第3章 分式（复习课件）数学青岛版2024八年级上册

该初中数学课件系统梳理了分式的概念、基本性质、运算、化简、分式方程及其应用，通过单元知识图谱将分式定义、性质、运算与实际应用串联，构建“概念-性质-运算-应用”的逻辑脉络，帮助学生建立完整知识网络。 其亮点在于“考点串讲-题型剖析-针对训练”三阶复习模式，如分式方程应用题型结合行程问题实例，培养模型意识，针对训练分基础题与易错题，渗透消元法等思想提升运算能力。这种设计既巩固知识，又助力教师精准实施分层复习教学。

单元复习课件 第3章 分式 青岛版2024·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解分式的概念及其基本性质。 3.掌握分式方程的解法，能运用建模思想解决实际问题。 2.会进行分式的运算，理解分式与比的联系。 单元学习目标 单元知识图谱 考点一、分式及其相关概念 1．概念：如果把A÷B写成 的形式，其中A，B都是 ，且B中含有 ，那么代数式就叫做分式。 整式 字母 注意：分式必须具备三个条件 （1）必须是的形式； （2）A,B必须是整式； （3）B中必须含有字母． 考点串讲 考点一、分式及其相关概念 2．在分式 中，当 时，分式有意义。 3．当分式的分子为 ，且分母 时，分式的值为0. 0 不为0 4．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一 . 的整式，分式的值不变，即 , （其中M是不等于零的整式 ）。 不等于零 考点串讲 考点二、分式的运算 1．约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中除1以外的 约去，叫做分式的约分。 公因式 注：当分式的分子与分母是多项式时，应先把多项式进行因式分解，再约去公因式。 2．最简分式：一个分式的分子与分母，如果除1以外没有其他的公因式，我们称这个分式为最简分式。 注：分式约分的结果应当是最简分式或整式。 考点串讲 考点二、分式的运算 3．通分：利用分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整式（即 ），把几个异分母的分式化成同分母分式的变形，叫做分式的通分 最简公分母 注：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，即最简公分母。 当分母是多项式时，应先将分母分解因式，再找最简公分母。 考点串讲 考点二、分式的运算 4．分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 。 5. 分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子与分母颠倒位置后，再与被除式相乘，即 。 6．分式的乘方法则：就是把分式的分子、分母各自乘方，即 。 （为正整数，其中） 考点串讲 考点二、分式的运算 7．分式的加法法则 8．分式的混合运算：先算 ，再算 ，最后算 ，有括号的 。 （1）同分母分式相加减：分母不变，分子相加减，即 . （2）异分母分式相加减：先把它们通分 ，变为同分母分式，再加减，即 . 乘方 乘除 加减 先算括号里面的 考点串讲 考点三、分式方程 9．分式方程：分母中含有未知数的方程叫作分式方程 。 分式方程的解法： （1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 （2）解这个整式方程。 （3）检验，把整式方程的解代入最简公分母，如果值不为0，则该解是原分式方程的解。否则原分式方程无解，该解叫作分式方程的 。 增根 考点串讲 考点三、分式方程 分式方程的应用（ 列分式方程解应用题的一般步骤） 9．分式方程：分母中含有未知数的方程叫作分式方程 。 （1）审：审清题意，设未知数。 （2）找：找等量关系。 （3）列：列出分式方程。 （4）解：解分式方程。 （5）验：检验根（是否是分式方程的根？是否符合题意？）。 （6）答：规范作答。 考点串讲 考点四、分式与比 10．比的概念：两个整式A与B（B≠0)相除，叫作A与B的比 ，记作 。其中，A叫作比的 ，B叫作比的 。 注：分式一定是比， 比不一定是分式。但比可利用分式的基本性质来进行化简。 前项 后项 考点串讲 考点四、分式与比 11．比例式：表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例。如果与的比等于与的比，那么就四个数成比例。可以写成 。 在比例中，叫作组成比例的 ，其中与叫作比例的 ，与叫作比例的 。当比例的两个内项相等，即当时，叫作 和的 。 项 外项 内项 比例中项 考点串讲 考点四、分式与比 12．比例的基本性质：在比例中，两外项的乘积等于两内项的乘积。如果，那么 。 13．成比例线段：如果四条线段的长成比例，就把这四条线段称为成比例线段，简称比例线段 。 14．调和数：把符合这一关系的三个正整数叫作一组调和数。 考点串讲 题型一、分式的有关概念 例1 如果分式的值为0，那么的值为 。 1 解析：,且， 即,且， 综上，。 解题思路：当分式的分子为0，且分母不为0时，分式的值为0。是易考点，也是易错点。 题型剖析 题型一、分式的有关概念 练一练 如果分式的值为0，那么的值为 。 解析：当分式的分子为0，且分母不为0时，分式的值为0. 所以,且， 即,且， 综上，。 2 题型剖析 题型二、分式的性质及计算 例2 如果分式中的和的值都扩大为原来的 3倍，则分式的值（ ） A.扩大为原来的3倍 B.不变 C.缩小为原来的 D.缩小为原来的 解题思路：根据分式的基本性质。当分式的和都扩大为原来的3倍，即原分式变为，其中分子、分母中的 3均可以约去。 B 题型剖析 题型二、分式的性质及计算 练一练 下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 解析：C. C 题型剖析 题型二、分式的性质及计算 例3 已知，。求 的值 。 解：原式= = = = 当，时 ，原式== 解题技巧：先化简，再代入。 易错点：注意符号，特别是“-”时，去括号每项都要变号。 题型剖析 题型二、分式的性质及计算 练一练 有一道题：“先化简，再求值：,其中”。小华同学做题时，把错抄成 ，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？ 解： = ∵， ∴结果与的符号无关 。 题型剖析 题型二、分式的性质及计算 例4 已知，求 的值 。 解：∵，∴(,即， =24， 。 解题技巧：利用完全平方公式对式子进行变形，结合倒数法、配方法简化计算。 易错点：变形时，注意完全平方公式的符号，避免漏掉常数项。 题型剖析 题型二、分式的性质及计算 练一练 已知,求出的值。 解：，两边同时除以，得=0，即。 两边同时平方，得,则， 两边再平方，得,则。 题型剖析 题型三、分式方程的解 例5 解下列分式方程 （1） （2） 解：(1)去分母，方程两边同时乘以最 简公分母， 得. 即 经检验，是原分式方程 的根。 解：(2)去分母，方程两边同时乘以最 简公分母， 得. 即 经检验，是原分式方程 的根。 题型剖析 题型三、分式方程的解 解分式方程步骤 1.找最简公分母：对分母进行因式分解，确定所有分母的最简公分母。 2.去分母：方程两边同时乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程。 3.解整式方程：即解一元一次/二次方程。 4.检验根的有效性：将求得的根代入最简公分母，若公分母为0，则是增根，则原分式方程无解；若不为0，则是原分式方程的解。 易错点：1.漏乘常数项；2.未因式分解；3.忘记检验；4.符号出错。 题型剖析 题型三、分式方程的解 练一练 解方程： 解：(1)去分母，方程两边同时乘以最简公分母， 得. 即 经检验，是原分式方程的增根。 ∴原分式方程无解。 题型剖析 题型四、分式方程的应用 例6 从广州某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍． (1)求普通列车的行驶路程； (2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间短3小时，求高铁的平均速度． 题型剖析 题型四、分式方程的应用 解：(1)400×1.3=520（千米） (2)设普通列车平均速度为千米/小时，则高铁的 平均速度为2.5千米/小时。 根据题意，得=3 解得 经检验，是原分式方程的解。 ∴2.5=300. 答：普通列车的行驶路程为520千米；高铁的平均速度为300千米/小时。 题型剖析 题型三、分式方程的解 分式方程应用题解题技巧 关键技巧：1.直接设未知数，即问什么设什么。 2.间接设未知数，即有倍数关系的，找中间量。 3.验证实际意义，即既不是增根，又要符合实际意义（如人 数为小数，该舍去）。 核心思想：找等量关系，建立分式方程。 题型剖析 题型四、分式方程的应用 练一练 某施工队挖掘一条长90米的隧道，开工后每天比原计划多挖1米，结果提前3天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖x米，则依题意列出正确的方程为（ ） C A. B. C. D. 题型剖析 题型四、分式方程的应用 练一练 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了30支.求第一次每支铅笔的进价是多少元？ 解：设第一次每支铅笔进价为。 根据题意，得=30 解得 经检验 ，是原分式方程的解。 答：第一次每只铅笔的进价为4元。 题型剖析 题型五、本章数学思想和解题方法 例7 已知：，求的值。 消元法 解题思路：利用消元法，减少未知数的个数。已知等式可以变形为用来表示的式子，可得，代入所求代数式约分即可求值. 解：∵，所以。 ∴原式==。 题型剖析 题型五、本章数学思想和解题方法 练一练 已知，求 解：原式= = 当，原式=2× 【解析】较复杂式子，应先化简，再求值。 题型剖析 题型六、分式与比 例8 已知，求的值。 解题思路：可以采用换元法，进行化简。设比例系数，将多个未知数转化为同一个参数k的表达式，最终k可以约去。 解：∵，所以设。 ∴原式===8。 题型剖析 题型六、分式与比 练一练 已知，且,求的值。 解：设，则. 原式= 题型剖析 1. 下列式子中是分式的是（ ） B A. B. C. D. 2. 下列分式中，不论取何值，一定有意义的是（ ） D 分母中含有字母的式子是分式。 A. B. C. D. 分式有意义的条件是分母不为0。 针对训练 3. 使的值为0，则的值为（ ） 分式值为0的条件是：1.分母不为0；2.分子为0。 B A.2 B.-2 C. D.不存在 4. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. C 利用分式的基本性质。 针对训练 5. 化简的结果是（ ） C A. B. C. D. 6. 如果，那么式子 的值是 。 3 针对训练 易错题 7. 已知关于的分式方程有增根，则 。 有增根，即最简公分母为0。 3 8. 已知，求 解：由已知可得. 即，∴原式=7 变式 已知，求 针对训练 9. 已知，则 。 变式 已知，则的值为 。 针对训练 10. 计算 （1） 混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后加减，如果有括号，要先算小括号里面的。 （2） 解：原式=. 解：原式=. 针对训练 11. 先化简，再求值。，并在-2，-1,0,1,2中选取一个合适的数作为的值，并求出原式的值。 解：原式= . ∵原式中分母不能为0. ∴可选的数为 当时，原式=1 针对训练 12. 解分式方程 解：去分母， 即 解得 经检验，是原方程的解. （1） （2） 解：去分母， 解得 经检验，是原方程的解. 针对训练 13. 为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动.甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同.已知甲板平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？ 解：设乙班平均每小时挖千克土豆，则甲班平均每小时挖 解得 经检验，是原方程的解. 答：乙班平均每小时挖400千克土豆。 针对训练 ✅ 知识构建：分式 概念→分式的基本性质→解法→分式方程实际应用 ✅ 思想方法： 换元法、消元法、模型构建 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $