江苏省连云港市海州区2025-2026学年八年级上学期期中数学模拟练习卷

江苏省连云港市海州区2025-2026学年 八年级（上）期中数学模拟练习卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.下列实数中，是无理数的是(    ) A. B. C. D. 3.我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由个全等的直角三角形和个小正方形组成如图，直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为若，，则每个直角三角形的面积为(    ) A. B. C. D. 4.下列各式中正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是(    ) 是的平分线 点在的垂直平分线上 若，则点到的距离是 ． A. B. C. D. 7.如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点处所表示的数为(    ) A. B. C. D. 8.某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9.计算：           ，           ． 10.已知的小数部分是，的整数部分是，则______． 11.用四舍五入法将精确到千位所得到的近似数是      ． 12.如图，，若要证明≌，则还要添加条件______就可以了． 13.已知，，则_________． 14.如图，在中，，，分别以，为边在外作等边和等边，连结，． 若，则        ； 若，则的长为        ． 15.如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点若，则的长为      ． 16.一个直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，则的值为          ． 17.如图，中，，为中点，在上，且若，，则的长度是      ． 18.如图，在中，，是边上一点，连接，在右侧作，且，连接若，，则四边形的面积为      ． 三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 求下列的值： ； ． 20.本小题分 证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等． 21.本小题分 著名的“赵爽弦图”如图所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边为，较长的直角边为，斜边为，则大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边为，，斜边为，则． 图为美国第任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理． 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点在同一条直线上，并新修一条路，且测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 22.本小题分 如图，在中，． 尺规作图：作边上的垂直平分线，交于点，交于点保留作图痕迹，不要求写作法和证明 在的条件下，连接，当，时，求的周长． 23.本小题分 如图，在中，，，是边上不与，重合的一个定点于点，交于点，且，，的延长线相交于点． 求证：； 求的度数； 如图，若是的中点，求证：． 24.本小题分 综合与实践 【解决问题】如图，在中，平分，交于点，且求证：． 请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图，在四边形中，已知，，，是的高，，求的长． 25.本小题分 如图，在中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为秒． 是否存在值，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 现把沿着直线翻折，当 ______时，点翻折后的对应点恰好落在直线上． 26.本小题分 在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． 求、两点的坐标； 如图，以为斜边构造等腰直角，求点的坐标； 如图，已知是等腰直角三角形，，，点是线段上的一点不与、重合，，垂足为点，当点在线段上运动时，的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 27.本小题分 如图，等边中，过点在边的右侧作射线，，点与点关于射线对称，连接，，且交射线于点，过、两点的直线交射线于点，连接． 当时，求的度数； 求证：； 如图，点为射线上的一动点，过点作于点，连接，当的值最小时，请直接写出的大小用含的代数式表示． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：选项是轴对称图形，故此选项不符合题意； 选项是轴对称图形，故此选项正确不符合题意； 选项是轴对称图形，故此选项不符合题意； 选项不是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：． 根据轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 2.【答案】  【解析】解：，，都是有理数，是无理数． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：由图可得，， ，且、均大于， 解得， 每个直角三角形的面积为， 故选：． 根据勾股定理可知，再根据，，即可得到、的值，然后即可计算出每个直角三角形的面积． 本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出的值． 4.【答案】  【解析】解：、，错误； B、，正确； C、，错误； D、，错误， 故选：． 原式利用立方根、平方根定义计算即可得到结果． 此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 5.【答案】  【解析】解：在中， ，， ， 由作图可知为的中垂线， ， ， ， 故选：． 根据三角形内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案． 本题主要考查作图基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：在中，，， ， 根据作图过程可知： 是的平分线，故正确； ， ， ，故正确； ， ， 点在的垂直平分线上，故正确； ， ， 根据角平分线上的点到角的两边距离相等， 点到的距离是，故正确； ， ， 点到的距离， ：：，故错误． 综上所述：正确的有，共个． 故选C． 7.【答案】  【解析】解：由图可得，点处所表示的数到的距离为， 图中标注在点处所表示的数为． 8.【答案】  【解析】解： 由作图痕迹得知射线为的平分线； 由作图痕迹得知，是的垂直平分线， ， ， 射线为的平分线； 由作图痕迹得知，，， 在和中， ， ≌， ， ，， ≌， ， ≌， ， 射线为的平分线； 由作图痕迹得知，， ，， ， ， 射线为的平分线； 由作图痕迹得知，作、的垂直平分线， ， ≌， ， 射线为的平分线； 故选：． 第一个图由角平分线的标准作法即可判断，第二个图由等腰三角形的性质“三线合一”即可判断，第三个图由可判断≌，由全等三角形的性质得，由可判定≌，全等三角形的性质得，由可判定≌，即可判断，第四个图由平行线的判定及性质，由等腰三角形的性质得，即可判断；第五个图由可判定≌，即可判断；掌握角平分线的尺规作图的作法，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 本题考查了角平分线的尺规作图，掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 9.【答案】   【解析】根据算术平方根和立方根分别计算即可． 【解答】解：，． 故答案为：，． 10.【答案】  【解析】解：，， ，， ， 故答案为． 先分别求出和的范围，得到、的值，再代入计算即可． 本题考查了估算无理数的大小，利用夹值法估算出和的范围是解此题的关键． 11.【答案】  【解析】解：用四舍五入法将精确到千位所得到的近似数是． 故答案为：． 把百位上的数字进行四舍五入即可． 本题主要考查近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 12.【答案】  【解析】【分析】 添加条件，根据等式的性质可得，再利用判定≌即可． 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【解答】 还要添加条件， ， ， ， 在和中， ， ≌． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】解：由题意，将写成因为， 根据立方根的性质“若，，则”，可得： ， 因为，且已知，所以 14.【答案】   【解析】解：是等边三角形， ， ， 又， ， 故答案为：； 和是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ， 过点作于点， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 根据等边三角形的性质得到，然后根据三角形的内角和定理解题即可； 根据等边三角形的性质可以证明≌，即可得到，过点作于点，然后利用勾股定理计算即可． 本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：连接， ， 是等腰三角形， 是的中点， ， 即是直角三角形， 是的中点， ， 故答案为：． 连接，根据三线合一得出是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解． 本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 16.【答案】  【解析】本题主要考查了勾股数的定理由此即可得出答案． 【详解】解：直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为  负值舍去 故答案为：． 17.【答案】  【解析】解：为中点，在上， 是直角三角形斜边上的中线， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， ， 故答案为：． 根据直角三角形斜边上的中线的性质得出，再根据勾股定理求出与的长，即可推出结果． 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，熟记勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：在中，，是边上一点，连接， ， ， ， ， 过点作，， 则：， ，且， ， 四边形的面积， ，， ， 设，则， ， ， 解得， ， ， 四边形的面积为． 故答案为：． 过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可． 本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 19.【答案】解：， ， ， ，； ， ， ， ， ， ．  【解析】根据平方根的意义进行计算，即可解答； 根据立方根的意义进行计算，即可解答． 本题考查了实数的运算，平方根，立方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20.【答案】已知：如图所示，在与中，，，，分别是，的中线，且． 求证：≌． 证明：，，分别是，的中线，． 在与中， ， ． 在与中， ．  21.【答案】证明：， ， ， ； 解：设千米，则千米． 在中，由勾股定理理：，即， 解得：， 即千米，千米． 新路比原路短千米．  【解析】梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； 设，则，根据股定理列方程，解得即可得到结果． 此题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答此题的关键． 22.【答案】作图：   的周长为  【解析】根据题意作线段的垂直平分线，如图所示，所作即为所求； 由条件可知， ，， 的周长． 根据题意作线段的垂直平分线，即可求解； 根据垂直平分线的性质可得，进而根据三角形的周长公式，即可求解． 本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 23.【答案】证明：如图： 是由线段绕点顺时针旋转得到的， ，，， ，， ． ， ， ． 解：设与的交点为，如图： ，， ∽． ． ． ， ∽， ， ， ， ， ； 证明：延长交于点，连接，，如图： ， ， ． 是的中点， ， ， ≌， ，， ，，， ， ， 由知，∽， ． ， ≌， ，， ，即， ， ， ．  【解析】依据题意，由是由线段绕点顺时针旋转得到的，得，，，又，，可得，进而可以判断得解； 依据题意，设与的交点为，由，，有∽，即，可得∽，即得，从而； 依据题意，延长交于点，连接，，由，知，，而是的中点，有，可得≌，从而，，可证，≌，得，，即可得，故． 本题主要考查相似三角形综合应用，涉及三角形内角和定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形及直角三角形的判定与性质等基础知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质定理． 24.【答案】解：证明：在上截取，使得，连接，如图所示：                   图   平分， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 在上截取，连接，如图所示：                         图 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的长为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 25.【答案】秒或秒或秒；  秒或秒  【解析】在中，，，， 由勾股定理得：， 当为等腰三角形时，有以下三种情况： 当时，此时点在的延长线上，如图所示： ， 此时运动的时间秒； 当时，此时点在的延长线上，如图所示： ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 此时运动的时间秒； 当时，此时点在的延长线上，如图所示： 根据等腰三角形的性质得：， ， 此时运动的时间秒， 综上所述：的值为秒或秒或秒； 依题意有以下两种情况： 当点在线段上时，此时点在线段上，如图所示： 由翻折性质得：，，， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 此时运动的时间秒； 当点在的延长线上，此时点在的延长线上，如图所示： 由翻折性质得：，，， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 此时运动的时间秒． 综上所述：的值为秒或秒． 故答案为：秒或秒． 先由勾股定理求出，再分三种情况讨论如下： 当时，此时点在的延长线上，则，由此可得运动的时间秒； 当时，此时点在的延长线上，则，在中，由勾股定理得，进而得，由此可得运动的时间秒； 当时，此时点在的延长线上，根据等腰三角形的性质得，则，此可得运动的时间秒．综上所述即可得出答案； 依题意有以下两种情况： 当点在线段上时，此时点在线段上，由翻折性质得，，，进而得，在中，由勾股定理得，则，由此可得运动的时间秒； 当点在的延长线上，此时点在的延长线上，由翻折性质得，，，进而得，在中，由勾股定理得，则，由此可得运动的时间秒综上所述即可得出答案． 此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，等腰三角形的性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，等腰三角形的性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 26.【答案】解：， ，， ，， ，； 分两种情况： 如图，点在第一象限时，过点作轴于点，过点作于点， 则，，， ， ， ， ， 又， ≌， ，， ， ， ， ， 点的坐标为； 如图，点在第四象限时，过点作轴于点，过点作于点， 同得：≌， ，， ， ， ， ， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； 的大小不变，为定值，理由如下： 如图，过点作于点，于点， 则， ， ， ，， ， ， ≌， ， 是的角平分线， ， 即的大小不变，为定值．  【解析】由绝对值和偶次方的非负性质得，，则，，即可解答； 分两种情况，点在第一象限时，点在第四象限时，过点作轴于点，过点作于点，证≌，得，，即可解决问题； 过点作于点，于点，证≌，得，则是的角平分线，即可解决问题． 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，绝对值和偶次方的非负性质，角平分线的判定，分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 27.【答案】解：是等边三角形， ，， 点与点关于射线对称， ，， ，， ，， ， ； 证明：如图， 延长至，使，连接， 是等边三角形， ，， 点与点关于射线对称， ，，，， ，，， ，， ， ， ， ， ，是等边三角形， ，， ， 设，交于点， ， ， ≌， ； 解：如图， 作于，交于，连接，则最小， ， ， ，， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ．  【解析】根据点与点关于射线对称得出，，进而得出，的度数，进而根据得出和的度数，进一步得出结果； 延长至，使，连接，可推出，进而得出，，进而推出，从而≌，进而得出结论； 作于，交于，连接，则最小，可得出，，从而，进一步得出结果． 本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $