精品解析：福建省泉州市第七中学2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题

泉州七中2005-2026学年度上学期高三年期中考试数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和智学网号，座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将智学网号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集为，集合，或，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 将顶点在原点，始边为x轴非负半轴的锐角的终边绕原点逆时针转过后，交单位圆于点，那么的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 设a，b为两个不同的正数，我们称为a，b的对数平均值，且已知恒有成立，该不等式也称为对数均值不等式，它在各个领域都有着重要应用.已知，且，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差为（    ） A. 0.1 B. 0.2 C. -0.2 D. -0.1 7. 已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（ ） A. B. 2 C. 5 D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（ ） A. 2025 B. 2024 C. 1013 D. 1012 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，的夹角为钝角，则x的取值范围为 D. 设在方向上的投影向量为，则的取值范围为 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，图像经过点，关于直线对称，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 直线与图象的所有交点的横坐标之和为 11. 已知函数，则（ ） A. 是的极值点 B. 函数的图象是一中心对称图形 C. 函数存在零点 D. 总有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 如图，在中，，，若，则_______． 13. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 14. 在中，设角的对边分别是，若，则角B的最大值为__________；则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算歩骤 15. 已知函数，． （1）当，求的极值； （2）当时，讨论的单调性． 16. 已知正项数列的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）记，求的前项和 17. 已知函数的定义域为R. （1）求的取值范围； （2）当时，判断的奇偶性，并解关于的不等式. 18. 在中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）当的最小值为0时，求实数的值； （2）给定，证明：存在一个大于的零点，且； （3）若对任意，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州七中2005-2026学年度上学期高三年期中考试数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和智学网号，座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将智学网号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集为，集合，或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，根据集合的交集运算，即可求得答案. 【详解】由题意知全集为，集合，或， 则， 故， 故选：D 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：B. 3. 将顶点在原点，始边为x轴非负半轴的锐角的终边绕原点逆时针转过后，交单位圆于点，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由任意角三角函数的定义可得得的正弦值与余弦值，根据结合余弦的差角公式运算求解. 【详解】由题意可得：，， 所以. 故选：A. 4. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质结合求和公式对合理变形为，再结合代入求解即可. 【详解】因为等差数列，的前项和分别为，， 所以我们对进行变形，得到， 因为，所以，即，故D正确. 故选：D 5. 设a，b为两个不同的正数，我们称为a，b的对数平均值，且已知恒有成立，该不等式也称为对数均值不等式，它在各个领域都有着重要应用.已知，且，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助对数均值不等式取特殊值可得，且在上单调递增，结合单调性分析判断. 【详解】因为，取、，则，即； 由，取、，则，即； 所以； 因为，当时，， 又因为在上单调递增，则在上单调递增， 且，则，即. 故选：B. 6. 已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差为（    ） A. 0.1 B. 0.2 C. -0.2 D. -0.1 【答案】D 【解析】 【分析】由回归直线结合，可得，据此可得新增数据后的回归直线中心点，由此可得新的回归直线方程，然后由残差定义可得答案. 【详解】因，则，则. 则新增数据后，，， 因新的回归直线过点，且修正后的回归直线的斜率为2.1， 则，则修正后的回归直线为：. 则的估计值为，则数据的残差为. 故选：D 7. 已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（ ） A. B. 2 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最小正周期求法及得，结合函数的区间单调性及对称轴有值为和和，再验证是否符合题设，即可得答案. 【详解】函数的最小正周期且，得， 由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得， 综上，， 又关于直线对称，所以，解得，， 在的范围内，满足条件的值为和和， 验证可知，这三个值均满足函数在上单调， 因此，符合要求的所有值的和为 故选：D 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（ ） A. 2025 B. 2024 C. 1013 D. 1012 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和函数的对称性可得，进而，则函数是以8为周期的周期函数，分别求出的值，结合函数的周期即可求解. 【详解】由，令，得，所以. 由为奇函数，得， 所以，故①， 又②， 由①和②得， 即， 令，则， 所以③， 令，得，得； 令，得，得. 又④， 由③-④得，即， 所以函数是以8为周期的周期函数，故， 所以， 所以. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，的夹角为钝角，则x的取值范围为 D. 设在方向上的投影向量为，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据平面向量垂直的坐标表示求解判断即可；对于B，根据平面向量共线的坐标表示求解判断即可；对于C，由的夹角为钝角可得，且不共线，进而求解判断即可；对于D，可得，换元，利用判别式法求解判断即可. 【详解】因为向量，， 对于选项A：若，则，解得，故A正确； 对于选项B：若，则，即，故B正确； 对于选项C：由的夹角为钝角，则，且不共线， 可得且，所以x的取值范围为，故C错误； 对于选项D：因为，， 则，可得， 令，则， 当，即时，可得，符合题意； 当，即时，则，解得且， 综上所述：，即的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，图像经过点，关于直线对称，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 直线与图象的所有交点的横坐标之和为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的周期性和最小值可求得，利用函数的对称性，单调性和图象性质即可求解. 【详解】由图可知，， 因为解得，所以， 又因为， 所以,解得， 因为，所以，所以， ，所以的图象不关于点中心对称，A错误； 解得, 所以当时，，所以在区间上单调递增，B正确； ，所以的图象不关于直线对称，C错误； 令即， 所以或， 即或， 因为，所以满足条件的所有的值为 所以所有交点的横坐标之和为，D正确， 故选:BD. 11. 已知函数，则（ ） A. 是的极值点 B. 函数的图象是一中心对称图形 C. 函数存在零点 D. 总有 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用定义和性质先判断函数的奇偶性和单调性判断AB；利用函数的单调性与零点存在性定理判断C；由题意函数为非减函数，转化为即，，构造，利用导数研究值域即可求解判断D. 【详解】令，由知其定义域为， 因为 ， 所以为奇函数，所以关于点对称， 所以关于点对称，故B正确； 令，则， 所以在单调递增， 又在单调递增，所以函数在上单调递增， 则不是的极值点，故A错误； 因为函数在上单调递增，且当趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大， 趋向于正无穷大，即趋向于正无穷大； 当趋向于负无穷大时，趋向于负无穷大， 趋向于负无穷大，即趋向于负无穷大； 所以由零点存在性定理可知函数存在零点，故C正确； 不妨设，因为函数在上单调递增，所以， 则等价于， 即，令，则， 只需函数为非减函数即可， ，则， 由题意，有成立； 即，，构造， 令，，则， 因为，所以函数在上单调递增， 所以，所以， 所以，总有，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 如图，在中，，，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】题中条件表示向量是用表示的，故利用三角形法则等知识将向量分解为，即可求出的值． 【详解】解： 所以，，故． 【点睛】向量分解的法则主要是三角形法则和平行四边形法则，向量分解时一定要注意向量的方向性． 13. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 14. 在中，设角的对边分别是，若，则角B的最大值为__________；则的最小值为__________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】第一空，由已知条件结合正弦定理角化边可得，利用余弦定理以及基本不等式化简，即可求得答案.第二空，将变形为，继而利用正弦定理角化边，结合基本不等式以及角B的范围，即可求得答案. 【详解】由题意知，则， 故， 当且仅当时，等号成立， 故角B的最大值为； ， 当且仅当时，等号成立， 由于, 即的最小值为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算歩骤 15. 已知函数，． （1）当，求的极值； （2）当时，讨论的单调性． 【答案】（1）极小值为，无极大值； （2） 时，的减区间是，无增区间； 时，的减区间是，增区间是． 【解析】 【分析】（1）由得到，然后分别令，，再根据极值的定义求解. （2）由，分，，由，求解. 【小问1详解】 时，，（） 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 故，且无极大值． 【小问2详解】 （） （i）当，时，，，单调递减； （ii）当，时，，，单调递减； 时，，，单调递增． 综上，时，的减区间是，无增区间； 时，的减区间是，增区间是． 16. 已知正项数列的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）记，求的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出，再通过与的关系推出数列，进而求出其通项公式. （2）将数列裂项，根据裂项相消法求其前项和. 【小问1详解】 当时，，解得. 当时，，. 两式相减得:. 整理得到:. . 数列是首项为1，公差为2的等差数列. . 【小问2详解】 由（1）得. 则 . 17. 已知函数的定义域为R. （1）求的取值范围； （2）当时，判断的奇偶性，并解关于的不等式. 【答案】（1） （2）偶函数，. 【解析】 【分析】（1）由题意知恒成立，利用换元法将不等式转化为一元二次函数恒成立问题，再利用分离参数求最值即可求解； （2）求出函数的定义域，根据即可判断函数的奇偶性，换元法求出函数在上的单调性，再根据函数的奇偶性可得函数在定义域上的单调性，从而根据单调性判断与的关系. 【小问1详解】 因为函数的定义域为， 所以恒成立，所以恒成立， 令，则，所以在上恒成立， 即时， 恒成立，令，， 由，时，，时，， 因此在上单调递增，在上单调递减，所以， 故，即的取值范围为； 【小问2详解】 当时，， 因为的定义域为，定义域关于原点对称， 又因为， 所以为偶函数. 当时，，令， 令，，， 又时，，所以在上单调递增， 即在上单调递增，又在定义域上为增函数， 所以函数在上单调递增，又函数在定义域上为偶函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以， 即，解得， 故原不等式解集为. 18. 在中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量运算可得，然后由正弦定理边角互化可得答案； （2）由题及余弦定理可得，然后由（1）结合可得答案； （3）解法一：设，，然后在，中利用正弦定理可得 ，然后由三角函数性质可得答案；解法二：由题，又可得，然后由正弦定理边角互化可得，据此可得答案. 【小问1详解】 且 ，即. . 又，则，结合，； 【小问2详解】 而 为角的角平分线 . 即，； 【小问3详解】 设，则； 设，则. 在中即 在中 即， 则. 又，，而， ， 由和差化积公式可得. 则. ，； 解法二：， ， . ． . ， . 19. 已知函数． （1）当的最小值为0时，求实数的值； （2）给定，证明：存在一个大于的零点，且； （3）若对任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 由上可知时，在上单调递减，在上单调递增， 且，即， 而， 所以使得， 因为，所以， 而 ， 设，则， 所以在上单调递增，即，所以， 故，证毕； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数含参讨论函数的单调性，研究最值得出，构造函数研究其单调性解方程求参数即可； （2）结合（1）的结论及零点存在性定理得出，再构造函数证，利用的单调性即可证明； （3）利用换元法化简不等式，先根据取点法判定不成立，再结合放缩，判定成立，最后作差函数，结合导数的定义判定不成立即可. 【小问1详解】 由题意可知， 显然时，在定义域上单调递减，没有最值； 则，易得在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当的最小值为0时，即， 令， 可知在上单调递增，在上单调递减，即， 即只有一个解； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，恒成立等价于 ，令， 上述不等式化为， 令，则该函数单调递增，即， 所以， 若，取，显然，与题设矛盾； 若，取，有，也与题设矛盾； 所以， 则， 不妨设， 则， 当时，， 所以在上单调递增，则， 此时满足； 当时，令， 则， 由导数的意义可知在的极小的区域内为值为负， 则取，有，与题设矛盾； 综上所述：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $