裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组与并项求和 考点一 裂项相消法 例1.(25-26高二上河北期中)已知数列an}为等差数列，Sn为其前n项和，a=6,S6=42 (I)求数列{an}的通项公式： 包老么=。，数列么的前n项和为，求证：无<分 anant 【答案】(1)an=2n (2)证明见解析 【详解】(1)由题意等差数列{an}中，a,=6,S6=42,设公差为d, [a,+2d=6 可得 6g+6x5 a=2 =42’ 2 解得d=2 故an=2+2(n-1)=2n. 2由可得么=d2a2日】 1 nn+14n+1厂44n+4 11 因为 1一>0，所 4n+4 44n+44,得证 例2.(23-24高二上福建厦门期中)己知数列a,}满足a,=2,a。=n(a1-a,)(n∈N). (1)求数列{an}的通项公式： 1 ②设6。一，求数列b,的前”项和为S 【答案】(1)an=2n 2)S.=2n+1 【详解】(1)因为an=n(a1-an),且a1=2,可得(n+1)an=na1, 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 即-对任意nN恒成立，可得=a出==4=2， n+l n 'nn-1 1 所以an=2n (2)由(1)可知：an=2n, 则b.= 所以Sn= 2n+1 例3.（25-26高三上·黑龙江月考)已知等差数列{a,}的前n项和为Sn,a6=11,S。=100,{b,}是等比数列，且 b3=a5,b4=a14 (1)求{an},{bn}的通项公式： 2 ②设cog+i0g,+门，数列c的前n项和为工，若不等式27，+2>0对任意正整数n恒成立，求元的 取值范围 【答案】()a,=2n-1,b,=3 (2)-1,+0)） 【详解】(1)因为an}为等差数列，且a6=11,So=100,设公差为d, a1+5d=11 a1=1 所以 +10x94=10' 10a1 2 解得d=2 所以an=1+(n-1)×2=2n-1 又b=a=9,b4=a14=27,设公比为q, b92=9 b=1 所以 9=27’解得 9-3’ 所以b,=3” o由)利6-所以女e可日 2 2 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 所以Tn=C1+C2+…+cn=21- 1+11+…+1-1=2m, 2'23nn+1n+1' 因为不等式元T,+2>0对任意正整数n恒成立， 所以22>-2，即>-+=-1-1， n+1 、n n 因为neN,所以-1-1<-1，所以之-1， n 则2的取值范围是-1，+0) 例4.(25-26高三上河北沧州月考)已知{an}与{bn}为公差相同的等差数列，且an+b,=4n,a,=b2 (I)求{an}与{bn}的通项公式： (2)设Sn为数列 1 的前n项和，证明：2Sn<1 ab 【答案】(1)an=2n+1,bn=2n-1. (2)证明见解析 【详解】(1)设a1=x,则b=4-x,b2=x,a2=8-x, 由题意可得a2-a1=8-2x=b2-b=2x-4,解得x=3, 则{an}的首项为3，公差为2，{bn}的首项为1，公差为2， 故an=3+2(n-1)=2n+1,b.=1+2(n-1)=2n-1. (2)由(1)得a,bn=(2n+1)(2n-1,neN, 城a可凯品】 0店》+(】 故2Sn<1. 变式1.(25-26高三上江苏南京·期中)已知数列{an}的首项a,=1,且满足递推关系a+1=3an+4. (I)求证：{an+2是等比数列，并求数列{a}的通项公式； (2)记6，=0。+2 ，数列bn}的前n项和为Tn,若am1·Tm=39,求m. an'ant 【答案】(1)证明见解析，an=3”-2 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 (2)3 【详解】(1)41=1，an+1=3an+4 .a1+2=3(an+2),因为a,+2=3≠0 所以+2=3： a+2 所以数列{an+2是以3为首项，公比为3的等比数列. 可得：an+2-3×3同=3 即：a,=3”-2 (2)由1)得，，=8+2= 3” anan+1(3”-2)(3+-2) 3" 111 则6,6-2i8m-223-23-2, 1 所以Tn=b+b,++bn= 11 11 32-28 11 由am1Tm=39, 得8-2片28-2小39→3239. 1 22 所以31-2=79，解得m=3. 变式2.(25-26高三上广西南宁·月考)已知等差数列an}为递增数列，其前n项和为Sn,满足a4a;=63, S8=64 (1)求{an}的通项公式an; ②若数列c,}满足C,=-n,求c}的前n项和工 dnant 【答案】(1)an=2n-1 2)7,=1+ 2n+1 【详解】(1)等差数列an}为递增数列，∴a4<a5, S=64,即8a+a=64,÷4,+a,=16, 2 a4+a5=a1+ag=16, 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 联立 a4+a5=16 aa,=63，解得a=7,a,=9, ∴d=a5-a4=2,a1=a4-3d=7-6=1, ∴an=a+(n-ld=1+2(n-1)=2n-1. (2)由(1)可得an=2n-1, c,=←1n=(←1.4加 1 anan+ 2m-2n+0-(3 2n-12n+, 数列{cn}的前n项和Tn=C+C2+C++C 35 57 2n-1+2n+1 1*) 2n+1 变式3.(25-26高三上湖南月考)在数列an}中，令Sn为其前n项和，若a=1, (n-1)S,-nS1= E-(n≥2) (I)证明：数列{an}为等差数列，并求其通项公式： (2)求数列 1 的前n项和. anan+2) 【答案】(1)证明见解析，an=3n-2 5 6n+5 ②)2463n+13n+4 【详解】(1)由a-1S.-n心=3？-少a≥2. 2 两边同时除以n-)得，三S一-3 ”n-12’n22, 因为子-马1，所以藏列各}是以1为当项·为公整的等装致列 11 则3=1+(n-)× s 2 当m22时，a.=8.-3,=n2”3m--n-山-3n-2 2 2 显然a1=1满足上式，则an=3n-2, 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 而a+1-an=3(n+1-2-(3n-2)=3, 所以数列an}是以1为首项，3为公差的等差数列. 1 1 1 1(1 1 (2)由一 nan2 (3n-2[3(n+2-2](3m-2(3m+463n-23m+4 则数列 1 aran+2 的前n项和为 74107133n-23n+4 1+2-,1 1)5 6n+5 6 43n+13n+42463n+1)(3n+4 变式4.(25-26高二上福建宁德期中)已知数列{an}的前n项和为Sn, 请在0a=2,S1-”+2。 n+10,+5, ;②a,a,a,成等比数列，Sn1=an+Sn+1两个条件中任选一个补充在上面横线中，并解答下面问题 (1)求数列{an}的通项公式： ②记工=+1+…+1，求工的取值范围 a1·a2a2a3anam4l 【答案】(1)条件选择见解析，an=n+1 e6 【详解】(1)选条件①： 由Sn1=n+2 +Sn,得1=n+2 n+1 an n+l 当n22时，g=.0⊥凸-n+1.n3n+1 aam1am-2a1nn-12-2’ 由a=2得an=n+1, 当n=1时，a,=2满足上式 故an=n+1. 选条件②： 由Sn1=Sn+an+1,得Sn1-Sn-an=1,即an+1-an=1, 所以{an}是公差d=1的等差数列 由题知a=a,a7,即(a,+2d)=a(a1+6d),解得a=2, 所以an=a,+(n-1d=n+1. 6 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 (2)记6，=1 1 11 an~a+1(n+1(n+2)n+1n+2 T=b+b2+bs++bn+bn -1111111111 +…+ 233445 nn+1'n+1n+2 11 2n+2 医为20，所时分年7 因为工在neN上单调递增，所以T,≥了=石 综上，工的取值范围是62) 11 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点二 错位相减法 例1.(25-26高三上山西大同月考)设数列{an}的前n项和S。=n2-km,a,=7数列{b}是等比数列， b=a2,b(a+a5)=1. (I)求数列{an},{b}的通项公式： (②)若是数列a,b的前n项和，求满足7，>8的最小的正整数n的值 32 【答案】0a=2n-3,= (2)11. 【详解】(1)因为S。=n2-km,a,=7,所以由a=S,-S,得(25-5k)-(16-4k)=7,所以k=2, 所以S。=n2-2n,a1=-1, n>1时，a,=Sn-Sn1=(n2-2n-(n2-2n+1-2n+2）=2n-3, 又n=1时，2n-3=-1=a1,所以{an}的通项公式为an=2n-3; 设{b}的公比为9， 因为b=a2=1,b(a2+a)=1,所以b4= 会 T=689=2, 所以6}的通项公式为6=， 2 2》由知a=3,所以的前0项和2=+3 20+2+2++ 2n-3 2-1 所以1，=2+ …+2n-3 -113 22+ 2n, 2）2n-3 +20++2+…+2厂20 321-22m32m+7 1- 2” 所以7，=2-2n+1 2-1 24令c史则cc2n+322n+1230,所以0<G 电z2得2n+11 21 2 因为90= 4,4--器.所以46 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 所以满足工，>3的最小的n的值为11 32 例2.(2025黑龙江齐齐哈尔模拟预测)己知等比数列{，}的前n项和为S,且S,=m-2· 1 (I)求m的值及{an}的通项公式： (2)若bn=（2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Tn. 1 【答案】()m=1，a,=2 (2)7=3-2m+3 2” 【详】D因为S=分 当n=1时，a1=S,=m- 1 叉因为a是等比数列，所以口=m}),解得m少 所以{a,}的通项公式为a,=交 1 1 故m=1；a,=2· (2)由1)知6，=2n-a,=2n1, 2”’ 135 所以Tn=b+b2+b+…+bn=。+ 2+2+…+2加-32n-1 21+ 20, 1,3.5 所以+2+京++ 2n-3,2n-1 2” 2+1, 两式相减得： 1 1,2,2,,22n-11,1,1, 27.-22+2+ 2n2n+12T2+22+…+=2n-1 22 1 1.2 2 2n-132n+3 2 201 2 1 20+1 2 所以7，=3-2n+3 2n. 例3.（2526高三上重庆月考)数列a满足a=写a-2a+3a0=0neN. ()求证： 数列 -3 是等比数列，并求数列{a}的通项公式 a 0 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 ②)设6，=2m-1 ，数列(b}的前n项和为Sn,求Sn. a。 【答案】()证明见解析，a,=2”+3 1 (2)4n-62"+6+3n2 【详解】(1)因为a,-2a1+3a。a+1=0,所以 12-3, ant an 所以1-3=2-3，而2-3=2≠0， a. a 所以上-3是以2为首项，2为公比的等比数列： 所以-3=2-2，则a,=2”+3 1 a 1 (2)由(1)可知a,=2”+3则6=(2n-(2+3列=(2m-2”+3(2n-, Sn=2+3+3.22+3-3+523+3.5+…+2n-32+3(2n-3+2n-12”+3(2n-1 =[2+3.22+5.23+…+(2n-32+2n-12”]+3[1+3+5+…+(2n-3)+(2n-1],令 An=2+3.22+523+…+(2n-32+2n-12", .24=22+3·23+5-24+…+(2n-3)2”+(2n-12m1, 作差得：-=2+2.2+2.2+…+22”-2n-小-2=41-2）-2n-l-2-2, 1-2 .An=(4n-6)2”+6. 令Bn=1+3+5+…+2n-3)+2n-1, 则B,=1+3+5++(2n-3+2m-1=n1+2n-=m, 2 .Sn=An+3Bn=(4n-6)2”+6+3n2. 例4.(25-26高三上·四川月考)设数列{an}的前n项和为Sn,已知S2n=0,S2m-1=2 (I)求{a}的通项公式； (2)求数列{a,}的前n项和 【答案】(1)a,=2×(-1)- 10裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组与并项求和 考点一 裂项相消法 例1.(25-26高二上河北期中)已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a=6,S。=42 (I)求数列{an}的通项公式： 包老么=。，数列么的前n项和为，求证：无<分 anant 例2.(23-24高二上福建厦门期中)已知数列{a,}满足a=2,a,=na1-an)(neN）. (1)求数列{an}的通项公式： 1 ②)设，-a一，求数列b,}的前”项和为S 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 例3.(25-26高三上·黑龙江·月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a。=11,，S。=100,{bn}是等比数列，且 b3=a5,b4=a14 (1)求{an},{bn}的通项公式： 2 ②设c,og,+110g,十打，数列c,}的前”项和为，若不等式I,+2>0对任意正整数n恒成立，求元的 取值范围 例4.(25-26高三上·河北沧州月考)已知{an}与{bn}为公差相同的等差数列，且an+bn=4n,a=b2 (1)求{an}与{bn}的通项公式； 1 (2)设Sn为数列 的前n项和，证明：2S。<1 2 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 变式1.(25-26高三上江苏南京·期中)己知数列{an}的首项a1=1,且满足递推关系a+1=3a,+4 (I)求证：{an+2是等比数列，并求数列an}的通项公式； ②记b,=8+2,数列，的前n项和为，若a7,=39,求m. an·antl 变式2.(25-26高三上广西南宁·月考)已知等差数列{an}为递增数列，其前n项和为Sn,满足a,a=63, S8=64 (I)求{an}的通项公式an; ②若数列c,满足c,=-n，求c的前n项和 aa 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 变式3.(25-26高三上湖南月考)在数列{an}中，令Sn为其前n项和，若a,=1, (n-1)5,-nS=3n(n-D (n≥2) 2 (I)证明：数列{an}为等差数列，并求其通项公式； (2)求数列 1_的前n项和 anan+2) 变式4.(25-26高二上·福建宁德·期中)已知数列{an}的前n项和为Sn, 请在0a=2,S4-”+2。 n+10,+S, ;②a,a,a,成等比数列，Sn+1=an+Sn+1两个条件中任选一个补充在上面横线中，并解答下面问题 (1)求数列{a}的通项公式： ②记I=+1++。,求工的取值范围 a'az az'a an'an 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点二 错位相减法 例1.(25-26高三上山西大同月考)设数列{an}的前n项和S。=n2-km,a=7.数列{b}是等比数列， b=a2,ba2+a5)=1. (I)求数列an},{b}的通项公式： ②若？是数列a,b的前n项和，求满足工，>63的最小的正整数n的值 32 例2.(22熙龙江齐齐哈尔恢报预测）已知等比数列a,的前项和为S,且S=m (I)求m的值及{an}的通项公式： (2)若bn=（2n-1)an,求数列{bn}的前n项和T. 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 变式1.(25-26高二上福建莆田期中)己知数列{an}的前n项和为Sn,且2an=Sn+2n∈N. (1)求数列{an}通项公式： (2)求数列 n 的前n项和T; ③)设么，=二，求证：数列b,}中任意不同的三项都不能构成等差数列. a 变式2.(2526高二上江苏苏州月考)已知数列a,的前n项和为S,且S,-0-n. (1)求证：{a,+是等比数列； 2)求数列+a 21n-1 }的前n项和Tn。 同若=子，数列6，的前n项和为0，求证：Q< 2 a. 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 变式3.(25-26高三上·天津期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a,=7,S。=48,数列{bn}满足 2b1=bn+2,b=3 (1)证明：数列{bn-2是等比数列，并求数列{an}与数列{b}的通项公式； (2)求数列{b}的前n项和Qn (3)若cn=an(bn-2),求数列{cn}的前n项和Tn 变式4.(2025辽宁丹东模拟预测)已知数列{an}的前n项和为Sn,且2an=Sn+2,各项均为正数的递增数列{bn} 满足(bn1+bn-1)2=4bb，b=1. (1)求{an}的通项公式： (2)求{b}的通项公式： (3)记数列 的前n项和为Tn,求T a 8 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点三 分组与并项求和 例1.(2526商三上因川肥中月考)已刻数到a的前顶和为54=号=a+2n+3eN (I)求证：数列a,-m是等比数列，并求出数列an}的通项公式； (2)求数列an}的前n项和Sn. 例2.(2025·四川资阳一模)己知数列{an}的首项41=6，且满足a1+2+=4a, (1)求证：{a,-2是等比数列 (2)求数列{an}的前n项和Sn; 国冷数列的前项和为求证：+)子<工<m 0 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 例3.(25-26高二上上海期中)己知数列满足a,=3,且对任意的n∈N*，都有a1=3a。-4neN） (1)令bn=an-2,证明：数列bn}为等比数列： (2)求数列{a,}的通项公式及数列an}的前n项和Sn 例4.(25-26高三上云南月考)已知数列{an}满足a1=2a,+2+1+1,且a=1. (1)求证： a+1 2”为等差数列： (2)求数列{an}的前n项和Sn 10