精品解析： 四川省阆中中学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

阆中中学校2025年秋初2023级期中学习质量检测数学试题 （考试时间：90分钟 满分：150分） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程）逐项判断即可得． 【详解】解：A、是二元一次方程，此项不符合题意； B、是一元一次方程，此项不符合题意； C、是一元二次方程，此项符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，则此项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键． 3. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 4. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解，但一定要注意一元二次方程二次项系数不等于0，然后舍去不满足的取值即可． 【详解】解：把 代入， 得到： ∴或 ∵ 方程是一元二次方程， ∴ ， ∴， ∴；   故选：B ． 5. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：C． 6. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得： 解得：，（不合题意，舍去）， ∴小路宽为． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7. 二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与一次函数图象共存的问题，从二次函数图象出发逐个分析的符号以及与轴的交点位置，再与一次函数图象得出的符号进行比较，从而可得结论． 【详解】解：A、由抛物线知，，；由直线知，，都经过，故本选项正确； B、由抛物线知，，；由直线知，，故本选项错误； C、由抛物线知，，；由直线知，，故本选项错误； D、由抛物线知，，；由直线知，，故本选项错误． 故选：A． 8. 若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大成为解题的关键． 先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答． 【详解】解：∵, ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点离对称轴最远，点在对称轴上， ∴． 故选：B． 9. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ） A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键． 10. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断，，的符号即可；②将点代入函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断． 【详解】解：由题图可知，， ，故①正确； 当时，，即，故②正确； 二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5， 多项式，故③错误； 当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x方程无实数根，故④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 二、填空题（每空4分，共24分） 11. 若点与点关于原点成中心对称，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵点P（m-1，5）与点Q（3，2-n）关于原点对称， ∴m-1=-3，2-n=-5， 解得：m=-2，n=7， 则m+n=-2+7=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 12. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 【答案】2028 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 13. 将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围． 此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 【详解】解：将抛物线向下平移k个单位长度得， ∵与x轴有公共点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 14. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是________． 【答案】##2厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，图形的旋转的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，可得，由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出． 【详解】解：∵， ∴， 又， 由旋转的性质得：，且， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为： 15. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2）， 通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：； 当水面下降，水面宽8米时，有 把代入解析式，得； ∴水面下降米； 故答案为：； 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换—旋转，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键． 利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后的坐标，然后根据勾股定理并利用偶次方非负数的性质即可解决问题． 【详解】解：作轴于点，轴于， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设， ， ， ， ， 当时，有最小值为5， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（7个大题，共86分） 17. 用适当的方法解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）根据因式分解法求解即可； （2）先求出根的判别式，再根据求根公式求解即可； （3）利用直接开平方法求解即可； （4）根据因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解得， ∴，， 解得，； 【小问2详解】 解：， ，，，， ∴， 解得，； 【小问3详解】 解：， 开方得， ∴，， 解得，； 【小问4详解】 解：， 因式分解得， ∴，， 解得，． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点成中心对称的； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的，并写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）的坐标，图见解析 （3）的面积为（或3.5） 【解析】 【分析】本题考查的是作图—旋转变换及求网格图中三角形的面积，根据题意作出各点在旋转变换下的对应点是解答此题的关键． （1）作出各点关于原点的对称点，再顺次连接即可作出； （2）作出各点绕原点B逆时针旋转所得的对称点，再顺次连接即可，再写出点的坐标； （3）用边长为3的正方形的面积减去三个三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：三个顶点的坐标分别为， 各点关于原点的对称点分别为：，依次描出这三个点，再顺次连接，得，如图： 【小问2详解】 解：绕点B逆时针旋转后，各点的对应点分别为：，依次描出这三个点，再顺次连接，得，如图所示，的坐标； 【小问3详解】 解：； 答：的面积为． 19. 已知关于x的一元二次方程有，两实数根． （1）若，求及的值； （2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可，再利用根与系数的关系求解即可； （2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值． 【详解】解：（1）由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m−1)>0， ∴m<5， 将x1=1代入原方程得：m=3， 又∵x1•x2=2m−1=5， ∴x2=5，m=3； （2）设存在实数m，满足，那么 有， 即， 整理得：， 解得或． 由（1）可知， ∴舍去，从而， 综上所述：存符合题意． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，． 20. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． （1）如果，那么拋物线的对称轴为直线__________； （2）如果点、在直线上，求拋物线的表达式和顶点坐标； （3）在（2）的条件下，直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）；顶点坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）由题意知是抛物线上关于对称轴对称的两点，据此即可求解； （2）由题意可得点的坐标，将其代入即可求出抛物线的解析式． （3）根据函数图象，写出直线在抛物线上方时的自变量的取值范围，即可求解． 【小问1详解】 解：若， 则是抛物线上关于对称轴对称的两点 故抛物线的对称轴为直线：， 故答案为： 【小问2详解】 解：∵点在上， ∴， . ∴ 将代入得： ∴ 解得 ∴. 故顶点坐标为 【小问3详解】 如图所示， ∵， 根据函数图象可得的解集为： 21. 如图，正方形的边长为6，E，F分别是，边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）证明即可得解； （2）设，可得，，进而可得，，在中，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：在正方形中，有，，， 根据旋转的性质，可知：， ∴，，， ∴， ∴点、、共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，有， ∴， 解得，即． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握旋转的性质是解答本题的关键． 22. 丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/件） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y＝﹣2x+160 （2）销售单价应定为50元 （3）当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元 【解析】 【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得y＝﹣2x+160； （2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元； （3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元． 【小问1详解】 解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b， 把（35，90），（40，80）代入得：， 解得， ∴y＝﹣2x+160； 小问2详解】 根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200， 解得x1＝50，x2＝60， ∵规定销售单价不低于成本且不高于54元， ∴x＝50， 答：销售单价应定为50元； 【小问3详解】 设每天获利w元， w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250， ∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55， 而x≤54， ∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元）， 答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元． 【点睛】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程． 23. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求该抛物线的解析式； （2）当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； （3）在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）的坐标为或 （3）的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解； （3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过作轴交于，如图： 由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； 【小问3详解】 解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ，， 由，得直线解析式为， 设，， 过作轴于，过作轴于， ①， 当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图： 此时； ②当在第一象限，在第四象限时， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（小于0，舍去）或， ， 的坐标为； ③当在第四象限，在第三象限时，如图： 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 同理可得， 解得或（大于0，舍去）， ， 的坐标为； ④当在第四象限，在第一象限，如图： 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（舍去）或， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阆中中学校2025年秋初2023级期中学习质量检测数学试题 （考试时间：90分钟 满分：150分） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 5. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ） A. B. C. 或 D. 7. 二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ） A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4 10. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每空4分，共24分） 11. 若点与点关于原点成中心对称，则的值为______． 12. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 13. 将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 14. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是________． 15. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米． 16. 如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为_______． 三、解答题（7个大题，共86分） 17. 用适当的方法解方程： （1） （2） （3） （4） 18. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点成中心对称； （2）请画出绕点B逆时针旋转后，并写出点的坐标； （3）求的面积． 19. 已知关于x的一元二次方程有，两实数根． （1）若，求及的值； （2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由． 20. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． （1）如果，那么拋物线的对称轴为直线__________； （2）如果点、在直线上，求拋物线的表达式和顶点坐标； （3）在（2）的条件下，直接写出不等式的解集． 21. 如图，正方形边长为6，E，F分别是，边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 22. 丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/件） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 23. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求该抛物线的解析式； （2）当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； （3）在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $