精品解析：云南省昆明市长水教育集团2025-2026学年高三上学期质量检测（11月）数学试题

长水教育集团2025—2026学年第一学期质量检测（11月） 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在正项等比数列中，，是方程的两个根，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知一组数据1，8，6，3，5，从0到9中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据，则得到的新数据与原数据中位数相同的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线与椭圆的焦点相同，离心率互为倒数，设，分别为双曲线 的左、右焦点，为双曲线 左支上任意一点，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ） A. 的周期为 B. 该函数的解析式为 C. 是图象的一个对称中心 D. 的单调递增区间是 10. 已知定义在上的奇函数满足，且，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. C. 的最小正周期为6 D. 在上至少有9个零点 11. 如图，在正三棱柱中， ， 分别为 ，的中点，，则（ ） A. 若，则异面直线 和 所成角的余弦值为 B. 若，则平面 C. 若，则点 到平面的距离为 D. 若三棱柱存在内切球，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程是_____． 13. 记 的内角， ， 的对边分别为 ， ， ，且，则的最大值为_____． 14. 如图，在四棱锥中，底面 是边长为2的正方形，，，则该棱锥的体积为_____． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）给定正整数 ，设函数，求． 16. 如图，在直三棱柱中， ，、 、分别为棱、、的中点，，． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数，． （1）求函数在上的值域； （2）若对于任意的，均有，求 的取值范围． 18. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表. 年龄 次数 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 每周0~2次 70 55 36 59 每周3~4次 25 40 44 31 每周5次及以上 5 5 20 10 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； （2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望； （3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率. 参考公式： 附： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知椭圆经过点． （1）求 的离心率； （2）设， 分别为 的左、右顶点，， 为 上异于， 的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍．当 的值确定时，证明：直线过 轴上的定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长水教育集团2025—2026学年第一学期质量检测（11月） 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义求解. 【详解】集合，，则． 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知充分性满足，由，取特值找到反例说明必要性不满足，从而得到结论. 【详解】当时，成立，故充分性满足，当时，如，则，故必要性不满足， 因此“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 3. 已知，则的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，可求得，进而可得，根据虚部的概念，即可得答案. 【详解】由，得， 所以，则的虚部是． 故选：A 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用坐标表示条件中两个向量，根据平行条件列方程求解 【详解】，. 因为，所以，解得. 故选：B 5. 在正项等比数列中，，是方程的两个根，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由韦达定理、等比数列通项公式的下标和性质求解即可. 【详解】因为，是方程的两个根，所以， 在正项等比数列中，有，所以，又，所以， 所以． 故选：B. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助诱导公式、同角三角函数基本关系与正切函数二倍角公式计算即可得. 【详解】由三角函数的诱导公式，可得， 即，所以，则， . 故选：D. 7. 已知一组数据1，8，6，3，5，从0到9中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据，则得到的新数据与原数据中位数相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得所给数据的中位数，再讨论所选两个数字中是否含有5，分析计算，结合古典概型公式，即可得答案. 【详解】数据1，8，6，3，5从小到大排列为1，3，5，6，8，可得其中位数为5， 从0到9中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据有种选法， 要使得新数据与原数据中位数相同，则可分为两类： 若两数中不含5，不同的选法有种； 若两数中含5，则不同的选法有种， 所以共有种不同的选法，所以概率为． 故选：B 8. 已知双曲线与椭圆的焦点相同，离心率互为倒数，设，分别为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线 左支上任意一点，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由已知及双曲线的参数关系列方程求得，根据双曲线的定义有且，应用基本不等式求最小值. 【详解】因为椭圆的焦点为，离心率为，则，解得， 因为 为双曲线左支上任意一点，所以，即，又， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8. 故选：C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ） A. 的周期为 B. 该函数的解析式为 C. 是图象的一个对称中心 D. 的单调递增区间是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：由图知，得，即的最小正周期为，故A正确； 对于B：因为，所以，又， ，代入得，， 又，，，故B错误； 对于C：令，解得，所以的对称中心为， 则不是的对称中心，故C错误； 对于D：令，解得 所以的单调递增区间为，故D正确． 故选：AD 10. 已知定义在上的奇函数满足，且，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. C. 的最小正周期为6 D. 在上至少有9个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对称中心定义可判断A正确，赋值法代入计算可知B正确，结合奇偶性并根据周期函数定义可得C错误，结合已有分析求出所有零点可知D正确. 【详解】对于A，由得的图象关于点对称，故A正确； 对于B，由，令可得，得，故B正确； 对于C，因为是奇函数，由，可知3是的一个周期，则其最小正周期不大于3，所以的最小正周期不可能是6，故C错误； 对于D，，， ，， 在上至少有9个零点，故D正确． 故选：ABD. 11. 如图，在正三棱柱中， ， 分别为 ，的中点，，则（ ） A. 若，则异面直线 和 所成角的余弦值为 B. 若，则平面 C. 若，则点 到平面的距离为 D. 若三棱柱存在内切球，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法线线角，与点到平面的距离，并判断线面垂直是否成立，再结合内切球概念可知. 【详解】如图，过点 作的平行线，交于点 ， 则平面，又 ， 故以，，所在直线分别为 轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，， 对于A，依题意，，，， 则，， 由， 可得异面直线 和 所成角的余弦值为，故A正确； 对于B，由，，可得， 即 与 不垂直，故 与平面不垂直，故B错误； 对于C，依题意，，， 设平面的法向量为，则 故可取，又， 故点 到平面的距离为，故C正确； 对于D，若三棱柱存在内切球，不妨设其半径为，则， 且内切球在底面上的射影是底面三角形的内切圆，故由， 解得，则，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，可求得切线的斜率k，代入方程，整理即可得答案. 【详解】， 切线的斜率为， 切线方程为，即． 故答案为： 13. 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理由边化角，再根据两角和的正弦公式进行化简，求出函数表达式，进而根据辅助角公式，求出最大值. 【详解】根据正弦定理得， 则， 化简得，其中，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为． 故答案为：. 14. 如图，在四棱锥中，底面 是边长为2的正方形，，，则该棱锥的体积为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面平面 ，，可知平面 ，利用等面积法求出，进而得出结果. 【详解】如图，分别取 ， 的中点 ， ，连接，，， 则， ，且，，平面，可知平面， 又平面 ，所以平面平面 ， 过 作的垂线，垂足为 ，即， 由平面平面，平面，所以平面 ， 由题意可得，，，则，即， 则，可得， 该四棱锥的体积为． 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）给定正整数 ，设函数，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将条件整理可得，根据等差数列的定义，可得是首项为1，公差为1的等差数列，代入公式，即可得答案. （2）由（1）知，则，根据错位相减法求和法，化简计算，即可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以是首项为1，公差为1的等差数列， 则． 【小问2详解】 由（1）知，则， ，， 令， 则， 两式相减可得 ， ． 16. 如图，在直三棱柱中， ， 、 、分别为棱、、的中点，，． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立； （2）故以 为原点， 、 、所在的直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 在直三棱柱中，四边形为矩形，则，， 因为 、 分别为、的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以． 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面． 因为平面，平面，，所以平面平面． 【小问2详解】 由题知，平面， ， 故以 为原点， 、 、所在的直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图， 则、、、， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 因此直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知函数，． （1）求函数在上的值域； （2）若对于任意的，均有，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数单调性，从而可得值域； （2）设，则在上单调递增，利用导数求 的取值范围． 【小问1详解】 根据题意，， 则在上恒成立， 所以在上单调递增， 则，， 所以在上的值域为． 【小问2详解】 设，则对于任意的，均有， 即在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 令，则， 即在上单调递增， 又，所以当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，故， 所以 的取值范围为． 18. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表. 年龄 次数 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 每周0~2次 70 55 36 59 每周3~4次 25 40 44 31 每周5次及以上 5 5 20 10 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； （2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望； （3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率. 参考公式： 附： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有关 （2） 的分布列：： 0 1 2 ；期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）求出卡方值并与临界值比较即可得到结论； （2）根据步骤列出分布列，利用数学期望公式即可得到答案； （3）利用全概率公式即可得到答案. 【小问1详解】 零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关， 由题得列联表如下： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 125 95 220 体育锻炼频率高 75 105 180 合计 200 200 400 ， 根据小概率值的独立性检验推断不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01. 【小问2详解】 由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在内的人数分别为1，2， 依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2， 所以， ， ， 所以的分布列：： 0 1 2 所以的数学期望为. 【小问3详解】 记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C， 星期天选择跑步为事件 ，则， ， 所以 所以小明星期天选择跑步的概率为. 【点睛】关键点点睛：本题第3问的解决关键是熟练掌握全概率公式，从而得解. 19. 已知椭圆经过点． （1）求 的离心率； （2）设 ， 分别为 的左、右顶点， ， 为 上异于 ， 的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍．当 的值确定时，证明：直线过 轴上的定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，将点代入椭圆方程得，进而求得离心率； （2）由题可知直线的斜率不可能为0，设的方程为，与椭圆方程联立可得根与系数关系，结合，解得，进而得证. 【小问1详解】 因为椭圆 经过点， 所以，故， 所以 的离心率． 【小问2详解】 由（1）知 的方程为，，． 由对称性可知直线的斜率不可能为0， 设，，的方程为． 由，可得， 所以，即， 且，． 所以 则 ， 解得，则的方程为， 即直线过 轴上的定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $