数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组与并项求和 考点一 裂项相消法 例1.(25-26高三上陕西西安月考)在数列{an}中a,=1,a+1=2an+n-1,n∈N. (I)证明：数列{an+n}是等比数列，并求数列an}的通项公式an; 2者c,=2”-,neN,求数列4的前n项和Z 例2.(25-26高二上福建漳州期中)数列{a}满足4=5，a+1-2an+3=0. (I)求数列an}的通项公式： ②设=a-3,c白，-6-，数列c,的前n项和为，求8的最小值. 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 例3.（25-26高三上辽宁.期中)己知数列an},a1=1,a+1=2an+1 (I)求证：{a,+1是等比数列，并求an的通项公式： (2)证明：2+ 2223 一十 2++2<1 a1a2a2a3a3a4an·aHl 例4.(2526商三上·上海期中)）已如数列a,满足a=la-+加eN) 1 (1)求证： 是等差数列，并求{an}的通项公式： an 1 (②)记Sn=aa2+a,a3+…+aan+1,证明Sn<亏 3 2 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 变式1.(2526高三上：安徽合肥期中)已知S,是等比数列a,的前”项和，S,=6,S,=6 (1)求数列{an}的通项公式； (2)设b。=1og!a,求数列 1 的前n项和T bb) 变式2.(24-25高二上·云南昆明期中)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且4=2，a是2a,和3a2的等差 中项 (I)求数列{an}的通项公式； 2若数列b,满足b。1og,a10g, 2 一，求数列bn}的前2025项和S225. 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 变式3。(2025潮南板拟预测）设正项数列a,的前n项和5，满足瓦=a,+。 (1)求数列{an}的通项公式： b. （②设6=2川66+6+打，求数列c的前刀项和Z. 1 变式4.25-26高三上测南月考)数列a,满足4=1,2n+1+mm+ (I)证明：数列{na,+是等比数列： (2)b,=n2an,求数列bn}的前n项和Tn 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点二 错位相减法 例1.(25-26高二上·福建漳州期中)等比数列an}的公比为2，且a2,4+2,a4成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式： (2)若bn=a,log2an,求数列{bn}的前n项和T. 例2.(25-26高二上海南海口期中)已知数列an}满足an=2an+2+,且a1=2. (1)求4的值： (2)求证：数列 12” 是等差数列，并指出这个等差数列的首项和公差； (3)求数列{an}的前n项和Sn· 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 例3.(25-26高三上宁夏银川期中)已知等差数列{an}满足4=5，a2+a=20,等比数列{bn}是首项为1的递增 数列，且b2+b=a2-1. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式： (2)设cn=abn,求数列cn}的前n项和Tn. 例4.(25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中)己知正项数列{an}的前n项和为Sn,且aa+1=3Sn-1,a1=1. (1)求数列{an}的通项公式： ②设么=2=，求数列6的前r项和，并证明1≤I<8 6 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 变式1.(25-26高三上河北石家庄期中)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比9>0，且 S4=10S2,a3=9a2,neN°. (I)求数列{an}的通项公式： (2)若bn=2n-1,令cn=abn,求数列{cn}的前n项和Tn. 变式2.(2526高三上山东聊城期中)已知数列a,的前n项和为S,且S,=4,-nneN) (1)证明：数列{an+1是等比数列； (2)定义集合Mn={a·a,+a,+a,i,j∈N,且i,j≤n,记Mn的元素个数为b, (i)求bn; (ii)设c。=a.+1·b。,求数列{cn}的前n项和T 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 变式3.(2025·贵州遵义·模拟预测)在等差数列{an}中，a;=8,a=a1+a2+a;记Sn为数列b,}的前n项和，且 S=2b +1 (1)分别求数列an},{bn}的通项公式； (2)求数列 an b 的前n项和 浙江丽水·一模)已知数列a满足4，=1，a2=二，“*1”二 1 (1)证明：数列 为等差数列； a (2)求数列{a,an+}的前n项和Sn. 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点三 分组与并项求和 例1.(25-26高二上·福建龙岩·期中)设数列{an}的前n项和为Sn,Sn=n2+n,{b}是等比数列，b=1, 6-04 8 (I)求数列{an}的通项公式： (2)求数列 _+bn( 的前n项和Tn. 例2.(25-26高二上·江苏苏州·期中)已知数列{an}满足a4=0,a,=4.若数列{an}的前6项依次成等差数列，从第5 项起依次成等比数列 (1)求数列{an}的通项公式 (2)求数列{an}的前n项和Sn. 9 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 例3.（25-26高三上山东潍坊期中)己知正项等差数列{an},a1=2,a2a,=24. (I)求{an}的通项公式： (2)设b.= 22,n为奇数，求数列b,}的前2n项和 an,n为偶数☐ 例4.（25-26高三上·福建漳州月考)己知等比数列{an}的前n项和为Sn,3S,-2S2=S4,a=1. (I)求数列{an}的通项公式： (②)设bn=log2an,cn=an+(-1)"bn,求{cn}的前2n项和Tm o数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组与并项求和 考点一 裂项相消法 例1.(25-26高三上陕西西安月考)在数列{an}中a=1,a+1=2an+n-1,neN. (I)证明：数列{an+n}是等比数列，并求数列an}的通项公式an; (2)若cn=2"-an,n∈N,求数列 的前n项和Tn 【答案】(1)证明见解析，a,=2”-n 27,=4n n+1 【详解11)证明：因为9十+1_2a,+n-1+n+1_2a+心=2，且4+1=2≠0， a+n a +n a +n 所以数列{a.+n是首项为2公比为2的等比数列； 所以a,+n=2·2"-1, 所以a,=2”-n (2)因为cn=2”-an=2”-(2”-n=n, 4 所以=0》店》+4日如 例2.(25-26高二上·福建漳州期中)数列a}满足a=5,a+1-2an+3=0. (①)求数列{a}的通项公式： b ②设=a.-3.6-16可，数列c的前n项和为.求5的最小值 【答案】(1)an=2”+3 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 a娟 【详解】(1)因为an1-2an+3=0,所以an1=2an-3,所以an1-3=2(an-3), 所以93=2， an-3 而4，-3=2≠0，所以{an-3}是以2为首项，2为公比的等比数列； 所以an-3=2×2-=2"，则an=2”+3; (2)由上可知an=2”+3,b,=an-3=2" 2" 11 则6，(6-b-1(2-1(2-可2”-12-1 所以.Sn=C+C2+…+Cn (-品 =1- 21-1 国为f=4eN)单调缝增，所以f小2f刊-号 所以S的设小馆为号 例3.(25-26高三上辽宁期中)已知数列an},a,=1,a+1=2an+1. (1)求证：{a,+1是等比数列，并求an的通项公式： 2)证明：2+222 ++2” -<1 aaz aza3 a3as anan 【答案】(1)证明见解析，an=2”-1 (2)证明见解析 【详解】(1)：a1=1,an1=2an+1, .an1+1=2an+1,01+1=2, 即：+1-2 a+1 所以数列an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列. 可得：an+1=2×2"-=2" 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 即：a,=2”-1 (2)由(1)得，an=2”-1,01=21-1. 2 2" 11 则a,0(2-2-可2-12- 所以： 22 2 23 +…+一2” a'a2 azd3 a3a ana 1111 11 =2-2-+2-12-++2-12- 11 27<1 即：2+22 2” 一十…+ -<1 a1·a2a2·a3a3a4 ananl 例4.(2526商三上·上海期)已知数列a,满足a=la-2+aeN) 1 (1)求证： 是等差数列，并求{an}的通项公式； an (2i记S,=aa,+a,4+…+a,a,证明S.<有 【答案】①证明见解析，a,=3n-2 1 (2)证明见解析 【详解】(1)由an+1 30+,两边取倒数，可得=上+3， an antl an 1 即有数列 是首项=1，公差d=3的等差数列， 由等差数列的通项公式，可得。-1+(n-1×3=3n-2,故a,3n一2 1 1 a (2)由aan+1= 1(11 3n-2)(3n+1)33n-23n+1 可待5.=4g+a,+…+aa0-任引…+气2)】 w号 2526高三上~安微合匙期中)已知S是等比数列Q的前n吸和，S,G 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 (1)求数列{an}的通项公式： (2)设b.=log:a,求数列 1 的前n项和T 1 【答案】(0)a,=2 n ②)7.=2n+2) 【详解】(1)设等比数列{an}的公比为q, 则93=S-S=1 -有所以g 又5名所以a+g-刊名所以4 所以数列a,的通项公式为4，： (2)由(1)得，b,=log1a,=n+1， 1 1 11 所以6，(n+ln+2n+1n+2' u-G》》片女22 变式2.(24-25高二上云南昆明期中)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1=2,a是2a和3a的等差 中项 (1)求数列{a}的通项公式： 2若数列b,满足b。1og,a1og,a ,求数列{bn}的前2025项和S25. 【答案】(1)an=2" 22025 1013 【详解】(1)数列{an}是各项均为正数的等比数列，设公比为9，则q>0, 因为43是2a1和3a2的等差中项，则2a;=2a,+3a1,即2a92=2a,+3a,9, 因为4=2，所以2g2-3q-2=0,又9>0，解得92， 所以a,=a,×g"-=2×2-=2”. (2)由(1)知a。=2”, 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 2 则bn= 所以S20s= 2×20252025 2025+11013 变式3。(2025：湖南枝拟预测)设正项数列a}的前n项和S,满足-引a+. (1)求数列{an}的通项公式： 6 ②设6，=24“，c,+1b+可’ 求数列cn}的前n项和Tn. 【答案】(1)an=2n-1 【详解】（1）由S=a,+刂得+2a,+1=45,可知a+24+1=45 两式相减得a元-a+2(an1-an)=4a1, 即2(an1+an)）=a+1-a=(an1+an)(an1-an）, 0n>0,∴am1-am=2, 当n=1时，a+2a1+1=4a1,.a1=1, 则{an}是首项为1，公差d=2的等差数列， ∴{an}的通项公式为an=1+2(n-1)=2n-1: (2)b,=21=22-1州=4”， gi可 c 49 万-ee*o*6144(p】ga】 变式4.(25-26高三上湖南月考)数列a,满足a=l,升=2n+i十n+1 am1=20,+ 1 (1)证明：数列{nan+1是等比数列； (2)bn=nan，求数列bn}的前n项和 【答案】()证明见解析： 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 ②)2+(n-)21_1+mn 2 【详解110由-2名+n可得：a+a2a.+1台a+a1=2+. 1 n 因为a,+1=2,所以数列{nan+是等比数列，首项和公比均为2： (2)由1)得m,+1=2÷a,=2-1, n 因为b,=ma,所以h,=m22”- =n…2"-n, n 设Sn=1×2+2×22+3×2++n,2”, 则2Sn=1×22+2×2+3×24+…+n2+1, 两式相减得：-S=2+2+2+2++2-n-2州_2-2） -n…201=-2+(1-n21, 1-2 所以Sn=2+(n-12H, 则Tn=1×2-1+2×22-2+3×2-3++n,2”-n =1×2+2×22+3×23+.+n2”-(1+2+3+…+n) =2+(n-1)21_1+川n 2 6 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点二 错位相减法 例1.(25-26高二上福建漳州期中)等比数列an}的公比为2，且a2,a+2,a4成等差数列. (I)求数列{an}的通项公式： (2)若bn=a,log2an,求数列{bn}的前n项和T. 【答案】(I)an=2",n∈N (2)Tn=(n-121+2 【详解】(1)已知等比数列an}的公比为2，且a2,a+2,a4成等差数列， .2(a3+2)=a2+a4, .2(4a1+2)=2a,+8a1,解得a=2, ∴an=2×2-=2,neN; （2)bn=2"10g22”=n·2”, T,=2+2×22+3×23+…+n…2", 2Tn=22+2x23+3×24+…+n201 -7=2+2+23++2”-n-2-2×1-2 -n.21, 1-2 解得Tn=(n-121+2. 例2.（25-26高二上海南海口期中)已知数列{an}满足an=2an+21,且a,=2. (1)求a的值； (2)求证：数列 是等差数列，并指出这个等差数列的首项和公差； (3)求数列{an}的前n项和Sn 【答案】(1)a3=24; (2)证明见解析，首项为1，公差为1； (3)S,=(n-12m+2 > 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 【详解】(1)an=2an+2,且a=2 a2=2a1+4=8, a3=2a2+8=24 (2)由a1=2an+2(ne∈N）, 得0-0-20+2-2a-2 20 2分 20 24-1. 又号1 an 是以1为首项，1为公差的等差数列。 (3)由(2)可知： 受=n,neN,放a.=-2; Sn=1×2+2×22+3×23+4×24+…+n×2”, 2Sn=1×22+2×23+3×2+4×23+…+n×21 两式相减，得 -Sn=2+22+23+24+…+2”-1n×2+1, 21-2")） -n×2"1, 1-2 =2H-2-n×2m1, =(1-n)×2m+1-2; 故S,=(n-1·2+2 例3.(25-26高三上宁夏银川期中)己知等差数列{an}满足a,=5,a2+a=20,等比数列{bn}是首项为1的递增 数列，且b+b=a2-1. (I)求数列{a}与{b}的通项公式： (2)设cn=abn,求数列{cn}的前n项和Tn 【答案】(1)an=2n+3,b,=2- (2)T,=(2n+1×2"-1 【详解】(1)设等差数列an}的公差为d, 因a1=5,a2+a=20,则a2+a=2a1+5d=10+5d=20,得d=2, d 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 所以an=5+2(n-1=2n+3, 所以b2+b=bg+g2)=a2-1=6,即g2+g-6=0,解得q=-3或92， 因数列(b,}为单调递增的等比数列，所以数列b,}的公比为9q>,即q2. 所以bn=b,g"-=2-1, 则数列{an}的通项公式为an=2n+3,{bn}的通项公式为b,=2"- (2)由(1)知cn=a,bn=(2n+32-，, 所以Tn=5×2°+7×2+9×2+…+(2n+3)×21, 所以2Tn=5×2+7×2+9×23+…+(2n+1)×2"-+(2n+3)×2”, 两式相减得-Tn=5+2(2+22+23+…+2"-）-(2n+3)×2” 5+22-32n+321中2x22n+32=12m+2 所以Tn=(2n+1×2”-1. 例4.(25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中)己知正项数列an}的前n项和为Sn,且a,a+1=3Sn-1,a,=1 (1)求数列{an}的通项公式： ②设6=2=，求数列}的前“项和7，并证明1≤文<8 3n-1,n为奇数 【答案】(I)an= 2 neN） 3n- ，n为偶数 2 (2)7,=8-3n+4 2，证明见解析 【详解】(1)由ana1=3S。-1得，an-1an=3Sn-1-1,n≥2， 两式作差得ana1-an-14n=3an,n之2，因数列(an}为正项数列， 则an1-an-1=3,n≥2，令n=1,则a42=3S1-1,则a2=2, 则数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列， 故为商数时，=1-小3 数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列， 0 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 故”为偶数时，4=2+（行-小水3=”2， 21 为奇 综上，数列an}的通项公式为an= eN; 2,n为偶数 3n-2 (2)由(1)可得，b===3n-2 21 2, 147 3n-2 所以7，=6+6++b=20+2+2++ 2-1Γ， 2” 1 1- 1.333 33n-2 2n-1 3n-2 两式相减得27，=20++2+2+ 2- 2" =1+3 2” 1 2 所以=1+)2=494，所以x=89共 2-1, 因为的=>0，所以数列工=8兰单词端州， 故1=T≤T<8 变式1.(25-26高三上河北石家庄期中)己知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比9>0，且 S4=10S2,a3=9a2,neN'. (1)求数列{an}的通项公式： (2)若bn=2n-1,令cn=abn,求数列cn}的前n项和Tn. 【答案】()a,=3 (2)T,=1+n-13” 【详解】(1)由S4=10S2,则g≠1， 「S4=10S2 (a=9a2 a1-9）_10a1-g2） a=1 .1-q 1-9解得 9=3' aq2=9a 又q>0, 9=3, 10