易错点36. 线面平行的判定和性质 讲义-2026届高三数学一轮复习

易错点36 线面平行的判定和性质 考场错题剖析 考场错题1 1.【2024秋高二四川达州期中校考错误率：60%】在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为 平行四边形，E为线段AD上靠近A的三等分点，F为线段PC上一点，当PA∥平面EBF时， P PC=() A.3 B.4 c D. 4 试题解答剖析： B 如图，连接AC交BE于点G,连接FG 因为PAI∥平面BEF,PAc平面PAC,平面PAC∩平面BEF=FG所以PAIFG, 所以PF、AG ,因为ADIIBC,E为AD的三等分点， PC AC 则G-45=5,4C=即P= GC-BC-3’AC4 PC=4 故选D 试题易错分析：线面平行性质定理应用错误：未能准确找到平面PAC与平面EBF的交线 FG,从而无法利用线面平行的性质(PA‖FG建立比例关系，导致思路中断。 考场错题2 【2025秋高三·江苏南京月考错误率：50%】如图，直三棱柱ABC-AB,C中，M,N分别为 AB和B,C,的中点. B M 证明：MWI∥平面ACC,A,; 试题解答剖析： 取A,C,的中点为S,连接SN,AS, 因为4S=SC,BN=NG,故SNIA,B,,SN=4B, 由直三棱柱的性质可得AMIA,B,AM=。A,B,故SNIIAM,SN=AM, 故四边形SNMA为平行四边形，故ASIINM, 而ASc平面A,CCA,NM丈平面A,CCA,故NM∥平面A,C,CA. B M 试题易错分析：辅助线构造失误：未能准确构造出关键辅助线（如A1C1的中点S),导致 无法建立MN与平面ACC1A1内直线的平行关系，思路受阻 考场错题3 【2025秋·高三·江苏·月考联考错误率：61%】如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面 ABCD,PA=3.AD =1. D M D 的 若四边形ABCD是以AD为上底的梯形，线段PC的中点M满足DM∥平面PAB,求BC的长； 试题解答剖析： 取PB中点为E,连接AE,M, 因为E,M分别为PB,PC的中点，所以MElBC,ME=BC 2 由于ABCD为梯形，且AD∥BC,所以ME∥AD,即ADME四点共面； 因为DM∥平面PAB,DMc平面ADME,平面ADME∩平面PAB=AE, 所以AEIIDM;又MEI/BC,所以四边形ADME是平行四边形，有ME=AD, 所以AD=二BC,则BC=2 M E C B 试题易错分析：线面平行性质定理应用错误：找不到平面DMA与平面PAB的交线AE, 从而无法利用线面平行的性质(DM‖AE)推导平行四边形，导致逻辑断层 易混易错总结 1.直线与平面平行的判定定理 自然语言 图形语言 符号语言 如果平面外一条 直线与此平面内 ata,bca,且 的一条直线平 a∥b→a∥a. 行，那么该直线 与此平面平行. 该定理可简记为若线线平行，则线面平行”. 2.直线与平面平行的性质定理 自然语言 图形语言 符号语言 一条直线与一个 平面平行，如果过 该直线的平面与 a∥a,acp, 此平面相交，那么 a∩B=b→a∥b. 该直线与交线平 行 该定理可简记为若线面平行，则线线平行” 错题针对训练 【错误率：50%】1.在正方体ABCD-AB,CD中，棱长为a,M,N分别为AB和AC上的 点，4M=AW=V2a 则MN与平面BBCC的位置关系是() 3 A相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 【错误率：52%】2.平面∥平面B的一个充分条件是() A.存在一条直线al/a,allB B.存在一条直线a,aca,al/B C.存在两条平行直线a,b,aca,bcB,al∥B,b/o D.存在两条异面直线a,b,aca,bcB,alWB,b/a 【错误车：5w】3在网面体4-CD中，为D上一点且-，P是8W的中点，在 线段AC上存在一点e,使得PQ/平面BCD,则9 的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 【错误率：56%】4.如图，在三棱锥P-ABC中，点D、F分别为棱PB,AC上的点，且 PD=BD,AF=FC,E为线段BC上的点，若BE=元BC,且满足ADM平面PEF,则元= () H A. 3 4 【错误率：62%】5.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点M是AD的中点， 动点P在正方体表面上移动，若BP∥平面A,BM,则P的轨迹长为 D C A B D 【错误率：60%】6.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，侧面PAB为等边三角 形，AD/BC,AD1AB,侧面PAB⊥底面ABCD,PA=PB=AD=AB=BC=2,且E,F 分别为PC,CD的中点. B C (I)证明：DE∥平面PAB; (2)求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值， 【错误率：60%】7.如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=2,P是BC的中点，连接AP, 将△PAB沿直线AP翻折，使得平面PAB⊥平面APCD(如图2)，连接BC,BD,Q是棱BD 的中点 B B 图1 图2 (1)证明：CQ∥平面PAB: (2)求直线PQ和平面PBC所成角的正弦值. 答案以及解析 1.答案：B 解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 由图可知平面BBCC的法向量n=(0,1,0) B 2a a (2a2a 3’3 (3’3a 丽-（号09)m=0, MN∥平面BBCC, 故选：B 2.答案：D 解析：对于A,B,C,当平面0，B相交时，条件仍然成立，故A,B,C错误， 对于D,存在两条异面直线a,b,aca,bcB,alWB,b11a, 平移后可得，存在两条相交直线d,b,adcB,bcB,a1a,bl/a, 由面面平行的判定定理可知，平面u∥平面B,故D正确， 故选：D 3.答案：B 解析：如图所示，取MD的中点O,连接OP,OQ -0 O为MD的中点，P是BM的中点，POBD 又.'BDc平面BCD,PO￠平面BCD,∴.POW平面BCD, 又PQ∥平面BCD,PQ∩PO=P,PO,PQc平面PO0, .平面POQ∥平面BCD.又OQ,CDc平面ACD, 平面POQ∩平面ACD=OQ,平面BCD∩平面ACD=CD,∴.OQ/CD 在△ACD中， A0 40_AM+MO =2. OC OD OD 故选：B 4.答案：A 解析：如图，取BE的中点M,连接DM,AM M B 由PD=BD,所以D为PB的中点， 又M为BE的中点，所以MDIPE, MDC平面PEF，,PEC平面PEF,所以MDI∥平面PEF, 又ADI∥平面PEF,且AD∩MD=D,AD,MDc平面ADM, 所以平面PEF∥平面ADM，由AMc平面ADM,所以AMI∥平面PEF 又AMc平面ABC,平面ABC∩平面PEF=EF,所以AM∥EF 又AF=FC,所以ME=C,所以BE=8C,故入=月 故选：A 5.答案：45 解析：在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，取A,D,,BC的中点E,F, 连接DE,DF,BE,BF,EM, D E A A B 由M为AD的中点，得EM∥AAI∥BB,EM=AA=BB,四边形BMEB,为平行四边形， 则EB∥BM,EB=BM,又BFIIDM,BF=DM,则四边形BMDF是平行四边形， DFIIBM,DF=BM,于是EB,IIDF,EB=DF,四边形BEDF是平行四边形， 而DF丈平面A,BM,BMC平面A,BM,则DF∥平面A,BM,同理DE∥平面ABM, 又DE∩DF=D,DE,DFc平面B,EDF,因此平面B,EDF∥平面A,BM, 又BP∥平面A,BM,P在正方体表面上移动，于是点P的轨迹是oB,EDF与正方体的交线， 所以P的轨迹长为DE+DF+B,E+B,F=4V?+22=4V5 故答案为：45 6.答案：(1)证明见解析 36 5 解析：(I)取PB中点M,连接AM,EM E为PC的中点， ME/BC.ME-BC. 又ADIlBC,AD=BC .MEI∥AD,ME=AD .四边形ADEM为平行四边形：∴.DE∥AM, .DE立平面PAB,AMC平面PAB, .DE∥平面PAB (2)因为平面PAB⊥平面ABCD, 平面PAB∩平面ABCD=AB, BCC平面ABCD,BC⊥AB,.BC⊥平面PAB, 取AB中点G,连接FG,则FG∥BC,.FG⊥平面PAB, 又因为三角形PAB是等边三角形，所以PG⊥AB, 则如图以G为坐标原点，GB为x轴， GF为y轴，GP为z轴建立空间直角坐标系， 又因为PA=PB=AD=AB=1BC=2, P0,0,3,C1,4,0),D(-1,2,0 .PC=(1,4,-5,CD=(-2,-2,0) 设平面PCD的一个法向量，n,=x,y,z, 元·PC=x+4y-V3z=0 则 n.CD=-2x-2y=0 取y=1,则%=(-1,1，V5, 平面PAB的一个法向量可取n2=(0,1,0), 设平面PAB与平面PCD所成的夹角为0， n1·n, 15 ..cos0 n n2 55 平面PAB与平面PCD所成的夹角的余弦为 5 C 7.答案：(1)证明见解析 2 3 解析：(1)如图所示，取AD中点E,连接QE,CE, 因为在矩形ABCD中，AD=2AB=2,P是BC的中点， 所以AE∥PC,AE=PC,即四边形AECP为平行四边形， 从而AP∥CE,又因为CE丈平面PAB,PAc平面PAB, 所以CE∥平面PAB, 又因为Q,E分别是DB,DA的中点，所以QE∥AB, 又因为QE丈平面PAB,ABc平面PAB,所以QE∥平面PAB, 又因为QE∩EC=E,QE,ECc平面QEC,所以平面QECI∥平面PAB,