精品解析：辽宁省锦州市第八中学2025-2026学年八年级上学期数学期中试题

锦州市第八中学2025—2026学年度第一学期 八年级期中测试数学试卷 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分） 1. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，，2 C. ，4，7 D. 4，5，6 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各式是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各图表示的不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 直线交轴于 B. 图象经过第一、二、三象限 C. 当时， D. 随的增大而增大 7. 已知一次函数的图象经过点和，且，，当时，有（ ） A. B. C. D. 8. 如图，长方体中，点是棱的中点，且，，一只蚂蚁从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点处，它爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记．若．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. C. D. 10 10. 如图在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，则为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题2分，共10分．） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 12. 已知与互为相反数，则的平方根是________． 13. 已知一次函数y=kx+b的图象与直线y=﹣x+1平行，且过点（1，﹣2），那么此一次函数的解析式为______． 14. 如图，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，则的长为________． 15. 如图，在中，，，，点D、E分别是边上的动点，且，则的最小值________． 三、解答题（本大题共8小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1） （2） （3） （4） 17. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点在格点上． （1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）若点为轴上一动点，且满足的面积为1，请你直接写出点坐标． 18. 定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“坐标区间”为．例如：因为，所以的“坐标区间”为．请回答下列问题： （1）的“坐标区间”为______； （2）若无理数的“坐标区间”为，的“坐标区间”为，求的值． 19. 已知平面直角坐标系中一点． （1）当点在轴上时，求出点的坐标； （2）当点在过点、且与轴平行的直线上时，求出点的坐标； （3）当点到两坐标轴的距离相等时，求出的值． 20. 如图是一台手机支架的示意图．，可分别绕点A，B转动，测得，，若，，垂足分别为点B，E，，求点D到的距离． 21. 数学中，常对同一图形的面积用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，这是一种重要的数学方法，称为等面积法．如图1，四个直角边分别为、、斜边长为的直角三角形和一个边长为的小正方形拼成一个大正方形． 解：四个直角三角形其面积都为，边长为的小正方形的面积为，大正方形的面积为． 由图形可知：． 整理得 ． 故结论为：直角边长分别为、斜边为的直角三角形中． （1）【类比尝试】如图2，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，若是的边上的高，求： ①的面积； ②的长． （2）【拓展探究】如图3坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和，直线经过坐标原点，且，垂足为．求： ①点和点的坐标． ②点到轴的距离． 22. 学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． （1）函数中自变量的取值范围是____； （2）如表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 4 5 6 … … 4 2 1 2 3 4 … 直接写出表格中的值是______； （3）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； （4）结合函数图象，解决问题： ①类比一次函数写出该函数的一条性质； ②当时，的取值范围是______； （5）进一步研究：若点是函数图象上的任意两点，若对于，，都有，则的取值范围是______． 23. 如图，在中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接． （1）求证：≌； （2）试说明：； （3）如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锦州市第八中学2025—2026学年度第一学期 八年级期中测试数学试卷 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分） 1. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，，2 C. ，4，7 D. 4，5，6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键 根据勾股定理的逆定理进行解答即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故此选项符合题意； C、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意， 故选：B． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的化简、四则运算法则、完全平方公式以及二次根式的性质是解题的关键．根据以上知识点，分别对各选项进行计算和判断，即可求解． 【详解】A、，本选项计算错误，故本选项不符合题意； B、，本选项计算错误，故本选项不符合题意； C、，本选项计算正确，故本选项符合题意； D、，本选项计算错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列各式是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 故选：． 4. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变换-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减列式计算即可得解． 【详解】解：根据平移法则可知，得到的点的坐标是，即． 故选：A． 5. 下列各图表示的不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查函数的概念．由题意是的函数依据函数的概念可知对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，以此进行分析判断即可． 【详解】解：根据函数的定义：在一个变化的过程中有两个变量和，对于每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说是的函数， 因此B选项中的图象不表示是的函数，其他三个选项均表示是的函数． 故选：B． 6. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 直线交轴于 B. 图象经过第一、二、三象限 C. 当时， D. 随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质．根据一次函数的性质：当时，图象经过第一、三象限，y随x增大而增大；当时，图象经过第二、四象限，y随x增大而减小；当时，图象与y轴的交点在x轴的上方，当时，图象与y轴的交点在x轴的下方，并对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、当，则，∴直线交轴于，该选项错误，不符合题意； B、函数中，，，此函数图象经过第一、二、四象限，该选项错误，不符合题意； C、当时，，解得，∵y随x增大而减小，∴当时，，该选项正确，符合题意； D、函数中，，随增大而减小，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 7. 已知一次函数的图象经过点和，且，，当时，有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由，，则的图象第一、三、四象限，所以随的增大而增大，由即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴的图象第一、三、四象限， ∴随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：． 8. 如图，长方体中，点是棱的中点，且，，一只蚂蚁从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点处，它爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了通过勾股定理求最短路径，首先将长方体展开，使面和面在同一个平面内，连接，在中，利用勾股定理求得的长，即可求得需要爬行的最短路程，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 将长方体展开，使面和面在同一个平面内，连接， 在中，，， 由勾股定理，得， ∴，即蚂蚁需要爬行的最短路程是， 故选：． 9. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记．若．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与正方形面积公式的综合应用，解题的关键是利用勾股定理建立三个正方形面积的关系，结合已知条件求出相关正方形面积，再根据阴影部分与该正方形的面积关系得出答案． 先由勾股定理得出直角三角形三边平方的关系，即对应正方形面积的关系；将该关系代入已知等式求出目标正方形的面积；最后根据阴影部分面积是目标正方形面积的一半，计算出阴影面积． 【详解】解：∵ 在中，， ∴ 由勾股定理得． ∵ 正方形面积等于边长的平方，且，，， ∴ ． 又∵ ， ∴ 将代入得：． 化简得，解得． ∵ 阴影部分面积等于面积的一半， ∴ 阴影部分面积． 故选：C． 10. 如图在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得是的角平分线，根据角平分线的性质可得，利用勾股定理求得，证明，可得，设，则，，，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，是的角平分线， 过D点作于H点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ， 设，则，，， 在中，由勾股定理：， 即， 解得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查作图−角平分线、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、解一元一次方程，熟练掌握角平分线的作法得出是的角平分线是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题2分，共10分．） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是关键，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零． 【详解】解：若在实数范围内有意义， ∴， 解得，， 故答案为：． 12. 已知与互为相反数，则的平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，相反数的定义，求一个数的平方根． 根据相反数的定义得到，根据平方的非负性、算术平方根的非负性求出、的值，进而求出的值，最后求的平方根即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 13. 已知一次函数y=kx+b的图象与直线y=﹣x+1平行，且过点（1，﹣2），那么此一次函数的解析式为______． 【答案】y=-x-1 【解析】 【详解】试题解析：∵一次函数y=kx+b的图象与直线y=-x+1平行，且过点（1，-2）， ∴，解得：， ∴此一次函数的解析式为y=-x-1． 14. 如图，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，证明是解题的关键． 由折叠前后对应角、对应边相等，可得，，结合平行线的性质，可得，进而可得，设，则，用勾股定理解即可． 【详解】解：四边形是长方形， ，，， 由折叠得，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点D、E分别是边上的动点，且，则的最小值________． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作，使，且点F与点E在直线的异侧，连接，由，，，求得，，而，则，推导出，可证明，得，由，得，所以的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作，使，且点F与点E在直线的异侧，连接， ∵，，， ∴，， ∵，即， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了零次幂，二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答； （2）先运算平方差公式，零次幂，以及根据二次根式的性质进行化简，再运算加减法，即可作答； （3）先根据二次根式的性质进行化简，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答； （4）先根据二次根式的性质进行化简，以及运用完全平方公式展开，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点在格点上． （1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）若点为轴上一动点，且满足的面积为1，请你直接写出点坐标． 【答案】（1）见解析，； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称，轴对称的性质，坐标与图形，勾股定理等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征得到、、，依次连接可得到，再写出点的坐标即可； （2）结合图形分两种情况讨论：若点在轴的正半轴：当点的坐标为时；当点的横坐标大于1时；当点的横坐标小于1时，；若点在轴的负半轴，设点，利用割补法求出的值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作，点的坐标为， 【小问2详解】 解：如图，若点在轴的正半轴， 当点的坐标为时，，符合题意； 当点的横坐标大于1时，，不符合题意； 当点的横坐标小于1时，同理可得，不符合题意； 如图，若点在轴的负半轴，设点， ， 解得：， 即P点坐标为， 综上可知，当的面积为1， P点坐标为或． 18. 定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“坐标区间”为．例如：因为，所以的“坐标区间”为．请回答下列问题： （1）的“坐标区间”为______； （2）若无理数的“坐标区间”为，的“坐标区间”为，求的值． 【答案】（1） （2）的值为3 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点． （1）仿照题干中的方法，根据“坐标区间”的定义求解； （2）先根据无理数的“坐标区间”求出a的取值范围，再求出的取值范围，再根据“坐标区间”的定义求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴的“坐标区间”是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵无理数的“坐标区间”为， ∴，即， ∵的“坐标区间”为， ∴，即， ∴， ∵为正整数， ∴， ∴ ∴的值为3． 19. 已知平面直角坐标系中一点． （1）当点在轴上时，求出点的坐标； （2）当点在过点、且与轴平行的直线上时，求出点的坐标； （3）当点到两坐标轴的距离相等时，求出的值． 【答案】（1）点的坐标为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了各个象限以及坐标轴上点的坐标特点，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据轴上点的横坐标为列方程求出的值，再求解即可； （2）根据平行于轴上的直线上的点的纵坐标相等列方程求解的值，再求解即可． （3）根据点到轴的距离列出绝对值方程求解的值． 【小问1详解】 解：点在轴上， ， 解得， 所以，， 所以，点的坐标为； 【小问2详解】 解：，且平行于轴， ， 解得， ， 点的坐标为 【小问3详解】 解：根据题意，得或， 解得或． 所以的值是或． 20. 如图是一台手机支架的示意图．，可分别绕点A，B转动，测得，，若，，垂足分别为点B，E，，求点D到的距离． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，先由得，结合勾股定理得，又因为得，则，整理得，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：连接． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴点D到的距离为 21. 数学中，常对同一图形的面积用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，这是一种重要的数学方法，称为等面积法．如图1，四个直角边分别为、、斜边长为的直角三角形和一个边长为的小正方形拼成一个大正方形． 解：四个直角三角形其面积都为，边长为的小正方形的面积为，大正方形的面积为． 由图形可知：． 整理得 ． 故结论为：直角边长分别为、斜边为的直角三角形中． （1）【类比尝试】如图2，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，若是的边上的高，求： ①的面积； ②的长． （2）【拓展探究】如图3坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和，直线经过坐标原点，且，垂足为．求： ①点和点的坐标． ②点到轴的距离． 【答案】（1）①7 ② （2）①点，点 ② 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的图象与性质，勾股定理，，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）①根据正方形网格的特点，分别求出，，，，进而根据可得出答案； ②由勾股定理求出，再根据三角形的面积公式可求出的长； （2）①对于，当时，，当时，，由此可得点和点的坐标； ②过点作轴于，由①得，，则，由三角形的面积公式可求出，再由勾股定理求出，然后再由三角形的面积公式即可求出的长． 【小问1详解】 解：①如图2所示： 依题意得：四边形为正方形，且， ， 又，，， ， ， ， ， ②在中，由勾股定理得：， 是的边上的高， ， ； 【小问2详解】 ①对于， 当时，， 当时，，， 点，点； 由①可知：，， 在中，由勾股定理得：， ，垂足为， ， ， 在中，由勾股定理得：， 轴于， ， ， ． 22. 学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． （1）函数中自变量的取值范围是____； （2）如表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 4 5 6 … … 4 2 1 2 3 4 … 直接写出表格中的值是______； （3）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； （4）结合函数图象，解决问题： ①类比一次函数写出该函数的一条性质； ②当时，的取值范围是______； （5）进一步研究：若点是函数图象上的任意两点，若对于，，都有，则的取值范围是______． 【答案】（1）一切实数 （2） （3）图象见解析 （4）①当时，函数的函数值y随x的增大而减小（答案不唯一）；② （5） 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象上点的坐标特征，算术平方根的非负性，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）根据算术平方根的意义得，求解即可； （2）把代入 中，求出y值即为m值； （3）用描点法作出函数图象即可； （4）①根据函数的图象与直线有两个交点，可得方程有2个解； ②根据图象可知：当时，，当时，，当时，，又当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，可得出答案； （5）由题意，结合（2）可得，对于函数的图象的对称轴是直线，当时，y随x的增大而减小，而当时，y随x的增大而增大；函数图象上的点离对称轴直线越近，函数值越小．当，，都有，故M在左侧，N在右侧，的中点一定在对称轴直线的左侧，则，由于，，则，从而可求出t的范围． 【小问1详解】 解：由算术平方根的意义，得， 解得：x为一切实数， ∴函数中自变量的取值范围是一切实数　， 故答案为：一切实数． 【小问2详解】 解：把代入 中，得 ， ∴． 故答案为：3． 【小问3详解】 解：函数的图象如图所示： 【小问4详解】 解：①当时，函数的函数值y随x的增大而减小（答案不唯一）； ②由图可得：当时，， 当时，， 当时，， 又当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∴当时，的取值范围是． 【小问5详解】 解：由题意，结合（2）可得， 函数的图象的对称轴是直线， 当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； 函数图象上的点离对称轴直线越近，函数值越小， ∵对于，，都有， ∴M在左侧，N在右侧，的中点一定在对称轴直线的左侧， ∴ ∵，， ∴， ∴． 23. 如图，在中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接． （1）求证：≌； （2）试说明：； （3）如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的面积． 【答案】（1） 证明：，， ， ， 即， 是等腰直角三角形，且， ， 在和中， ， ； （2） ，，是等腰直角三角形，且， ，， ， 由（1）可知，， ，， ， ， ， ； （3）的面积为或． 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证，即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质，，则，再由全等三角形的性质得，，则，然后由勾股定理即可解决问题； （3）分两种情况，①点在延长线上时，过点作于点，由等腰三角形的性质得，再由（2）可知，，，再由计算即可求解； ②点在延长线上时，过点作于点，由等腰直角三角形的性质得，同（2）得，则；即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：和是等腰直角三角形，，， ，，， 分两种情况： ①如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 由（2）可知，，， ∴ ； ②如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 同（2）得：， ∴； 综上所述，的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $