福建省莆田第一中学2025-2026学年高一上学期第一学段考试数学试卷

莆田一中2025-2026学年度上学期第一学段考试试卷 高一 数学必修一 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.已知集合U={0,12,3,4},A={0,1,3},B={2,3},则An(CB)=() A.0,1} B.{1,3} C.{01,4) D.0,1,3} 2.命题“x<1,x3+2x-1<0”的否定是() A.3>L,x3+2x-10 B.3x<1,x3+2x-1>0 C.x>L,x+2x-10 D.x<1x+2x-10 3.设xeR,则“|x-2K1”是“x2+x>0”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4已知函数/（创=-+(x+,则f冈的定义域为(） A.（-∞，)U(1,+∞）B.（-1,1)U(1,+o∞) c.（-1,+oo） D.[-1,+oo) 品融f闲子在-6简用象大流效() 2x3 B. C D. -x2+2x+3,x≤2， 6.已知函数(x)= 6+1g,名，”￥>2a>0咀a*D,若函数/()的值域是（←o,4,则实数 a的取值范围是() 第1页兆4页 c.2] D.（2) 7设a=2og2,b=og3,c=手，则a,b,c的大小N顺序为[） A.a>b>c B.c>b>a C.a>c>b. D.b>c>a 8.已知函数f()定义域为R,f(x+2)为偶函数，对任意的名，为∈[2，+)且≠2，均有 xf:)+龙(x)>f(x2)+2f()恒成立，则不等式f3一)>f(3x)的解集为) Ao习 B.经tw) c D.(←，u层to 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 不等式mx2-x+c>0的解集是-<x<2y,下列结论正确的是(） A.a>0 B.a<0 C.b<0 D.a-b+c>0 10.若a>b>0,d<c<0,则下列不等式成立的是( A.a-d>b-c B.ac>bc c D.a3>b3 11.德国著名数学家狄利克雷(P.GL.Dirichlet,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪， 发利克雪定义面激因-化82：测则关于高爱侧有前下四个有框，正确的() A.对任意x∈R,都有f(-x)+f(x)=0 B.对任意∈R,都存在x2∈2，f(x+x)=f(x) C.若a<0,b>1,则有{xfx)>a={xfx)<b} D.存在三个点A(x,f(x)》,B(x2,f(x2》,C(x,∫(x),使△ABC为等腰直角三角形 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数f(x)=log(3x+2)+5(a>0且a≠1)的图象恒过定点 18已知安数0>0b>0,且g中1十品2方，则2+b的最小值足 14.已知函数国=本，e(L+,若关于x的方程∫产闲+ml/心训+2m+3=0有 三个不同的实数解，则m的取值范围是 第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共T7分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) (1)计算g8+V11-6W2+1g5-1g2+1g22+1g5的结果： (2)求解方程2少-4.2+3=0. 16.(本小题15分) 设命题p:对任意xe[0,1],不等式2x-3>m2-4m恒成立，命题g:存在x∈[-1,1]，使得 不等式x2-2x+m-1≤0成立 (1)若p为真命题，求实数m的取值范围： (2)若命题p与命题g一真一假，求实数m的取值范围. 17.(本小题15分) 把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为CC,空气的温度为aC,那么tmi血后物体 的温度（单位：·C)可由公式0=A。+(-)e求得，其中k是一个随着物体与空气的接 触状况而定的正常数.已知空气的温度为20C,把水放在空气中冷却，水的温度从100C冷 却到60'c需要30min. (1)求e; (2)热水一般不适合冲泡奶粉，假若现在杯中的水温为80'℃，等待水温降温到50'C,至少 需要等待多少min? (3)某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于35℃，电热水壶不加热，水的温 度冷却到35'C,电热水壶开始加热，直至水的温度达到80'C才停止加热，且水的温度从35C 加热到80'c需要8min,现该电热水壶中水的温度为80'c,经过98min后，此时壶中水的温度 是多少？ 第3页共4页 18.(本小题17分) 已知函数网年柠若-分且音+0时侧= )求a,b的值，并写出)的解析式： (2)判断函数f(x)在[1，+o)上的单调性，并用定义证明： 倒若对任意的xe寻都有+Bx-0恒成立，求实数a的取值范围. 19.(本小题17分) 已知函数f树=x∈Rce),了0- 3+c (1)求c的值： (2)已知“函数f(x)的图象关于点(a,b)对称”的充要条件是“f(a-x)+f(a+x)=2b 对于定义域内任何x恒威立”试用此结论实断函数)=。的图象是否存在对落中心， 若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由： (3》若对任意5e,都存在%e引 及实数m,使得f(1-m)+f(x)=1,求实 数n的最大值. 第4贞共4页莆田一中2025-2026学年度上学期第一学段考试答案 1-5 ADABC 6-8 BDC 9.BCD 10.AD 11.BC 12(5 13.16 14.(3 11.解：对于A,当x=1时，-1)=1)=1，-1)+1)=20，所以A错： 对于B,分情况讨论，①当x1∈Q时，2∈Q,x1+x2∈Q,有x1+x2F1=x): ②当x1∈CRQ时，∈Q,x1+3∈CR2,有x1+x2)0=x: 由①和②知，对任意x1∈R,都存在x2∈Q,x1+x2)=x1),所以B对： 对于C,因为a<0,x)=0或1，所以x)>a,从而{xx)>a}=R: 因为b>1,x)=0或1，所以fx)<b,从而{xx)<b}=R: 则有{xx)>a}={xx)b},所以C对： 对于D,假设存在三个点A(x11),B(x2x2),Cx3x3), 使△ABC为等腰直角三角形， 不妨设∠C-90°，分两类情况，①斜边AB平行x轴或在x轴上， ②斜边AB不平行x轴也不在x轴上， 如图所示， 1 D B B 第①种情况：不妨设斜边AB在x轴上，即x3∈Q, 此时，AD=DB=1,x1,x2∈Q→fx3)片x)Fl,与假设矛盾； 第②种情况：不妨设C点在x轴上，即x3∈CrQ, 此时，x1=x3∈CQ→x)片fx)=0,与假设矛盾； 由①和②知，D错： 故选：BC 第1页共4页 15.解：0原式-2+v0-+g2.(1g5+121g5=V5+3-2+16分 =4 (2)令t=2∈(0，+0)， .7分 则原方程化为：t2-4t+3=0,解得t=1或t=3, 则X=0或X=l10g23,12分 所以原方程的解集为{0，l0g23}..13分 16.解：()对于p:(2x-3)mn≥m2-4m成立，而xe[0,,有(2x-3)mn=-3, 所以-3≥m2-4m, .1≤m≤3， 4分 故p为真命题时，实数m的取值范围为[山，3]；5分 (2)q:存在x∈[-1,1刂，使得不等式x2-2x+m-1≤0成立， 只需(x2-2x+m-1)m≤0， 而x∈[-1,1，有(x2-2x+m-1)mm=-2+m,.-2+m≤0，.m≤2， 故q为真命题时，m≤2， 8分 m>2，所以2<m3:l0分 1≤m≤3 若g为假命题，p为真命题，则 m<1或m>3 若p为假命题，g为真命题，则 m≤2 ，所以m<1.12分 综上，m<1或2<m≤3， 14分 故实数m的取值范围为（一0，）U(2,3].15分 17.解：)因为空气的温度为20C,把水放在空气中冷却，水的温度从100C冷却 到60C需要30min,则60=20+(100-20)e0,即e0=} 2’ 2分 所以e=白 … 4分 (2)由题意可知：0。=20C,0=80C,0=50C,e*=(白)o 第2页共4页 可得50=20+(80-20[（宁）Y=20+60( 30 6分 解得t=30min, 所以至少需要等待30min. 9分 (3)设水的温度由80c冷却到35c,需要tmin, 则35=20+(80-20)[()0Y=20+60(0 解得t=60min, 11分 此时电热水壶开始加热，需要8min加热至80°C,且60+8<98， 若水的温度由80c冷却到35c,可知需要60min, 显然60+8+60>98， .12分 则0=20+80-209r=20+60×50c, .14分 所以经过98min后，此时壶中水的温度是50C. .15分 18解：解0由超知：0=了得生力 22 ,即a+b=1,1分 当0时，-=0的=s+h。 Γx2+1 x2+1 2分 ∴.a=1,b=0,f(x)= 水2117……4分 (2)任取1≤x<x2, .5分 圆c中G+》G+D少 (x+1x+1)(x+10(x+) ’7分 由1<X2,得x3-1>0,X3-X>0,8分 又x2+1>0,x3+1>0, f(x)>f(x2),f(x)在[1，+∞)上单调递减； .10分 (3)任取0<x<x2<1, )-本货+G+D=D (x2+1)(x+1)(x2+10(x号+1) 由0<x1<x2<1,得xx2-1<0,x2-x>0,又x2+1>0,x+1>0,f(x)<f(x2), f在(0,0单调递增，又f(-)=- 2+1f), 第3页共4页 所以f)为奇函数，又由f()=f白)，要使f)+f3x-a)<0,即fxfa-3), 由O得在L+四上单明避减，e子，则e专引， 1 x≤a-3x≤ 13分 当xe5,时，4Ka飞3x+恒成立， 14分 又4x≤3,3x+-≥2 x×-25(当3x=即=5 时取等号)，16分 3 .3≤a≤25. 17分 19解：0将f0)-代入f(e3十。，得c=12分 (2)假设函数f(x)的图像存在对称中心(a,b), 则，十32》对于定义城内任何x恒成立， 1 整理得(1-2b)(3+3-x)+2-2b-2b324=0恒成立， .4分 所以 1-2b=0 2-2b-2b-320=0, 解得a=0,b= ..6分 故函数f(的对称中心为0,2 .7分 )因为对任意x∈，川，都存在∈1,2 及实数m,使得f(1-mx)+f(xx2)=1, 所以1写+1，即g-1, .9分 所以1-m+xx=0,所以为=m- 因为x[L川，所以m-1∈m-,m X n 因为 ,所以 .13分 m-1>1 m≥2 所以 13,即 15分 m- -2777 所以m-2 所以n≤2， .16分 即n的最大值为2.17分 第4页共4页