都与其余人握一次手，则共要握_______次手． (4)已知往返于甲、乙两地的客车，中途停靠五个站（每两站之间距离不等），假如你是客运公司经理： ①要定_______种不同的票价；    ②要准备_______种不同的车票． 【答案】(1)1或4或6 (2) (3)1770 (4)①21，②42 【思路引导】此题考查图形的变化规律，找出运算的规律与方法，得出规律，解决问题． （1）分三种情况：当四个点在同一直线上时；当只有三个点在同一直线上时；当任意三点都不在同一直线上时，即可求解； （2）根据题意可得线段的总条数为，即可求解； （3）共要握手的次数为，即可求解； （4）①根据题意可得要定种不同的票价；②根据往返车票不同，可得车票的种类是票价的2倍，即可求解． 【规范解答】（1）解：当四个点在同一直线上时，可以画1条直线； 当只有三个点在同一直线上时，可以画4条直线； 当任意三点都不在同一直线上时，可以画6条直线． 综上，经过平面上四个点中任意两点可以作1或4或6条直线； 故答案为：1或4或6 （2）解：当直线m上有n个点时，线段的总条数为 ； 故答案为： （3）解：若每人都与其余人握一次手，则共要握（次）； 故答案为：1770 （4）解：①因为客车中途停靠五个站(每两站之间距离不等)， 所以包括甲地和乙地共有七个站， 所以要定种不同的票价； 故答案为：21 ②因为往返车票不同， 所以要准备种不同的车票． 故答案为：42 考点3 线段的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·四川绵阳·期末）按要求作图，并回答问题： (1)若平面内有三个点，且不在同一直线上，将每两个点进行连接，可以连成几条线段？ (2)若平面内有四个点，且每三点都不在同一条直线上，将每两个点进行连接，可以连成几条线段？ (3)利用以上原理解决问题： 某趟高铁从起始点A市到终点E市会经过B，C，D三个站点，中途共停靠3次，每个站点到A市的距离如表所示： 站点 B C D E 与A市的距离（公里） 115 254 367 493 已知高铁的票价由路程决定，求共有几种不同的票价； (4)写出一个可以用以上问题中的原理解决的实际问题． 【答案】(1)图见解析，可以连成三条线段 (2)图见解析，可以连成六条线段 (3)图见解析，共有10种票价 (4)见解析 【思路引导】本题考查线段的计数以及其在实际生活中的应用，解题的关键是理解两点确定一条线段，并将实际问题转化为数学模型． （1）根据两点确定一条线段，通过列举法来计算线段数量； （2）根据两点确定一条线段，通过列举法来计算线段数量； （3）将站点看作点，不同站点间的距离不同对应不同票价，转化为求线段数量问题； （4）根据前面的原理构造类似的实际场景问题． 【规范解答】（1）解：如解图①，可以连成三条线段； （2）解：如解图②，可以连成六条线段； （3）解：由表可得（千米），（千米），（千米）， 所以任意两站点间的距离均不相等，即票价均不相等， 故A市到E市各站点的距离如解图③所示： ①从A出发有4种票价，即； ②从B出发有3种票价，即； ③从C出发有2种票价，即； ④从D出发有1种票价，即， ⑤从E出发，有0种票价， 4+3+2+1＝10（种）， 综上共有10种票价； （4）解：若将一个点看作一个篮球队，每个篮球队两两之间进行一场比赛，则三个篮球队共需进行三场比赛，四个篮球队共需进行六场比赛．（答案不唯一） 【变式训练】（22-23七年级上·辽宁阜新·期中）如图，已知、在线段上． (1)图中共有_______条线段； (2)若． ①比较线段的长短： _______ （填：“”、“”或“”）； ②若，，是的中点，是的中点，求的长度． (3)若与长度不相等，是的中点，是的中点，设，．请用含有，的代数式表示的长度．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)①；② (3) 【思路引导】本题考查线段以及线段中点的定义，线段的和差倍数关系等相关知识点，掌握线段的中点定义是解题的关键． （1）根据线段的定义可知图中的线段的条数； （2）①根据线段的和差关系即可得到结论；②根据线段的和差倍关系即可求得线段的长度； （3）根据线段的和差倍关系即可求得线段的长度； 【规范解答】（1）解：图中有，，，，，， 共有条线段； （2）解：①根据图可得：，， ， ， ② M是AB的中点，N是CD的中点， ，， ， （3）解：，， 是的中点，是的中点 考点4 直线、射线、线段的联系与区别 【典例精讲】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．射线比直线短 B．射线与射线是同一条射线 C．若，则点为线段的中点 D．已知、为线段上的两点，若，则 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了直线和射线的概念，线段的和差计算，线段中点的定义，熟练掌握线段的和差计算，线段中点的定义是解题的关键． 直线、射线不可度量，由此可判断A；根据射线的表示方法即可判断B；根据线段中点的定义即可判断C；根据线段的和差关系即可判断D． 【规范解答】解：A. 射线和直线都是无限长的，无法比较长度，故本选项不符合题意； B. 射线的端点是B，向A延伸；射线的端点是A，向B延伸，两者端点与方向均不同，故本选项不符合题意； C. 若，但点C可能不在线段上（例如在的垂直平分线上），因此C不一定是的中点，故本选项不符合题意； D. 设C、D在线段上，．假设总长为L，，则，，．由于，可得，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．图中有直线1条，射线3条，线段2条 B．射线还可以表示为射线 C．点在直线外，直线经过点 D．图中线段，则点是线段的中点 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了直线、射线，线段的定义，根据直线、射线，线段的定义进行逐一判断即可，熟知相关定义是解题的关键． 【规范解答】解：A、图中有直线共1条，射线共4条，线段共3条，故A错误，不符题意； B、射线还不可以表示为射线，故B错误，不符题意； C、点在直线外，直线经过点，故C正确，符合题意； D、图中线段，则点不一定是线段的中点，故D错误，不符合题意， 故选：C． 考点5 画出直线、射线、线段 【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，已知线段，点D是线段上的一点，延长到C，使． (1)请补全图形； (2)若．求线段的长． (3)试说明：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【思路引导】本题考查作一条线段等于已知线段，线段的和差，解题的关键在于结合图形进行分析． （1）根据作一条线段等于已知线段的作图步骤，作线段即可； （2）根据线段的和差结合图形分析即可； （3）根据线段的和差结合图形分析说明即可； 【规范解答】（1）解：所作线段如图所示： （2）解： ， ， ， ； （3）解： ． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，已知直线，点在直线上，点在直线外，按要求作图： (1)画射线，画线段，画直线； (2)尺规作图：在射线上画一条线段，使得（保留尺规作图痕迹）； (3)若，． 比较大小线段 ，依据： ； 比较大小： ． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3) ，由，，则点与的距离大于点与的距离； ． 【思路引导】本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，灵活运用所学知识是解题的关键． （）根据直线，射线，线段的定义画出图形； （）根据要求画出图形； （）利用测量法解决问题． 【规范解答】（1）解：如图， （2）解：如上图，即为所求； （3）解： ，依据：由，，则点与的距离大于点与的距离； ， 故答案为：，由，，则点与的距离大于点与的距离；． 考点6 点与线的位置关系 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·随堂练习）按下列语句画出图形： (1)直线经过点C； (2)点A在直线l外； (3)经过点O的三条线段； (4)线段相交于点B，连接． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【思路引导】本题考查线段，直线的画法，正确画出图形是解题的关键． 根据直线、线段的概念，结合各选项的表述作图即可． 【规范解答】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， （4）解：如图所示， 【变式训练】（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，平面上有三个点． (1)根据下列语句画图：作出射线，直线；在射线上取一点（不与点重合），使． (2)在（1）的条件下，回答问题： ①用适当的语句表述点D与直线的关系：___________； ②若，则___________． (3)点以同样的速度同时从点向点运动，点沿线段运动，点沿的路线运动，请你判断谁先到达点C：___________（填“点P”或“点Q”），理由是___________． 【答案】(1)见解析 (2)①点D在直线外；② (3)点P，两点之间线段最短 【思路引导】本题考查了直线、射线、点的作图与位置关系，点与直线的位置关系，两点之间线段最短． （1）根据射线，直线，线段的定义，按照题意作图即可； （2）用规范的语言描述点与的位置关系即可；利用线段的和差关系计算线段长即可； （3）根据两点之间线段最短即可解答． 【规范解答】（1）解：如图，射线，，直线；射线上一点； （2）解：点与直线的关系：点在直线外， 故答案为：点在直线外； ，， ． 故答案为：4． （3）解：点以同样的速度同时从点向点运动，点沿线段运动，点沿的路线运动， 则点运动的长度是线段的长度，点Q运动的长度是线段的长度， 由两点之间线段最短，得， 点P先到达点C，理由是：两点之间线段最短． 考点7 两点确定一条直线 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，网格纸上有八个点同时经过其中3个点的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【思路引导】本题考察了直线的性质：两点确定一条直线，关键是按照一定的顺序寻找． 找到同时经过其中个点的直线的条数即可求解． 【规范解答】解：如图所示： 故同时经过其中个点的直线有条． 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图点B，D在线段上． (1)填空： ①图中有 条线段． ② ． (2)若D线段的中点，点B在点D的右侧，且，求线段的长． 【答案】(1)①6，②； (2) 【思路引导】本题考查了线段的条数问题，与线段中点有关的线段和差计算． （1）①根据两点确定一条线段进行求解即可；②根据线段的和差关系求解即可； （2）先由线段中点的定义得到，则，据此可得． 【规范解答】（1）解：①图中的线段有共6条线段， 故答案为：6； ②由题意得，， 故答案为：；； （2） D线段的中点，， ， ， ， ． 考点8 线段的和与差 【典例精讲】（24-25七年级上·山西·期末）已知：点分别是线段的中点． (1)如图，点在线段上，且，求线段的长； (2)若点为线段上任一点，且，用含有的代数式表示线段的长度； (3)若点为线段的延长线上，且，请你画出图形，并且用含有的代数式表示线段的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了线段的和差运算，利用了线段中点的性质．分情况讨论是解题的难点，难度较大． （1）根据“点M、N分别是、的中点”，先求出、的长度，再利用即可求出的长度即可． （2）当C为线段上一点，且M，N分别是、的中点，则，进一步可得答案． （3）点在的延长线上时，根据M、N分别为、的中点，可得，进一步即可求出的长度． 【规范解答】（1）解：∵，点是的中点， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴线段的长度为． （2）解：， ∵点分别是线段的中点， ∴， ∴． （3）解：当点在线段的延长线时，如图： 则， ∵是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏·阶段练习）已知A，B两点在数轴上的位置如图所示，P是数轴上的一个动点． (1)当P，B两点之间的距离为2时，求点P表示的数； (2)当点P将A，B两点之间的距离分成长为的两部分，求点P表示的数； (3)是否存在点P，使点P到A，B两点之间的距离之和最小？若存在，请写出所有符合条件的整数点P的坐标，并求出点P到A，B两点之间的距离之和的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2或6 (2)0或2 (3)存在的值最小，点P所表示的整数为，最小值为6 【思路引导】本题主要考查数轴上两点距离、绝对值的几何意义及线段的和差关系，熟练掌握数轴上两点距离、绝对值的几何意义及线段的和差关系是解题的关键； （1）根据，分两种情况：①点在点的左边；②点在点的右边；分别求出点表示的数即可； （2）根据点是线段的三等分点，分两种情况：①；②；分别求出点表示的数即可； （3）根据图示，可得当点在、两点之间时，的值最小，据此判断即可． 【规范解答】（1）解：由题意知点、表示的数分别为，4，分两种情况进行解答： ①点在点的左边时， ，， ∴点表示数的是2， ②点在点的右边时， ，， ∴点表示的是6， 综上，可得点表示的数是2或6； （2）解：点P将A，B两点之间的距离分成长为的两部分，可知：点是线段的三等分点， ， ∴线段的长度是6，分两种情况进行解答： ①时，点表示的数是， ②时，点表示的数是， 综上，可得点表示的是0或2； （3）解：存在，理由如下： 根据绝对值的几何意义，可得： 当点在、两点之间时，的值最小，此时点P所表示的整数为， 此时，最小值为， 所以的最小值是6． 考点9 线段中点的有关计算 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，P、Q两点将线段分成了1：2：6的三个部分，点G是线段的中点，，则线段的长为 ． 【答案】18 【思路引导】本题考查了两点间的距离、线段的和差、线段中点，掌握两点间的距离、线段的和差计算是解题的关键．根据题意得出，，计算即可得出答案． 【规范解答】解：∵P，Q两点将线段分成了1：2：6的三个部分， ∴， ∵点G是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，解得． 故答案为：． 【变式训练】（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）阅读理解： 定义：在数轴上表示和的两点之间的距离是，这是绝对值的几何意义．如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为3，则之间的距离为．另，线段的中点表示的数是，即； (1)若在数轴上有、、三点，点对应的数是，且、两点间的距离为6，为的中点，则点所对应的数是___________． (2)当满足___________时，的值最小，最小值为___________． (3)，则___________． (4)若数轴上点表示的数是4，点表示的数是16，动点从点开始以每秒3个单位长度的速度向数轴正半轴方向运动，求多少秒后点到点的距离是到点距离的2倍？ 【答案】(1)或 (2)；1 (3)或 (4)或8秒后点到点的距离是到点距离的2倍 【思路引导】本题主要考查数轴上的点表示有理数，两点之间距离的计算，一元一次方程的运用，掌握两点之间距离的计算，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据两点之间距离的计算方法，分类讨论即可求解； （2）根据两点之间距离的计算方法，当表示数x的点在表示数2的点与表示数3的点之间时，值最小，由此即可求解； （3）根据绝对值的几何意义可得表示x与y在数轴上的距离为16，表示x与z在数轴上的距离为30，再分类讨论y和z在x的同侧或异侧时进行求解； （4）根据题意，设运动时间为t，则点P表示的数为，根据两点之间距离的计算方法，分类讨论即可求解． 【规范解答】（1）解：∵A点对应的数是，且A、B两点间的距离为6， ∴当B点在A点的右边时，， ∴点B表示的数为2， ∴点C表示的数为：； 当B点在A点的左边时，， ∴点B表示的数为， ∴点C表示的数为：； 故答案为：或； （2）解：根据题意，表示数轴上x到2和3的距离之和， ∴当x在2和3之间时，距离和最小，最小值为， ∴x的取值范围， 故答案为：，1； （3）解：根据绝对值的几何意义可得表示x与y在数轴上的距离为16， 表示x与z在数轴上的距离为30， 当y和z在x的同侧时，假设x在数轴上的某点，y和z都在x的左边（或都在右边）， ∴此时y和z的距离为“x到z的距离”与“x到y的距离”的差， ∴， 当y和z在x的异侧时，假设y在x的左边，z在x的右边（或反之）， ∴此时y和z的距离为“x到z的距离”与“x到y的距离”的和， ∴， 综上，的值为或， 故答案为：或； （4）解：∵点M表示的数是4，点N表示的数是16，动点P从点M开始以每秒3个单位长度的速度向数轴正半轴方向运动， ∴设运动时间为t， ∴点P表示的数为， ∴当点P在之间时，， 解得秒； 当点P在点N右边时，， 解得秒； 综上所述，点P到点M的距离是到点N距离的2倍时，时间为或8秒． 考点10 线段n等分点的有关计算 【典例精讲】（24-25六年级下·山东烟台·期末）已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长； (3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)5厘米 (3) 【思路引导】本题考查两点间的距离． （1）根据线段中点的定义以及线段的和差关系进行计算即可； （2）根据线段的倍比关系以及和差关系进行计算即可； （3）根据（1）、（2）的方法推广到一般，进行计算即可． 【规范解答】（1）解：∵M，N分别是，的中点，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴ ． 【变式训练】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,， (1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长； (2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长． 【答案】(1)41 (2)49 【思路引导】本题考查了线段的和差计算及线段上点的位置关系，解题的关键是根据点C的不同位置（线段上或延长线上）确定线段的长度，再结合线段的比例关系求出相关线段长度，进而得到的长.​ （1）当点C在线段上时，先由和的长度求出的长；根据与的比例关系求出，进而得到；再由与的关系及的长求出；最后根据计算的长． （2）当点C在线段的延长线上时，先由和的长度求出的长；根据与的比例关系求出，进而得到；再由与的关系及的长求出；最后根据计算的长． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 考点11 线段之间的数量关系 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为．． （1）若点为折点，则绳子原长为 ； （2）若点为折点，则绳子原长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了线段折叠问题中的长度计算及比例关系应用，解题的关键是根据不同折点（B或A）确定绳子对折后的线段对应关系，明确剪断P处后最长段的具体来源，再结合“最长段为”列方程求解原长． （1）设，由得、；点B为折点时，剪断后最长段为，结合求，再算原长（原长为． （2）点A为折点时，剪断后得到的三段等长，则最长段为，结合求，再根据“折点A时原长为”计算最终原长． 【规范解答】（1）解：设，   ∵， ∴，则 ∵点B为折点，绳子对折后，剪断P处产生的最长段为． 又∵最长段为， ∴，解得 绳子原长为 ．   故答案为：； （2）解：设，   ∵， ∴，则． ∵点A为折点，绳子对折后，剪断P处产生的最长段为． 又∵最长段为， ∴，解得． 绳子原长为 ．   故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图，、、、四点在同一直线上． (1)如图1，若，，且，求的长； (2)如图2，若线段被点、分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查两点间的距离，线段之间的数量关系， （1）利用线段的和差计算即可； （2）利用线段之间的比例关系，以及线段中点的定义，即可求出线段的长； 解题的关键是掌握线段的加减，线段中点的定义． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 即的长为； （2）设，则，， ∴， ∵点是的中点，点是的中点，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 即的长为． 考点12 与线段有关的动点问题 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图①，点M在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“二倍点”． (1)一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； (2)如图②，若，点N是线段的二倍点，则 ；（用含a的代数式表示） (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移动，设移动的时间为，求当t为何值时，点Q恰好是线段的二倍点． 【答案】(1)是 (2)或或 (3)为或时，点恰好是线段的二倍点 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键. （1）利用中点及“二倍点”的定义，即可得出一条线段的中点是这条线段的“二倍点”； （2）设，则，根据点是线段的二倍点，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用时间路程速度，可求出点到达点及点与点相遇所需时间，当时，表示，，的长，根据点是线段的二倍点，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论. 【规范解答】（1）解：根据题意得：一条线段的中点是这条线段的“二倍点”， 故答案为：是； （2）解：设，则， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，或或， 故答案为：或或； （3）解：(秒)，(秒)， 当时，，，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 答：当为或时，点恰好是线段的二倍点． 【变式训练】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【规范解答】解：当点N与点M在点O左边相遇时，则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时，则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 考点13 两点之间线段最短 【典例精讲】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）问题提出： 如图1，A、B、C、D表示四个村庄，村民们准备合打一口水井． （1）问题解决：你能给出一种使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若能，请在图2中标出水井的位置点M，并说明理由． 问题拓展： 如果（1）问中找出的水井经过招标，由两个工程队修建（不存在同时修建），已知甲工程队单独完成需要80天，乙工程队单独完成需要120天，且甲工程队比乙工程队每天多修建； （2）水井要修建几米？ （3）若甲工程队每天的施工费为0.5万元，乙工程队每天的费用是0.25万元，为了缩短工期和节约资金，则甲工程队施工几天才能使工程款正好是35万元？（甲、乙两队的施工时间不足一天按一天算） 【答案】（1）能，见解析；（2）水井要修建120米；（3）甲工程队施工40天才能使工程款正好是35万元 【思路引导】本题考查线段的性质，一元一次方程的实际应用，熟练掌握两点之间线段最短，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据两点之间线段最短，得到当打井的位置选在和的交点时，水井到各村庄的距离之和最小，即可； （2）设乙工程队每天修建x米，根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设甲工程队施工m天才能使工程款为35万元，根据题意，列出方程进行求解即可． 【规范解答】解：（1）如图2：连接，当打井的位置选在和的交点时，水井到各村庄的距离之和最小，根据“两点之间线段最短” （2）设乙工程队每天修建x米，则甲工程队每天修建米， 由题意，得：，解得， （米）； 答：水井要修建120米 （3）设甲工程队施工m天才能使工程款为35万元，由（2）知：甲工程队每天修建（米）， 由题意，得：， 解得， 答：甲工程队施工40天才能使工程款正好是35万元． 【变式训练】（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，已知平面内有四个点，，，．根据下列语句按要求画图． (1)连接；作射线；作直线与射线交于点； (2)观察图形发现，线段与线段的数量关系是 （填、或），得出这个结论的理由是： ． 【答案】(1)见解析 (2)，两点之间线段最短 【思路引导】本题考查了画线段、直线、射线；两点之间线段最短，掌握线段、射线、直线的特点是解题的关键． （1）根据线段、直线和射线的定义即可画出图形； （2）根据两点之间线段最短解决问题． 【规范解答】（1）解：如图所示，线段、射线、直线，即为所求； （2）解：根据两点之间线段最短得． 故答案为：，两点之间线段最短． 考点14 两点间的距离 【典例精讲】（21-22七年级上·浙江台州·期末）如图，已知，，且D是的中点．求和的长度． 【答案】， 【思路引导】本题考查了线段的和与差，两点间的距离，线段中点的有关计算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用线段差求得，再根据线段中点求得，然后利用线段的和求得． 【规范解答】解：，， ． 是AC的中点， ． ． 【变式训练】（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，已知C为线段上的一点， (1)在线段延长线上求作点B，使得（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，点M是线段的中点，N为的中点若，请求出线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【思路引导】本题考查了作图-复杂作图，两点间的距离，线段的和差等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）以线段上截取线段，使得，在射线上截取，使得，点B即为所求； （2）设，由题意可得，得到，所以，，进而得到，即可求解． 【规范解答】（1）解：以线段上截取线段，使得，在射线上截取，使得，点B即为所求，如图： （2）解：如图： 设， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点15 最短路径问题 【典例精讲】（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）如图，是一条公路上的3个村庄，间的路程为，间的路程为，要在之间设一个车站，设之间的路程为． (1)用含的代数式表示车站到3个村庄的路程之和； (2)若车站到3个村庄的路程之和为，问车站应设在何处？ (3)若要使车站到3个村庄的路程总和最小，问车站应设在何处？ 【答案】(1) (2)车站应设在村庄的左边或右边处 (3)车站应设在村庄处 【思路引导】本题考查了两点间的距离、列代数式，理解题意是解答的关键． （1）由题意得，，； （2）让（1）所求得的代数式的值为102，求得x即可； （3）路程和最小，那么x应最小，此时为0，P与C重合． 【规范解答】（1）解：由题意得，，， 路程之和为； （2）解：根据题意，得：， 解得， ∴车站应设在村庄的左边或右边处； （3）解：当时，最小， ∴车站建在C处路程和最小， ∴车站应设在村庄处． 【变式训练】（24-25七年级上·湖北咸宁·期末）如图，甲、乙两个圆柱体，底面半径分别为，高均为． (1)请分别画出它们的侧面展开图并标注各边长； (2)请用代数式表示两个圆柱体的侧面的面积之和______________； (3)如果一只蚂蚁从点A沿甲圆柱体侧面爬行两圈到达点，另一只蚂蚁从点沿乙圆柱体侧面爬行一圈到达点，均沿最短路线爬行，请猜想：它们的路线长是否相等？请在（1）问所画的侧面展开图基础上，用虚线画出最短路线． 【答案】(1)见解析 (2) (3)路线长相等，见解析 【思路引导】此题主要考查了圆柱侧面展开图，熟练掌握展开图长宽画法，圆周长公式，矩形面积公式，平面展开图中两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短． （1）按甲乙两圆柱体等高，乙周长是甲周长的2倍画图； （2）按计算； （3）一只蚂蚁爬行的最短路程为圆柱展开图中的的连线，另一只蚂蚁爬行的最短路程为圆柱展开图中的的连线，根据两个矩形全等，对角线相等可得两只蚂蚁爬行的最短路程相等． 【规范解答】（1）解：下图所示实线部分为此工件的侧面展开图： （2）； 故答案为：； （3）答：它们爬行的路线长相等，图中虚线即为最短路线长 考点16 作线段（尺规作图） 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知线段和线段，按照下列要求完成作图和计算． (1)延长线段到，使，延长线段到，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，为的中点，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了尺规作图和线段的和差，解决本题的关键是掌握尺规作图的方法并能通过观察图形找到线段之间的数量关系． （1）以为圆心，的长度为半径画弧，交延长线于点，以为圆心，长为半径画弧，交延长线于点，即可得答案； （2）由（1）的作图求出，由为的中点可得，再由线段的和差关系即可求得的长度． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：如图，为的中点， ∵，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25七年级上·河南信阳·期末）如图， (1)设、、、四点为个居民小区，现要在四边形内建一个购物中心，不考虑其他因素，请你画图确定购物中心的位置点，使个居民小区到购物中心的距离之和最小； (2)尺规作图：在图中作射线，在射线上找一点，使得； (3)点在直线上，，，点、分别是，的中点，则线段 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【思路引导】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段的性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）连接，交于点，点即为所求； （2）延长到，使得，在线段上截取线段，使得，线段即为所求； （3）分两种情形画出图形，根据中点的定义求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，点即为所求： ； （2）解：如图，线段即为所求： ； （3）解：如图： 当点在线段上时，， 当点在的延长线上时，， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【思路引导】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行判断即可． 【规范解答】解：由题意，路程缩短的原因是两点之间，线段最短； 故选C． 2．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了圆柱的侧面展开和最短路径问题，掌握求解的方法是关键； 根据圆柱的侧面展开图是长方形结合两点之间线段最短解答即可． 【规范解答】解：现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线应该是： ， 故选：B． 3．（2022·广西桂林·中考真题）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝ cm． 【答案】4 【思路引导】根据中点的定义可得AB＝2AC＝4cm． 【规范解答】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4（cm）， 故答案为：4． 【考点剖析】本题主要考查中点的定义，熟知中点的定义是解题关键． 4．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】B 【思路引导】由直线公理可直接得出答案． 【规范解答】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线． 故选：B． 【考点剖析】此题主要考查了直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点． 5．（2021·河北·中考真题）如图，已知四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据直线的特征，经过两点有一直线并且只有一条直线即可判断． 【规范解答】解:设线段m与挡板的交点为A，a、b、c、d与挡板的交点分别为B，C，D，E， 连结AB、AC、AD、AE， 根据直线的特征经过两点有且只有一条直线， 利用直尺可确定线段a与m在同一直线上， 故选择A． 【考点剖析】本题考查直线的特征，掌握直线的特征是解题关键． 基础夯实 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列语句准确规范的是（   ） A．直线，相交于一点 B．延长直线 C．延长射线 D．延长线段到点，使 【答案】D 【思路引导】本题主要考查几何语言的规范性，准确掌握规范的几何语言是学好几何的保障． 根据几何语言的规范对各选项分析判断后利用排除法求解． 【规范解答】解：A、交点应该用大写字母，故本选项错误，不符合题意； B、直线是向两方无限延伸的，不能延长，故本选项错误，不符合题意； C、射线向一个方向无限延伸，故延长射线，说法错误，不符合题意； D、延长线段到点，使，说法正确，符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，点C在线段的延长线上，，点D是线段的中点，，则的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了线段中点的定义、线段的和差． 先求出的长，再根据中点的定义求出的长，最后根据即可得解． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴． 故选：D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）直线，，的位置关系如图所示，有下列说法：①点在直线上；②直线经过点；③点在直线外；④直线，，两两相交；⑤点是直线，的交点．其中正确的有 （填序号）． 【答案】①③④ 【思路引导】本题考查点与直线的位置关系，熟练掌握点与直线的关系是解决本题的关键． 根据点与直线的位置关系以及直线相交的概念判断各说法准确性即可． 【规范解答】解：由图可得，点在直线上，故①正确； 由图可知，直线不经过点，故②错误； 由图可知，点不在直线上，即点在直线外，故③正确； 由图可知，直线与相交于点，直线与相交于点，直线与相交于点， 所以直线、、两两相交，故④正确， 所以正确的有①③④， 故答案为：①③④． 4．（25-26七年级上·辽宁本溪·期中）已知线段，，若A，B，C在同一条直线上，点D是线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查与线段中点有关的计算．解题的关键是正确地画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 根据点A、B、C的相对位置，分两种情况讨论：点B在线段上或点A在线段上． 【规范解答】解：∵点D是线段的中点，， ∴， ①当点B在线段上时， ， 点D在线段上， ∴； ②当点A在线段上时， ， 点D在线段上，且， ∵， ∴点A在线段上， ∴， 故答案为：或． 5．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）如图，，是线段的三等分点，是的中点，若，则 ． 【答案】12 【思路引导】本题考查了与线段中点有关的计算，由是的中点得出，再结合，是线段的三等分点计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：∵是的中点，， ∴， ∵，是线段的三等分点， ∴， 故答案为：． 6．（2025七年级上·全国·专题练习）定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则____ ． 【答案】或 【思路引导】本题考查线段的和差，熟练找出已知条件中线段的和差关系是解题的关键． 对点P在线段之间和在的反向延长线上时的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【规范解答】解：由题知， 当点P在线段之间时，如图所示， 点P是点M关于点N的“半距点”， 当点P在的反向延长线上时，如图所示， 因为点P是点M关于点N的“半距点”， 综上所述，或 ． 故答案为：或． 7．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，已知，M为的中点，点P在上，N为的中点． (1)图中共有 条线段； (2)若，求的长． 【答案】(1)10 (2)6 【思路引导】本题考查线段定义及线段的中点定义，根据图形进行线段的和与差是解答的关键． （1）根据线段定义求解即可； （2）根据线段中点定义求得，，进而进行线段和与差即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，图中的线段共有（条）， 故答案为：10； （2）解：∵，M为的中点， ∴， ∵N为的中点，， ∴， ∴． 8．（2025·北京东城·一模）快递员小明每天从快递点骑电动三轮车到三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点．之间的距离（单位：）如图所示． （1）若小明按照的路线骑行，则小明骑行的距离为 ； （2）小明骑行的最短距离为 ． 【答案】 【思路引导】本题涉及到距离的计算． （1）直接将路线中各段距离相加即可； （2）需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离． 【规范解答】解：（1）根据图示计算的路线距离为； 故答案为：       （2）找出所有可能路线计算： ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； 通过比较这些路线的距离，是最短的． 故答案为：. 9．（2025七年级上·河北·专题练习）如图，点E是线段的中点，C是线段上一点，； (1)若，求的长； (2)若F为的中点，求长． 【答案】(1)20 (2)6 【思路引导】本题考查与线段中点有关的计算、一元一次方程的几何应用，根据图形得到线段间的数量关系是解答的关键． （1）设，则，先根据线段中点求得，由列方程求得x，进而由可求解； （2）根据点E是线段的中点，得出，根据F为的中点，得出，根据，求出结果即可． 【规范解答】（1）解：设，由得， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； （2）解：∵点E是线段的中点， ∴， 为的中点， ， ． 10．（25-26七年级上·全国·单元测试）问题提出 （1）数轴上，点、点表示的数分别为，则线段的长为 ，线段的中点表示的数为 ； 问题探究 （2）如图，直线上顺次有四个点，，．点是的中点，点是的中点．若线段以每秒的速度沿直线向右运动，同时，线段以每秒的速度沿直线向左运动．在运动的过程中，记的中点为，的中点为．设运动时间为秒． 求在运动过程中时的值； 在运动过程中是否存在，使得的值最小？若存在，求出满足的条件，并求出的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（），；（） 或；最小值，理由见解析． 【思路引导】本题考查了列一元一次方程解决问题，线段中点，绝对值的几何意义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （）利用数轴可求得，点表示的数为； （）以为原点，建立数轴，分别表示出点的坐标，进而根据列出方程，进一步得出结果； 表示出，进而根据其几何意义得出结果． 【规范解答】解：（），点表示的数为， 故答案为：，； （）∵，， ∴，，， 以为原点，建立数轴，运动前：点：，：，：，：， 运动后，：，：，：，：， 此时，：，：，：，：， 由得出， ， ∴或； ， 其意义是数到，，，的距离之和， 当时，即时，最小值为． 培优拔高 1．（24-25七年级上·山东·期中）以下给出的四个语句中，正确的是（   ） A．若线段，则点，，在同一直线上 B．如果线段，则是线段的中点 C．线段厘米，为直线上的一点，且厘米，那么的长度是1厘米 D．两点之间的线段叫做这两点间的距离 【答案】A 【思路引导】本题考查了线段、两点间的距离，根据线段的和差，可判断A，B；根据线段中点的定义，可判断B；根据两点间的距离的定义，可判断D． 【规范解答】解：A、若线段，则点A，B，C在同一直线上，故A正确； B、如果线段，C不在线段上时，C不是线段的中点，故B错误； C、线段厘米，C为直线上的一点，且厘米，当C在线段的延长线时那，么的长度是7厘米，故C错误； D、两点之间的线段长叫做这两点间的距离，故D错误； 故选：A． 2．（25-26七年级上·福建福州·阶段练习）如图，已知数轴上点、、所表示的数分别为、、，点是线段的中点，且，如果原点的位置在线段上，那么等于（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【思路引导】本题考查数轴上的中点性质以及绝对值的化简，解题的关䋖是利用中点性质得出、与的关系，再结合原点位置分析绝对值内式子的值． 先根据线段中点的性质得出、、的关系，再结合原点位置判断绝对值内式子的结果，进而化简绝对值． 【规范解答】因为点是线段的中点，根据线段中点的性质：若点是线段的中点， 则，由此可得， 将代入中，得到， 所以， 故选：D． 3．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法错误的个数有（   ）． ①经过两点有一条直线，有且只有一条直线；    ②两点之间直线最短； ③有理数包括正有理数和负有理数；    ④的最高次项是． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【思路引导】本题考查了直线的性质，线段的性质，有理数的分类，多项式的定义，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【规范解答】解：①经过两点有一条直线，有且只有一条直线，故①正确； ②两点之间线段最短，故②错误； ③有理数包括正有理数和负有理数以及，故③错误；     ④的最高次项是，故④错误． 说法错误的有②③④，共3个， 故选：D． 4．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，，为线段上两点，，且，则 ． 【答案】9 【思路引导】本题考查线段的和差，解题的关键是数形结合，列出方程；由题意得方程，解方程即可． 【规范解答】解：∵， ∴ ∴ 解得：． 故答案为：9． 5．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在一条可以折叠的数轴上，A、B两点表示的数分别是，3，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A折叠后在点B的右边，且，则C点表示的数是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．根据所给折叠方式，求出折叠后点A所表示的数，再根据点C为折叠前后点A及其对应点所成线段的中点即可解决问题． 【规范解答】解：由题意可知， 点B表示的数为3，点A在点B的右边，且， 折叠后的点A表示的数为． 折叠前点A表示的数为， 则， 即点C表示的数为． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·全国·期末）如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端C，D分别落在点A，B上，将木棒在数轴上水平移动，当的中点移动到点B时，点D 所对应的数为，当的四等分点（不含中点）移动到点A 时，点 C 所对应的数为，则木棒的长度为 ． 【答案】4或 【思路引导】本题考查了数轴上的点坐标、线段的中点与四等分点的性质，以及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上点的位置关系与线段分割比例，以及通过建立方程求解几何问题是解题的关键．根据木棒移动时中点或四等分点与特定点重合的条件，设木棒长度为，利用长度建立方程，分两种情况讨论求解． 【规范解答】 解：如解图，设， 由题意可知，， 如解图①，当的左四等分点移动到点A时，此时， ∵点对应的数为，点对应的数为， ∴，解得， ∴； 如解图②，当的右四等分点移动到点A 时，此时， ∵点对应的数为，点对应的数为， ∴，解得， ∴． 综上所述，木棒的长度为4或． 7．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知B、C在线段上． (1)图中共有______条线段； (2)若． ①比较线段的长短：______ （填“”、“”或“”）； ②若，，求的长度； (3)在（2）的条件下，点M是线段的中点，点N是线段的三等分点，求线段的长度． 【答案】(1)6 (2)①=；② (3)的长为6或10 【思路引导】本题主要考查了线段的定义、线段的和差，比较线段的长短，（1）根据图形依次数出线段的条数即可； （2）①根据等式的性质即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出的长； （3）分类讨论，点N是靠近点B或者点C的三等分点，据此利用线段和差求解即可． 【规范解答】（1）解：图中有线段：、、、、、，共6条， 故答案为：6． （2）解：①∵， ∴，即， 故答案为：． ②∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵点M为中点， ∴， 当点N是靠近点B的三等分点时， 则， ∴； 当点N是靠近点C的三等分点时， 则， ∴； 综上，的长为6或10． 8．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点A的右侧顺次有B、M两点，线段，，线段在直线上，点位于原点的右侧且绝对值为8，点恰好为线段的中点． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______． (2)若线段以每秒1个单位长度的速度向右运动，当点到达点时线段停止运动；同时线段以每秒3个单位长度的速度向右运动，当点到达点时线段停止运动．设线段的运动时间为秒． ①当点A与点D到原点距离相等时，求t的值； ②当点D为线段中点时，直接写出t的值； ③当时，直接写出t的值； 【答案】(1)2；38 (2)①t的值为1或10；②；③t的值为4或7 【思路引导】（1）先求出点B表示的数，再根据两点间距离公式求出点M表示的数，根据中点坐标公式求出点C表示的数即可； （2）①先得出点A表示的数为，点D表示的数为，再分两种情况：点A在原点左侧时，点A在原点右侧时，分别列出方程，解方程即可； ②先得出点B表示的数为，点C表示的数为，再根据，列出方程，解方程即可； ③点A表示的数为，点B表示的数为，点D表示的数为，分两种情况：当点B在点D左侧时，当点B在点D右侧，点A在点D左侧时，分别列出方程，解方程即可． 【规范解答】（1）解：∵数轴上点A表示的数是，， ∴点B表示的数为， ∵点位于原点的右侧且绝对值为8， ∴点D表示的数为， ∵， ∴点M表示的数为：， ∵点恰好为线段的中点， ∴点C表示的数为：； （2）解：①点A表示的数为，点D表示的数为， 点A在原点左侧时，， 解得：； 点A在原点右侧时，， 解得：； 当时，点B表示的数为， ∴此时点B还没有到达点M，符合题意； 综上分析可知，当点A与点D到原点距离相等时，t的值为1或10； ②点B表示的数为，点C表示的数为， 当点D为线段中点时，， ∴， ∴， 解得：， 即当点D为线段中点时，t的值为9； ③点A表示的数为，点B表示的数为，点D表示的数为， 当点B在点D左侧时，， 解得：； 当点B在点D右侧，点A在点D左侧时，， 解得：； 综上分析可知：当时，t的值为4或7． 【考点剖析】本题主要考查了数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，用数轴上的点表示有理数．解题的关键根据数轴上两点间距离列出方程，注意进行分类讨论． 9．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）数轴上有、、、四个点，分别对应的数为、、、，且满足，，，与互为相反数． (1)求、、、的值； (2)若、两点以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动，同时、两点以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，并设运动时间为秒．则为何值时，的中点与的中点距离3个单位长度； (3)在（2）的条件下，满足什么条件时，、两点都运动在线段上（不与，两个端点重合）． 【答案】(1)，，，． (2)或 (3) 【思路引导】本题考查的是非负数的性质，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）先求解绝对值方程，即可求解a、b，再根据平方和绝对值的非负性可求解c、d． （2）先表示出、、、四个点在运动中对应的数，再分别表示中点对应的数，再根据两点之间的距离公式列方程求解即可． （3）根据A、B、C、D四个点在运动中对应的数，结合重合时，重合时，建立方程求解临界值即可． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴，， ∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，． （2）解：∵、两点以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动， ∴运动中、两点表示的数分别为：，， ∴的中点表示的数为：， ∵、两点以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， ∴运动中、两点表示的数分别为：，， ∴的中点表示的数为：， ∵的中点与的中点距离3个单位长度， ∴，即， ∴或， 解得：或， ∴运动时间为或时，的中点与的中点距离3个单位长度． （3）解：∵，， 当重合时， ∴， 解得：， 当重合时， ∴， 解得：， ∴当时，、两点都运动在线段上（不与，两个端点重合）． 10．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）如图，在单位长度为 1 的数轴上，点 A 在数轴上表示的数是 ，点 D 在数轴上表示的数是 15，线段 AB 长为 2，线段 CD 长为 1． (1)点 B 在数轴上表示的数是___________，点 C 在数轴上表示的数是___________，线段 的长 =___________； (2)若线段 以 1 个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以 2 个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点B与点C相距 3 个单位长度时，点B在数轴上表示的数为多少？ (3)若线段 以 1 个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2 个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为 秒，当 时，为中点，为中点，则线段 的长为多少？ 【答案】(1)，14，24 (2)或 (3) 【思路引导】本题考查了两点间的距离、解一元一次方程以及数轴，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据、的长度结合点、在数轴上表示的数，即可找出点、在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式可求出线段的长度； （2）找出运动时间为秒时，点、在数轴上表示的数，利用两点之间的距离即可得出关于的方程，解之即可得出结论； （3）找出运动时间为秒时，点、、、在数轴上表示的数，进而即可找出点、在数轴上表示的数，利用两点间的距离公式可求出线段的长． 【规范解答】（1）解：∵，点在数轴上表示的数是， ∴点在数轴上表示的数是； ∵，点在数轴上表示的数是15， ∴点在数轴上表示的数是； ∴； 故答案为：，14，24； （2）解：当运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， ∵点B与点C相距 3 个单位长度， ∴， ， ∴， 解得：或； 时，点在数轴上表示的数为； 时，点在数轴上表示的数为； ∴点 B 与点 C 相距 3 个单位长度时，点在数轴上表示的数为或； （3）解：当运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， ∵， ∴， ∴点一直在点的右侧； ∵为中点，为中点， ∴点在数轴上表示的数为， 点在数轴上表示的数为， ∴． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $