精品解析：四川省内江市第六中学2025—2026学年高三上学期第2次月考数学试题

内江六中2025-2026学年（上）高2026届第2次月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷 选择题（满分58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知全集，集合满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据补集可得，根据元素与集合之间的关系逐项分析判断. 【详解】因为全集，，可得， 所以，，，. 故选：D. 2. 已知复数，则复数z在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数乘法运算化简复数，再根据复数的几何意义确定对应点所在的象限. 【详解】因为， 所以该复数在复平面内对应的点为，在第一象限. 故选：A 3. 若为奇函数，当时，，则（ ） A. 10 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由奇函数性质结合题意可得答案. 【详解】因为为奇函数，时，, 所以. 故选：D 4. 设向量，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的模判断A,利用向量垂直的性质判断B, 利用向量平行的性质判断C，利用向量数量积判断D． 【详解】向量， 对于A，，，故A错误； 对于B，，，∴，故B正确； 对于C，坐标间不存在倍数关系，不平行，故C错误； 对于D，，故D错误． 故选：B． 5. 某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，下列说法错误的是（ ） A. B. 评分在的人数约为20 C. 估计评分的第25百分位数为65 D. 估计评分的平均数为76.5 【答案】C 【解析】 【分析】利用频率和为1求出判断A；利用频率求出频数判断B；求出下四分位数判断C；求出评分的平均数判断D. 【详解】对于A，由，得，故A正确； 对于B，评分在的频率为，评分在的人数约为，故B正确； 对于C，评分在的频率为，评分在的频率为， 则评分的第25百分位数在内，由，解得，故C错误； 对于D，评分的平均数，故D正确. 故选：C. 6. 设，，若是与的等差中项，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先由等差中项的概念得到，然后由基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为是与的等差中项， 所以，即， ∴，又，， ∴， 当且仅当，即，时等号成立. 故选：B. 7. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可． 【详解】解：依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示： 则，解得，即． 故选：C． 8. 已知，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先进行同构，得到，设函数，利用导数分析函数的单调性，分情况讨论的大小关系，各项逐一验证即可. 【详解】由题意知，因为， 两边同时取以为底的对数，得，，即， 令，则，令，得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又，所以或； ，使得，所以或； ，使得，所以或． 当，时，B成立； 当时，C成立； 当（或）时，D成立； 由于B、C、D均可能成立，故选A． 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 直线过定点 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】AB选项，根据不等式解集得到方程，对照系数可得，，故A正确，B错误；C选项，直线可化为，经过定点；D选项，不等式化为，解得，所以. 【详解】对于A和B，因为不等式的解集为， 所以，， 则，，故A正确，B错误； 对于C，直线可化为，经过定点，故C正确； 对于D，不等式即为，即， 即，解得，所以，故D正确； 故选：ACD 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数关于点中心对称 C. 函数的图像向左平移个单位，得到的函数图像关于轴对称 D. 函数在上不单调，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由三角恒等变换化简函数.求出函数的周期判断A选项；求出函数对称中心判断B选项；由函数的平移得到平移后的函数解析式，从而知道函数的对称性判断C选项；求出其导函在对应区间上的值域，由题意建立不等式组，解得的取值范围判断D选项. 【详解】函数， 对于A选项：∵，∴，A选项正确； 对于B选项：令，解得，∴是函数的一个对称中心，B选项不正确； 对于C选项：平移后的函数，函数图像关于轴对称，C选项正确； 对于D选项：，当时，，∴，要想函数不单调，则，∴，D选项正确. 故选：ACD. 11. 函数，则（ ） A. ，使得在上递减 B. ，使得直线为曲线的切线 C. ，使得既为的极大值也为的极小值 D. ，使得在上有两个零点，且 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数单调由即可求解A，根据切点为的切线，即可求解B,求导，利用导数的正负确定单调性即可确定极小值，结合对称性即可确定极大值，举例求解D. 【详解】A．若，使得在上递减，则，代入得，解得 且，故 不存在，因此不存在，使得在上递减，故A错； B．当时，，当切点为时，则只需，故B对； C．注意到，令， 另一方面，时，， 当时，， 当时， 此时时，取极小值，此时为极小值， 由，所以函数的图象关于对称，由对称性可知：为的极大值，此时也为极大值．故C对； 对于D，令，，函数在上有两个零点，，所以， 故D正确； 故选：BCD 【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第II卷非选择题（满分92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中的系数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由展开式通项结合题意可得答案. 【详解】展开式的通项为，令. 则的系数为. 故答案为： 13. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每“艺”安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有______种． 【答案】144 【解析】 【分析】由题意，将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“数”进行全排列，再将“礼”和“书”排到所得排列的空隙中，最后将“射”和“御”交换位置， 根据分步计数原理即可求解. 【详解】先将“射”和“御”“捆绑”视为一个元素，再与“乐”和“数”一起排列， 有种不同的次序， 再将“礼”和“书”排到所得排列的空隙中（“射”和“御”中间不能排），有种不同的次序， 最后将“射”和“御”交换位置，有种不同排序， 根据分步乘法计数原理可知“六艺”讲座不同的次序共有种． 故答案为：. 14. 设为数列的前项和，，则______ 【答案】15 【解析】 【分析】利用及给定递推公式变形，构造常数数列求出，再利用对数运算法则及等差数列前项和公式求解. 【详解】在数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 因此数列是常数列，，则， 由，得，当时，， 令，则， 因此，所以. 故答案为：15 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知的内角、、的对边分别为、、，. （1）求； （2）若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用两角和的正弦公式可求出的值，再利用正弦定理可得出的值. 【小问1详解】 因为，即，可得， 由余弦定理可得， 因为，故. 【小问2详解】 因为，，则， 由正弦定理得，解得. 16. 已知函数，． （1）若曲线在点处的切线与y轴垂直，求函数的单调区间； （2）若对成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意得到的定义域及，再根据即可得到的值，进而根据的正负可得到函数的单调区间； （2）先根据题意分离参数，再构造函数，进而通过求导分析其单调性即可得到的取值范围． 【小问1详解】 依题意得的定义域为，， 由曲线在点处的切线与轴垂直， 则，得， 所以， 当时，，，则； 当时，，，则， 故的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 由得， 令， 则， 令，得， 当时，；当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以， 所以，即． 故的取值范围是． 17. 在数列中，，． （1）证明：数列是等差数列； （2）求的通项公式； （3）若，求数列的前项和． 【答案】（1） 因为，所以， 所以． 因为，所以， 所以数列是首项是，公差为1的等差数列． （2）． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义进行运算证明即可； （2）根据（1）的结论，结合等差数列的通项公式进行求解即可； （3）利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的前项和进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得， 则，故． 【小问3详解】 由（2）可得， 则 ． 18. 已知函数，为的导数 （1）讨论的单调性； （2）若是的极大值点，求的取值范围； （3）若，证明：． 【答案】（1） 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2） （3） 要证， 只要证， 只要证，， 因为，则， 所以只要证对任意，有， 只要证对任意，有（※）， 因为由（2）知：当时，若，则， 所以，即①， 令函数，则， 所以当时，所以在单调递增； 则，即， 由①②得， 所以（※）成立， 所以成立. 【解析】 【分析】（1）令，求出导函数，再分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）结合（1）分、、、四种情况讨论，判断的单调性，即可确定极值点，从而得解； （3）利用分析法可得只需证，，只需证对任意，有，结合（2）只需证明，构造函数，利用导数证明即可. 【小问1详解】 由题知， 令，则， 当时，在区间单调递增， 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【小问2详解】 当时，， 由（1）知，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 所以是函数的极小值点，不符合题意； 当时，，且， 由（1）知，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 所以是函数的极小值点，不符合题意； 当时，，则当时，在上单调递增， 所以无极值点，不合题意； 当时，，且； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 所以是函数的极大值点，符合题意； 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 19. 向日葵是菊科向日葵属的一年生草本植物．因花序随太阳转动而得名，深受人们喜欢，某向日葵基地为促进该基地旅游业发展，特邀请一文旅公司制作文旅创收方案． （1）公司调查发现该基地成熟向日葵花盘直径（单位：cm）近似服从正态分布．试估计一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在的概率； （2）该公司特设置一游戏，根据游戏结果对游客全程所有消费进行打折，该游戏有两种方案，游客在这两种方案中任选一种参加游戏．方案一：不透明袋子里装有2个红球，4个白球，顾客从中一次性摸出3个球，若摸出2个红球1个白球获得“六折优惠”，若摸出1个红球2个白球获得“八折优惠”，若摸出3个白球不优惠．方案二：如图游客开始站在①位置，游客每掷一次骰子，就沿顺时针方向移动一次．若掷出正面朝上数字为奇数，游客就向前移动1格；若掷出正面朝上数字为偶数，游客就向前移动2格．游客重复掷骰子直到游客第一次到达⑨位置获得“九折优惠”或第2次到达①位置获得“七点五折优惠”游戏结束．若想要获得最大优惠，游客应选哪个方案？说明理由． 参考数据：若，则．． 【答案】（1）0．8186． （2）方案一，理由如下： 设方案一的折扣为，则可以取，，， ，，， ． 设方案二的折扣为，则可以取，， 用，表示游客首次在第位置的概率， 则，，． 由题知，游客到达，位置，只有两种途径， 一种是从位置，掷到偶数，其概率为， 另一种是从位置，掷到奇数，其概率为， ，，． 当时，数列是以为首项，为公比的等比数列． ，，，，， 又， ，， ，，且 ，． 第二次到达①位置的概率． ． ，若想要获得最大优惠，游客应选方案一． 【解析】 【小问1详解】 ，则，，结合正态分布的性质：和 ． 即一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在的概率为0．8186． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江六中2025-2026学年（上）高2026届第2次月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷 选择题（满分58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知全集，集合满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则复数z在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若为奇函数，当时，，则（ ） A. 10 B. C. 12 D. 4. 设向量，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，下列说法错误的是（ ） A. B. 评分在的人数约为20 C. 估计评分的第25百分位数为65 D. 估计评分的平均数为76.5 6. 设，，若是与的等差中项，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 7. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 直线过定点 D. 不等式的解集为 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数关于点中心对称 C. 函数的图像向左平移个单位，得到的函数图像关于轴对称 D. 函数在上不单调，则的取值范围为 11. 函数，则（ ） A. ，使得在上递减 B. ，使得直线为曲线的切线 C. ，使得既为的极大值也为的极小值 D. ，使得在上有两个零点，且 第II卷非选择题（满分92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中的系数为_____． 13. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每“艺”安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有______种． 14. 设为数列的前项和，，则______ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知的内角、、的对边分别为、、，. （1）求； （2）若，，求. 16. 已知函数，． （1）若曲线在点处的切线与y轴垂直，求函数的单调区间； （2）若对成立，求实数k的取值范围． 17. 在数列中，，． （1）证明：数列是等差数列； （2）求的通项公式； （3）若，求数列的前项和． 18. 已知函数，为的导数 （1）讨论的单调性； （2）若是的极大值点，求的取值范围； （3）若，证明：． 19. 向日葵是菊科向日葵属的一年生草本植物．因花序随太阳转动而得名，深受人们喜欢，某向日葵基地为促进该基地旅游业发展，特邀请一文旅公司制作文旅创收方案． （1）公司调查发现该基地成熟向日葵花盘直径（单位：cm）近似服从正态分布．试估计一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在的概率； （2）该公司特设置一游戏，根据游戏结果对游客全程所有消费进行打折，该游戏有两种方案，游客在这两种方案中任选一种参加游戏．方案一：不透明袋子里装有2个红球，4个白球，顾客从中一次性摸出3个球，若摸出2个红球1个白球获得“六折优惠”，若摸出1个红球2个白球获得“八折优惠”，若摸出3个白球不优惠．方案二：如图游客开始站在①位置，游客每掷一次骰子，就沿顺时针方向移动一次．若掷出正面朝上数字为奇数，游客就向前移动1格；若掷出正面朝上数字为偶数，游客就向前移动2格．游客重复掷骰子直到游客第一次到达⑨位置获得“九折优惠”或第2次到达①位置获得“七点五折优惠”游戏结束．若想要获得最大优惠，游客应选哪个方案？说明理由． 参考数据：若，则．． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $