专题02 分式9考点（期末真题汇编，湖南专用）八年级数学上学期新教材湘教版

专题02 分式 9大高频考点概览 考点01 分式的概念 考点02 分式的基本性质 考点03 最简分式 考点04 最简公分母 考点05 分式的混合运算 考点06 整数指数幂 考点07 分式方程解的情况 考点08 解分式方程 考点09 分式方程的应用 地 城 考点01 分式的概念 1．(24-25八上·湖南益阳安化县·期末)下列式子是分式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式．根据分式的定义求解即可． 【详解】A、，分母中不含字母，不是分式，不符合题意； B、，分子分母均为整式且分母中含有字母，是分式，符合题意； C、，分母中不含字母，不是分式，不符合题意； D、，分母中不含字母，不是分式，不符合题意． 故选：B． 2．(24-25八上·湖南长沙长沙县·期末)给出如下式子：①；②；③；④，其中是分式的是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①④ 【答案】C 【分析】此题考查了分式，形如（其中、都是整式，且中含有字母），这样的式子叫做分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义进行解答即可． 【详解】解：下列式子：①；②；③；④，分式有①；③． 故选：C． 3．(24-25八上·湖南怀化五县六校联考·期末)下列式子：，，，， ，，其中是分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，已知整式A和B，如果中分母B含有字母，那么叫分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键；根据分式的定义进行判断即可． 【详解】解：根据分式的定义，其中是分式的是，，，共3个， 故选：B． 4．(23-24八上·湖南桂阳县鹿峰中学·期末)下列各式中是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，熟悉分式的定义是解题的关键． 根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案． 【详解】解：A、是整式，不是分式，不符合题意； B、是整式，不是分式，不符合题意； C、是分式，符合题意； D、是整式，不是分式，不符合题意． 故选：C． 5．(23-24八上·湖南永州新田县·期末)若分式无意义，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件是分母等于零即可解答． 【详解】解：若分式无意义，则， ∴， ∴当时，分式无意义． 故选：C． 6．(24-25八上·湖南株洲荷塘区·期末)已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（　　） 的取值 2 0 分式的值 无意义 0 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，分式无意义的条件，熟练掌握分式的值是求法是解题的关键．根据分式无意义及分母为0即可求出的值，根据当时分式的值为0即可求出的值，根据分式的值为1即可求出的值，根据即可求出的值． 【详解】解：当时，分式无意义， ，即， ， 故A选项不符合题意； 此时分式为， 当时，分式的值为0， ， ， 故B选项不符合题意； 此时分式为， 当分式的值为1时，， 解得，即， 故C选项错误，符合题意； 当时，， 故D选项不符合题意； 故选：C． 7．(24-25八上·湖南邵阳新邵县·期末)若分式的值为零，则x的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得：， 故选：． 8．(24-25八上·湖南娄底双峰县·期末)若分式的值为，则的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的值为的条件．根据分式的值为的条件，可得进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴； 故选：C． 9．(24-25八上·湖南常德教学联盟校·)若分式的值为0，则b的值为（   ） A．1 B． C． D．1或 【答案】B 【分析】本题主要考查分式值为0的条件，根据分式值为0的条件（分子为零且分母不为零）进行计算求解． 【详解】解：若分式的值为0 ∴且， 即，且或， ∴， 故选：B． 10．(24-25八上·湖南娄底第二中学·期末)要使分式有意义，则实数x应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：． 11．(23-24八上·湖南桂阳县鹿峰中学·期末)若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件知识点，解题的关键是明确分式的分母不能为0． 根据分式有意义的条件，确定分母的取值情况，进而得出的取值范围． 【详解】由题意可得：， 解这个不等式可得， 所以的取值范围是． 故答案为：． 12．(24-25八上·湖南邵阳邵东·期末)当 时，分式有意义． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件：分母不为零，由题意可得，求解即可得到答案，熟记分式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：分式有意义， ，解得， 故答案为：． 13．(23-24八上·湖南桂阳县鹿峰中学·期末)代数式无意义，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义分母为零，得出，然后进行计算即可，解题的关键是由分式无意义分母为零，列出方程并正确求解． 【详解】解：∵代数式无意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 14．(23-24八上·湖南永州冷水滩区京华中学·期中)已知当时，分式无意义，当时，此分式值为0，则 【答案】5 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式值为0的条件，熟知分式无意义的条件是分母为0，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键． 【详解】解；∵当时，分式无意义， ∴， ∴， ∵当时，此分式值为0， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 15．(24-25八上·湖南长沙长沙县·期末)若分式的值为，则的取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，根据分式值为零的条件即可得到答案， 掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得：， 故答案为：． 地 城 考点02 分式的基本性质 1．(23-24八上·湖南长沙芙蓉区·期末)下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A、等号右边分子分母同时乘以，得左边，故A错误，不合题意； B、分式的分子分母同时加一个非零的数，得到的分式值与原分式不一定相等，故B错误，不合题意； C、，故C错误，不合题意； D、分子分母同时乘以，即，故D正确，符合题意． 故选：D 2．(23-24八上·湖南桂阳县鹿峰中学·期末)若把分式中都扩大3倍，则分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．扩大到原来的9倍 D．缩小到原来的 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质解决此题． 【详解】解：把分式中都扩大3倍，则 ， 分式的值不变． 故选：B． 3．(23-24八上·湖南长沙湖南师大附中博才实验中学·期末)若把分式的x、y同时扩大10倍，则分式的值（    ） A．扩大10倍 B．缩小10倍 C．不变 D．缩小2023倍 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．把分式的x，y同时扩大10倍，与原式比较即可． 【详解】解：把分式的x，y同时扩大10倍，得 而， ∴分式的值不变． 故选C． 4．(23-24八上·湖南长沙长郡教育集团联考·期末)把分式中的和都扩大10倍，则分式的值（    ） A．扩大10倍 B．扩大100倍 C．缩小为 D．不变 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质，可得答案． 【详解】解：如果把分式中的和都扩大10倍得， ∴新分式与原分式相比，新分式的值扩大10倍， 故选：A． 5．(23-24八上·湖南怀化雅礼实验学校·期末)如果分式中的x、y都扩大到原来的3倍，那么下列说法中，正确的是（    ） A．分式的值不变 B．分式的值缩小为原来的 C．分式的值扩大为原来的3倍 D．分式的值扩大为原来的9倍 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴分式的值缩小为原来的． 故选B． 6．(23-24八上·湖南株洲六校联考·期中)若分式的的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值（    ） A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的倍 D．不变 【答案】B 【分析】依题意分别用和去代换原分式中的和，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：若分式的的值同时扩大到原来的10倍， 则有， ∴此分式的值是原来的10倍． 故选：B． 地 城 考点03 最简分式 1．(24-25八上·湖南株洲二中初中部·期末)下列分式中，为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．根据最简分式的定义分别对每一项进行判断，即可得出答案． 【详解】解：选项A、，不符合题意； 选项B、，不符合题意； 选项C、不能约分，符合题意； 选项D、，不符合题意， 故选：C． 2．(24-25八上·湖南永州道县·期末)下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的性质，解题的关键是掌握分式的基本性质，最简分式，掌握一个分式的分子与分母没有公因式，进行解答，即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B 、是最简分式，符合题意； C、不是最简分式，不符合题意； D、不是最简分式，不符合题意． 故选：B． 3．(23-24八下·湖南衡阳祁东县·期末)下列分式中 最简分式是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了最简分式，以及约分，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．找出分式分子分母没有公因式的即可． 【详解】解：A、原式为最简分式，符合题意； B、原式，不符合题意； C、原式，不符合题意； D、原式，不符合题意． 故选：A． 4．(23-24八上·湖南怀化通道县·期末)以下式子是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式的定义和分式约分化简，即一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时，叫最简分式．根据分式约分的方法及最简分式的定义进行判断即可． 【详解】A. ，不是最简分式，故不符合题意； B. ，不能再化简，是最简分式，符合题意； C. ，不是最简分式，故不符合题意； D. ，不是最简分式，故不符合题意； 故选B． 5．(23-24八下·湖南衡阳蒸湘区·期末)约分的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了约分，直接把分子分母同时除以即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 6．(23-24八上·湖南长沙浏阳·期末)化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分．根据分式的基本性质进行约分化简即可． 【详解】解：． 故答案为： 7．(23-24八上·湖南怀化雅礼实验学校·期末)约分：（1） ；（2） ． 【答案】 / 【分析】本题考查分式的约分，涉及提公因式、平方差公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． （1）约去公因式即可解题； （2）先利用平方差公式分解因式，再约去公因式，即可解题． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 地 城 考点04 最简公分母 1．(24-25八上·湖南株洲荷塘区·期末)分式和的最简公分母是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．根据最简公分母的定义解答即可． 【详解】解：分式和的最简公分母是， 故答案为：． 2．(24-25八上·湖南娄底·期末)分式与的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简公分母，熟练掌握最简公分母的定义是解题的关键． 取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，即可求解． 【详解】解：分式与的最简公分母是， 故答案为：． 3．(23-24八上·湖南张家界特殊教育学校·期末)分式，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的最简公分母的确定方法，根据最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母即可求出答案． 【详解】解：∵ ∴分式，的最简公分母是． 故答案为：． 4．(23-24八上·湖南张家界特殊教育学校·期末)通分：，，． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了通分的知识，确定三个分式的最简公分母是解题关键．由题意可知，最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行通分即可． 【详解】解：最简公分母是， 则， ， ． 地 城 考点05 分式的混合运算 1．(24-25七下·湖南衡阳耒阳正源学校·期末)先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】先对括号内的分式进行通分计算，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分，最后将给定的值代入化简后的式子求值．本题主要考查了分式的化简求值，涉及分式的通分、因式分解、约分等知识，熟练掌握分式的运算法则和因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 2．(23-24九上·湖南长沙长郡教育集团·期中)先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先将原式的括号内通分，再把除法转换为乘法，约分后得最简结果，再把的值代入进行计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 3．(24-25八上·湖南怀化·期末)先化简：，再从、0、1、2中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】；当时值为；当时值为 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式混合运算法则是关键．先计算括号内的，再计算除法化简原式，然后根据分式有意义的条件可得且，可选择或代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， 根据题意得：，， 且， 当时， 原式， 当时， 原式． 4．(24-25八上·湖南长沙湖南师大附中博才实验中学·期末)先化简，再求值．，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则，结合因式分解化简原式，然后代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 5．(24-25八上·湖南永州冷水滩区·期末)先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，注意解答此题的关键是把分式化到最简，然后代入计算． 根据分式的运算，先对括号里面的分式运用通分和平方差公式，按照同分母的分式的加减计算，再算除法，约分化简后代入求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 6．(24-25八上·湖南长沙师大附中梅溪湖中学·期末)先化简，再求值：在、、1、2中选一个合适的数代入求值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式加、减、乘、除混合运算法则进行化简，然后再代入数据，求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， 把代入得：原式． 7．(24-25八上·湖南邵阳第三中学·期末)先化简：，再从，0，1中选择一个合适的数代入求值． 【答案】，2 【分析】本题考查了分式的化简与求值、分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．先利用分式的运算法则化简式子，再根据分式有意义的条件，选择合适的数代入求值即可． 【详解】解： ， 由题意得，， 代入，原式． 8．(24-25七下·湖南株洲第二中学·期末)先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可得． 【详解】解：原式 当时， 原式． 9．(24-25八上·湖南吉首雅思实验学校·期末)先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 10．(24-25八上·湖南岳阳第十中学·期中)先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 地 城 考点06 整数指数幂 1．(24-25八上·湖南邵阳第三中学·期末)2023年9月，上海微电子研发的浸没式光刻机成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知米，则数据0.000000028用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：． 故选：A． 2．(24-25八下·湖南衡阳石鼓区多校·期末)人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：C． 3．(24-25八上·湖南永州蓝山县·期末)下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题查了积的乘方运算、幂的乘方以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用积的乘方运算、幂的乘方以及合并同类项法则分别化简得出答案． 【详解】A、，无法计算，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，正确． 故选D． 4．(24-25八上·湖南怀化·期末)下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了同底数幂乘法运算、零指数幂及负指数幂运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．各项计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、，原式错误，故本选项不符合题意； B、，且缺少条件，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、正确，故本选项符合题意， 故选：D． 5．(24-25八上·湖南永州道县·期中)若，，则 ． 【答案】 【分析】本题可根据同底数幂的除法运算法则，将转化为，再代入已知条件进行计算．本题主要考查了同底数幂的除法法则，熟练掌握同底数幂的除法法则（是解题的关键． 【详解】解：∵  ， ， ∴ 故答案为：． 6．(24-25七下·湖南郴州桂阳县·)已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法运算、幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键． 直接逆用同底数幂的除法运算法则和幂的乘方运算法则将原式变形，然后代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 7．(24-25八上·湖南邵阳第三中学·期末)计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂、积的乘方、单项式乘单项式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据负整数指数幂、积的乘方、单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．(23-24八上·湖南长沙华益中学·期末)若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同底数幂除法；由条件得，再由同底数幂的除法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：4． 9．(24-25八下·湖南益阳赫山区·期末)计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方，负整数指数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据分式的乘方，负整数指数幂的运算法则即可求解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 10．(24-25八上·湖南长沙师大附中集团·期末)计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方混合运算，负整数指数幂运算，根据积的乘方和单项式乘单项式运算法则，负整数指数幂运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11．(24-25八上·湖南株洲天元中学·期末)计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据乘方，零指数幂运算法则计算，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 12．(24-25八上·湖南长沙宁乡·期末)计算： 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂、负指数幂、绝对值和有理数的加减运算，掌握“任何不等于0的数的0次幂都等于1”、“当是正整数时，”是解题关键． 根据零指数幂与负指数幂的公式进行计算即可． 【详解】解： ． 13．(24-25八上·湖南长沙周南教育联盟·期末)计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算和整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别计算乘方、零指数幂和负整数指数幂，然后再进行加减运算即可； （2）原式先计算积的乘方，再计算单项式的乘除法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 14．(24-25八上·湖南湘中名校联考试卷·期中)计算： 【答案】 【分析】此题考查了负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值和零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值和零指数幂，然后计算加减即可求解． 【详解】解： ． 15．(23-24八上·湖南怀化洪江·期末)计算： 【答案】 【分析】根据实数的运算法则，化简根式，先乘方，再加减，即可求解，本题考查了实数的混合运算，整数指数幂的运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】解： ． 16．(23-24八上·湖南长沙宁乡·期末)计算： 【答案】0 【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂、平方差和乘方，再进行加减计算即可． 本题考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、平方差和乘方运算是解题的关键． 【详解】 17．(23-24八上·湖南张家界永定区·期末)计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）依次进行二次根式的性质进行化简，去绝对值，零指数幂和负整数指数幂计算即可； （）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可； 此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）原式， ， ； （2） =， =， =． 地 城 考点07 分式方程解的情况 1．(24-25八上·湖南吉首雅思实验学校·期末)为分式方程的解时，k的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解，解题的关键是将代入原方程中得到关于的方程． 将代入原方程即可求出的值． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：， 故选：C． 2．(24-25八上·湖南邵阳第三中学·期末)关于的方程无解，则取值为（　　） A．1或 B． C． D．或2 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解问题，理解分式方程无解为整式方程无解或分式方程出现增根两种情况是解决问题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，再分整式方程无解和分式方程出现增根两种情况进行讨论，即可得出答案． 【详解】解：， 去分母得，， 整理得：， 当时，即，整式方程无解； 当，则， 若此时分式方程无解，则分式方程有增根， 即， 解得：； ∴关于的方程无解，则取值为1或． 故选：A． 3．(24-25八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期末)若关于x的分式方程无解，则m的值可能为（   ） A．1 B． C．0 D．4 【答案】ABD 【分析】本题考查了分式方程的无解问题．分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m的值，由分式方程无解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得， 由分式方程无解，得到， 即，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当，整式方程无解， 解得， 故m的值为1或4或． 故选：ABD． 4．(24-25八上·湖南怀化五县六校联考·期末)若关于x 的分式方程无解，则 m 的值为 （    ） A．或0 B．－1 C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查的是分式方程无解的两种情况①当分式方程有增根时，此方程无解，②当等式不成立时，此方程无解；化简分式方程得，要是分式方程无解有两种情况，当分式方程有增根时，，代入即可算出m的值，当等式不成立时，使分母为0，则． 【详解】解： 解得： 当分式方程有增根时，代入得； 当分母为0时，； 则m的值为或0． 故选：A． 5．(24-25八上·湖南张家界永定区·期末)“若关于x的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下： 尖尖： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得： ， 原方程无解， ， ． 丹丹： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 原方程无解，为增根， ，解得， ，解得． 下列说法正确的是（   ） A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对 C．两人都对 D．两人的答案合起来才对 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，分式方程的无解包括两种情况，①当分母为0时，分式方程无解，求出x的值，代入到去分母后的整式方程求出参数的值；②去分母整理成的形式，如果，，此时分式方程也无解． 【详解】解：∵分式方程无解分两种情况， ∴两人的答案合起来才对． 故选D． 6．(24-25八上·湖南吉首雅思实验学校·期末)已知关于x的分式有增根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题．方程的两边同乘以可得，由分式方程有增根，可得，把代入即可求得a的值． 【详解】解：方程的两边同乘以得，， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， 解得：， 把代入得：， 解得：， 故答案为：． 7．(24-25八下·湖南衡阳耒阳·期末)若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的求解与增根的概念，求解出分式方程的解利用增根代入整式方程求解参数是解决本题的关键 ． 先求解分式方程的解，再根据增根的概念将解代入原式即可求解 ． 【详解】解：分式方程， 则有，解得， ∵关于的分式方程有增根， ∴，解得， ∴， 解得 ． 故答案为： ． 8．(24-25八上·湖南株洲炎陵县·期末)若分式方程有增根，则增根x= ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程，解题的关键是确定增根的可能值，只需让最简公分母为0即可．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母即可． 【详解】解：原方程有增根， 最简公分母， 解得， 故答案为：3． 9．(24-25八上·湖南株洲荷塘区·期末)若关于x的方程的解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解情况求参数，根据“原分式方程的解”和“解是正数”建立关于的不等式是解题的关键．先解关于的分式方程，它的解用含量的代数式表示，再根据“原分式方程有解”和“方程的解是正数”建立关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 解得：， ∵原分式方程有解， ∴，即， 解得：， ∵方程的解是正数， ∴， 解得：， ∴且， 故答案为：且． 10．(24-25八上·湖南邵阳新邵县·期末)关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了解分式方程，含字母系数的分式方程的解： 先去分母，再移项，合并同类项，用含有m的代数式表示x，然后根据，且，求出解即可． 【详解】解：去分母，得， 移项，合并同类项，得． ∵这个分式方程的解是正数， ∴，且， 即，且，     解得，且． 故答案为：，且． 11．(24-25八上·湖南永州冷水滩区·期末)关于的方程有增根，则增根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的定义是解题的关键． 先明确增根的定义，即分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，然后据此求解． 【详解】解：分式方程的分母为和，． 令分母， 解得． 故答案为：． 12．(24-25八下·湖南衡阳八中教育集团·期末)已知关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的根的情况求参数，先把原方程去分母得到，再求出原方程的增根为，据此把代入方程中即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， ∵原方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．(24-25八上·湖南娄底双峰县·期末)已知关于x的方程有增根，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，掌握增根的定义成为解题的关键． 由题意可知关于x的方程的增根为，再将分式方程化成整式方程，然后将代入求出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的方程有增根， ∴是该分式方程的增根， 将分式方程化为整式方程为， 将代入可得：，即． 故答案为1． 14．(24-25八上·湖南长沙湖南师大附中博才实验中学·期末)若关于x的分式方程无解，则m的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程得到，接着根据原方程无解得到，解之即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 地 城 考点08 解分式方程 1．(24-25八下·湖南株洲渌口区龙凤中学多校期末联考·期末)解分式方程，去分母得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解分式方程，掌握将分式方程转化成整式方程求解是解题的关键． 首先将方程右边的分母转化为与左边相同的分母形式，确定最简公分母为，然后两边同乘最简公分母，去分母得到整式方程． 【详解】解： 变形得． 方程两边同乘，得 ， 故选：A． 2．(24-25八下·湖南衡阳石鼓区多校·期末)分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 所以原方程的解为． 故答案为： 3．(24-25八上·湖南岳阳岳阳县·期末)解方程： 【答案】无解 【分析】本题考查解分式方程，先去分母，再解一元一次方程，最后检验即可得到答案． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 检验：将代入分母得， ∴不是原方程的解，原方程无解． 4．(24-25八上·湖南娄底·期末)解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．需注意的是，分式方程的解一定要进行检验． 方程两边同乘以可得一个关于的一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤解方程，最后进行检验即可． 【详解】解：， 去分母，方程两边同乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 经检验，是原分式方程的解， 方程的解为． 5．(24-25八上·湖南永州蓝山县·期末)解下列分式方程： 【答案】原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 检验，当时，， 是原方程的增根， 原方程无解． 6．(24-25八上·湖南长沙师大附中梅溪湖中学·期末)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)方程无解 【分析】本题考查的是分式方程的解法； （1）先两边同乘以去分母，化为整式方程，再解一元一次方程，检验即可得答案； （2）先两边同乘以去分母，化为整式方程，再解一元一次方程，检验即可得答案． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘以，得， 移项、合并同类项，得， 经检验，是原分式方程的解， 故方程的解为； （2）解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：， 经检验，是分式方程的增根， 故方程无解． 7．(24-25八上·湖南吉首雅思实验学校·期末)解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的解法； （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可； （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解； （2）解： 去分母得，， 解得， ． 经检验：是原分式方程的解． 8．(24-25八下·湖南衡阳蒸湘区·期末)解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘，得， 解得：． 检验：当时，， 分式方程的解为． （2）解： 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：． 检验：当时，， 分式方程的解为 9．(24-25八上·湖南邵阳武冈·期末)解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤及注意事项是解题的关键． （1）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘以，得：， 移项合并得：， 检验：当时， 所以原分式方程的解为． （2）解：方程两边同乘以，得， ， ， ， 当时 ， 原方程无解． 10．(24-25八上·湖南株洲茶陵县·期末)解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)方程无解． 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）根据解分式方程的方法，将分式方程先转化为整式方程，解整式方程求出方程的解，最后检验即可； （2）根据解分式方程的方法，将分式方程先转化为整式方程，解整式方程求出方程的解，最后检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 即， 解得， 经检验，是原分式方程的解； （2）解：方程两边同乘，得， 解得：． 检验：代入． 是增根，原方程无解． 11．(24-25八上·湖南长沙周南教育联盟·期末)解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的求解，解题的关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，并进行检验． （1）先通过去分母（方程两边同时乘以最简公分母），将分式方程转化为整式方程 ，即可求解． （2）先通过去分母，方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，即可求解． 【详解】（1） 解： 经检验是原方程的解． （2） 解： 经检验是原方程的解． 12．(24-25八上·湖南长沙长郡教育集团·期末)解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练利用了转化的思想解分式方程是解题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 去分母得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． （2）解：， 去分母，得，即， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 地 城 考点09 分式方程的应用 1．(24-25八上·湖南长沙周南教育联盟·期末)《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用．解题的关键是根据题意列出方程． 设规定时间为天，慢马送信所需时间为天，快马送信所需时间为天．根据题意，快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，，因此有． 【详解】∵规定时间为天， ∴慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天， 又∵快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里， 故选：B． 2．(23-24八上·湖南怀化通道县·期末)某县城要在一河道两旁建造休闲文化长廊，计划栽种一名贵树种960棵，由于青年志愿者的支援，每天种树的棵数比原计划多，结果提前4天完成任务，若设原计划每天种树棵，根据题意列的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的实际应用．根据题意列方程即可得到本题答案． 【详解】解：设原计划每天种树棵，则实际种树为， 根据题意可列：， 故选：C． 3．(24-25八上·湖南邵阳大祥区·期末)辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”五常稻花香大米味清淡略甜，绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．设原计划每天收割的面积为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键． 设原计划每天收割的面积为，则实际每天收割的面积为，根据结果提前2天完成任务列方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天收割的面积为， 由题意得， 故选：D． 4．(24-25八上·湖南永州道县·期末)年月日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为了迎接年春节到来，盼盼家里开始准备年货，购买了、两种糖果，其中类糖果的价格比类糖果的价格每千克多元，花元购买类糖果的数量与花元购买类糖果的数量相同，则类糖果的价格 元/千克． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是掌握分式方程的应用，根据题意，设类糖果的价格为元/千克，则类糖果的价格为元/千克，列出方程：，解出，即可． 【详解】解：设类糖果的价格为元/千克，则类糖果的价格为元/千克， ∵花元购买类糖果的数量与花元购买类糖果的数量相同， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴类糖果的价格为元/千克． 故答案为：． 5．(24-25八上·湖南岳阳岳阳县·期末)从甲地到乙地有两条公路，一条是全长千米的普通公路，另一条是全长千米的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度每小时快千米，由高速公路从甲地到乙地所需时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．求该客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度． 【答案】客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度为千米/时． 【分析】本题考查用分式方程解决应用题，设客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度为千米/时，根据时间关系列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度为千米/时，由题意可得， ， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意， 答：该客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度千米/时． 6．(24-25八上·湖南益阳安化县·期末)某项目室外绿化及道路工程进入收尾阶段，参建单位接下来需进行某段路面施工工作，路面全长为3000米，更改施工方式后工作效率为原来的1.25倍，预计会提前15天完成，则原计划每天施工多少米？ 【答案】原计划每天施工40米 【分析】本题主要考查分式方程的运用．根据题意，设该工程队原计划每天施工米，由此列式求解即可． 【详解】解：设原计划每天施工x米． ， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：原计划每天施工40米． 7．(23-24八上·湖南邵阳大祥区·期末)杭州亚运会于年月日至月日举办，杭州亚运会吉祥物是一组名为“江南型忆”的机器人，分别取名“琮琮”“莲莲”“宸宸”．小明来到某商店购买印有吉祥物的小彩旗，如果给八年级学生每人购买支，那么只能按零售价付款，需用元，如果多购买支，那么可以按批发价付款，同样需用元．若按批发价购买支与按零售价购买支付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人? 【答案】这个学校八年级学生有人． 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设这个学校八年级学生有人，根据题意列方程，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这个学校八年级学生有人， 根据题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合实际， 答：这个学校八年级学生有人． 8．(24-25八上·湖南长沙宁乡·期末)《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为．为确保行车安全，某一段总路程为300千米的高速公路全程小型车限速120千米/时（即行驶过程中任意时刻的车速都不能超过120千米/时），以下是刘师傅和杨师傅行驶完这段高速公路后的对话片段： 刘师傅：“杨师傅，你的平均速度比我快，行驶完全程比我少用了40分钟．” 杨师傅：“虽然我的平均车速比你快，但是我在行驶过程中的最快车速只比我的平均车速快，并没有超速啊！” 根据以上对话，你认为杨师傅在行驶过程中是否有超速，请说明理由． 【答案】杨师傅在行驶过程中超速了，理由见解析 【分析】设刘师傅的平均速度为千米/时，则杨师傅的平均速度为千米/时，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：杨师傅在行驶过程中超速了． 理由如下：设刘师傅的平均速度为千米/时，则杨师傅的平均速度为千米/时， 由题意得：， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合实际． ∴杨师傅的平均车速为(千米/时)， ∴杨师傅的最快车速为(千米/时)，    ， ∴杨师傅在行驶过程中超速了． 9．(24-25八上·湖南长沙长沙县·期末)为了加快长株潭城市群建设与发展，要在长沙和株洲两座城市之间新建一条城际铁路方便出行．铁路建成后，铁路运行里程由现在的缩短至，城际铁路的预计平均时速要比现行的平均时速快，运行时间是现行时间的． (1)设该城际铁路建成前在长沙和株洲两地运行的现行时间是小时，则该城际铁路建成后在长沙和株洲两地的运行时间是_____时（用含的式子表示）； (2)根据（1）中的设未知数，结合题意，列方程，求出该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间． 【答案】(1)； (2)该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间是小时． 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）根据铁路建成后，运行时间是现行时间的，由此列式即可； （2）根据题意，列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：铁路建成后，运行时间是现行时间的，现行时间是小时， ∴该城际铁路建成后在长沙和株洲两地的运行时间是时， 故答案为：； （2）解：根据题意，， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴（小时）， ∴该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间为小时． 10．(24-25八上·湖南长沙望城区·期末)甲、乙两个工程队共同参与一项修路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的，这时增加了乙队，两个队又共同工作了半个月，总工程全部完成．设乙队单独施工一个月能够完成总工程的． (1)甲队半个月完成总工程的多少？ (2)甲、乙两个工程队半个月一起可以完成总工程的多少？ (3)甲、乙两个工程队哪个队的施工速度快？ 【答案】(1)甲队半个月完成总工程的 (2)甲、乙两个工程队半个月一起可以完成总工程的 (3)乙队的施工速度快 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，熟练掌握工程问题的等量关系是关键． (1)根据条件计算甲队半个月完成总工程的多少即可； (2)根据条件计算甲、乙两个工程队半个月一起可以完成总工程的多少即可； (3)根据条件，列出分式方程，解出值，再比较两队的施工速度即可． 【详解】（1）解：甲队单独施工一个月完成总工程的， 甲队半个月完成总工程的； （2）解：设乙队单独施工一个月能够完成总工程的， 乙队半个月能够完成总工的， 甲、乙两个工程队半个月一起可以完成总工程的； （3）解：根据题意得， ，解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 乙队的施工速度快． 11．(24-25八上·湖南永州道县·期末)某校为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举，积极开展“阳光体育”活动，学校准备购买篮球和排球共60个．已知每个篮球的价格是每个排球的价格的2倍，用240元单独购买某一种球，则购买篮球的数量比购买排球的数量少3个． (1)求篮球和排球的单价各是多少元？ (2)若学校购买篮球和排球的总资金不超过3680元，并且篮球的数量不少于30个，请问有几种购买方案？ 【答案】(1)80元；40元 (2)三种；方案见解析 【分析】本题考查了分式方程以及一元一次不等式组，正确掌握相关内容是解题的关键． （1）设排球的单价为元，则篮球的单价为元，根据题意列分式方程，解方程组可求解； （2）设购买个篮球，则购买个排球，，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求不等式组的整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设排球的单价为元，则篮球的单价为元． 由题意得，解得， 检验，当时，， 是原分式方程的解，且符合题意 答：篮球的单价是80元，排球的单价是40元． （2）解：设购买个篮球，则购买个排球，由题意得： ， 解得：， 为整数， 取30或31或32 则购买方案有如下三种： 方案一：购买篮球30个，购买排球30个； 方案二：购买篮球31个，购买排球29个； 方案三：购买篮球32个，购买排球28个． 12．(24-25八上·湖南长沙雨花区·期末)某商场新进一种商品，第一个月将此商品的进价提高作为销售价，共获利600元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了40件，并且商场第二个月比第一个月多获利150元． (1)此商品的进价是多少元？ (2)前两个月销售了该商品一共多少件？ 【答案】(1)50元 (2)160件 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意． （1）设此商品的进价是x元，根据“第二个月的销售量比第一个月增加了40件”列方程求解即可． （2）分别求出两个月的销量即可求解． 【详解】（1）解：设此商品的进价是x元， 根据题意，得， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：此商品的进价是50元． （2）解：第一个月销量为件，第二个月销量为件， 前两个月销售该商品一共160件． 13．(24-25八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期末)为庆祝我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在北京时间年月日举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花．某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花．已知每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜元，且第二次购进的数量是第一次的倍． (1)求该店两次购进这款窗花各多少个？ (2)第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要便两次进的窗花销售完后的总利润不低于元，则每个窗花的售价至少为多少元？ 【答案】(1)答：第一次购进窗花个，则第二次购进窗花个 (2)答：每个窗花的售价至少为元 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，进行解答，即可． （1）设第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元，根据题意列出方程，，解出，进行解答，即可； （2）根据利润等于售价减去单价，根据题意，列出一元一次不等式，进行解答，即可． 【详解】（1）解：设第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元， ∵某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花，第二次购进的数量是第一次的倍， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴第一次购进窗花是数量为：个，第二次购进窗花是数量为：个， 答：第一次购进窗花个，则第二次购进窗花个． （2）解：由（1）得，第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元， 设每个窗花的售价为元， ∵两次进的窗花销售完后的总利润不低于元， ∴， ∴， 答：每个窗花的售价至少为元． 14．(24-25八上·湖南永州祁阳·期末)项目学习方案： 项目情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务． 素材一 采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍． 任务一 小组成员甲设用320元购买的种花卉的数量为，由题意得方程： ① ；小组成员乙设 ② ，由题意得方程：． 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同． 任务二 求的值 素材三 摆放盆栽时，设计小组成员丁为使校园更加美丽，计划利用已经插好的480盆小盆栽和360盆大盆栽搭配，两种园艺造型，共30个，已知搭配一个造型需小盆栽12盆，大盆栽15盆，搭配一个造型需小盆栽18盆，大盆栽10盆． 任务三 求符合题意的搭配方案有几种？请你设计出来； (1)任务一中横线①处应填______，横线②处应填______． (2)完成任务二． (3)完成任务三． 【答案】(1)；每枝种花卉单价为元 (2) (3)方案有三种 【分析】本题考查分式方程解应用题，读懂题意，找准等量关系准确列出方程是解决问题的关键． （1）设用320元购买的A种花卉的数量为x，则每枝A种花卉单价为元，根据用800元购买的B种花卉数量为用320元购买的A种花卉数量的2倍，即可列方程；结合可知表示用320元购买的A种花卉数量，表示用800元购买的种花卉数量，即可得到答案； （2）由题意，得到完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，再由完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，可得方程，解分式方程即可得到答案． 【详解】（1）设用320元购买的种花卉的数量为， 则每枝种花卉单价为元， 每枝种花卉单价为元， 根据题意得； ， 表示用320元购买的种花卉数量， 表示用800元购买的种花卉数量， 即小组成员乙设每枝种花卉单价为元； 故答案为：；每枝种花卉单价为元； （2）单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或 完成盆大盆栽的插花任务， 完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为， 完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同， ，解得， 经检验，是原分式方程的解， ． （3）可设搭配一个造型需要个，则造型需要个 由题意得， 解得：， 故方案有三种： ①搭配造型为10棵小盆栽，则搭配造型为20棵大盆栽， ②搭配造型为11棵小盆栽，则搭配造型为19棵大盆栽， ③搭配造型为12棵小盆栽，则搭配造型为18棵大盆栽； 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 分式 9大高频考点概览 考点01 分式的概念 考点02 分式的基本性质 考点03 最简分式 考点04 最简公分母 考点05 分式的混合运算 考点06 整数指数幂 考点07 分式方程解的情况 考点08 解分式方程 考点09 分式方程的应用 地 城 考点01 分式的概念 1．(24-25八上·湖南益阳安化县·期末)下列式子是分式的是（    ）． A． B． C． D． 2．(24-25八上·湖南长沙长沙县·期末)给出如下式子：①；②；③；④，其中是分式的是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①④ 3．(24-25八上·湖南怀化五县六校联考·期末)下列式子：，，，， ，，其中是分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．(23-24八上·湖南桂阳县鹿峰中学·期末)下列各式中是分式的是（    ） A． B． C． D． 5．(23-24八上·湖南永州新田县·期末)若分式无意义，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25八上·湖南株洲荷塘区·期末)已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（　　） 的取值 2 0 分式的值 无意义 0 1 A． B． C． D． 7．(24-25八上·湖南邵阳新邵县·期末)若分式的值为零，则x的值是（   ） A． B． C． D． 8．(24-25八上·湖南娄底双峰县·期末)若分式的值为，则的取值为（   ） A． B． C． D． 9．(24-25八上·湖南常德教学联盟校·)若分式的值为0，则b的值为（   ） A．1 B． C． D．1或 10．(24-25八上·湖南娄底第二中学·期末)要使分式有意义，则实数x应满足的条件是 ． 11．(23-24八上·湖南桂阳县鹿峰中学·期末)若分式有意义，则x的取值范围是 ． 12．(24-25八上·湖南邵阳邵东·期末)当 时，分式有意义． 13．(23-24八上·湖南桂阳县鹿峰中学·期末)代数式无意义，则的值是 ． 14．(23-24八上·湖南永州冷水滩区京华中学·期中)已知当时，分式无意义，当时，此分式值为0，则 15．(24-25八上·湖南长沙长沙县·期末)若分式的值为，则的取值为 ． 地 城 考点02 分式的基本性质 1．(23-24八上·湖南长沙芙蓉区·期末)下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24八上·湖南桂阳县鹿峰中学·期末)若把分式中都扩大3倍，则分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．扩大到原来的9倍 D．缩小到原来的 3．(23-24八上·湖南长沙湖南师大附中博才实验中学·期末)若把分式的x、y同时扩大10倍，则分式的值（    ） A．扩大10倍 B．缩小10倍 C．不变 D．缩小2023倍 4．(23-24八上·湖南长沙长郡教育集团联考·期末)把分式中的和都扩大10倍，则分式的值（    ） A．扩大10倍 B．扩大100倍 C．缩小为 D．不变 5．(23-24八上·湖南怀化雅礼实验学校·期末)如果分式中的x、y都扩大到原来的3倍，那么下列说法中，正确的是（    ） A．分式的值不变 B．分式的值缩小为原来的 C．分式的值扩大为原来的3倍 D．分式的值扩大为原来的9倍 6．(23-24八上·湖南株洲六校联考·期中)若分式的的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值（    ） A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的倍 D．不变 地 城 考点03 最简分式 1．(24-25八上·湖南株洲二中初中部·期末)下列分式中，为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·湖南永州道县·期末)下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 3．(23-24八下·湖南衡阳祁东县·期末)下列分式中 最简分式是（      ） A． B． C． D． 4．(23-24八上·湖南怀化通道县·期末)以下式子是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 5．(23-24八下·湖南衡阳蒸湘区·期末)约分的结果为（   ） A． B． C． D． 6．(23-24八上·湖南长沙浏阳·期末)化简： ． 7．(23-24八上·湖南怀化雅礼实验学校·期末)约分：（1） ；（2） ． 地 城 考点04 最简公分母 1．(24-25八上·湖南株洲荷塘区·期末)分式和的最简公分母是 ． 2．(24-25八上·湖南娄底·期末)分式与的最简公分母是 ． 3．(23-24八上·湖南张家界特殊教育学校·期末)分式，的最简公分母是 ． 4．(23-24八上·湖南张家界特殊教育学校·期末)通分：，，． 地 城 考点05 分式的混合运算 1．(24-25七下·湖南衡阳耒阳正源学校·期末)先化简，再求值：，其中． 2．(23-24九上·湖南长沙长郡教育集团·期中)先化简，再求值：，其中． 3．(24-25八上·湖南怀化·期末)先化简：，再从、0、1、2中选取一个合适的数作为的值代入求值． 4．(24-25八上·湖南长沙湖南师大附中博才实验中学·期末)先化简，再求值．，其中． 5．(24-25八上·湖南永州冷水滩区·期末)先化简，再求值：，其中． 6．(24-25八上·湖南长沙师大附中梅溪湖中学·期末)先化简，再求值：在、、1、2中选一个合适的数代入求值． 7．(24-25八上·湖南邵阳第三中学·期末)先化简：，再从，0，1中选择一个合适的数代入求值． 8．(24-25七下·湖南株洲第二中学·期末)先化简，再求值：，其中． 9．(24-25八上·湖南吉首雅思实验学校·期末)先化简，再求值：，其中． 10．(24-25八上·湖南岳阳第十中学·期中)先化简，再求值：，其中． 地 城 考点06 整数指数幂 1．(24-25八上·湖南邵阳第三中学·期末)2023年9月，上海微电子研发的浸没式光刻机成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知米，则数据0.000000028用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 2．(24-25八下·湖南衡阳石鼓区多校·期末)人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·湖南永州蓝山县·期末)下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·湖南怀化·期末)下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25八上·湖南永州道县·期中)若，，则 ． 6．(24-25七下·湖南郴州桂阳县·)已知，，则的值是 ． 7．(24-25八上·湖南邵阳第三中学·期末)计算： ． 8．(23-24八上·湖南长沙华益中学·期末)若，则 ． 9．(24-25八下·湖南益阳赫山区·期末)计算： ． 10．(24-25八上·湖南长沙师大附中集团·期末)计算 ． 11．(24-25八上·湖南株洲天元中学·期末)计算： 12．(24-25八上·湖南长沙宁乡·期末)计算： 13．(24-25八上·湖南长沙周南教育联盟·期末)计算： (1) (2) 14．(24-25八上·湖南湘中名校联考试卷·期中)计算： 15．(23-24八上·湖南怀化洪江·期末)计算： 16．(23-24八上·湖南长沙宁乡·期末)计算： 17．(23-24八上·湖南张家界永定区·期末)计算： (1)； (2)． 地 城 考点07 分式方程解的情况 1．(24-25八上·湖南吉首雅思实验学校·期末)为分式方程的解时，k的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．(24-25八上·湖南邵阳第三中学·期末)关于的方程无解，则取值为（　　） A．1或 B． C． D．或2 3．(24-25八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期末)若关于x的分式方程无解，则m的值可能为（   ） A．1 B． C．0 D．4 4．(24-25八上·湖南怀化五县六校联考·期末)若关于x 的分式方程无解，则 m 的值为 （    ） A．或0 B．－1 C． D．0 5．(24-25八上·湖南张家界永定区·期末)“若关于x的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下： 尖尖： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得： ， 原方程无解， ， ． 丹丹： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 原方程无解，为增根， ，解得， ，解得． 下列说法正确的是（   ） A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对 C．两人都对 D．两人的答案合起来才对 6．(24-25八上·湖南吉首雅思实验学校·期末)已知关于x的分式有增根，则 ． 7．(24-25八下·湖南衡阳耒阳·期末)若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 8．(24-25八上·湖南株洲炎陵县·期末)若分式方程有增根，则增根x= ． 9．(24-25八上·湖南株洲荷塘区·期末)若关于x的方程的解为正数，则的取值范围是 ． 10．(24-25八上·湖南邵阳新邵县·期末)关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围为 ． 11．(24-25八上·湖南永州冷水滩区·期末)关于的方程有增根，则增根是 ． 12．(24-25八下·湖南衡阳八中教育集团·期末)已知关于的分式方程有增根，则的值是 ． 13．(24-25八上·湖南娄底双峰县·期末)已知关于x的方程有增根，则m的值为 ． 14．(24-25八上·湖南长沙湖南师大附中博才实验中学·期末)若关于x的分式方程无解，则m的值为 ． 地 城 考点08 解分式方程 1．(24-25八下·湖南株洲渌口区龙凤中学多校期末联考·期末)解分式方程，去分母得（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八下·湖南衡阳石鼓区多校·期末)分式方程的解为 ． 3．(24-25八上·湖南岳阳岳阳县·期末)解方程： 4．(24-25八上·湖南娄底·期末)解方程： 5．(24-25八上·湖南永州蓝山县·期末)解下列分式方程： 6．(24-25八上·湖南长沙师大附中梅溪湖中学·期末)解方程： (1)； (2)． 7．(24-25八上·湖南吉首雅思实验学校·期末)解方程： (1) (2) 8．(24-25八下·湖南衡阳蒸湘区·期末)解方程： (1) (2) 9．(24-25八上·湖南邵阳武冈·期末)解方程： (1) (2) 10．(24-25八上·湖南株洲茶陵县·期末)解分式方程： (1)； (2)． 11．(24-25八上·湖南长沙周南教育联盟·期末)解下列分式方程： (1) (2) 12．(24-25八上·湖南长沙长郡教育集团·期末)解分式方程： (1)； (2)． 地 城 考点09 分式方程的应用 1．(24-25八上·湖南长沙周南教育联盟·期末)《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（  ） A． B． C． D． 2．(23-24八上·湖南怀化通道县·期末)某县城要在一河道两旁建造休闲文化长廊，计划栽种一名贵树种960棵，由于青年志愿者的支援，每天种树的棵数比原计划多，结果提前4天完成任务，若设原计划每天种树棵，根据题意列的方程是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·湖南邵阳大祥区·期末)辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”五常稻花香大米味清淡略甜，绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．设原计划每天收割的面积为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·湖南永州道县·期末)年月日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为了迎接年春节到来，盼盼家里开始准备年货，购买了、两种糖果，其中类糖果的价格比类糖果的价格每千克多元，花元购买类糖果的数量与花元购买类糖果的数量相同，则类糖果的价格 元/千克． 5．(24-25八上·湖南岳阳岳阳县·期末)从甲地到乙地有两条公路，一条是全长千米的普通公路，另一条是全长千米的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度每小时快千米，由高速公路从甲地到乙地所需时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．求该客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度． 6．(24-25八上·湖南益阳安化县·期末)某项目室外绿化及道路工程进入收尾阶段，参建单位接下来需进行某段路面施工工作，路面全长为3000米，更改施工方式后工作效率为原来的1.25倍，预计会提前15天完成，则原计划每天施工多少米？ 7．(23-24八上·湖南邵阳大祥区·期末)杭州亚运会于年月日至月日举办，杭州亚运会吉祥物是一组名为“江南型忆”的机器人，分别取名“琮琮”“莲莲”“宸宸”．小明来到某商店购买印有吉祥物的小彩旗，如果给八年级学生每人购买支，那么只能按零售价付款，需用元，如果多购买支，那么可以按批发价付款，同样需用元．若按批发价购买支与按零售价购买支付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人? 8．(24-25八上·湖南长沙宁乡·期末)《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为．为确保行车安全，某一段总路程为300千米的高速公路全程小型车限速120千米/时（即行驶过程中任意时刻的车速都不能超过120千米/时），以下是刘师傅和杨师傅行驶完这段高速公路后的对话片段： 刘师傅：“杨师傅，你的平均速度比我快，行驶完全程比我少用了40分钟．” 杨师傅：“虽然我的平均车速比你快，但是我在行驶过程中的最快车速只比我的平均车速快，并没有超速啊！” 根据以上对话，你认为杨师傅在行驶过程中是否有超速，请说明理由． 9．(24-25八上·湖南长沙长沙县·期末)为了加快长株潭城市群建设与发展，要在长沙和株洲两座城市之间新建一条城际铁路方便出行．铁路建成后，铁路运行里程由现在的缩短至，城际铁路的预计平均时速要比现行的平均时速快，运行时间是现行时间的． (1)设该城际铁路建成前在长沙和株洲两地运行的现行时间是小时，则该城际铁路建成后在长沙和株洲两地的运行时间是_____时（用含的式子表示）； (2)根据（1）中的设未知数，结合题意，列方程，求出该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间． 10．(24-25八上·湖南长沙望城区·期末)甲、乙两个工程队共同参与一项修路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的，这时增加了乙队，两个队又共同工作了半个月，总工程全部完成．设乙队单独施工一个月能够完成总工程的． (1)甲队半个月完成总工程的多少？ (2)甲、乙两个工程队半个月一起可以完成总工程的多少？ (3)甲、乙两个工程队哪个队的施工速度快？ 11．(24-25八上·湖南永州道县·期末)某校为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举，积极开展“阳光体育”活动，学校准备购买篮球和排球共60个．已知每个篮球的价格是每个排球的价格的2倍，用240元单独购买某一种球，则购买篮球的数量比购买排球的数量少3个． (1)求篮球和排球的单价各是多少元？ (2)若学校购买篮球和排球的总资金不超过3680元，并且篮球的数量不少于30个，请问有几种购买方案？ 12．(24-25八上·湖南长沙雨花区·期末)某商场新进一种商品，第一个月将此商品的进价提高作为销售价，共获利600元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了40件，并且商场第二个月比第一个月多获利150元． (1)此商品的进价是多少元？ (2)前两个月销售了该商品一共多少件？ 13．(24-25八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期末)为庆祝我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在北京时间年月日举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花．某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花．已知每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜元，且第二次购进的数量是第一次的倍． (1)求该店两次购进这款窗花各多少个？ (2)第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要便两次进的窗花销售完后的总利润不低于元，则每个窗花的售价至少为多少元？ 14．(24-25八上·湖南永州祁阳·期末)项目学习方案： 项目情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务． 素材一 采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍． 任务一 小组成员甲设用320元购买的种花卉的数量为，由题意得方程： ① ；小组成员乙设 ② ，由题意得方程：． 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同． 任务二 求的值 素材三 摆放盆栽时，设计小组成员丁为使校园更加美丽，计划利用已经插好的480盆小盆栽和360盆大盆栽搭配，两种园艺造型，共30个，已知搭配一个造型需小盆栽12盆，大盆栽15盆，搭配一个造型需小盆栽18盆，大盆栽10盆． 任务三 求符合题意的搭配方案有几种？请你设计出来； (1)任务一中横线①处应填______，横线②处应填______． (2)完成任务二． (3)完成任务三． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $