精品解析：广东省中山市中山纪念中学教育集团 2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中考试 八年级数学学科试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列艺术字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可得，选项是轴对称图形． 故选：． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 2. 小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，第三边需满足两边之差小于第三边且小于两边之和，据此解答即可． 【详解】解：∵两根木棒长和， ∴第三边x需满足：，即， 所以，选项中，A、B、D不满足，只有C满足， 故选：C． 3. 如图，，，则为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质的应用，根据题意得到，再结合计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4. 如图，中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，直角三角形的两锐角互余，先由直角三角形的两锐角互余得，然后通过含度角的直角三角形的性质求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5. 如图中，是哪条边上的高（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高，根据三角形高的定义即可得出答案． 【详解】解：过A点作交的延长线与点D， 故是边上的高， 故选：C． 6. 如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的“三线合一”“等边对等角”的性质解题是关键．由，是的中点，可得，平分，，即可作出判断． 【详解】解：对于选项B与C： ∵，是的中点， ∴，平分． ∴选项B与C正确． 对于选项A： ∵， ∴． ∴选项A正确． 对于选项D： 根据题目已知条件，无法得到． ∴选项D不正确． 故选：D． 7. 如图，在中，，直线经过点A，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得出，再根据平角的定义即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 8. 在和中，若，再添加一个条件使，添加不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法． 根据图形可知证明已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用证明两三角形全等． 【详解】解：∵， ∴可以添加，此时满足； 添加条件，此时满足； 添加条件，此时满足， 添加条件不能使； 故选：C． 9. 如图，图1是一个平分角的仪器，其中．如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，连接作一条射线，交于点P，则是的平分线，其中的依据是（ ） A. B. SAS C. ASA D. AAS 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定；根据判定三角形全等即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， 故选：A． 10. 如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（ ） A. 4.5 B. 5.5 C. 6 D. 4.3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解题的关键．连接，先证明，根据全等三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进一步可得，可得，根据，，可知是等边三角形，从而可知是等边三角形，可知，根据求解即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 有一座小山，现要在小山的两端开一条隧道．如图，施工队要知道两点之间的距离（无法直接测量），于是先在平地上取可以直接到达点和点的点，连接，并延长到点，使，连接，并延长到点，使，连接．经测量，，，则两点之间的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．利用“”证明，然后根据全等三角形的性质得． 【详解】解：在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 将一副含和角的直角三角板拼在一起，那么图中的度数为_____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角板的有关计算，根据即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，是的垂直平分线．若，，则的周长为______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 故答案为：14． 14. 如图，，请补充一个条件：______使．（填其中一种即可） 【答案】（或） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据全等三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴当添加时，则可根据“”判定； 当添加时，则可根据“”判定； 故答案为（或）． 15. 如图，在中，是边上的高，过点B作于点M，交于点E，连接，过点D作，交于点N，且．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后通过证明，可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴；故②正确； 由题意无法得到，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故④正确； 综上所述：正确的结论有①②④； 故答案为①②④． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 如图，在中，，，平分．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，三角形的角平分线的含义，熟记基本概念并灵活应用是解本题的关键． 由三角形的内角和定理先求解，再利用角平分线的定义求解，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 17. 如图，点，在上，，，且． （1）证明：． （2）证明：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴ 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合平行线的性质得，再整理得，根据，即可证明； （2）结合，得，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的平分线交于D；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，求点D到边的距离． 【答案】（1） 如图所示，角平分线为所求， （2）点D 到边的距离为5 【解析】 【分析】本题考查作图——基本作图，角平分线的性质，解题的关键是理解题意正确作图，熟练掌握角平分线的性质定理． （1）根据作平分线的方法作出图形即可； （2）利用角平分线的性质定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点D 作于点H ， ∵平分，，， ∴， ∴点D 到边的距离为5． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 如图，三个顶点的坐标分别是． （1）请画出关于y轴对称的图形． （2）若点D与点C关于直线l对称，则点D的坐标为 ． （3）在x轴上求作一点P，使的周长最小，并写出点P的坐标 【答案】（1） 即为所作； （2） （3） 如图，点P即为所作， 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的作图与最短路径问题，解题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据关于y轴对称的点的坐标特征作出对称图形； （2）根据对称点的坐标特征确定点D的坐标； （3）利用轴对称性质找最短路径，确定点P的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：直线为，点关于对称的点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点， 连接交轴于点， 设直线的解析式为， 代入得， 解得， 即． 令，得，所以点的坐标为． 20. 如图，、交于点O，有下列三个条件：①，②，③．请你在上述三个条件中选择两个作为条件，证明是等腰三角形． （1）你选择的条件是______、______； （2）根据（1）选择的条件，求证：是等腰三角形． 【答案】（1）①，②（或①，③）； （2） 证明：选择的条件是①，②， ∵在和中， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形； 选择的条件是①，③， ∵在和中， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，对顶角相等，等腰三角形的判定和定义．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． （1）根据全等三角形的判定条件选择即可； （2）选①、②根据“”证明，进而得出，由等角对等边即可证是等腰三角形；选①，③根据“”结合对顶角相等可证，得出，即是等腰三角形． 【小问1详解】 解：由在和中为公共边，结合①、②可证； 由在和中，结合①、③可证． 故可选条件为①、②或①、③， 故答案为：①，②（或①，③）； 【小问2详解】 略 21. 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）请在图2的方格图中（每个小方格的边长都为1），画两个面积为2的三角形，使这两个三角形是偏等积三角形，要求所画三角形的顶点必须在格点上． （3）如图3，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 【答案】（1）4； （2）所作三角形如图2所示： （3）4 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形的三边关系及三角形的中线与面积的关系，熟练掌握全等三角形的性质，三角形的三边关系及三角形的中线与面积的关系是解题的关键； （1）根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行求解即可； （2）根据“偏等积三角形”的定义可作图； （3）由题意易得，然后可得，则有，进而根据三角形的三边关系可进行求解． 【详解】解：（1）当点P为的中点时，则有，所以与为偏等积三角形， 故答案为； （2）略； （3）∵与为偏等积三角形，且它们的高相等， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴根据三角形三边关系可得：， 即， ∵线段的长度为正整数， ∴， ∴． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与实践 如图，在中，，，，、相交于点O，且． （1）求的长； （2）试判断与的数量关系，并说明理由； （3）点F是直线AC上的一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，问是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）8 （2） （3）存在．或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论的思想以及利用参数构建方程解决问题成为解题的关键． （1）先证明，继而推导出，得到，则，即可解答； （2）先证明，，再根据三角形内角和定理以及外角的性质即可解答； （3）分两种情形：①当Q在边上时，如图2，，②当Q在的延长线上时，如图3，，分别构建方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵是高， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【小问3详解】 存在．理由如下： ∵， ∴． ①如图2中，当时， ∵， ∴． ∴， ∴， 解得：； ②如图3中，当时， ∵， ∴． ∴， ∴， 解得：． 综上所述，或时，与全等． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴正半轴上一个动点，连接，过点作，且． （1）如图，当时，连接交轴于点，求点的坐标； （2）如图，轴于点，且，连接交轴于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若不变，求出的长度；若变化，请说明理由； （3）如图，在延长线上，过作轴于，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）； （2）在点运动过程中，长保持不变，； （3） ，理由： 如图，延长交的延长线于，过点作于，交于， ∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，同角的余角相等，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够添加辅助线构造全等三角形． （）过点作轴于，由同角的余角相等得，证明，所以， ，然后代入即可求解； （）过点作轴于，由（）可知：，则， ，再证明，所以，从而得 ； （）延长交的延长线于，过点作于，交于，证明，则，，又，，， 得，根据性质得出即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴于， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 解：在点运动过程中，长保持不变，理由： 如图，过点作轴于， 由（）可知：， ∴，， ∵，轴 ， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试 八年级数学学科试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列艺术字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A. B. C. D. 3. 如图，，，则为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 4. 如图，中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图中，是哪条边上的高（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 7. 如图，在中，，直线经过点A，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 在和中，若，再添加一个条件使，添加不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，图1是一个平分角的仪器，其中．如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，连接作一条射线，交于点P，则是的平分线，其中的依据是（ ） A. B. SAS C. ASA D. AAS 10. 如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（ ） A. 4.5 B. 5.5 C. 6 D. 4.3 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 有一座小山，现要在小山的两端开一条隧道．如图，施工队要知道两点之间的距离（无法直接测量），于是先在平地上取可以直接到达点和点的点，连接，并延长到点，使，连接，并延长到点，使，连接．经测量，，，则两点之间的距离为___________． 12. 将一副含和角的直角三角板拼在一起，那么图中的度数为_____度． 13. 如图，在中，是的垂直平分线．若，，则的周长为______． 14. 如图，，请补充一个条件：______使．（填其中一种即可） 15. 如图，在中，是边上的高，过点B作于点M，交于点E，连接，过点D作，交于点N，且．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为______． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 如图，在中，，，平分．求的度数． 17. 如图，点，在上，，，且． （1）证明：． （2）证明：． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的平分线交于D；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，求点D到边的距离． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 如图，三个顶点的坐标分别是． （1）请画出关于y轴对称的图形． （2）若点D与点C关于直线l对称，则点D的坐标为 ． （3）在x轴上求作一点P，使的周长最小，并写出点P的坐标 20. 如图，、交于点O，有下列三个条件：①，②，③．请你在上述三个条件中选择两个作为条件，证明是等腰三角形． （1）你选择的条件是______、______； （2）根据（1）选择的条件，求证：是等腰三角形． 21. 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）请在图2的方格图中（每个小方格的边长都为1），画两个面积为2的三角形，使这两个三角形是偏等积三角形，要求所画三角形的顶点必须在格点上． （3）如图3，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与实践 如图，在中，，，，、相交于点O，且． （1）求的长； （2）试判断与的数量关系，并说明理由； （3）点F是直线AC上的一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，问是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴正半轴上一个动点，连接，过点作，且． （1）如图，当时，连接交轴于点，求点的坐标； （2）如图，轴于点，且，连接交轴于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若不变，求出的长度；若变化，请说明理由； （3）如图，在延长线上，过作轴于，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $