专题01 因式分解3考点（期末真题汇编，湖南专用）八年级数学上学期新教材湘教版

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01因式分解 ☆3大高频考点概览 考点01多顶式的因式分解 考点02提公因式试法 考点03公式法 目目 考点01 多项式的因式分解 1.(24-25七下·湖南衡阳耒阳正源学校·期末)下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是() A.x2+2x+1=xx+2)+1 B.a(2a-4b)=2a2-4ab C.x(x+2y)=x2+2xy D.x2-9=(x+3x-3) 2.(24-25七下·湖南株洲第二中学期末)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是() A.(a+3)(a-3)=a2-9 B.x2+5x+6=(x+2)(x+3) C.x2-2x+2=(x-1)2+1 D.2-4y2=(x+4y)(x-4y) 3.(24-25八上湖南衡阳衡东县·期末)下列式子从左到右的变形是因式分解的是() A.x2-5x+6=x(x-5)+6 B.x2-5x+5=x2-5(x-1) C.x(x-1)=x2-x D.x2-4=(x+2)(x-2) 4.(23-24七下·湖南株洲天元区白鹤学校期末)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是() A.x2+2x-1=x(x+2)-1 B.x2-4y2=(x-2y)(x+2y) C.(a+b)(a-b)=a2-b2 D.ax2-a=a(x2-1) 5.(23-24七下·湖南邵阳隆回县·期末)下列各式从左到右的变形是因式分解的是() A.a2-ab=a(a-b) B.(a-3)(a+1)=a2-2a-3 C.4x2-4x+1=4x(x-1)+1D.a2+1=a(a+吉) 6.(23-24七下·湖南岳阳岳阳县期末)下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是() A.x2-1+y2=(x-1)(x+1)+y2B.ab-c)=ab-ac C.10a2-5a=5a(2a-1) D.（(x+4)(x-4)=x2-16 7.(23-24七下湖南株洲攸县期末)已知二次三项式x2+mx+n因式分解的结果是(x一2x-3),则 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (m+n)2024 目目 考点02 提公因式法 1.(23-24七下·湖南邵阳隆回县·期末)多项式4x3yz2-8x2yz4+12x4y2z的公因式是() A.4x3yz2 B.-8x2yz4 C.12x4y2z3 D.4x2yz2 2.(23-24七下·湖南郴州·期末)下列多项式能用提公因式法因式分解的是() A.a2-b2 B.a2+3a C.a2+2ab+b2 D.a2-1 3.(23-24七下湖南邵阳大祥区期末)将多项式6a26-3ab2+12a2b2分解因式时，应提取的公因式 是 4.(23-24七下湖南株洲攸县期末)6ab(a-b)2与4b(a一b)的公因式是 5.(23-24七下湖南怀化期末多项式2a2b+3ab2的公因式是一 6.(24-25八上湖南长沙宁乡·期末)因式分解：a2b-5ab2=一 7.(24-25八上湖南长沙雨花区·期末)分解因式：2(x-3)+x(3-x)= 8.(23-24七下·湖南邵阳期末)已知ab=2,a一2b=3,则4ab2-2a2b的值是 9.(23-24七下湖南永州双牌县·期末)已知x+y=3,y=2,则-y-y2= 10.(23-24七下·湖南永州新田县期末)若x=1,则 1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3+··+x(1+x)2024= 目目 考点03 公式法 1.(24-25七下·湖南株洲第二中学期末)下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是() A.x2-1 B.x2+2x-1 C.x2+4x+4 D.x2+X+1 2.(24-25八上·湖南衡阳船山实验中学期末)下列因式分解中正确的个数为() ①x3-2xy+x=x(x2-2y):②x2-4x+4=(x-2)2;③-1+y2=(y+1)(y-1) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 3.(24-25八上湖南衡阳衡阳四校期末)下列因式分解中，正确的是() 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.x2-2=(x+2)(x-2) B.x2-2x+1=(x+1)2 C.t2+t-16=(t+4)(t-4)+tD.x3+x=x(x2+1) 4.(24-25九上湖南邵阳·期末)因式分解：4x2+4x十1= 5.(24-25九上湖南长沙长郡集团期末)因式分解：6m2-6= 6.(23-24七下·湖南娄底第二中学期末)阅读下面的文字与例题. 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.例如： (1)am+an+bm+bn =(am+bm)+(an+bn) =m(a+b)+n(a+b) =(a+b)(m+n) (2)x2-y2-2y-1 =x2-(y2+2y+1) =x2-(y+1)2 =(x+y+1)(x-y-1) 试用上述方法分解因式：a2+ab+2ac+bc+c2一· 7.(24-25八上湖南衡阳常宁期末)因式分解： (1)3m2-27; (2)(a-2)(a-4)+1. 8.(24-25八上·湖南长沙长沙县·期末)分解因式： (1)ab2-a: (2)4y(y-x)+x2. 9.(23-24七下湖南湘乡东皋学校期末分解因式：a2(y-3x)-b2(y-3x) 10.(23-24七下·湖南株洲天元区白鹤学校期末)分解因式： (1)3x2-12x+12 (2)(m+2n)2-(2m-n)2 11.(23-24八上湖南永州祁阳·期末)分解因式： (1)2m2-4m: (2)x2y-6xy2+9y3. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(24-25八上湖南衡阳衡东县期末)在数学学习过程中，小丽发现：代数式(a+2)2+3无论a取何值 (a+2)2都大于等于0，再加上3，则代数式(a+2)2+3大于等于3.根据小丽的思考解决下列问题： (1)说明：代数式a2-6a+4的最小值为-5. (2)请仿照小丽的思考求代数式一a2-8a一-8的最大值. 13.(24-25八上·湖南衡阳衡东县期末)下面是某同学对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解 的过程： 解：设x2-2x=y 原式=y(y+2)+1(第一步) =y2+2y+1(第二步) =(y+1)2(第三步) =(x2-2x+1)2(第四步). 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了■ A,提取公因式B.平方差公式C.完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结 果为一 (3)请你模仿上述方法，对多项式(x2-2)(x2-6)+4进行因式分解。 14.(24-25八上·湖南长沙开福区长青竹湖湘一外国语学校期末)【材料1】如果一个自然数a是某一个整数 b的平方，即a=b2,那么这个自然数a叫做完全平方数.例如0,1,4,9,16,25,36，…，都是完全平 方数，其部分性质如下： ①完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9. ②任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1，即被4除余2或3的数一定不是 完全平方数 ③完全平方数的个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数.完全平方数的个位数字是6时，其十位数 字必为奇数. 【材料2】平方差公式：x2-y2=(x+y)(x-y): (1)根据以上材料，判断下列这些数是否为完全平方数（填“是”或“否”） ①121()；②品()；③1256341386() 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)已知m=92+92×102+102,求证：m是完全平方数； (3)已知自然数n使得n2-75为完全平方数，求n的值. 专题01 因式分解 3大高频考点概览 考点01 多项式的因式分解 考点02 提公因式法 考点03 公式法 地 城 考点01 多项式的因式分解 1．(24-25七下·湖南衡阳耒阳正源学校·期末)下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义，把一个多项式转化为整式的积的形式就是因式分解，据此判定． 【详解】解：A． ，等号右边不是积的形式，不是因式分解，该选项不符合题意. B． ，是整式乘法，该选项不符合题意. C． ，是整式乘法，该选项不符合题意. D． ，是因式分解，该选项符合题意． 故选：D． 2．(24-25七下·湖南株洲第二中学·期末)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式，结合因式分解的概念，逐个选项分析即可． 【详解】，属于整式乘法不是因式分解，故选项不属于； ，符合因式分解的概念，故选项属于； ，不属于因式分解，故选项不属于； ，选项错误，故选项不属于． 故答案选：． 3．(24-25八上·湖南衡阳衡东县·期末)下列式子从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法，即提公因式法、公式法、十字相乘法等，要注意因式分解是把一个多项式化成几个整式积的形式，本题据此依次判断即可求解． 【详解】解：A、的右边不是整式的积的形式，故该项错误； B、的右边不是整式的积的形式，故该项错误； C、属于整式的乘法运算，不属于因式分解，故该项错误； D、是因式分解，故该项正确； 故选：D ． 4．(23-24七下·湖南株洲天元区白鹤学校·期末)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、不是分解因式，故本选项不符合题意； B、是因式分解，故本选项符合题意； C、不是因式分解，故本选项不符合题意； D、因式分解不彻底，故本选项不符合题意． 故选：B． 5．(23-24七下·湖南邵阳隆回县·期末)下列各式从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了因式分解的定义；将一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做因式分解，据此逐一判断即可；理解定义是解题的关键． 【详解】解：A.符合因式分解的定义，故符合题意； B.为整式运算，不符合因式分解的定义，故不符合题意； C.不符合因式分解的定义，故不符合题意； D.不能进行因式分解，故不符合题意； 故选：A． 6．(23-24七下·湖南岳阳岳阳县·期末)下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查因式分解的定义；因式分解是将一个整式化为几个多项式乘积的式子，依次进行判断即可． 【详解】解：A. 右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意；     B. ，是整式乘法的运算，而不是因式分解，不符合题意； C. ，是因式分解，符合题意；     D. ，是整式乘法的运算，而不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 7．(23-24七下·湖南株洲攸县·期末)已知二次三项式因式分解的结果是，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查因式分解的应用，利用多项式乘多项式的法则，将展开，求出的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴； 故答案为：1． 地 城 考点02 提公因式法 1．(23-24七下·湖南邵阳隆回县·期末)多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公因式的定义，多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后确定公因式即可． 【详解】解：多项式的系数的最大公约数是，相同字母的最低指数次幂是， 多项式的公因式是， 故选：D． 2．(23-24七下·湖南郴州·期末)下列多项式能用提公因式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，能否用提公因式法进行因式分解关键看是否能找到公因式．根据提公因式法作出判断即可． 【详解】解：A、无公因式，故此选项不符合题意； B、，只能用提公因式法分解因式，故此选项符合题意； C、无公因式，故此选项不符合题意； D、无公因式，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．(23-24七下·湖南邵阳大祥区·期末)将多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的． 【详解】解：对多项式分解因式时，应提取的公因式是， 故答案为：． 4．(23-24七下·湖南株洲攸县·期末)与的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查公因式，根据三定法：系数的最大公约数，相同字母的最低次幂，进行判断即可． 【详解】解：与的公因式是； 故答案为：． 5．(23-24七下·湖南怀化·期末)多项式的公因式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了公因式．熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 根据公因式的定义作答即可． 【详解】解：由题意知，多项式的公因式为， 故答案为：． 6．(24-25八上·湖南长沙宁乡·期末)因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，提公因式，因式分解即可，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 7．(24-25八上·湖南长沙雨花区·期末)分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先将多项式转化为，再利用提取公因式法分解因式即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．(23-24七下·湖南邵阳·期末)已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的应用，提取公因式法的运用，将进行因式分解，得出，再将，代入计算即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴ ， 故答案为：． 9．(23-24七下·湖南永州双牌县·期末)已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用．提取公因式分解因式，把，，整体代入即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为： 10．(23-24七下·湖南永州新田县·期末)若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式法，整式化简求值，熟练掌握提取公因式法是解答本题的关键．将所求代数式反复提取公因式，得到，再将代入即得答案． 【详解】解：当时， 原式= =． 故答案为：． 地 城 考点03 公式法 1．(24-25七下·湖南株洲第二中学·期末)下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，熟知完全平方公式的结构特征是解答的关键．根据完全平方公式逐项分析即可． 【详解】解：A、不符合完全平方公式结构，故不能用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意； B、不符合完全平方公式结构，故不能用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意； C、符合完全平方公式结构，分解因式为，故符合题意； D、不符合完全平方公式结构，故不能用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意； 故选：C． 2．(24-25八上·湖南衡阳船山实验中学·期末)下列因式分解中正确的个数为（   ） ①；②；③ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的相关知识，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．对每个式子进行因式分解，然后判断其正确性． 【详解】解：① 原式子变形错误． ② 该式子正确． ③ 该式子正确． 综上，正确的式子有②和③，共个． 故选：B． 3．(24-25八上·湖南衡阳衡阳四校·期末)下列因式分解中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确应用的前提．利用平方差公式、完全平方公式逐项进行因式分解即可． 【详解】解：A．，因此选项A不符合题意； B．，因此选项B不符合题意； C．没有写成积的形式，不是因式分解，因此选项C不符合题意； D．，因此选项D不符合题意； 故选：D． 4．(24-25九上·湖南邵阳·期末)因式分解： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了用公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 5．(24-25九上·湖南长沙长郡集团·期末)因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6．(23-24七下·湖南娄底第二中学·期末)阅读下面的文字与例题． 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如： （1） （2） 试用上述方法分解因式：= ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，要能够熟练运用分组分解法、提公因式法和完全平方公式．首先进行合理分组，然后运用提公因式法和公式法进行因式分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．(24-25八上·湖南衡阳常宁·期末)因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式． （1）先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可； （2）将原式展开合并同类项后，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 8．(24-25八上·湖南长沙长沙县·期末)分解因式： (1)； (2)4． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解； （）先把通过乘法运算得，再根据完全平方公式进行因式分解即可； 本题考查了平方差公式、完全平方公式因式分解，单项式乘以多项式，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．(23-24七下·湖南湘乡东皋学校·期末)分解因式： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差分解因式即可． 【详解】． 10．(23-24七下·湖南株洲天元区白鹤学校·期末)分解因式∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握并灵活选择因式分解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解即可； （2）利用平方差公式分解即可． 【详解】（1） ， （2） ． 11．(23-24八上·湖南永州祁阳·期末)分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）用提公因式法分解因式即可． （2）综合运用提公因式法以及公式法分解因式即可． 【详解】（1）解： （2） 12．(24-25八上·湖南衡阳衡东县·期末)在数学学习过程中，小丽发现：代数式无论取何值都大于等于0，再加上3，则代数式大于等于3．根据小丽的思考解决下列问题： (1)说明：代数式的最小值为． (2)请仿照小丽的思考求代数式的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，以及非负数的性质：偶次方，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）先利用完全平方公式分解因式，再根据平方结果为非负数确定出最小值即可； （2）先利用完全平方公式分解因式，再根据平方结果为非负数确定出最大值即可． 【详解】（1）解： ， 无论取何值，， ， 则代数式的最小值为； （2）解： ， ， ， 则代数式的最大值为8． 13．(24-25八上·湖南衡阳衡东县·期末)下面是某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了______． A．提取公因式    B．平方差公式    C．完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？______（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为______． (3)请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)不彻底： (3) 【分析】本题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法是解本题的关键； （1）根据使用的公式可得答案； （2）根据含有的因式还可以继续分解可得分解不彻底，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）设，再进一步仿照题干提供的方法分解因式即可． 【详解】（1）解：该同学第二步到第三步运用了完全平方公式； 故选：C． （2）解：该同学因式分解的结果不彻底， 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． ； 故答案为：不彻底：． （3）解：设， 原式 ． 14．(24-25八上·湖南长沙开福区长青竹湖湘一外国语学校·期末)【材料1】如果一个自然数是某一个整数的平方，即，那么这个自然数叫做完全平方数．例如0，1，4，9，16，25，36，…，都是完全平方数，其部分性质如下： ①完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9． ②任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1，即被4除余2或3的数一定不是完全平方数． ③完全平方数的个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数．完全平方数的个位数字是6时，其十位数字必为奇数．… 【材料2】平方差公式：． (1)根据以上材料，判断下列这些数是否为完全平方数（填“是”或“否”） ①121（  ）；②（  ）；③1256341386（  ） (2)已知，求证：是完全平方数； (3)已知自然数使得为完全平方数，求的值． 【答案】(1)是，否，否 (2)见详解 (3)38或14或10 【分析】本题考查解二元一次方程组，完全平方公式，因式分解和完全平方数的知识，难度较大，本题的难点在于将原来的式子分解成两个因式的积的形式，从而根据整除的知识解出答案． （1）根据“完全平方数”的定义判断即可． （2）设，则，将 化为即可证明． （3）设，则，即，根据是自然数，且，得出或或，求解即可． 【详解】（1）解：①，故121是完全平方数； ②，不是整数，故不是完全平方数； ③1256341386个位数字是6，被4除余2，故不是完全平方数． 故答案为：是，否，否． （2）证明：设，则， ， 是一个完全平方数． （3）解：设，则， 即， ∵是自然数，且， 或或， 解得：或或， ∴或14或10， 故答案为：38或14或10． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $