浙江省杭州市余杭区、临平区2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题

2025-2026学年浙江省杭州市余杭区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.下列句子中，属于命题的是(    ) A. 垂线段最短 B. 作一个角等于已知角 C. 将16开平方 D. 负数小于正数吗？ 3.下列各组长度的三条线段能组成三角形的是(    ) A. 1cm，2cm，3cm B. 5cm，8cm，14cm C. 20cm，15cm，4cm D. 6cm，7cm，12cm 4.作的高AD、中线AE、角平分线AF，三者中有可能在的外部是(    ) A. AD B. AE C. AF D. 都有可能 5.将一副三角尺如图摆放，其中的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，电工师傅为长方形房间布埋电线管时，若电线管要从天花板A墙角走到C墙角，电线管的长度至少要(    ) A. 9m B. 10m C. 12m D. 14m 7.中，，AB边上的中线CD交AB于点D，中线CD分两部分的周长差为2，若，则BC的长为(    ) A. 5 B. 8或10 C. 12 D. 8或12 8.两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与的边AB、AC重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在(    ) A. 的平分线上 B. AC边的高上 C. BC边的中垂线上 D. AB边的中线上 9.如图，钓鱼竿AB的长为，露在水面上的鱼线BC长为钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿AB转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为3m，则的长为(    ) A. 1 B. 2 C. D. 10.如图，AB与CD相交于点P，AF平分，DF平分，且：：：6：a，则a值是(    ) A. 3 B. 5 C. 9 D. 10 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是______. 12.已知等腰三角形的一个外角是，则它的底角度数为      度. 13.如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则判断≌的依据是      . 14.如图，已知，BC平分，BE是的一条角平分线，若，则的度数是      . 15.定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”.如图，在中，，，，则中AB边的“中偏度值”为      . 16.如图，在中，，D是BC边上的点，且连结AD，并将沿直线AD翻折，点C恰好落在AB边上的点E处，此时，F是直线AD上的一动点，连结BF，EF，则周长的最小值是      . 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 如图，在中，线段AE是BC边上的高，AD是的平分线，，，求的大小. 18.本小题8分 如图，已知，，求的度数. 19.本小题8分 一个等腰三角形的周长是 若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长. 若其中一边的长为7cm，求这个等腰三角形其余两边的长. 20.本小题8分 为了解决“空心村”问题，优化农村资源配置，某地把A，B，C三个村合并成一个行政村，三个村的位置如图所示.为了方便处理垃圾，现准备为三个村建一个垃圾收集点要求点P到村庄A，B，C的距离都相等，请在图中用直尺和圆规作出点P的位置保留作图痕迹 21.本小题8分 如图，在中，，其中AC、AB边上的高BD、CE相交于点 求证：； 请判断是等腰三角形吗？并说明理由. 22.本小题10分 如图，中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线， 已知，求的度数. 若，求证： 23.本小题10分 著名的“赵爽弦图”如图所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，则大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a，b，斜边为c，则 图为美国第20任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理. 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点在同一条直线上，并新修一条路CH，且测得千米，千米，求新路CH比原路CA短多少千米. 在第问中，若，，千米，千米，千米，求AH的长. 24.本小题12分 已知：中，，， 求的度数和边AC的长. 如图1，的直角顶点D为AB的中点，两直角边DE、DF分别与的两直角边AC、BC交于P、Q两点，于M，于N，若，求证： 如图2，在中，，将绕AB的中点D旋转，使顶点F落在BC的延长线上，若，求此时CF的长. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选： 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2.【答案】A  【解析】解：命题是能判断真假的陈述句， “垂线段最短”是陈述句，且为真； B.“作一个角等于已知角”是操作指令，不是陈述句； C.“将16开平方”是操作指令，不是陈述句； D.“负数小于正数吗？”是疑问句，不是陈述句； 故选： 命题是能判断真假的陈述句；选项A是陈述句且为真；选项B和C是操作指令，不是陈述句；选项D是疑问句，不是陈述句． 本题主要考查命题，熟练掌握命题的定义是解题的关键． 3.【答案】D  【解析】解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，不能构成三角形，故B不符合题意； C、，不能构成等三角形，故C不符合题意； D、，能构成三角形，故D不符合题意． 故选： 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 4.【答案】A  【解析】解：三角形的中线和角平分线都在三角形的内部，高线可能在的外部． 故选： 三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段；中线是三角形的顶点到对边中点的线段；三角形一角的平分线与对边的交点到该角顶点的线段． 本题考查了三角形的中线、高线、角平分线的性质． 5.【答案】C  【解析】解：由题意得：，，， ， ； 故选： 由图可得，然后问题可求解． 本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：连接AC，如图所示： 依题意，，，， 则， 电线管要从天花板A墙角走到C墙角，电线管的长度至少要 故选： 先连接AC，再根据勾股定理列式计算，即可作答． 本题考查了勾股定理，平面展开-最短路径问题，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 7.【答案】D  【解析】解：，CD为AB边上的中线， ， 设， 则的周长为：， 的周长为：， 两部分的周长差为， ， 即或， 解得或 的长为8或 故选： 利用三角形中线的定义，表示出两部分的周长，根据周长差为2建立方程求解． 本题考查的是三角形的中线的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 8.【答案】A  【解析】解：如图： ，，， 在的角平分线上， 故选： 根据角平分线的判定推出M在的角平分线上，即可得到答案． 本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键． 9.【答案】A  【解析】解：钓鱼竿AB的长为，露在水面上的鱼线BC长为， ， 把钓鱼竿AB转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为3m， ，， 则， ， 故选： 根据题意，先求出，再结合把钓鱼竿AB转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为3m，故，，然后根据勾股定理列式计算得，即可作答． 本题考查了勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 10.【答案】B  【解析】解：如图，连接AD， 由题意可设，，， 平分，DF平分， ，， 是，的外角， ，即， ， ，， ，， ， ； 故选： 连接AD，由：：：6：a可设，，，由题意易得，，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 本题主要考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义及三角形外角的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11.【答案】两直线平行，同旁内角互补  【解析】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补， 故答案为：两直线平行，同旁内角互补． 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“同旁内角互补，两直线平行”的条件是同旁内角互补，结论是两直线平行，故其逆命题是两直线平行，同旁内角互补． 本题考查了互逆命题的知识及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 12.【答案】40  【解析】解：等腰三角形的一个外角为 相邻角为 三角形的底角不能为钝角 角为顶角 底角为： 故答案为 根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质求解． 本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 13.【答案】SSS  【解析】解：由作法知，，， 在和中， ， ≌ 故答案为： 利用全等三角形的判定方法判断即可． 此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 14.【答案】  【解析】解：，， ， 是的一条角平分线， ， 平分，， ， ， ， 在中，， 故答案为： 根据，，可得，根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，由三角形内角和定理即可求得 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：作于点D，CE为的中线， ，，， ， ， ， 解得， ， 为斜边AB上的中线，， ， ， 即点E到CD的距离为， 中AB边的“中偏度值”为：， 故答案为： 根据题意和题目中的数据，可以计算出中AB边上的高和该边上的中点到CD的距离，再求它们的比值即可． 本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出AB边上的高和该边上的中点到高的距离． 16.【答案】  【解析】解：如图，连接CE、CF、DE， 由轴对称的性质可知，，，， ，， ， ， ， ， 由题意知，C、E关于AD对称，即AD垂直平分CE， 是直线AD上的一动点， ， ，其中， 当B、F、C三点共线时，有最小值BC， 即周长的最小值为； ， ， ， ， 解得：， ， 周长的最小值为， 故答案为： 根据轴对称的性质推出，，连接CE、CF、DE，将的周长转化为，其中BE的长度为定值，得到当B、F、C三点共线时，有最小值BC，进而解题． 本题考查了轴对称、折叠问题、勾股定理、最短路径问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 17.【答案】的度数为  【解析】解：在中，线段AE是BC边上的高， 于点E， ， ，， ，， 是的平分线， ， ， 的度数为 因为在中，线段AE是BC边上的高，所以，由，，求得，，则，所以，于是得到问题的答案． 此题重考查直角三角形的两个锐角互余、三角形的内角和等于、角平分线的定义等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：在与中， ， ≌， ， 根据，，，证明≌，则，即可作答． 本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 19.【答案】解：设等腰三角形的底边长为x cm，则腰长为2x cm， 由题意得：， 解得： ，这个等腰三角形的底边长为5cm，腰长分别为10cm，10cm， 即各边长分别是10cm，10cm，5cm； 当腰为7cm时，底边长为：， 其余两边分别为7cm，11cm，此时能构成三角形； 当底为7cm时，腰长为：， 其余两边分别为9cm，9cm，此时能构成三角形； 综上所述：其余两边分别为7cm与11cm，或9cm与  【解析】设等腰三角形的底边长为x cm，则腰长为2x cm，根据“周长是25cm”列方程求解即可； 根据等腰三角形的定义，分腰为7cm与底为7cm两种情况分别求出其他两边即可． 本题考查一元一次方程的应用，等腰三角形的定义等知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． 20.【答案】点P的位置如图所示．   【解析】解：先连接AB，BC，CA，根据点P到村庄A，B，C的距离都相等，得出点P是在AB，BC的垂直平分线的交点上，故分别作出AB，BC的垂直平分线，其交点即为点P，点P的位置如图所示． 先连接AB，BC，CA，根据点P到村庄A，B，C的距离都相等，得出点P是在AB，BC的垂直平分线的交点上，故分别作出AB，BC的垂直平分线，其交点即为点 本题考查了垂直平分线的性质，垂直平分线的尺规作图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 21.【答案】在中，BD、CE分别是AC、AB上的高， 于点D，于点E， ， 在和中， ， ≌，   是等腰三角形， ， ， 由  得≌， ， ， ，即， ， 是等腰三角形  【解析】证明：在中，BD、CE分别是AC、AB上的高， 于点D，于点E， ， 在和中， ， ≌， 解：是等腰三角形， 理由：， ， 由得≌， ， ， ，即， ， 是等腰三角形． 因为在中，BD、CE分别是AC、AB上的高，所以，而，，即可根据“AAS”证明≌，则 由，得，由全等三角形的性质得，由，推导出，则，所以是等腰三角形． 此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明≌是解题的关键． 22.【答案】；   证明：如图，连结DE， ，CE是AB边上的中线， ， ， ，   【解析】解：是BC边上的高线， ，即， ， ， 证明：如图，连结DE， ，CE是AB边上的中线， ， ， ， 由题意易得，然后问题可求解； 连结DE，由题意易得，则有，然后根据等腰三角形的性质可进行求解． 本题主要考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23.【答案】证明见解析；   新路CH比原路CA少千米；    km  【解析】梯形ABCD的面积为， 也可以表示为， ， 即； ， ， 在中， ， 即， 解得， 即， ， 答：新路CH比原路CA少千米； 设，则， 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， 即 梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； 设，则，根据股定理列方程，解得即可得到结果； 在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． 24.【答案】，；   ，， 又，， ， ，， ， ， 又， ≌， ，， ， 点D为AB的中点， ，    【解析】解：，， 是等腰直角三角形， ， 又，， ； 证明：，， 又，， ， ，， ， ， 又， ≌， ，， ， 点D为AB的中点， ， 解：如图，连结CD，作于 在中，，，点D为AB的中点，， ， ，， ， 在中，由勾股定理得，， 判断出是等腰直角三角形，即可求解； 根据等角对等边先证，，再证≌，推出，，可得，即可证明； 连结CD，作于由直角三角形斜边中线的性质，可得，，再由勾股定理解求出KF，即可求解． 本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，能够综合应用上述知识点是解题的关键． 第1页，共1页 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