精品解析：四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学)2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

川大附中高2024级高二上期期中考试试题 数学 （时间：120分钟 分值：150分） 命题人：吴东 审题人：付小华 第Ⅰ卷 选择题 共58分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 某校高中生共有3600人，其中高一年级1300人，高二年级1200人，现采取分层抽样法抽取容量为36的样本，那么高三年级抽取的人数为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的比例列式求值即可. 【详解】高三年级人数为：； 抽样比为：； 因此，高三年级抽取人数为：. 故选：C 2. 从字母,,,,中不放回依次取两个字母，则取到字母的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意求出基本事件总数,以及“取到字母”所包含的基本事件数，再根据古典概型的概率公式求解. 【详解】从这5个字母中不放回依次取2个字母，属于有序选取，则 第一次取字母，有5种选择，由于不放回，第二次取字母，有4种选择. 因此，基本事件总数为：. 第一次取到，对应基本事件：，有4种选择； 第二次取到，对应基本事件：，有4种选择； 因此，“取到字母”包含的基本事件数为：. 根据古典概型的概率公式有. 故选：B 3. 平面及其法向量，直线、及其方向向量、，下面推理错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】结合线面垂直、平行的性质与方向向量、法向量的关系逐一分析选项. 【详解】选项A：，又，故，则A选项正确； 选项B：，又，故，则B选项正确； 选项C：，又，故，则C选项正确； 选项D：、时，直线与可能为平行、相交或异面关系，因此它们的方向向量与不一定平行，故D选项错误. 故选：D 4. 某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907．由此估计3例心脏手术全部成功的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型的概率求解. 【详解】随机模拟产生10组随机数中，有3组随机数表示手术成功， 故3例心脏手术全部成功的概率为：． 故选：B. 5. 下面四个结论中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量的夹角是钝角 C. 若对空间中任一点O，有则四点共面 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【解析】 【分析】易求得对称点可判断A；当反向时可判断B；由，可得四点共面判断C；设，可得，进而可得共面，判断D. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A正确； 对于B，当反向时，，此时向量的夹角为，不是钝角，B错误； 对于C，由于对空间中任一点，有，而，故四点共面，C正确； D选项，设，即，故， 解得，故共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：AC. 6. 某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（ ） A. 芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B. 芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的25% C. 芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过50% D. 芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数少 【答案】B 【解析】 【分析】根据饼形图和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图的数据进行分析，逐项判断即可. 【详解】对于A，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为，占芯片、软件行业从业者的， 而芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的，但不知道从事技术岗位人数的比例， 故无法确定两者人数的多少，所以选项Ａ不一定正确； 对于B，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数占比为， 所以超过从事这两个行业总人数的，所以选项Ｂ正确； 对于C，从饼图可看出芯片、软件行业从业者中，“90后”占比为，超过，所以选项C不正确； 对于D，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为， 占芯片、软件行业从业者的，“80前”占比，所以选项Ｄ错误. 故选：B. 7. 已知向量，，则在方向上投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算，进而利用投影向量的计算公式求解. 【详解】， ， 在方向上投影向量为：. 故选：C 8. 正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记，则，根据空间向量共面定理，知四点共面.所以长度的最小值为点到平面的距离，结合正四面体的性质求得长度的最小值，进而得到长度的最小值. 【详解】正四面体中，，. 因为，所以. 记，则，所以四点共面. 所以当平面时，长度最小. 此时，点为正的中心，. . 所以长度的最小值为. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，多选错选得0分.） 9. 一组样本数据，，，…的平均数为，方差为，由，，，组成的样本的平均数为，方差为，由，，，，，组成的样本的平均数为，方差为，若，则（ ） A. ，，，…，的中位数等于，，，，，的中位数 B. ，，，…，的30%分位数等于，，，，，的20%分位数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由中位数的概念，百分位数的计算公式、平均数的计算及方差计算公式逐个判单即可； 【详解】的中位数为的中位数为，A正确； ，所以的分位数为，所以的分位数为，B错误； 因为，所以，C正确； 由，化简可得，D正确. 故选：ACD 10. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件两次的点数之和为偶数，两次的点数之积为奇数，第一次的点数大于2，则（） A. B. C. D. 与相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求基本事件总数，再分别分析各事件的基本事件数，结合概率公式、独立事件的判定条件逐一验证各选项. 【详解】连续抛掷两次骰子，基本事件总数为. 选项A：由于“奇数×奇数=奇数，偶数×任何数=偶数”，因此发生的条件是两次点数均为奇数. 骰子的奇数点数为，共3种，故包含的基本事件数为. 因此：，故选项A正确； 选项B：第一次点数大于2的情况为，共4种，第二次点数无限制，共6种， 故包含的基本事件数为. 因此：，故选项B正确； 选项C： 事件：两次点数之和为偶数（条件是“同奇或同偶”）； 由于事件（两次均为奇数）满足“同奇”，故， 因此：，故选项C错误； 选项D：事件：“两次积为奇数”且“第一次点数大于2”，需满足“第一次是大于2的奇数（，共2种）、第二次是奇数（3种）”，故包含的基本事件数为， 因此：，又， 由于，故与相互独立，故选项D正确. 故选：ABD 11. 两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动（不包括端点），下列说法正确的是（ ） A. 线段长的最小值为 B. 三棱锥的外接球的表面积为 C. 若和的长度保持相等，则平面 D. 若和的长度保持相等，则线段长的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意先建立空间直角坐标系，设的坐标；对于A选项利用向量法求公垂线即可；对于B，三棱锥的顶点可看作棱长为1的正方体的顶点，进而求半径，则用计算即可；对于C，先求的坐标，用向量法判断即可；对于D，求最小值即可. 【详解】因为平面平面，且平面平面, ，平面，根据面面垂直的性质定理知平面， ，从而，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 则,0,，,0,，,1,，,1,， 设由知 ， 则. 对于A：要使最小，则是的公垂线，即, , 故， 解得， 故此时，故， 故的最小值为，故A选项正确； 对于B：三棱锥的顶点可看作棱长为1的正方体的顶点， 所以外接球直径为，， 因此，外接球表面积为，故B错； 对于C：当时，设 ， 则，易知平面的一个法向量. 因为，所以，又平面， 于是平面，故C正确； 对于D：由C选项可知，,， 则， 当且仅当时等号成立，所以线段长的最小值为，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷 非选择题 共92分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 样本数据3，5，8，2，4，2的方差是___________ ； 【答案】## 【解析】 【分析】先计算出平均数后再计算方差即可得. 【详解】， . 故答案为：. 13. 如图所示，在平行六面体中，，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用基底表示向量、，然后利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】在平行六面体中，，，， 由空间向量数量积定义可得， ，同理可得， 因为，， 所以，. 故答案为：. 14. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，记为事件A，B的对立事件，且，则=__________ 【答案】0.3## 【解析】 【分析】先求出，根据得到，结合，求出，从而得到. 【详解】由题意得，为互斥事件， 即， ， 又①，②， 式子①②相加得， 故， 所以，则. 故答案为：0.3 【点睛】若事件A，B互斥，则有， 若事件A，B不互斥，则有. 四、解答题（本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在内），将所得成绩分成7组：，，，，，，，整理得到样本频率分布直方图如图所示： （1）求的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；（同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表，中位数精确到0.1） （2）从样本内数学分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在中的概率. 【答案】（1）0.008；平均数为，中位数； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用小矩形面积和为1求出，再估算平均数和中位数. （2）利用分层抽样求出落在两个区间内的人数，再利用列举法求出古典概率. 【小问1详解】 依题意，，解得， 数学成绩的平均数为 由频率分布直方图知，分数在区间、内的频率分别为0.34，0.62， 所以该校数学成绩的中位数，则，解得； 【小问2详解】 抽取的5人中，分数在内的有（人），在内的有1人， 记在内的4人为a，b，c，d，在内的1人为A， 从5人中任取3人，，共10个， 选出的3人中恰有一人成绩在中，有，共6种， 所以选出的3人中恰有一人成绩在中的概率是. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，是的中点，作交于点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 由题可知两两垂直，因此，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. ，则，. 因为，所以. 因为平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立恰当坐标系，根据线面垂直的判定定理证明； （2）根据平面与平面夹角的向量求法可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，所以平面一个法向量为， 因为, 设平面的一个法向量为，则 . 令，则. . 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 在学校数学活动周中，高一年级举办了数学答题比赛.题目选自模块1或模块2.已知在模块1的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为，在模块2的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为p和q.假设甲、乙两人在每个模块中答对与否互不影响.每个人在各模块中的结果也互不影响. （1）若在正式比赛前，甲、乙作为代表参加模块1的循环答题热身赛.参赛者依次轮流答题，若答对则该选手获1枚印章，若答错则对手获1枚印章.连续获两枚印章的选手最终获胜.甲回答第1题，乙回答第2题，依次轮流答题.求到第4个问题甲获胜的概率. （2）在正式比赛中，每个选手均要参加两个模块的比赛，每个模块回答一个问题，答对者获1枚印章，答错没有印章. （ⅰ）若，，求甲、乙共获得3枚印章的概率； （ⅱ）若甲没有获得印章，乙获得1枚印章的概率为，两人都获得两枚印章的概率为.求甲、乙至少有1人获得印章的概率. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由独立乘法公式即可求解； （2）（i）由独立乘法、互斥加法公式即可求解；（ii）先求得，再根据乘法公式、对立事件概率公式即可求解. 【小问1详解】 设“甲答对”为事件A，“乙答对”为事件B，设“到第4个问题甲胜”为事件G， 则 . 【小问2详解】 设表示甲在第i个模块答题中答对的事件，表示乙在第i个模块答题中答对的事件（其中，2）.设表示甲在两个模块答题中答对i个的事件，表示乙在两个模块答题中答对i个的事件（其中，1，2）. （i）根据独立性假定，得 ，， ，. 设”甲、乙共获得3枚印章“，则，且与互斥，与，与分别相互独立. 所以. （ii）设“甲、乙至少有一人获得印章”， ， ， 由已知， 所以， . 18. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 如图，连接交于点O，连接， 则点O为的中点，且D是的中点， 则为的中位线，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）． （3）存在，，理由如下： 设，其中， 所以，， 设平面ADE的法向量为， 则取． 且， 则点到平面ADE的距离， 化简得，解得或（舍去）． 综上，存在点E使得点到平面ADE的距离为．此时． 【解析】 【分析】（1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可； （2）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值； （3）利用设未知量，来表示空间向量，借助空间向量法来求点到面的距离，从而解决问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为在正中，D是的中点，故， 以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，． 故，，， 设平面的法向量为， 则取． 设直线与平面所成角为, 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 略 19. 行列式是解决复杂代数运算的算法，二阶行列式其运算法则如下：.若，则称为空间向量与的向量积.其中，，为单位正交基底.以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.已知，是空间直角坐标系中异于的不同两点，且，，三点不共线，易证是平面的一个法向量. （1）①若，，求； ②求证：. （2）记的面积为，证明：. （3）三棱锥，其中，，，求三棱锥的体积（用，，表示）. 【答案】（1） ① ② ， 则. （2） ，设， 记 的面积为 ， ， ， 故. （3） 【解析】 【分析】（1）①应用定义代入化简可得；②设平面内任意一向量，应用定义结合行列式转化为向量的坐标运算，证明数量积，及即可； （2）利用正余弦关系，将三角形面积转化为数量积表示代入坐标整理，同时将也坐标化，二者相等即可证明； （3）利用已证明结论用向量积表示面积，再应用向量方法表示点到平面的距离即可得体积. 【小问1详解】 ①若 ，则， ②略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题可知平面的一个法向量为，则点到平面的距离， 利用 ，则， 其中 ， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 川大附中高2024级高二上期期中考试试题 数学 （时间：120分钟 分值：150分） 命题人：吴东 审题人：付小华 第Ⅰ卷 选择题 共58分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 某校高中生共有3600人，其中高一年级1300人，高二年级1200人，现采取分层抽样法抽取容量为36的样本，那么高三年级抽取的人数为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 2. 从字母,,,,中不放回依次取两个字母，则取到字母的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 平面及其法向量，直线、及其方向向量、，下面推理错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907．由此估计3例心脏手术全部成功的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 5. 下面四个结论中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量的夹角是钝角 C. 若对空间中任一点O，有则四点共面 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 6. 某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（ ） A. 芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B. 芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的25% C. 芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过50% D. 芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数少 7. 已知向量，，则在方向上投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，多选错选得0分.） 9. 一组样本数据，，，…的平均数为，方差为，由，，，组成的样本的平均数为，方差为，由，，，，，组成的样本的平均数为，方差为，若，则（ ） A. ，，，…，的中位数等于，，，，，的中位数 B. ，，，…，的30%分位数等于，，，，，的20%分位数 C. D. 10. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件两次的点数之和为偶数，两次的点数之积为奇数，第一次的点数大于2，则（） A. B. C. D. 与相互独立 11. 两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动（不包括端点），下列说法正确的是（ ） A. 线段长的最小值为 B. 三棱锥的外接球的表面积为 C. 若和的长度保持相等，则平面 D. 若和的长度保持相等，则线段长的最小值为 第Ⅱ卷 非选择题 共92分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 样本数据3，5，8，2，4，2的方差是___________ ； 13. 如图所示，在平行六面体中，，，，则______. 14. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，记为事件A，B的对立事件，且，则=__________ 四、解答题（本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在内），将所得成绩分成7组：，，，，，，，整理得到样本频率分布直方图如图所示： （1）求的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；（同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表，中位数精确到0.1） （2）从样本内数学分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在中的概率. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，是的中点，作交于点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 在学校数学活动周中，高一年级举办了数学答题比赛.题目选自模块1或模块2.已知在模块1的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为，在模块2的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为p和q.假设甲、乙两人在每个模块中答对与否互不影响.每个人在各模块中的结果也互不影响. （1）若在正式比赛前，甲、乙作为代表参加模块1的循环答题热身赛.参赛者依次轮流答题，若答对则该选手获1枚印章，若答错则对手获1枚印章.连续获两枚印章的选手最终获胜.甲回答第1题，乙回答第2题，依次轮流答题.求到第4个问题甲获胜的概率. （2）在正式比赛中，每个选手均要参加两个模块的比赛，每个模块回答一个问题，答对者获1枚印章，答错没有印章. （ⅰ）若，，求甲、乙共获得3枚印章的概率； （ⅱ）若甲没有获得印章，乙获得1枚印章的概率为，两人都获得两枚印章的概率为.求甲、乙至少有1人获得印章的概率. 18. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 行列式是解决复杂代数运算的算法，二阶行列式其运算法则如下：.若，则称为空间向量与的向量积.其中，，为单位正交基底.以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.已知，是空间直角坐标系中异于的不同两点，且，，三点不共线，易证是平面的一个法向量. （1）①若，，求； ②求证：. （2）记的面积为，证明：. （3）三棱锥，其中，，，求三棱锥的体积（用，，表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $