精品解析：内蒙古自治区包头市青山区九校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期期中质量监测初三年级数学试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个正确选项） 1. “明月团团高树影”出自宋代辛弃疾的《清平乐 ·谢叔良惠木犀》，释义为：团团明月投下了桂树的身影．在下列四幅图中，表示两棵桂树在同一时刻月光下影子图形的可能是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，且，若的面积为12，则的面积为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 24 4. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，草坪的面积为，若设道路的宽为，根据题意所列方程为（    ） A. B. C. D. 5. 如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，正方形的边长为4，E是边上的一点，且，P是对角线上的一动点，连接，，当点P在上运动时，周长的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A. B. 2 C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 一元二次方程的两个实根分别为，，则________． 10. 在一家大型连锁超市中，智感扫码技术发挥了重要作用．超市员工配备了带有智感扫码功能的手持终端．在日常巡店过程中，员工只需扫描货架上商品的二维码．系统不仅能立即显示商品的详细信息，如名称、规格、进价、售价等，还能实时更新库存数据．如图是某二维码示意图，用黑白打印机打印于面积为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右．据此可以估计黑色部分的总面积约为________． 11. 据《墨经》记载，两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为______． 12. 如图，在中，，，，，分别为，上的中点，连接，，分别取，，的中点，，，顺次连接，，，则的周长为______． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 用适当的方法解方程： （1）； （2）； （3）． 14. 打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题； （1）条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度； （2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数； （3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出向下平移4个单位长度得到的； （2）画出绕着点按顺时针方向旋转得到图形，写出的坐标_____； （3）以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为． 16. 交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售250个，9月份销售360个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为25元/个，测算在市场中当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到7000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 17. 如图，在中，对角线和相交于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）延长至点，连接交于点．若，求的值． 18. 矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在平面内点处． （1）若折痕的端点与点重合，如图．当时，则______； （2）若点恰好落在边上，如图，当时，求的长； （3）如图，若，是以为腰的等腰三角形，则的长为_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中质量监测初三年级数学试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个正确选项） 1. “明月团团高树影”出自宋代辛弃疾的《清平乐 ·谢叔良惠木犀》，释义为：团团明月投下了桂树的身影．在下列四幅图中，表示两棵桂树在同一时刻月光下影子图形的可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行投影，根据平行投影的特点解答即可，熟练掌握平行投影的特点是解此题的关键． 【详解】解：A．影子的方向不同，故本选项错误，不符合题意； B．影子的方向不同，故本选项错误，不符合题意； C．相同树高与影子是成正比的，而较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误，不符合题意； D．影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 2. 已知，则下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；设，，再根据比例的性质求解即可． 【详解】解：， 设，， ． 由比例的性质得到，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项符合题意； 故选：． 3. 如图，已知，且，若的面积为12，则的面积为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据，且，可得到两个三角形的相似比为，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求的面积． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 又∵的面积为12， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，解题的关键是掌握以上知识点． 4. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，草坪的面积为，若设道路的宽为，根据题意所列方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解题的关键．设道路的宽为x米，可借助平移性质得到长为米、宽为米的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：设道路的宽为x米， 根据题意得， 故选：C． 5. 如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， ， 因为， 所以． 故选：B． 6. 如图所示，正方形的边长为4，E是边上的一点，且，P是对角线上的一动点，连接，，当点P在上运动时，周长的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点之间线段最短和点B和点D关于对称，当点B、P、D三点共线，即当点P和点重合时， 周长的最小,即可求得周长的最小值． 【详解】解：如图，连接交与点，连接， 因为正方形是轴对称图形，点B和点D关于对称， ， 周长， 当点B、P、D三点共线，即当点P和点重合时，周长的最小 周长的最小值为， ∵，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， ∴周长的最小值是， 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称、最短路线问题、正方形的性质，找到的对称点是解决问题的关键． 7. 关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据根的判别式大于或等于零且二次项系数不等于零列式求解即可． 【详解】解：由题意得， 且， 解得且． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 8. 如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意延长交的延长线于点是解答本题的关键．如图，延长交的延长线于点，先证明，可得，则，根据点是的中点，得，，证明，即可证明． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，     ∵在中， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 一元二次方程的两个实根分别为，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，即可得到答案． 【详解】解：根据根与系数的关系得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，． 10. 在一家大型连锁超市中，智感扫码技术发挥了重要作用．超市员工配备了带有智感扫码功能的手持终端．在日常巡店过程中，员工只需扫描货架上商品的二维码．系统不仅能立即显示商品的详细信息，如名称、规格、进价、售价等，还能实时更新库存数据．如图是某二维码示意图，用黑白打印机打印于面积为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右．据此可以估计黑色部分的总面积约为________． 【答案】6.3 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，可估计点落入黑色部分的概率为0.7，再乘以正方形的面积即可得出答案． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右， ∴估计点落入黑色部分的概率为0.7， ∴估计黑色部分的总面积约为， 故答案为：． 11. 据《墨经》记载，两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 12. 如图，在中，，，，，分别为，上的中点，连接，，分别取，，的中点，，，顺次连接，，，则的周长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据线段中点的定义得到，根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行线的性质得到，，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：，分别为，上的中点， ， ，，是，，的中点， ，，，， ，， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 用适当的方法解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，包括公式法，因式分解法等，解决本题的关键是根据方程特点选择适当方法． （1）使用公式法求解即可； （2）先展开化简，再因式分解求解即可； （3）利用完全平方公式直接求解即可． 【小问1详解】 解：方程  化为标准形式 ． 其中 , , ． 判别式 ． ∴， ∴方程的解为． 【小问2详解】 解：方程  展开得 ． 化为标准形式 ． 因式分解得 ． ∴  ， ． 解得  ， ， ∴ 方程的解为 ． 【小问3详解】 解：方程  移项得 ． 可得 ． 所以 ， ∴． 14. 打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题； （1）条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度； （2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数； （3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】（1）18，6， （2）480人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据选择“E：其他类”的人数及比例求出总人数，总人数乘以A占的比例即为m，总人数减去A，B，C ，E的人数即为n，360度乘以B占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角； （2）利用样本估计总体思想求解； （3）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算． 【小问1详解】 解：参与调查的总人数为：（人）， ， ， 文学类书籍对应扇形圆心角， 故答案为：18，6，； 【小问2详解】 解：（人）， 因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为480人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有2种， 因此甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为：． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、利用画树状图或者列表法求概率等，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出向下平移4个单位长度得到的； （2）画出绕着点按顺时针方向旋转得到图形，写出的坐标_____； （3）以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； ； （2） 如图所示，即为所求．的坐标； 故答案为：； （3） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换、旋转变换、平移变换的性质． （1）依据向下平移4个单位长度，即可得到； （2）依据绕着点按顺时针方向旋转即可得到图形； （3）利用位似图形的性质，得出对应点位置进而得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 16. 交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售250个，9月份销售360个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为25元/个，测算在市场中当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到7000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1） （2）45 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据9月份销售量7月份销售量建立方程，解方程即可得； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据利润（每个头盔的售价每个头盔的进价）销售量建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个， 由题意得：， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌头盔的实际售价应定为45元/个． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 17. 如图，在中，对角线和相交于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）延长至点，连接交于点．若，求的值． 【答案】（1） 证明：在中，对角线和相交于点， ． 又 ， 为直角三角形，且， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定以及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）利用勾股定理证明为直角三角形，得到可证明四边形是菱形； （2）设的中点为，连接，则是的中位线，证明，，利用菱形特点可得、的长后，可得的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设的中点为，连接，则是的中位线， ． 由（1）可知，四边形是菱形， ． ， ． ， ． 是的中位线， ， ， ． 18. 矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在平面内点处． （1）若折痕的端点与点重合，如图．当时，则______； （2）若点恰好落在边上，如图，当时，求的长； （3）如图，若，是以为腰的等腰三角形，则的长为_____． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠性质和可求出度数； （2）过点作于点，设，在中利用勾股定理列出式子，求解即可； （3）分两种情况进行讨论：当时和当时，分别讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵将纸片沿折叠，使顶点落在平面内点处， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 如图，过点作于点， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， ∵将纸片沿折叠，使顶点落在平面内点处， ∴， 在中，， 即， 解得：， 即； 【小问3详解】 ①当时，如图， 设， ∵将纸片沿折叠，使顶点落在平面内点处，， ∴， 在中，， ∴，即， 解得：， 即； ②当时，如图，过点作于点， ∴，， 设，则， ∵将纸片沿折叠，使顶点落在平面内点处，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 解得：， 即； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $