精品解析：福建省福州市闽清县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年第一学期九年级期中适应性练习 数学 考生须知 1．全卷共6页，有三大题，25小题；满分150分；考试时间120分钟． 2．答案一律填涂或书写在答题卡的相应位置，在试卷上作答无效． 3．答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹中性（签字）笔作答． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 2025年10月11日，我国太原卫星发射中心在山东海阳附近海域使用引力一号遥二运载火箭，将搭载的吉林一号宽幅02B07星、数天字星01－02试验星顺利送入预定轨道．中国航天事业正以日新月异的速度蓬勃发展．下列航天图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线y=(x-2) 2 +1的对称轴是（ ） A. x=2 B. x=-2 C. x=1 D. x=-1 3. 已知⊙O的半径为5，圆所在平面上有一点P到圆心O的距离是6，那么（ ） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 无法确定 4. 如图，点A、B、C在上，，则的度数为（ ） A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 5. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 7. 小区新增了一家快递店，第一天揽件300件，第三天揽件363件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（　　） A. 1米 B. 2米 C. 3米 D. 4米 9. 关于x的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是（ ） A. B. C. D. 10. 定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．已知某“鹊桥”函数的图象（如图所示），关于x的方程有四个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡相应位置作答） 11. 一元二次方程x(x-2)=0的解是______. 12. 把抛物线向右平移3个单位，得到的抛物线表达式是_____________． 13. 一元二次方程配方为，则的值是______． 14. 如图，四边形为的内接四边形，E是延长线上的一点，已知，则的度数为_____ ． 15. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是___________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以点为圆心，半径为的圆上运动，且满足，则的最大值为____________． 三、解答题（本题共9小题，满分86分，请在答题卡相应位置作答） 17. 解方程：． 18. 已知二次函数（、为常数）的图象经过点、，求该二次函数的解析式． 19. 如图，在正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）作出关于原点O成中心对称的，并直接写出点的坐标； （2）若是由绕着某点旋转得到的，则这个点的坐标为______． 20. 如图，点是斜边边上的一点，为的半径，的平分线交于点，点恰好在线段上．求证：为的切线． 21. 已知关于的方程． （1）试说明：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为，求的值． 22. 在矩形中，点在边上，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点在线段上． （1）请在图中作出；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）与交于点，连接，，若，请求的面积． 23. 某超市的某种商品进价为每件元，当售价为每件元时，每天可售出件．市场调查反映：如有降价活动，每降价元，该商品每天可多售出件． （1）降价活动期间，设降价数额为元（为非负整数）， ①用含的式子表示该商品降价后每天多售出的件数是 件； ②设该超市出售该商品每天所得利润为元，请求出关于的函数解析式； （2）该超市的员工说：“只要降价后售价高于进价，每天降价促销的利润都会比不降价的时候更大．”就该商品而言，你认为这名员工的说法是否正确？请说明理由． 24. 根据背景素材，探索解决实际问题 素材一 乒乓球发球机的运动路线 如图1所示，乒乓球台规格约是长为宽为的矩形，球网高度约为．某品牌乒乓球发球机的出球口在桌面中轴线端点O正上方的点P处． 素材二 如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中轴线上的点M处，且球的运动路线是一条形状不变的抛物线，以O为原点，桌面中轴线所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设发球机发球后到落在桌面前的抛物线解析式为． 素材三 如图3所示，若乒乓球落在中轴线点M处后反弹，其运动路线仍是抛物线．当球与O点的水平距离为时，球的高度为；当球与O点的水平距离为时达到最高点，此时球与桌面的距离是h． 问题解决 任务一：研究乒乓球着落点问题 （1）点M的坐标为__________； 任务二：研究乒乓球反弹后的最大高度 （2）求h的值； 任务三：研究乒乓球是否出界问题 （3）某运动员想在乒乓球反弹到最高点时挥拍击球，使得球沿直线擦网而过，此时球能落到对方台面上吗？若能，请求出球着落点的坐标；若不能实现，请说明理由． 25. 如图1，已知等边三角形，点为三角形内一点，连接，，，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，． （1）求证：； （2）当时， ①直接写出的度数__________； ②如图2，若为的中点，连接，请猜想与的数量关系，并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期九年级期中适应性练习 数学 考生须知 1．全卷共6页，有三大题，25小题；满分150分；考试时间120分钟． 2．答案一律填涂或书写在答题卡的相应位置，在试卷上作答无效． 3．答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹中性（签字）笔作答． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 2025年10月11日，我国太原卫星发射中心在山东海阳附近海域使用引力一号遥二运载火箭，将搭载的吉林一号宽幅02B07星、数天字星01－02试验星顺利送入预定轨道．中国航天事业正以日新月异的速度蓬勃发展．下列航天图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题关键．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 不是中心对称图形，本选项不符合题意； B. 不是中心对称图形，本选项不符合题意； C. 是中心对称图形，本选项符合题意； D. 不是中心对称图形，本选项不符合题意． 故选：C． 2. 抛物线y=(x-2) 2 +1的对称轴是（ ） A. x=2 B. x=-2 C. x=1 D. x=-1 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式即可解题． 【详解】解：∵是顶点式, ∴对称轴为直线， 故选A． 【点睛】本题考查了抛物线的性质,属于简单题,熟悉抛物线顶点式是解题关键． 3. 已知⊙O的半径为5，圆所在平面上有一点P到圆心O的距离是6，那么（ ） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟记：①点在圆外⇔；②点在圆上⇔；③点在圆内⇔是解题的关键．直接利用点与圆的位置关系即可判断． 【详解】解：∵，， ， 点在圆外， 故选：C． 4. 如图，点A、B、C在上，，则的度数为（ ） A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 【答案】D 【解析】 【分析】根据是所对的圆心角，是所对的圆周角，可得从而可得答案． 【详解】解：是所对的圆心角，是所对的圆周角， 故选： 【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握“同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解题的关键． 5. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质可得出，，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得：，， ∴． 故选：B． 6. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解题思路为利用一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项方程的值，根据与的大小关系判断根的情况 ．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式及根据判断根的情况是解题的关键． 【详解】解：选项A： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项B： ，，， ，有两个相等的实数根，不符合题意； 选项C： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项D： ，，， ，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 7. 小区新增了一家快递店，第一天揽件300件，第三天揽件363件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设该快递店揽件日平均增长率为，关系式为：第三天揽件数第一天揽件数揽件日平均增长率），把相关数值代入即可． 【详解】设该快递店揽件日平均增长率为， 根据题意，可列方程：， 故选：A． 8. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（　　） A. 1米 B. 2米 C. 3米 D. 4米 【答案】B 【解析】 【分析】过点作半径于，如图，由垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后即可计算出的长． 【详解】解：过点作半径于，如图， ∴， 在中， ， ∴， ∴筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练运用垂径定理是解题的关键． 9. 关于x的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的定义，结合即可判断结果． 【详解】解：∵，当时，， ∴该方程必有一个根是， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，解答本题的关键是熟练掌握方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值． 10. 定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．已知某“鹊桥”函数的图象（如图所示），关于x的方程有四个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 先根据“鹊桥”函数图象求出函数与轴的交点坐标以及时的函数值，然后再数形结合即可求解． 【详解】解：当时，，解得或； 从图象可知图象具有对称性，对称轴是直线， 当时，， ∵函数的图象与的交点的x轴坐标的值为关于x的方程的解， ∴根据图象可知，当时，函数的图象与的图象交点有4个， ∴，  故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡相应位置作答） 11. 一元二次方程x(x-2)=0的解是______. 【答案】x1=0，x2=2． 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程即可得解. 【详解】解：, 或, . 故答案为 12. 把抛物线向右平移3个单位，得到的抛物线表达式是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，得到的抛物线表达式为， 化简得：， 故答案为：． 13. 一元二次方程配方为，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程的配方法，通过将方程配方成完全平方形式求参数值． 【详解】解：方程， 移项得：， 配方得：， 即 ， 所以． 故答案为：． 14. 如图，四边形为的内接四边形，E是延长线上的一点，已知，则的度数为_____ ． 【答案】50 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角的性质；圆内接四边形的性质．根据圆周角的性质可知，再根据圆内接四边形的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：50 15. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 二次函数开口向上，对称轴为1，比较各点与对称轴的距离，距离越小函数值越小，距离越大函数值越大． 【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线． 点与对称轴的距离为， 点与对称轴的距离为， 点与对称轴的距离为， 由于开口向上，函数值随距离增大而增大，因此． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以点为圆心，半径为的圆上运动，且满足，则的最大值为____________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质以及圆与圆之间的关系，能够找准两个圆之间的位置关系是解题关键； 先根据直径所对的圆周角为直角确定好在以为直径，为圆心的圆上运动，此时直径为，半径为，再通过两个圆的位置关系即可求解． 【详解】解：如图，找中点，连接， ∵，， ∴的中点， ∵， ∴在以为直径，为圆心的圆上运动，此时直径为，半径为， ∴为和的交点， 当和内切时，m有最大值， 则的半径为：， ∵， ∴， ∴此时的半径为：， ∴的最大值为11． 故答案为：11． 三、解答题（本题共9小题，满分86分，请在答题卡相应位置作答） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． 利用配方法解方程即可． 【详解】解：． 移项，得， 配方，得， 即． ． ． 18. 已知二次函数（、为常数）的图象经过点、，求该二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，直接将点的坐标代入二次函数解析式，解方程组即可． 【详解】解：∵的图象经过点、， ∴， 解得， ∴该二次函数解析式为． 19. 如图，在正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）作出关于原点O成中心对称的，并直接写出点的坐标； （2）若是由绕着某点旋转得到的，则这个点的坐标为______． 【答案】（1） 如图：即为所求；． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查作图-旋转变换、旋转的性质、中心对称的性质等知识点，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可解答； （2）如图：连接，并分别作线段的垂直平分线，相交于点P，则是由绕着点P逆时针旋转得到的，然后得到点P的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：连接，并分别作线段的垂直平分线，相交于点P，则是由绕着点P逆时针旋转得到的， ∴这个点的坐标为． 故答案为：． 20. 如图，点是斜边边上的一点，为的半径，的平分线交于点，点恰好在线段上．求证：为的切线． 【答案】 证明：连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵点在上， ∴为的切线． 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，切线的证明，熟练掌握基本性质是解题关键； 连接，通过角平分线可知，又得到，再通过三角形的内角和计算即可得到，进而得证． 【详解】略 21. 已知关于的方程． （1）试说明：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为，求的值． 【答案】（1） 解：∵ 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）2025 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解． （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此可证出：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）代入可得出，将其代入中即可求出结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方程有一个根是， ， ， ∴． 22. 在矩形中，点在边上，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点在线段上． （1）请在图中作出；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）与交于点，连接，，若，请求的面积． 【答案】（1） 解：如图即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的基本性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是掌握以上知识点； （1）利用作全等三角形即可； （2）先通过勾股定理求出的长，再通过旋转性质得到，再通过勾股定理求出，进而求出，从而可求出面积． 【小问1详解】 解：以为圆心，在上截取，再以为圆心，为半径画弧，再以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，即为所求； 故； 【小问2详解】 四边形是矩形， ， ，， ， ， 在中，， 由旋转得，，， ， ， 在中，， 即， ， ， ． 23. 某超市的某种商品进价为每件元，当售价为每件元时，每天可售出件．市场调查反映：如有降价活动，每降价元，该商品每天可多售出件． （1）降价活动期间，设降价数额为元（为非负整数）， ①用含的式子表示该商品降价后每天多售出的件数是 件； ②设该超市出售该商品每天所得利润为元，请求出关于的函数解析式； （2）该超市的员工说：“只要降价后售价高于进价，每天降价促销的利润都会比不降价的时候更大．”就该商品而言，你认为这名员工的说法是否正确？请说明理由． 【答案】（1）①；②（，为整数） （2） 解：这名员工的说法不正确．理由如下： 设降价后的销售利润与降价前的销售利润的差为， 令，得 解得， 当时，， 即当时，每天降价促销的利润都会比不降价的时候小． 这名员工的说法不正确 【解析】 【分析】本题主要考查列代数式和整式的加减，读懂题意是解答本题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）设降价后的销售利润与降价前的销售利润的差为，先得到的关系式，算出时，的取值，再根据二次函数的性质判断即可． 【小问1详解】 解：（1）①降价活动期间，降价数额元，则该商品每天多售出的件数为件， ②设该超市出售该商品每天所得利润为元， （，为整数） 【小问2详解】 略 24. 根据背景素材，探索解决实际问题 素材一 乒乓球发球机的运动路线 如图1所示，乒乓球台规格约是长为宽为的矩形，球网高度约为．某品牌乒乓球发球机的出球口在桌面中轴线端点O正上方的点P处． 素材二 如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中轴线上的点M处，且球的运动路线是一条形状不变的抛物线，以O为原点，桌面中轴线所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设发球机发球后到落在桌面前的抛物线解析式为． 素材三 如图3所示，若乒乓球落在中轴线点M处后反弹，其运动路线仍是抛物线．当球与O点的水平距离为时，球的高度为；当球与O点的水平距离为时达到最高点，此时球与桌面的距离是h． 问题解决 任务一：研究乒乓球着落点问题 （1）点M的坐标为__________； 任务二：研究乒乓球反弹后的最大高度 （2）求h的值； 任务三：研究乒乓球是否出界问题 （3）某运动员想在乒乓球反弹到最高点时挥拍击球，使得球沿直线擦网而过，此时球能落到对方台面上吗？若能，请求出球着落点的坐标；若不能实现，请说明理由． 【答案】（1）；（2）0.5；（3）球能落到对方台面上，落球点为（0.475，0） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数与坐标轴的交点，求直线关系式， （1）将代入，求出解即可； （2）设反弹后抛物线解析式为，再将点代入关系式，求出解； （3）反弹后最高点为，球擦网点为，再求出过这两点的直线解析式，然后令，求出，则此题可解． 【详解】解：（1）将代入，得 ， 解得或， ∴． （2）设反弹后抛物线解析式为 由题意得 解得， ， 的值为； （3）能．理由如下： 反弹后最高点为，球擦网点为 设过这两点的直线解析式为，依题意得： 解得 令，得 解得． 所以球能落到对方台面上，落球点为． 25. 如图1，已知等边三角形，点为三角形内一点，连接，，，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，． （1）求证：； （2）当时， ①直接写出的度数__________； ②如图2，若为的中点，连接，请猜想与的数量关系，并给出证明． 【答案】（1） 证明：线段绕点旋转得到， ，， 又为等边三角形， ，， ，， ， 在与中， ， ； （2）①； ②理由如下： 如图2，延长至，使得， 为中点， ， 又， ∴ ， ， ， ， 即， 又， ， ∵ ， 在与中， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 即． 【解析】 【分析】（1）利用证明，即可得出答案； （2）①由得到，由等边三角形性质得到，进而，又根据全等三角形得到，再利用角度和差关系即可求解； ②延长至，使得，易证，再通过证得，进而可证得是等边三角形，得到，可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：， ， 在等边三角形中，， ， ∴， ， ， ∴． 故答案为：． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $