第六章 反比例函数 知识点、考点及题型复习2025-2026学年北师大版九年级数学上册

该初中数学讲义以“反比例函数的本质”为起点，按“概念建立—表达式推导—图像性质—核心应用”逻辑构建知识体系，通过表格对比k>0与k<0的性质差异，重点标注增减性“在每个象限内”等易混点，用框架图呈现从抽象到具体的知识脉络，清晰呈现章节重难点及内在联系。 讲义亮点在于“考点分层突破+题型系统分类”设计，如考点三“k的几何意义”结合典例与变式练习，培养几何直观；题型六“实际应用”通过行程、工程问题引导学生经历“设变量—列函数—求解—检验”流程，发展模型意识。基础题夯实概念，综合题提升思维，助力不同层次学生发展，为教师精准复习教学提供系统支持。

第六章《反比例函数》 知识点、考点及题型复习 目录：一、回归课本 2、 知识点梳理 3、 考点考题汇编 4、 题型汇总 资料说明：本资料围绕北师大版九年级上册第六章《反比例函数》章节，构建了 “知识梳理 — 题型突破 — 真题演练” 的完整教学与学习体系，兼具系统性、实用性与针对性，具体核心价值如下： 课本内容结构化梳理：以 “反比例函数的本质” 为起点，按 “概念建立（从实际问题抽象定义）→表达式推导（三种形式）→图像性质（形状、位置、增减性）→核心应用（k 的几何意义、与一次函数综合、实际问题）” 的逻辑展开，清晰呈现章节 “从抽象到具体，从理论到实践” 的知识脉络，帮助师生快速把握课本核心框架，避免知识碎片化。 核心知识点精准提炼：聚焦基础概念（反比例函数定义、表达式）、关键性质(k 对图像的影响、增减性、k 的几何意义）、实践技能（待定系数法求表达式、图像分析、实际建模）三大模块，通过表格对比（如 k>0 与 k<0 的性质差异）、重点标注（如增减性需强调“在每个象限内”），强化易混点（如 k 的符号与图像位置的关系）与高频考点（如 k 的几何意义、与一次函数的交点问题），为后续题型突破奠定理论与技能基础。 一、回归课本 本章以 “两个变量的反比例关系” 为核心，从生活中的实际问题（如行程、工程、浓度问题）入手，构建反比例函数的理论体系，培养函数建模与图像分析能力，具体内容分为四个模块： 反比例函数的认识：通过实际情境（如路程固定时速度与时间的关系）抽象出反比例函数的定义，明确其三种表达式(，理解 “两个变量乘积为定值” 的本质特征。 反比例函数的图像与性质：学习绘制反比例函数的图像（双曲线），探究比例系数对图像位置的影响（时图像在第一、三象限，时在第二、四象限），掌握其增减性（时，在每个象限内y随x的增大而减小；时，在每个象限内y随x的增大而增大）。 反比例函数k的几何意义：发现过双曲线上任意一点作x轴、y轴垂线，所得矩形面积等于|k|，三角形面积等于|k|，建立图像与代数的几何联系。 反比例函数的实际应用：将实际问题转化为反比例函数模型，利用函数性质解决行程、工程、反比例关系的实际问题，掌握 “设变量 — 列函数 — 求解 — 检验” 的完整流程。 二、知识点梳理 （一）核心概念 反比例函数：一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数。也可表示为xy = k或y = kx-1（k≠0）。 比例系数k：k是反比例函数的核心参数，决定函数图像的位置、增减性及几何意义，k≠0是反比例函数的隐含条件。 反比例函数的取值范围：x≠0（分母不能为 0），函数值：y≠0。 （二）关键性质 性质维度 具体内容 图像形状 双曲线（关于原点中心对称，关于直线y = ±x轴对称） 图像位置 k>0：第一、三象限；k<0：第二、四象限 增减性 k>0：在每个象限内，y随x的增大而减小； k<0：在每个象限内，y随x的增大而增大。 注意：“每个象限内” 不可省略。 k的几何意义 过双曲线上任意一点P(x , y)作PA⊥x轴、PB⊥y轴，垂足为A、B：① 矩形OAPB的面积S = |xy| = |k|；② 三角形OAP（或OBP）的面积S =|k|. 对称性 1.关于原点中心对称，若(x , y)在双曲线上，则(-x , -y)也在双曲线上； 2.关于直线y = x、y = -x轴对称 （三）表达式确定 待定系数法：因为反比例函数只有一个未知参数k，所以只需知道双曲线上一个点的坐标( , )，代入，即可求出k =，进而确定函数表达式。 注意事项：求k时需保留符号，k的符号直接影响函数图像和性质。 （四）实际应用 常见模型 行程问题：路程s固定时，速度v与时间t的关系； 工程问题：工作总量W固定时，工作效率p与工作时间t的关系p 浓度问题：溶质质量m固定时，浓度c与溶液质量V的关系； 几何问题：面积S固定时，矩形的长a与宽b的关系. 解题步骤 设变量：确定自变量x和因变量y，明确其实际意义； 列函数：根据题意找出x与y的反比例关系，设； 求k：代入已知条件（一组x、y的值）求出k，确定函数表达式； 求解：根据实际问题的要求，代入x（或y）的值求y（或x）； 检验：检验结果是否符合实际意义（如长度、时间为正数）。 三、考点考题汇编 考点一：反比例函数的定义与表达式 核心考向：判断一个函数是否为反比例函数，利用待定系数法求反比例函数的表达式（已知一个点的坐标或一组x、y的值），注意k≠0的隐含条件。 典例1（2025春·丰城市校级期末） 已知函数． （1）若y是关于x的正比例函数，求m的值； （2）若y是关于x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式． 变式练习1（2025秋·天津期中） 下面四个关系式中，x和y成反比例关系的是（　　）． A． B． C． D． 变式练习2（2024秋·横山区期末） 已知y是z的反比例函数，z是x的正比例函数． （1）当时，y＝6．当x＝6时，z＝4．求y与x之间的函数关系式； （2）证明y是x的反比例函数． 知识点二：反比例函数的图像与性质 核心考向：根据k的符号判断反比例函数的图像位置，利用增减性比较函数值大小，结合图像特征解决相关问题（如判断点是否在双曲线上）。 典例1（2025秋·丰台区校级期中 ） 若点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）都在反比例函数y的图象上，则（　　） A． y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2 变式练习1（2025秋·长清区期中） 在同一直角坐标系中，函数和y＝kx﹣4的图象大致是（　　） A． B． C． D． 变式练习2（2025秋·成都期中） 已知点（﹣1，6）在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点（x1，﹣6），（x2，﹣1），（x3，3）都在反比例函数的图象上，比较x1，x2，x3的大小，并说明理由． 考点三：反比例函数k的几何意义 核心考向：利用k的几何意义求双曲线上一点与坐标轴围成的矩形或三角形面积，或根据面积求k的值（注意k的符号由图像所在象限确定）。 典例1（2025秋·莱芜区期中） 如图，点A是反比例函数图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数（x＞0）图象交于点B，AB＝2BC，连接OA、OB，若△OAB的面积为2，则m+n的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 变式练习1（2025秋·莱阳市期中） 如图，点A在反比例函数的图象上，作AB⊥x轴于点B，点C在y轴上，若△ABC的面积为5，则k的值为　　 ． 变式练习2（2025秋·虹口区校级期中） 如图，函数y（x＞0，常数k＞0）的图象经过点A（2，3），B（m，n）为函数图象上除A外任意一点，过点B作y轴的垂线段，垂足为C，若△ABC的面积为2，则点B坐标为　　 ． 考点四：反比例函数与一次函数的综合应用 核心考向：求反比例函数与一次函数的交点坐标，利用图像比较函数值大小（解不等式），计算两函数图像与坐标轴围成的图形面积，是中考高频考点。 典例1（2025·山西中考） 如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点C．已知点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（1，6），点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积． 变式练习1（2025·罗湖区校级三模） 如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若S△ABC＝12，则k＝　　 ． 变式练习2（2025·桥西区校级期中） 如图，一次函数y1＝kx+b分别交y轴、x轴于C、D两点，与反比例函数的图象交于A（m，8），B（4，2）两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）根据图象直接写出的x的取值范围． 考点五：反比例函数的实际应用 核心考向：将实际问题转化为反比例函数模型，利用反比例函数的性质解决行程、工程、几何等实际问题，重点掌握 “设变量 — 列函数 — 求解 — 检验” 的流程。 典例1（2025秋·长清区期中） 如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA＝6米，AB＝2米．以点O为原点，水面所在直线为x轴建立如图的直角坐标系，其中点E在x轴上． （1）求BC段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出x的取值范围）； （2）出口C点距离水面的距离为1.5米，求B，C之间的水平距离； （3）若想要在滑梯BC上的点Q处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到水面的距离不低于3米，已知点Q到BE的距离为2米，是否符合要求？ 变式1（2025·莱西市期末） 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数，其图象如图所示．下列说法错误的是（　　） A．函数表达式为 B．已知机器狗无载重时的最快移动速度为9m/s，则机器狗的质量为40kg C．机器狗的质量越大，其移动速度越快 D．要使机器狗的最快移动速度v不低于5m/s，其载重后总质量不能大于72kg 变式2（2025·临淄区期中） 为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 … 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 … （1）在整改过程中，当0≤x＜3时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （2）在整改过程中，当x≥3时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （3）该企业所排污水能否在15天以内达标（即硫化物浓度不超过1.0mg/L）？请说明理由． 四、题型汇总 题型1 反比例函数的概念与定义 题型解读：核心考查反比例函数的定义辨析（三种表达式：y = 、xy = k、y = kx-1，k≠0）、求参数值（满足指数为-1且比例系数不为 0）。解题关键是紧扣 “两个变量乘积为定值” 和 “k≠0” 的隐含条件，常以选择题、填空题形式出现。 典例1（2024·四川期末） 当m取何值时，是关于x的反比例函数？ 变式 1（2024・广东期中） 下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（　　） 变式 2（2024秋・山亭区校级月考） 已知函数． （1）若y是关于x的正比例函数，求m的值； （2）若y是关于x的反比例函数，求m的值． 题型 2 反比例函数的图象与性质 题型解读：考查k的符号对图象位置（第一、三象限或第二、四象限）、增减性的影响，核心是 “在每个象限内” 的增减性限制。解题需结合图象特征，判断点所在象限，或比较函数值大小，是基础高频题型。 典例（2025·新余二模） 点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（﹣5，1）在的图象上，且x1＜0＜x2＜x3，比较y1，y2，y3的大小 （从小到大排列）． 变式 1（2025・青岛模拟） 一次函数y＝kx+k2+1与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 变式 2（2024秋・子洲县期末） 已知反比例函数的图象经过第二、四象限，求n的取值范围． 题型 3 反比例函数解析式的确定 题型解读：核心是待定系数法，利用双曲线上一个点的坐标或一组x、y的值，代入y= 求k，进而确定解析式。解题关键是准确代入计算，注意k=xy的直接应用。 典例（2025・碑林区校级模拟） 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点P，点A和B都在x轴上，△PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，，则k＝　4　 ． 变式 1（2025秋・苏仙区期中） 若函数y＝kx与函数的图象交于两点，其中一个交点的坐标为（1，2026），则另一个交点的坐标是　　 ． 变式 2（2024秋・甘肃校级期末） 如图，已知A（﹣3，2），B（n，﹣3）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的交点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积． 题型 4 反比例函数与一次函数综合 题型解读：高频中考考点，核心包括：联立两函数方程求交点坐标、根据图象比较函数值大小（解不等式）、计算两函数与坐标轴围成的面积。解题需结合两种函数的性质，通过联立方程、分析图象位置突破。 典例（2025秋・商河县期中） 如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数（m为常数，m≠0）的图象交于点A（2，4），B（a，﹣2）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出时x的取值范围； （3）设一次函数与y轴交于点C，点P是y轴上不同于点C的另一点，且S△BPC＝12．求出点P的坐标． 变式 1（2025秋・怀宁县期中） 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝mx+n的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，AM＝3，OM＝1，点B的纵坐标为﹣1． （1）求反比例函数表达式和一次函数的解析式； （2）直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围； （3）连接OA、OB，求△AOB的面积． 变式 2（2025秋・黑龙江期中） 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）图象与反比例函数图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（8，2），点B的横坐标为﹣4． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围； （3）若点D是y轴上的一点，且S△ABD＝24，请直接写出点D坐标． 题型 5 k的几何意义应用 题型解读：核心是过双曲线上任意一点作x轴、y轴垂线，所得矩形面积=∣k∣，三角形面积= ∣k∣。解题需识别图形类型，结合象限确定k的符号，是中考高频基础题型。 典例（2025春・海淀区校级期中） 如图所示，已知一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点且与x轴和y轴分别交于点C，D． （1）求k，b和m的值； （2）若点P在x轴上，且△AOP的面积等于△AOB的面积的一半时，求点P的坐标． 变式 1（2025春・洛宁县期中） 已知一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（﹣2，1）、B（1，n）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求三角形AOB的面积； （3）结合图象直接写出不等式的解集． ． 变式 2（2025・甘孜州中考） 如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），D为BC的中点．反比例函数的图象过点D，交AB于点E． （1）求点D的坐标和k的值； （2）延长DE交x轴于点F，求△AFE的面积． 题型 6 反比例函数的实际应用 题型解读：核心是将实际问题转化为反比例函数模型，常见场景：行程问题（路程固定）、工程问题（工作总量固定）、几何问题（面积 / 体积固定）。解题遵循 “设变量 — 列函数 — 求解 — 检验” 流程，检验结果需符合实际意义。 典例（2025・瓯海区二模） 某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度y（℃）与时间x（min）的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从30℃加热到60℃需要10min；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． （1）求材料加热到90℃的时间． （2）求材料自然降温时，y关于x的函数表达式． （3）已知该工艺品操作时温度需保持在60～90℃（包括60℃，90℃），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 方案 恒温60℃工作 间歇加热工作 过程 ①从30℃加热到60℃； ②保持60℃进行加工． ①从30℃加热到90℃； ②自然降温到60℃； ③再次加热到90℃； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元．（注：自然降温阶段不产生成本） 变式 1（2025秋・莱芜区期中） 为了预防冬季流感，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测药物8分钟燃毕，此时空气中每立方米含药量为10毫克，请根据题中所提供的信息，回答下列问题． （1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 yx ；自变量x的取值范是 　0≤x≤8　 ；药物燃烧完后，y与x的函数关系式为 y　 ；自变量x的取值范是 x＞8　 ； （2）研究表明，当空气中的每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，学生才能回到教室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2.5毫克且持续时间不低于30分钟时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 变式 2（2025秋・苏仙区期中） 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为10的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am． 【问题提出】 小明提出这样一个问题：若a＝12，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 （1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为10m2，得到xy＝10，木栏总长为12m，得到2x+y＝12，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线l1：y＝2x+12的交点坐标为（1，10）和　 　 ，因此，木栏总长为12m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝10m；或AB＝　 　 m，BC＝　 　 m． 【类比探究】 （2）若a＝8，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为am时，小华建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x通过平移得到的．在平移过程中，当直线 y＝﹣2x+a与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 题型7 反比例函数与动点问题 题型解读：动点在几何图形或坐标轴上运动，其坐标满足反比例函数关系，解题需用含参数的式子表示动点坐标，代入反比例函数解析式，结合几何性质（如长度、面积）列方程求解，是中档偏难题型。 典例（2025・瓯海区二模） 如图，平面直角坐标系中正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且OA＝4，的图象与正方形OABC的两边AB、BC分别相交于M、N两点，且△OMN的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是 　　 ． 变式1（2024・四川二模） 如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y（x＞0）的图象上从左向右运动，PA∥y轴，交函数y（x＞0）的图象于点A，AB∥x轴交PO的延长线于点B，则△PAB的面积（　　） A．逐渐变大或变小 B．等于定值16 C．等于定值8 D．另有答案 变式2（2024・辽宁三模） 如图，点A是函数的图象上的点，点B、C的坐标分别为B（，）、C（，）．试利用性质：点“函数的图象上任意一点A都满足”求解下面问题：作∠BAC的内角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F．已知当A在函数的图象上运动时，OF的长度总等于　 　 ． 题型8 反比例函数与几何综合 题型解读：结合三角形、矩形、菱形等几何图形，利用反比例函数的性质和几何图形的性质（如边长、面积、对称性）解题。核心是找到几何图形上点的坐标与反比例函数的关系，是中档偏难题型。 典例（2025・阳谷县二模） 如图，正方形ABCD在第一象限，已知点A（2，4）、B（4，4），反比例函数的图象与正方形ABCD的边有交点． （1）求k的取值范围； （2）当反比例函数的图象与AB交于点E，且E是AB的中点时，求反比例函数与边AD的交点的坐标． （3）设反比例函数的图象与正方形的边交于P、Q两点，若线段PQ与正方形ABCD的边围成直角三角形，且围成的直角三角形面积为1，则k的值为 　　 ．（直接写出结果） 变式1（2025・渠县雄才一模） 如图，菱形OABC的边AC在x轴正半轴上，点B的坐标为（8，4） （1）请求出菱形的边长 （2）若反比例函数y经过菱形对角线的交点D，且与边BC交于点E，请求出点E的坐标． 变式2（2025・怀远县二模） 如图，正方形ABCD在第一象限，已知点A（2，4）、B（4，4），反比例函数的图象与正方形ABCD的边有交点． （1）求k的取值范围； （2）当反比例函数的图象与AB交于点E，且E是AB的中点时，求反比例函数与边AD的交点的坐标． （3）设反比例函数的图象与正方形的边交于P、Q两点，若线段PQ与正方形ABCD的边围成直角三角形，且围成的直角三角形面积为1，则k的值为 　　 ．（直接写出结果） 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章《反比例函数》 知识点、考点及题型复习 目录：一、回归课本 2、 知识点梳理 3、 考点考题汇编 4、 题型汇总 资料说明：本资料围绕北师大版九年级上册第六章《反比例函数》章节，构建了 “知识梳理 — 题型突破 — 真题演练” 的完整教学与学习体系，兼具系统性、实用性与针对性，具体核心价值如下： 课本内容结构化梳理：以 “反比例函数的本质” 为起点，按 “概念建立（从实际问题抽象定义）→表达式推导（三种形式）→图像性质（形状、位置、增减性）→核心应用（k 的几何意义、与一次函数综合、实际问题）” 的逻辑展开，清晰呈现章节 “从抽象到具体，从理论到实践” 的知识脉络，帮助师生快速把握课本核心框架，避免知识碎片化。 核心知识点精准提炼：聚焦基础概念（反比例函数定义、表达式）、关键性质(k 对图像的影响、增减性、k 的几何意义）、实践技能（待定系数法求表达式、图像分析、实际建模）三大模块，通过表格对比（如 k>0 与 k<0 的性质差异）、重点标注（如增减性需强调“在每个象限内”），强化易混点（如 k 的符号与图像位置的关系）与高频考点（如 k 的几何意义、与一次函数的交点问题），为后续题型突破奠定理论与技能基础。 一、回归课本 本章以 “两个变量的反比例关系” 为核心，从生活中的实际问题（如行程、工程、浓度问题）入手，构建反比例函数的理论体系，培养函数建模与图像分析能力，具体内容分为四个模块： 反比例函数的认识：通过实际情境（如路程固定时速度与时间的关系）抽象出反比例函数的定义，明确其三种表达式(，理解 “两个变量乘积为定值” 的本质特征。 反比例函数的图像与性质：学习绘制反比例函数的图像（双曲线），探究比例系数对图像位置的影响（时图像在第一、三象限，时在第二、四象限），掌握其增减性（时，在每个象限内y随x的增大而减小；时，在每个象限内y随x的增大而增大）。 反比例函数k的几何意义：发现过双曲线上任意一点作x轴、y轴垂线，所得矩形面积等于|k|，三角形面积等于|k|，建立图像与代数的几何联系。 反比例函数的实际应用：将实际问题转化为反比例函数模型，利用函数性质解决行程、工程、反比例关系的实际问题，掌握 “设变量 — 列函数 — 求解 — 检验” 的完整流程。 二、知识点梳理 （一）核心概念 反比例函数：一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数。也可表示为xy = k或y = kx-1（k≠0）。 比例系数k：k是反比例函数的核心参数，决定函数图像的位置、增减性及几何意义，k≠0是反比例函数的隐含条件。 反比例函数的取值范围：x≠0（分母不能为 0），函数值：y≠0。 （二）关键性质 性质维度 具体内容 图像形状 双曲线（关于原点中心对称，关于直线y = ±x轴对称） 图像位置 k>0：第一、三象限；k<0：第二、四象限 增减性 k>0：在每个象限内，y随x的增大而减小； k<0：在每个象限内，y随x的增大而增大。 注意：“每个象限内” 不可省略。 k的几何意义 过双曲线上任意一点P(x , y)作PA⊥x轴、PB⊥y轴，垂足为A、B：① 矩形OAPB的面积S = |xy| = |k|；② 三角形OAP（或OBP）的面积S =|k|. 对称性 1.关于原点中心对称，若(x , y)在双曲线上，则(-x , -y)也在双曲线上； 2.关于直线y = x、y = -x轴对称 （三）表达式确定 待定系数法：因为反比例函数只有一个未知参数k，所以只需知道双曲线上一个点的坐标( , )，代入，即可求出k =，进而确定函数表达式。 注意事项：求k时需保留符号，k的符号直接影响函数图像和性质。 （四）实际应用 常见模型 行程问题：路程s固定时，速度v与时间t的关系； 工程问题：工作总量W固定时，工作效率p与工作时间t的关系p 浓度问题：溶质质量m固定时，浓度c与溶液质量V的关系； 几何问题：面积S固定时，矩形的长a与宽b的关系. 解题步骤 设变量：确定自变量x和因变量y，明确其实际意义； 列函数：根据题意找出x与y的反比例关系，设； 求k：代入已知条件（一组x、y的值）求出k，确定函数表达式； 求解：根据实际问题的要求，代入x（或y）的值求y（或x）； 检验：检验结果是否符合实际意义（如长度、时间为正数）。 三、考点考题汇编 考点一：反比例函数的定义与表达式 核心考向：判断一个函数是否为反比例函数，利用待定系数法求反比例函数的表达式（已知一个点的坐标或一组x、y的值），注意k≠0的隐含条件。 典例1（2025春·丰城市校级期末） 已知函数． （1）若y是关于x的正比例函数，求m的值； （2）若y是关于x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式． 【考点解析】反比例函数的定义；正比例函数的定义． 【答案解析】解：（1）由y＝（m2﹣2m）是正比例函数，得 m2﹣m﹣1＝1且m2﹣2m≠0， 解得m＝﹣1； （2）由y＝（m2﹣2m）是反比例函数，得 m2﹣m﹣1＝﹣1且m2﹣2m≠0， 解得m＝1． 故y与x的函数关系式y＝﹣x﹣1． 【反思评价】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式． 变式练习1（2025秋·天津期中） 下面四个关系式中，x和y成反比例关系的是（　　）． A． B． C． D． 【考点解析】反比例函数的定义． 【答案解析】解：A、x和y不成反比例关系，不符合题意； B、即xy＝1，x和y成反比例关系，符合题意； C、即，x和y成正比例关系，不符合题意； D、x和y不成反比例关系，不符合题意； 故选：B． 【反思评价】本题主要考查反比例关系，熟练掌握反比例函数定义是关键． 变式练习2（2024秋·横山区期末） 已知y是z的反比例函数，z是x的正比例函数． （1）当时，y＝6．当x＝6时，z＝4．求y与x之间的函数关系式； （2）证明y是x的反比例函数． 【考点解析】反比例函数的定义；正比例函数的定义．版权所有 【答案解析】（1）解：∵y是z的反比例函数， ∴设（a≠0）， ∵当时，y＝6， ∴a4， ∴①， ∵z是x的正比例函数， ∴设z＝bx（b≠0）， 又∵当x＝6时，z＝4， ∴， ∴②， 将②代入①，得：； （2）证明：由（1）得：（a≠0），z＝bx， ∴， ∴y是x的反比例函数． 【反思评价】此题主要考查了反比例函数的定义，正比例函数的定义，理解反比例函数的定义，正比例函数的定义是解决问题的关键． 版权所有 知识点二：反比例函数的图像与性质 核心考向：根据k的符号判断反比例函数的图像位置，利用增减性比较函数值大小，结合图像特征解决相关问题（如判断点是否在双曲线上）。 典例1（2025秋·丰台区校级期中 ） 若点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）都在反比例函数y的图象上，则（　　） A． y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2 【考点解析】反比例函数图象上点的坐标特征． 【答案解析】解：∵当x＝﹣1时，， 当x＝2时，y23， 当x＝3时，2， ∴y1＜y3＜y2． 故选：D． 【反思评价】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征．利用代入法求出对应的函数值是解题的关键． ． 变式练习1（2025秋·长清区期中） 在同一直角坐标系中，函数和y＝kx﹣4的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【考点解析】反比例函数的图象；一次函数的图象． 【答案解析】解：若k＞0，则反比函数图象在第一、三象限，一次函数过第一、三、四象限； 若k＜0，则反比函数图象在第二、四象限，一次函数过第二、三、四象限，B选项符合； 故选：B． 【反思评价】本题考查一次函数和反比例函数的图象，掌握其性质是解题的关键． 变式练习2（2025秋·成都期中） 已知点（﹣1，6）在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点（x1，﹣6），（x2，﹣1），（x3，3）都在反比例函数的图象上，比较x1，x2，x3的大小，并说明理由． 【考点解析】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征． 【答案解析】解：（1）∵点（﹣1，6）在反比例函数的图象上， 把（﹣1，6）代入， 得， 解得m＝2， ∴反比例函数的表达式为． （2）x2＞x1＞x3，理由如下： ∵﹣6＜0， ∴函数图象位于第二、四象限， ∵点（x1，﹣6），（x2，﹣1），（x3，3）都在反比例函数的图象上，3＞0＞﹣1＞﹣6， ∴x2＞x1＞0＞x3， ∴x2＞x1＞x3． 【反思评价】本题主要考查待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，掌握待定系数法的运用，反比例函数增减性是解题的关键． 考点三：反比例函数k的几何意义 核心考向：利用k的几何意义求双曲线上一点与坐标轴围成的矩形或三角形面积，或根据面积求k的值（注意k的符号由图像所在象限确定）。 典例1（2025秋·莱芜区期中） 如图，点A是反比例函数图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数（x＞0）图象交于点B，AB＝2BC，连接OA、OB，若△OAB的面积为2，则m+n的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【考点解析】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征． 【答案解析】解：设B（a，），A（a，） ∵AB＝2BC， ∴， ∴m＝3n， ∵△OAB的面积为2， ∴根据反比例函数k的几何意义可知：△AOC的面积为，△BOC的面积为， ∴△AOB的面积为2， ∴m﹣n＝4， ∴3n﹣n＝4， ∴n＝2， ∴m＝6， ∴m+n＝8 故选：D． 【反思评价】本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义，本题属于中等题型， 变式练习1（2025秋·莱阳市期中） 如图，点A在反比例函数的图象上，作AB⊥x轴于点B，点C在y轴上，若△ABC的面积为5，则k的值为　﹣10　 ． 【考点解析】反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的面积；反比例函数系数k的几何意义． 【解答解析】解：连接OA，如图， ∵AB⊥x轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB＝S△ABC＝5， 而S△OAB|k|， ∴|k|＝5， ∵k＜0， ∴k＝﹣10． 故答案为：﹣10． 【反思评价】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 变式练习2（2025秋·虹口区校级期中） 如图，函数y（x＞0，常数k＞0）的图象经过点A（2，3），B（m，n）为函数图象上除A外任意一点，过点B作y轴的垂线段，垂足为C，若△ABC的面积为2，则点B坐标为　或　 ． 【考点解析】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．版权所有 【答案解析】解：由条件可知k＝2×3＝6， ∴反比例函数解析式为：， ∵点B（m，n）在反比例函数图象上， ∴mn＝6， ∵△ABC的面积为2， ∴， 即， ∴3m﹣mn＝±4， ∴3m＝6±4， 解得或， ∵mn＝6， ∴或n＝9， ∴点B的坐标为或． 故答案为：或． 【反思评价】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及待定系数法求反比例函数解析式，根据三角形面积得出m值是解题关键． 考点四：反比例函数与一次函数的综合应用 核心考向：求反比例函数与一次函数的交点坐标，利用图像比较函数值大小（解不等式），计算两函数图像与坐标轴围成的图形面积，是中考高频考点。 典例1（2025·山西中考） 如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点C．已知点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（1，6），点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积． 【考点解析】反比例函数与一次函数的交点问题． 【答案解析解：（1）∵点C的坐标为（1，6），且在反比例函数的图象上， ∴，即k＝6， ∴反比例函数的解析式为； 设直线AC的解析式为y＝ax+b（a≠0）， 把A、C两点坐标分别代入得： ， 解得：， 即直线AC的解析式为y＝2x+4； 上式中，令x＝0，y＝4， ∴点B的坐标为（0，4）； （2）∵点D在反比例函数的图象上，纵坐标为2， ∴， 解得：x＝3；由题意知，OA＝2，OB＝4， ∴S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD ＝10． 【反思评价】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图象与性质是关键． 变式练习1（2025·罗湖区校级三模） 如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若S△ABC＝12，则k＝　﹣6　 ． 【考点解析】反比例函数与一次函数的交点问题． 【答案解析】解：如图，过点A作AD⊥OC于点D， ∵AC＝AO， ∴CD＝DO， ∵函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点， ∴A、B关于原点对称， ∴OA＝OB， ∵S△ABC＝12， ∴S△AOC6， ∴S△AODS△AOC|k|， 又∵该反比例函数图象在第二、四象限，即k＜0， ∴k＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【反思评价】本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质， 变式练习2（2025·桥西区校级期中） 如图，一次函数y1＝kx+b分别交y轴、x轴于C、D两点，与反比例函数的图象交于A（m，8），B（4，2）两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）根据图象直接写出的x的取值范围． 【考点解析】反比例函数与一次函数的交点问题． 【答案解析】解：（1）由条件可知n＝4×2＝8，8m＝n， 解得m＝1，n＝8， 反比例函数的解析式为， ∴A（1，8），B（4，2）， 代入一次函数y＝kx+b，可得： ， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+10； （2）如图， 由条件可得D（5，0）， ∴OD＝5， ∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD ＝15． （3）由图可得，的x的取值范围是0＜x＜1或x＞4． 【反思评价】熟练掌握用待定系数法求函数解析式、以及熟练运用割补法求面积，熟练掌握利用函数图象解不等式是解题的关键． 考点五：反比例函数的实际应用 核心考向：将实际问题转化为反比例函数模型，利用反比例函数的性质解决行程、工程、几何等实际问题，重点掌握 “设变量 — 列函数 — 求解 — 检验” 的流程。 典例1（2025秋·长清区期中） 如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA＝6米，AB＝2米．以点O为原点，水面所在直线为x轴建立如图的直角坐标系，其中点E在x轴上． （1）求BC段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出x的取值范围）； （2）出口C点距离水面的距离为1.5米，求B，C之间的水平距离； （3）若想要在滑梯BC上的点Q处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到水面的距离不低于3米，已知点Q到BE的距离为2米，是否符合要求？ 【考点解析】反比例函数的应用；勾股定理的应用．菁 【答案解析】解：（1）∵OA＝6米，AB＝2米， ∴点B的坐标为（2，6）， 设BC段滑梯所在的双曲线的解析式为y（k为常数，且k≠0）， 将坐标B（2，6）代入y， 得6， 解得k＝12， ∴BC段滑梯所在的双曲线的解析式为y． （2）设点C的坐标为（m，1.5）， 将C（m，1.5）代入y， 得1.5， 解得m＝8， 8﹣2＝6（米）， ∴B，C之间的水平距离为6米． （3）设点Q的坐标为（a，b）， 将Q（a，b）代入y， 得b， ∴a， 根据题意，得2≤2， 解得b≥3， ∴点Q到水面的距离至少3米． 【反思评价】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． 变式1（2025·莱西市期末） 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数，其图象如图所示．下列说法错误的是（　　） A．函数表达式为 B．已知机器狗无载重时的最快移动速度为9m/s，则机器狗的质量为40kg C．机器狗的质量越大，其移动速度越快 D．要使机器狗的最快移动速度v不低于5m/s，其载重后总质量不能大于72kg 【考点解析】反比例函数的应用． 【答案解析】解：最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数，设反比例函数解析式为v， ∵反比例函数的图象经过点（60，6）， ∴6， 解得：k＝360， ∴反比例函数解析式为v（m＞0），故选项A不符合题意； 当v＝9m/s时，得：9， 解得：m＝40， 经检验，m＝40是原方程的解，故选项B不符合题意； ∵反比例函数的图象在第一象限内，P随t的增大而减小， 即机器狗的质量越大，其移动速度越慢，故选项C符合题意； 当v≥5m/s，5， 解得m≤72kg，故选项D不符合题意． 故选：C． 【反思评价】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 变式2（2025·临淄区期中） 为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 … 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 … （1）在整改过程中，当0≤x＜3时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （2）在整改过程中，当x≥3时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （3）该企业所排污水能否在15天以内达标（即硫化物浓度不超过1.0mg/L）？请说明理由． 【考点解析】反比例函数的应用；一次函数的应用． 【答案解析】解：（1）由前三天的函数图象是线段，设函数表达式为：y＝kx+b， 把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得， 解得：k′＝﹣2.5，b＝12， ∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12； （2）由表格知，当x≥3时，y与x是反比例函数关系，设y， 把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5， 解得k＝13.5， ∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为y； （3）能，理由如下： 当x＝15时，y0.9， ∵0.9＜1， ∴该企业所排污水能在15天以内达标． 【反思评价】本题考查了求一次函数关系式，反比例函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握反比例函数及其图象性质． 四、题型汇总 题型1 反比例函数的概念与定义 题型解读：核心考查反比例函数的定义辨析（三种表达式：y = 、xy = k、y = kx-1，k≠0）、求参数值（满足指数为-1且比例系数不为 0）。解题关键是紧扣 “两个变量乘积为定值” 和 “k≠0” 的隐含条件，常以选择题、填空题形式出现。 典例1（2024·四川期末） 当m取何值时，是关于x的反比例函数？ 【考点解析】反比例函数的定义．菁 【答案解析】解：∵是关于x的反比例函数， ∴， 解得， ∴m＝﹣1， ∴当m＝﹣1何值时，是关于x的反比例函数． 【反思评价】本题考查了反比例函数的定义，关键要注意x的指数为﹣1，系数不等于0要同时成立． 变式 1（2024・广东期中） 下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C．y＝2x D．y＝x+1 【考点解析】反比例函数的定义． 【答案解析】解：四个函数中只有函数是反比例函数， 故选：B． 【反思评价】本题主要考查了反比例函数的定义，正确记忆相关知识点是解题关键． 变式 2（2024秋・山亭区校级月考） 已知函数． （1）若y是关于x的正比例函数，求m的值； （2）若y是关于x的反比例函数，求m的值． 【考点解析】反比例函数的定义；正比例函数的定义． 【答案解析】解：（1）由条件可知m2﹣m﹣1＝1且m2﹣2m≠0， 由m2﹣m﹣1＝1得，解得m＝2或m＝﹣1， 由m（m﹣2）≠0得m≠0，m≠2， ∴m＝﹣1． （2）由条件可知m2﹣m﹣1＝﹣1且m2﹣2m≠0， 由m2﹣m﹣1＝﹣1得m2﹣m＝0，解得m＝0或m＝1， 由m（m﹣2）≠0得m≠0，m≠2， ∴m＝1． 【反思评价】本题主要考查正比例函数与反比例函数的定义、解一元二次方程，掌握正比例函数y＝kx（k≠0），反比例函数是关键． 题型 2 反比例函数的图象与性质 题型解读：考查k的符号对图象位置（第一、三象限或第二、四象限）、增减性的影响，核心是 “在每个象限内” 的增减性限制。解题需结合图象特征，判断点所在象限，或比较函数值大小，是基础高频题型。 典例（2025·新余二模） 点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（﹣5，1）在的图象上，且x1＜0＜x2＜x3，比较y1，y2，y3的大小 y2＜y3＜y1 （从小到大排列）． 【考点解析】反比例函数图象上点的坐标特征． 【答案解析】解：∵D（﹣5，1）在的图象上， ∴k＝﹣5＜0，反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵x1＜0＜x2＜x3， ∴y1＞0， ∵0＜x2＜x3， ∴y2＜y3＜0＜y1， 故答案为：y2＜y3＜y1． 【反思评价】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 变式 1（2025・青岛模拟） 一次函数y＝kx+k2+1与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点解析】反比例函数的图象；一次函数的图象． 【答案解析】解：∵一次函数y＝kx+k2+1中，k2+1＞0， ∴直线与y轴的交点在正半轴，故A、B不合题意，C、D符合题意， C、由一次函数的图象过一、二、四象限可知k＜0，由反比例函数的图象在二、四象限可知k＞0，两结论相矛盾，故选项C错误； D、由一次函数的图象过一、二、三象限可知k＞0，由反比例函数的图象在二、四象限可知k＞0，故选项D正确； 故选：D． 【反思评价】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键． 变式 2（2024秋・子洲县期末） 已知反比例函数的图象经过第二、四象限，求n的取值范围． 【考点解析】反比例函数的性质． 【答案解析】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴2n+6＜0， 解得：n＜﹣3， ∴n的取值范围是n＜﹣3． 【反思评价】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，是比较典型的题目，解题的关键是了解反比例函数的性质． 题型 3 反比例函数解析式的确定 题型解读：核心是待定系数法，利用双曲线上一个点的坐标或一组x、y的值，代入y= 求k，进而确定解析式。解题关键是准确代入计算，注意k=xy的直接应用。 典例（2025・碑林区校级模拟） 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点P，点A和B都在x轴上，△PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，，则k＝　4　 ． 【考点解析】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优 【答案解析】解：如图：过P点作PH⊥x轴于点H， ∵△PAB是等腰直角三角形且PA＝PB，， ∴PHAB， 当y时，， ∴x＝2， ∴点P坐标为（2，）， 将点P（2，）代入反比例函数中得：k4， 故答案为：4． 【反思评价】本题考查了等腰直角三角形的性质，反比例函数的表达式，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 变式 1（2025秋・苏仙区期中） 若函数y＝kx与函数的图象交于两点，其中一个交点的坐标为（1，2026），则另一个交点的坐标是　（﹣1，﹣2026）　 ． 【考点解析】反比例函数解析式及反比例函数与一次函数的交点问题． 【答案解析】解：正比例函数 y＝kx 和反比例函数 （k≠0）的图象都关于原点对称， ∴它们的交点也关于原点对称， ∴另一个交点为 （﹣1，﹣2026）． 故答案为：（﹣1，﹣2026）． 【反思评价】本题考查正比例函数与反比例函数的中心对称性，掌握相关知识是解决问题的关键． 变式 2（2024秋・甘肃校级期末） 如图，已知A（﹣3，2），B（n，﹣3）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的交点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积． 【考点解析】确定反比例函数表达式，反比例函数与一次函数的交点问题． 【答案解析】解：（1）把A（﹣3，2）代入得：2， ∴m＝﹣6， ∴反比例函数解析式为． （2）把B（n，﹣3）代入得：﹣3， ∴n＝2， ∴点B的坐标是（2，﹣3）， 将A，B两点坐标代入y＝kx+b得， 解得：， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1； 在y＝﹣x﹣1中，令y＝0，则x＝﹣1， ∴C点坐标（﹣1，0）， ∴． 【反思评价】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，三角形面积公式及三角形面积的和差，熟练的求解函数解析式是解本题的关键． 题型 4 反比例函数与一次函数综合 题型解读：高频中考考点，核心包括：联立两函数方程求交点坐标、根据图象比较函数值大小（解不等式）、计算两函数与坐标轴围成的面积。解题需结合两种函数的性质，通过联立方程、分析图象位置突破。 典例（2025秋・商河县期中） 如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数（m为常数，m≠0）的图象交于点A（2，4），B（a，﹣2）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出时x的取值范围； （3）设一次函数与y轴交于点C，点P是y轴上不同于点C的另一点，且S△BPC＝12．求出点P的坐标． 【考点解析】反比例函数与一次函数的交点问题． 【答案解析】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：m＝2×4＝8， ∴反比例函数的表达式为：y， 将点B的坐标代入反比例函数表达式得：﹣2a＝8， 解得a＝﹣4， ∴点B（﹣4，﹣2）， 将点A，B的坐标代入一次函数表达式得： ， 解得． ∴一次函数的解析式为：y＝x+2； （2）根据函数图象可知，当x＞2或﹣4＜x＜0时，kx+b， ∴x的取值范围为x＞2或﹣4＜x＜0； （3）对于直线y＝x+2， 令x＝0，则y＝2， ∴C（0，2）， 设点P坐标为（0，a）， ∴PC＝|2﹣a|， ∴S△BPC4×|2﹣a|＝2|2﹣a|＝12， 解得a＝﹣4或a＝8， ∴P（0，﹣4）或（0，8）． 【反思评价】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，关键是求出一次函数和反比例函数的解析式． 变式 1（2025秋・怀宁县期中） 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝mx+n的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，AM＝3，OM＝1，点B的纵坐标为﹣1． （1）求反比例函数表达式和一次函数的解析式； （2）直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围； （3）连接OA、OB，求△AOB的面积． 【考点解析】反比例函数与一次函数的交点问题． 【答案解析】解：（1）根据题意可知，A（﹣1，3）， ∵点A在反比例函数图象上， ∴k＝﹣3， ∴反比例函数解析式为y， 当y＝﹣1时，x＝3， ∴B（3，﹣1）， ∵点A（﹣1，3）、B（3，﹣1）在一次函数y1＝mx+n的图象上， ，解得， ∴一次函数解析式为：y＝﹣x+2． （2）根据函数图象及交点坐标，不等式y1＞y2自变量x的取值范围为：x＜﹣1或0＜x＜3． （3）由一次函数y＝﹣x+2可知，C（0，2）即OC＝2， S△AOB＝S△AOC+S△BOC4． 【反思评价】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． 变式 2（2025秋・黑龙江期中） 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）图象与反比例函数图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（8，2），点B的横坐标为﹣4． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围； （3）若点D是y轴上的一点，且S△ABD＝24，请直接写出点D坐标． 【考点解析】反比例函数与一次函数的交点问题． 【答案解析】解：（1）由条件可知m＝8×2＝16， ∴反比例函数的解析式为y， ∵点B的横坐标为﹣4， ∴yB4， ∴B（﹣4，﹣4）， 由题目条件可知，， 解得， ∴一次函数的解析式为y2； （2）由图象可知当y1＞y2时，自变量x的取值范围是﹣4＜x＜0或x＞8； （3）对于一次函数yx﹣2，令x＝0，可得y＝﹣2， ∴C（0，﹣2）， ∵点D是y轴上一点，且S△ABD＝24， ∴S△ABD＝S△ACD+S△BCDCD•8CD•4＝24， ∴CD＝4， ∴D（0，2）或D（0，﹣6）． 【反思评价】本题主要考查了求一次函数和反比例函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点、一次函数与反比例函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 题型 5 k的几何意义应用 题型解读：核心是过双曲线上任意一点作x轴、y轴垂线，所得矩形面积=∣k∣，三角形面积= ∣k∣。解题需识别图形类型，结合象限确定k的符号，是中考高频基础题型。 典例（2025春・海淀区校级期中） 如图所示，已知一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点且与x轴和y轴分别交于点C，D． （1）求k，b和m的值； （2）若点P在x轴上，且△AOP的面积等于△AOB的面积的一半时，求点P的坐标． 【考点解析】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题． 【答案解析】解：（1）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点， ∴m＝﹣8， ，解得， ∴k＝1，b＝6，m＝﹣8； （2）由（1）可知：反比例函数解析式为y，一次函数解析式为y＝x+6， 如图，作AN⊥x轴，BM⊥x轴，垂足分别为M、N， ∵S△AON＝S△BOM， ∴S△AOB＝S梯形ABMN（4+2）×2＝6， 设点P的坐标为（p，0）， ∴S△AOP3， 解得p＝±1.5， ∴P（1.5，0）或（﹣1.5，0）． 【反思评价】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 变式 1（2025春・洛宁县期中） 已知一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（﹣2，1）、B（1，n）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求三角形AOB的面积； （3）结合图象直接写出不等式的解集． 【考点解析】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式． 【解答】解：（1）将点A（﹣2，1）代入，得：m＝﹣2×1＝﹣2， ∴反比例函数的表达式为：， 将点B（1，n）代入，得：n＝﹣2， ∴点B（1，﹣2）， 将点A（﹣2，1），点B（1，﹣2）代入y＝kx+b， 得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣1； （2）过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，设AB于y轴交于点C，如图所示： ∵点A（﹣2，1），点B（1，﹣2）， ∴AE＝2，BF＝1， 对于一次函数y＝﹣x﹣1，当x＝0时，y＝﹣1， ∴点C的坐标为（0，﹣1）， ∴OC＝1， ∴S△OACOC•AE1×2＝1，S△OBCOC•BF1×1， ∴S△AOB＝S△OAC+S△OBC＝1； （3）∵点A（﹣2，1），点B（1，﹣2）， ∴结合函数的图象得不等式的解集为：x＜﹣2或0＜x＜1． 【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数与反比例函数的表达式，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求一次函数与反比例函数的表达式，三角形的面积公式是解决问题的关键． ． 变式 2（2025・甘孜州中考） 如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），D为BC的中点．反比例函数的图象过点D，交AB于点E． （1）求点D的坐标和k的值； （2）延长DE交x轴于点F，求△AFE的面积． 【考点解析】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质． 【答案解析】解：（1）由题知， ∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2）， ∴点B的坐标为（4，2）． ∵D为BC的中点， ∴点D的坐标为（2，2）． 将点D坐标代入得， k＝2×2＝4， ∴k的值为4； （2）由（1）知， 反比例函数解析式为y， 将x＝4代入y得， y＝1， ∴点E的坐标为（4，1）． 令直线DE的函数解析式为y＝mx+n， 则， 解得， ∴直线DE的函数解析式为y． 由得， x＝6， ∴点F的坐标为（6，0）， ∴． 【反思评价】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及矩形的性质，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 题型 6 反比例函数的实际应用 题型解读：核心是将实际问题转化为反比例函数模型，常见场景：行程问题（路程固定）、工程问题（工作总量固定）、几何问题（面积 / 体积固定）。解题遵循 “设变量 — 列函数 — 求解 — 检验” 流程，检验结果需符合实际意义。 典例（2025・瓯海区二模） 某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度y（℃）与时间x（min）的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从30℃加热到60℃需要10min；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． （1）求材料加热到90℃的时间． （2）求材料自然降温时，y关于x的函数表达式． （3）已知该工艺品操作时温度需保持在60～90℃（包括60℃，90℃），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 方案 恒温60℃工作 间歇加热工作 过程 ①从30℃加热到60℃； ②保持60℃进行加工． ①从30℃加热到90℃； ②自然降温到60℃； ③再次加热到90℃； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元．（注：自然降温阶段不产生成本） 【考点解析】反比例函数的应用；一次函数的应用． 【答案解析】解：（1）由题意，结合图象，从30℃加热到60℃是一次函数的图象， ∴可设函数解析式为y＝kx+b． 又图象过（0，30），（10，60）， ∴． ∴． ∴函数的解析式为y＝3x+30． ∴令y＝3x+30＝90，则x＝20． ∴材料加热到90℃的时间为20min． （2）由题意，设所求函数为y， 又∵材料自然降温时图象过（20，90）， ∴m＝20×90＝1800． ∴所求函数为y． （3）由题意可知，加热时长为10分钟．恒温阶段8×60﹣10＝470（分钟）， 费用为：10×100+470×60＝29200（元）． 间加热工作：对于， 令y＝60， ∴x＝30． ∴除第一次加热到60℃需要10分钟，后续60℃加热到90℃，自然降温到60℃一轮需要20分钟，一天8小时中，加热时间为10+23×10+10＝250（分钟）． ∴费用为：250×100＝25000（元），25000＜29200． ∴仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本． 【反思评价】本题主要考查了反比例函数与一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．． 变式 1（2025秋・莱芜区期中） 为了预防冬季流感，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测药物8分钟燃毕，此时空气中每立方米含药量为10毫克，请根据题中所提供的信息，回答下列问题． （1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 yx ；自变量x的取值范是 　0≤x≤8　 ；药物燃烧完后，y与x的函数关系式为 y　 ；自变量x的取值范是 x＞8　 ； （2）研究表明，当空气中的每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，学生才能回到教室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2.5毫克且持续时间不低于30分钟时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【考点解析】反比例函数的应用． 【答案解析】解：（1）yx，0≤x≤8；y，x＞8； （2）结合实际，令y中y≤1.6得x≥50， 答：即从消毒开始，至少需要50分钟后员工才能回到办公室； （3）把y＝2.5代入yx，得：x＝2， 把y＝2.5代入y，得：x＝32， ∵32﹣2＝30， 所以这次消毒有效． 【反思评价】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 变式 2（2025秋・苏仙区期中） 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为10的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am． 【问题提出】 小明提出这样一个问题：若a＝12，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 （1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为10m2，得到xy＝10，木栏总长为12m，得到2x+y＝12，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线l1：y＝2x+12的交点坐标为（1，10）和　（5，2）　 ，因此，木栏总长为12m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝10m；或AB＝　5　 m，BC＝　2　 m． 【类比探究】 （2）若a＝8，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为am时，小华建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x通过平移得到的．在平移过程中，当直线 y＝﹣2x+a与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 【考点解析】反比例函数综合题． 【答案解析】解：（1）∵反比例函数的图象与直线l1：y＝2x+12有交点， 联立得：， 解得：或， ∵一个交点坐标为（1，10）， ∴另一个交点坐标为（5，2）， ∵AB为x米，BC为y米， ∴AB＝5米，BC＝2米． 故答案为：（5，2），5，2； （2）不能围出矩形地块；理由如下： 当a＝8时，直线为y＝﹣2x+8， 联立得：， 整理得：2x2﹣8x+10＝0， ∵Δ＝64﹣80＝﹣16＜0， ∴两函数的图象无交点， ∴不能围出矩形地块； 一次函数的 图象，如图2即为所求； 通过图象可得：函数y＝﹣2x+8与无交点， ∴不能围出矩形地块； （3）当直线与双曲线有唯一交点时，联立得：， 即2x2﹣ax+10＝0， ∵Δ＝a2﹣80＝0， 解得：（不合题意，舍去）， 此时， ∴交点坐标为． 【反思评价】本题属于反比例函数综合题，主要考查反比例函数与一次函数的交点问题的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键． 题型7 反比例函数与动点问题 题型解读：动点在几何图形或坐标轴上运动，其坐标满足反比例函数关系，解题需用含参数的式子表示动点坐标，代入反比例函数解析式，结合几何性质（如长度、面积）列方程求解，是中档偏难题型。 典例（2025・瓯海区二模） 如图，平面直角坐标系中正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且OA＝4，的图象与正方形OABC的两边AB、BC分别相交于M、N两点，且△OMN的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是 　5　 ． 【考点解析】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的动点问题；正方形的性质；轴对称﹣最短路线问题；反比例函数的性质． 【答案解析】解：由条件可知：点M的横坐标及点N的纵坐标都是4， ∵点M、N在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵S正方形OABC＝S△BCN+S△OAM+S△OMN+S△MBN， ∴， 解得：k＝12（负值舍去）， ∴M（4，3），N（3，4）， 如图，作点M关于x轴的对称点M′，连接M′N将x轴于点P，连接PM，此时PM+PN最小， ∵点M关于x轴的对称点M′， ∴M′（4，﹣3）， ∴PM+PN＝M′N5， 故答案为：． 【反思评价】考查正方形的性质，反比例函数的图象和性质，轴对称的性质，及两点间距离公式等知识，熟练掌握以上知识点是关键． 变式1（2024・四川二模） 如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y（x＞0）的图象上从左向右运动，PA∥y轴，交函数y（x＞0）的图象于点A，AB∥x轴交PO的延长线于点B，则△PAB的面积（　　） A．逐渐变大或变小 B．等于定值16 C．等于定值8 D．另有答案 【考点解析】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征． 【答案解析】解：如图： 由题意可知S△POC2＝1，S矩形ACOD＝6， ∵S△POCOC•PC，S矩形ACOD＝OC•AC， ∴， ∴， ∴， ∵AB∥x轴， ∴△POC∽△PBA， ∴（）2， ∴S△PAB＝16S△POC＝16， ∴△PAB的面积等于定值16． 故选：B． 【反思评价】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，证得是解题的关键． 变式2（2024・辽宁三模） 如图，点A是函数的图象上的点，点B、C的坐标分别为B（，）、C（，）．试利用性质：点“函数的图象上任意一点A都满足”求解下面问题：作∠BAC的内角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F．已知当A在函数的图象上运动时，OF的长度总等于　　 ． 【考点解析】反比例函数综合题． 【答案解析】解：延长BF、AC交于点G． ∵AE是∠BAC的内角平分线， ∴∠BAF＝∠GAF， ∵BF⊥AE， ∴∠AFB＝∠AFG＝90°， 又∵AF＝AF， ∴△ABF≌△AGF， ∴AB＝AG，BF＝GF． ∵B（，）、C（，）， ∴OB＝OC， ∴OFCG． 故答案为：． 【反思评价】此题是一道数形结合题，综合考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、中心对称的性质． 题型8 反比例函数与几何综合 题型解读：结合三角形、矩形、菱形等几何图形，利用反比例函数的性质和几何图形的性质（如边长、面积、对称性）解题。核心是找到几何图形上点的坐标与反比例函数的关系，是中档偏难题型。 典例（2025・阳谷县二模） 如图，正方形ABCD在第一象限，已知点A（2，4）、B（4，4），反比例函数的图象与正方形ABCD的边有交点． （1）求k的取值范围； （2）当反比例函数的图象与AB交于点E，且E是AB的中点时，求反比例函数与边AD的交点的坐标． （3）设反比例函数的图象与正方形的边交于P、Q两点，若线段PQ与正方形ABCD的边围成直角三角形，且围成的直角三角形面积为1，则k的值为 　12或24﹣4　 ．（直接写出结果） 【考点解析】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；勾股定理的逆定理；正方形的性质；反比例函数的性质． 【答案解析】解：（1）∵A（2，4）、B（4，4），四边形ABCD是正方形， ∴C（4，6），D（2，6）， 当反比例函数经过点A时，k＝8， 当反比例函数经过点C时，k＝24， ∴8≤k≤24时，反比例函数的图象与正方形ABCD的边有交点； （2）∵E是AB的中点， ∴E（3，4）， ∴k＝12， ∴y， 当x＝2时，y＝6， ∴反比例函数与AD边的交点为（2，6）； （3）∵线段PQ与正方形ABCD的边围成直角三角形， ∴反比例函数与正方形的边的交点在AD、AB上或CD、BC上， 当反比例函数与正方形的边的交点在AD、AB上时， 设反比例函数与AD交点为P，与AB的交点为Q， ∵围成的直角三角形面积为1， ∴AP×AQ＝2， ∵P（2，），Q（，4）， ∴（4）×（2）＝2， 解得k＝4（舍）或k＝12； 当反比例函数与正方形的边的交点在CD、BC上， 设反比例函数与CD交点为P，与BC的交点为Q， ∵围成的直角三角形面积为1， ∴CP×CQ＝2， ∵P（，6），Q（4，）， ∴（4）×（6）＝2， 解得k＝24+4（舍）或k＝24﹣4； 综上所述：k的值为12或24﹣4， 故答案为：12或24﹣4． 【反思评价】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直角三角形的性质，正方形的性质是解题的关键． 变式1（2025・渠县雄才一模） 如图，菱形OABC的边AC在x轴正半轴上，点B的坐标为（8，4） （1）请求出菱形的边长 （2）若反比例函数y经过菱形对角线的交点D，且与边BC交于点E，请求出点E的坐标． 【考点解析】反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质． 【答案解析】解：（1）如图，过点B作BF⊥x轴于F， ∵点B的坐标为（8，4）， ∴OF＝8，BF＝4， 设菱形的边长为x，则BC＝x，CF＝OF﹣OC＝8﹣x， 在Rt△BCF中，根据勾股定理得，CF2+BF2＝BC2， 即（8﹣x）2+42＝x2， 解得x＝5， 即菱形的边长为5； （2）∵菱形对角线的交点为D，B（8，4）， ∴D（4，2）， ∵反比例函数y经过菱形对角线的交点D， ∴k＝4×2＝8， ∴y， ∵OC＝5， ∴点C的坐标为（5，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 则， 解得， 所以，直线BC的解析式为yx， 联立， 解得（舍去），， ∴点E的坐标为（6，）． 【反思评价】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，待定系数法求一次函数解析式，作辅助线构造出直角三角形并利用勾股定理列出方程是解题的关键． 变式2（2025・怀远县二模） 如图，正方形ABCD在第一象限，已知点A（2，4）、B（4，4），反比例函数的图象与正方形ABCD的边有交点． （1）求k的取值范围； （2）当反比例函数的图象与AB交于点E，且E是AB的中点时，求反比例函数与边AD的交点的坐标． （3）设反比例函数的图象与正方形的边交于P、Q两点，若线段PQ与正方形ABCD的边围成直角三角形，且围成的直角三角形面积为1，则k的值为 　12或24﹣4　 ．（直接写出结果） 【考点解析】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；勾股定理的逆定理；正方形的性质；反比例函数的性质． 【答案解析】解：（1）∵A（2，4）、B（4，4），四边形ABCD是正方形， ∴C（4，6），D（2，6）， 当反比例函数经过点A时，k＝8， 当反比例函数经过点C时，k＝24， ∴8≤k≤24时，反比例函数的图象与正方形ABCD的边有交点； （2）∵E是AB的中点， ∴E（3，4）， ∴k＝12， ∴y， 当x＝2时，y＝6， ∴反比例函数与AD边的交点为（2，6）； （3）∵线段PQ与正方形ABCD的边围成直角三角形， ∴反比例函数与正方形的边的交点在AD、AB上或CD、BC上， 当反比例函数与正方形的边的交点在AD、AB上时， 设反比例函数与AD交点为P，与AB的交点为Q， ∵围成的直角三角形面积为1， ∴AP×AQ＝2， ∵P（2，），Q（，4）， ∴（4）×（2）＝2， 解得k＝4（舍）或k＝12； 当反比例函数与正方形的边的交点在CD、BC上， 设反比例函数与CD交点为P，与BC的交点为Q， ∵围成的直角三角形面积为1， ∴CP×CQ＝2， ∵P（，6），Q（4，）， ∴（4）×（6）＝2， 解得k＝24+4（舍）或k＝24﹣4； 综上所述：k的值为12或24﹣4， 故答案为：12或24﹣4． 【反思评价】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直角三角形的性质，正方形的性质是解题的关键． 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $