精品解析： 浙江省浙派联盟2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷（B卷）

2025学年第一学期九年级期中独立作业 数学试题卷 考生须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上． 3．在答题纸相应的位置规范作答． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 选择题部分 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 下列事件中，属于不可能事件是（ ） A. 抛一枚硬币，正面朝下 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 C. 明天会出彩虹 D. 蜡烛在真空中燃烧 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不可能事件的概念，掌握不可能事件的概念是解题的关键．选项A、B、C均为可能事件，只有选项D因真空中缺乏氧气，蜡烛无法燃烧，属于不可能事件． 【详解】解：选项A：抛硬币正面朝下可能发生； 选项B：遇到绿灯可能发生； 选项C：出彩虹可能发生； 选项D：真空中无氧气，蜡烛不能燃烧，一定不会发生， ∴ 选项D是不可能事件． 故选：D． 2. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，熟记公式是解题关键． 根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为 ，直接读出即可． 【详解】∵ 二次函数是顶点式， ∴ 对比，得, ， ∴ 顶点坐标为 ． 故选：A． 3. 下列各式的值一定与的值相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，需注意分子分母同时变化时保持比例不变是解题的关键． 根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分数的值不变． 【详解】解：∵ （分子分母同除以3）， ∴ A选项的值一定与 相等； 对于B、C、D选项，可通过反例验证： 如取 ，则 ，但B选项 ； C选项 ； D选项 ，故B、C、D不一定相等． 故选：A． 4. 一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同．红球、黄球、黑球的个数之比为．从布袋里任意摸出1个球为红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，根据题意假设球数是解题的关键． 根据概率公式，红球概率等于红球数量与总球数之比，给定比例，总份数为9，红球占2份即可求解． 【详解】设红球、黄球、黑球的数量分别为（k为正整数），则总球数为，． 故选：C． 5. 如图，在边长为4的等边三角形中，，分别是，的中点，以点为圆心，3为半径作，则下列判断错误的是（ ） A. 点在外 B. 点在外 C. 点在上 D. 点在内 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，等边三角形性质，勾股定理等．根据题意可知，继而利用题意即可对选项进行判断． 【详解】解：∵边长为4的等边三角形， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴以点为圆心，3为半径作，点在外，点在外，点在内， ∵， ∴点在外， j则，选项点在上判断错误， 故选：C． 6. 跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（ ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A. 40 B. 50 C. 80 D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 根据给定关系式，利用表中时 的条件求出常数 ，再代入计算的值． 【详解】∵ ，且当 时，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 时，， ∴ ． 故选：C． 7. 如图，在正方形网格中，，，，，，，，均为格点．若将绕点逆时针方向旋转，点落在点，则点的落在（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了画旋转图形．根据旋转性质作出图形即可． 【详解】解：点落在点， 故选：A． 8. 如图，点为边上的一个三等分点，（），以、、、为顶点构造平行四边形，与交于点，若四边形的面积为，则的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理可推出、，根据“面积比是相似比的平方”即可求解． 【详解】解：∵点E为边上的一个三等分点 ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∵四边形的面积为m ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的面积为 故选：D 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．抓住“面积比是相似比的平方”是解题关键． 9. 如图，为的直径，为的中点，弦，与相交于点．若，则的度数是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，平行线的性质等．根据题意连接，利用圆周角定理可得，利用平行线性质可求出，再利用圆周角定理即可求出本题答案． 【详解】解：连接， ， ∵为的中点， ∴， ∵对的圆周角为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴所对的圆周角和所对的圆周角之和为， 即， ∴， 故选：B． 10. 如图，在正方形中，点在以为直径的圆弧上，将绕点逆时针旋转得到，延长分别交，于点，．若，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转性质，相似三角形判定及性质，勾股定理，圆周角定理等．根据题意可得，，，再根据圆周角定理得，继而得到，后由旋转性质推出，再设，则，后得出，利用相似三角形性质列式可得，再利用勾股定理继而得到本题答案． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到，， ∴，，， ∵点在以为直径的圆弧上， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，即：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 故选：B． 非选择题部分 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 如图，在正六边形中，的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正六边形内角和，等腰三角形定义，三角形内角和定理等．根据题意可知正六边形每个内角为，和为等腰三角形，即可求出，继而求出的度数． 【详解】解：∵正六边形， ∴每个内角为，和为等腰三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知二次函数的图象过点，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 将点代入函数解析式，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】∵二次函数的图象过点， ∴代入解析式，得， 即， 移项得， 解得． 故答案为：1． 13. 如图，，点在上，已知，．则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，由相似三角形的性质，得到，代入有关数据即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 14. 在歌唱比赛中，一位歌手分别转动两个转盘各一次（每个转盘都被分成3等分），根据指针指向的歌曲编号演唱两首曲目．则他演唱编号为“1”“5”歌曲的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查独立事件的概率，掌握概率乘法公式是解题的关键． 第一次对应歌曲为“1”, “2”,“3”,第二次对应歌曲为“4”, “5”,“6”,列出树状图求解即可． 【详解】解：每个转盘有3个等份，第一次对应歌曲为“1”, “2”,“3”,第二次对应歌曲为“4”, “5”,“6”, 则树状图如下： 因此演唱编号为“1”和“5”歌曲的概率为． 故答案为：． 15. 二次函数的图象上存在点与点，当时，满足，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象及性质，解一元一次不等式等．根据题意利用二次函数对称性可知，即，再由题意可得，解出即可得到本题答案． 【详解】解：∵二次函数的图象上存在点与点， ∴二次函数对称轴为直线， ∴，即， ∵， ∴， 解第三个不等式为：， 解第二个不等式：， 再结合第一个不等式即：且， ∴的取值范围为：， 故答案为：． 16. 如图，在半圆中，直径，点，在圆弧上，，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．若点在上，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质，中位线判定定理，平行线性质，全等三角形性质及判定，勾股定理，圆周角定理等．根据题意可知四边形为平行四边形，将与交点命名为，即，继而求出，，圆周角定理可知， 继而利用勾股定理即可求出本题答案． 【详解】解：将与交点命名为， ∵， 过点作， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∵点是中点，， ∴为中点， ∴，， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值．根据题意可设，，再代入分式中化简即可求出本题答案． 【详解】解：设，， ∴． 18. 如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且，． （1）求证：； （2）若，，的周长为20，求的周长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质、相似三角形的判定与性质，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． 由，可得，从而可证，又因为，即可根据“两边成比例有夹角相等的两个三角形相似”证明； 由可得，可证明，再根据“相似三角形周长的比等于相似比”求出的周长即可． 【小问1详解】 证明：， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，， ， 的周长为， 的周长， 的周长为． 19. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，，，将绕坐标原点逆时针旋转，点，，的对应点分别为点，，． （1）画出． （2）直接写出线段与的关系． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查全等三角形性质及判定，画旋转图形，关于原点对称点坐标特点等． （1）根据旋转性质求出对应点坐标，再顺次连接点，，即可得到本题答案； （2）证明和，即可得到，． 【小问1详解】 解：∵的顶点坐标是，，，将绕坐标原点逆时针旋转，点，，的对应点分别为点，，， ∴连接，逆时针转，得到，，，如下图所示： 【小问2详解】 解：连接，， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴线段与的关系：和． 20. 学校组织综合实践活动，有10名同学参加，其中男生6人，女生4人． （1）若从这10人中随机选取一人作为领队，求选到女生的概率． （2）若某项实践活动只在甲、乙两人中选一人，准备以游戏的方式决定由谁参加，规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）不公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查简单公式求概率，列表法计算概率等． （1）由题意列式约分即可得到本题答案； （2）由题意列出表格，分别计算出偶数和奇数概率，再进行比较即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：∵有10名同学参加，其中男生6人，女生4人， ∴选到女生的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： 第二张 第一张 2 3 4 5 2 5 6 7 3 5 7 8 4 6 7 9 5 7 8 9 任取2张，牌面数字之和的所有可能结果为：5，6，7，5，7，8，6，7，9，7，8，9，共12种，其中和为偶数的有：6，8，6，8， 故甲参加的概率为，而乙参加的概率为． ∵， ∴游戏不公平． 21. 如图是唐代李皋发明的“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线段为，轮子的吃水深度（到水面距离）为，求该桨轮船的轮子半径． 【答案】该桨轮船的轮子半径为 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理等。根据题意过点作于点，交于点，然后设，再利用勾股定理列式计算即可求出本题答案。 【详解】解：过点作于点，交于点， ， ∴， 设， 在中， ∵， ∴，解得：， ∴该桨轮船的轮子半径为． 22. 某品牌水果冻的高为，底面为直径是的圆，两个水果冻倒装在一个长方体盒子内，如图为横断示意图，水果冻的截面可以近似地看成两条抛物线，交点为．以左侧抛物线的顶点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求以为顶点的抛物线的函数表达式． （2）若点横坐标为，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数解析式，矩形面积，解题的关键是画出平面图． （1）设抛物线的函数表达式是，求出，代入求出函数表达式是． （2）由（1）可得，可设以为顶点的抛物线，把代入可得，再由对称性即可求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的函数表达式是， ∵高为， 底面圆的直径为， ∴， 把代入， 解得， ∴函数表达式是， 【小问2详解】 当时，， 点， 设以为顶点的抛物线， ，解得（不符题意，舍去）． ． 23. 在平面直角坐标系中，对于点，，若满足，则称，两点互为“倍点”． （1）已知直线上的点是点的“2倍点”， ①若点在轴上，求点的横坐标． ②若点在抛物线上，求点的坐标． （2）已知，若在抛物线上存在唯一的点是点的“倍点”，求的值． 【答案】（1）①；②点的坐标或 （2）2或 − 14 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，二次函数性质，解一元二次方程，根的判别式等． （1）①设，点，根据题意列式计算即可求出本题答案；②设点，列式，整理得，解出即可； （2）设点，再列式，利用根的判别式即可求出本题答案． 【小问1详解】 解：①∵直线上的点是点的“2倍点”， ∴设，点， ，解得：， ②∵点在抛物线上， ∴设点，，即，解得，． 点的坐标或； 【小问2详解】 解：∵，若在抛物线上存在唯一的点是点的“倍点”， ∴设点， 有唯一解， 即， ，解得，． 即的值为2或． 24. 如图，在中，直径弦于点． （1）如图1，过点作弦，求证：． （2）如图2，过点作的平行线，交圆于点，分别与，相交于点，．连接，． ①若，求证：． ②若，．求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）首先得到，，，等量代换得到，推出，即可证明； （2）①如图所示，连接，首先求出，得到，然后证明出，得到，即可得到； ②由①得，，得到，然后等量代换得到，求出，，，勾股定理求出证明出，得到，进而得到，然后得到． 【小问1详解】 证明：如图所示， 直径弦， ，， ∵， ∴， ， ， ； 【小问2详解】 ①如图所示，连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是直径 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴， ． ； ②如图所示， 由①得，， ， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴在中， ， ∴， ， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，同弧所对的圆周角相等，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级期中独立作业 数学试题卷 考生须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上． 3．在答题纸相应的位置规范作答． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 选择题部分 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 下列事件中，属于不可能事件是（ ） A. 抛一枚硬币，正面朝下 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 C. 明天会出彩虹 D. 蜡烛在真空中燃烧 2. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式的值一定与的值相等的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同．红球、黄球、黑球的个数之比为．从布袋里任意摸出1个球为红球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在边长为4的等边三角形中，，分别是，的中点，以点为圆心，3为半径作，则下列判断错误的是（ ） A. 点在外 B. 点在外 C. 点在上 D. 点在内 6. 跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（ ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A. 40 B. 50 C. 80 D. 160 7. 如图，在正方形网格中，，，，，，，，均为格点．若将绕点逆时针方向旋转，点落在点，则点的落在（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 8. 如图，点为边上的一个三等分点，（），以、、、为顶点构造平行四边形，与交于点，若四边形的面积为，则的面积为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，为的直径，为的中点，弦，与相交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点在以为直径的圆弧上，将绕点逆时针旋转得到，延长分别交，于点，．若，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 非选择题部分 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 如图，在正六边形中，的度数是_____． 12. 已知二次函数的图象过点，则的值为_____． 13. 如图，，点在上，已知，．则的长为_____． 14. 在歌唱比赛中，一位歌手分别转动两个转盘各一次（每个转盘都被分成3等分），根据指针指向的歌曲编号演唱两首曲目．则他演唱编号为“1”“5”歌曲的概率是_____． 15. 二次函数的图象上存在点与点，当时，满足，则的取值范围为_____． 16. 如图，在半圆中，直径，点，在圆弧上，，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．若点在上，则的长为_____． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 已知，求的值． 18. 如图，四边形中，，相交于点，点在上，且，． （1）求证：； （2）若，，的周长为20，求的周长． 19. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，，，将绕坐标原点逆时针旋转，点，，的对应点分别为点，，． （1）画出． （2）直接写出线段与的关系． 20. 学校组织综合实践活动，有10名同学参加，其中男生6人，女生4人． （1）若从这10人中随机选取一人作为领队，求选到女生概率． （2）若某项实践活动只在甲、乙两人中选一人，准备以游戏方式决定由谁参加，规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请说明理由． 21. 如图是唐代李皋发明的“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线段为，轮子的吃水深度（到水面距离）为，求该桨轮船的轮子半径． 22. 某品牌水果冻高为，底面为直径是的圆，两个水果冻倒装在一个长方体盒子内，如图为横断示意图，水果冻的截面可以近似地看成两条抛物线，交点为．以左侧抛物线的顶点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求以为顶点的抛物线的函数表达式． （2）若点的横坐标为，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，对于点，，若满足，则称，两点互为“倍点”． （1）已知直线上的点是点的“2倍点”， ①若点在轴上，求点的横坐标． ②若点在抛物线上，求点的坐标． （2）已知，若在抛物线上存在唯一的点是点的“倍点”，求的值． 24. 如图，在中，直径弦于点． （1）如图1，过点作弦，求证：． （2）如图2，过点作的平行线，交圆于点，分别与，相交于点，．连接，． ①若，求证：． ②若，．求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $