一元一次方程：比例分配问题、和差倍分问题、几何问题专项训练-2025-2026学年人教版七年级数学上册

一元一次方程：比例分配问题、和差倍分问题、几何问题专项训练 一元一次方程：比例分配问题、和差倍分问题、几何问题专项训练 考点目录 比例分配问题 和差倍分问题 几何问题 考点一 比例分配问题 例1．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）风华中学举办英语节活动，包括三大组别的节目：歌曲组、短剧组、演讲组，每位学生只能参加一个组别的节目．六年级有部分同学参加活动，其中的同学加入歌曲组，的同学加入演讲组，剩下20名同学加入短剧组，参加英语节的男生比女生少． (1)六年级参加英语节的学生有多少人； (2)参加演讲组的男生是参加短剧组男生的，且比参加歌曲组的男生多，求参加歌曲组的男生有多少人； (3)在（2）的条件下，由于英语节活动调整，一些学生从演讲组调整到歌曲组和短剧组，从演讲组调出学生中，3名男生全部调入歌曲组，调入歌曲组和短剧组的女生人数比为，此时歌曲组人数是短剧组人数的，求调入歌曲组的女生有多少人． 例2．（25-26七年级上·福建福州·开学考试）某中学社团活动丰富多彩，其中体育社团有三个，分别是篮球社、足球社和羽毛球社．篮球社人数最多，有48人． (1)以下三个关于体育社团人数的信息只有一个是准确的，准确的信息是 ． A．篮球社、足球社和羽毛球社人数的比是． B．篮球社人数是足球社人数的． C．篮球社人数比三个体育社团总人数多10人． (2)根据以上信息算一算，该校三个体育社团的总人数． 例3．（24-25七年级下·福建泉州·期中）2025年红五月校园文化艺术节现场书法比赛即将开启，学校决定将综合实践活动教室布置为比赛场地，如图，这是该教室第一排5张课桌的布置示意图．布置说明：桌子与桌子、桌子与墙之间的距离均相等，课桌的桌宽均相等，且间距：桌宽，现测得该教室内南墙到北墙之间的距离是6米，请计算出该教室布置的间距与桌宽． 变式1．（24-25七年级上·陕西延安·期末）在清冰雪劳动中，某武警部队出动兵力人参加三条街道的清冰雪劳动，其中街道清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加街道和街道的清冰雪劳动，并且参加街道清冰雪的人数是参加街道清冰雪人数的． (1)求参加街道清冰雪劳动的有多少人？ (2)求参加街道和街道清冰雪劳动的各有多少人？ 变式2．（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）在《国家空间科学中长期发展规划（2024-2050年）》中，明确了我国空间科学发展目标，提出我国拟突破的“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”5大科学主题．某班老师在进行相关科普时，让48名学生从这5大科学主题中各自选择一个喜欢的主题，最终选择“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”的人数比是，那么喜欢“宜居行星”主题的人数是多少？ 变式3．（2024·北京昌平·二模）如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距，试求横幅字距是多少？ 考点二 和差倍分问题 例1．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． (1)请问该车间有男生、女生各多少人？ (2)已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 例2．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）我国城市中，暂不缺水城市数比严重缺水城市数的3倍多52座，一般缺水城市数是严重缺水城市数的2倍．若城市总数为664座，求严重缺水城市有多少座？ 例3．（24-25七年级上·北京西城·开学考试）学校将礼品颁发给朗诵比赛获得一、二、三等奖的同学，一等奖的每个同学能得到5个礼品，二等奖的每个同学能得到3个礼品，三等奖的每个同学能得到1个礼品．已知一、二、三等奖的同学共有56人，且获得三等奖的人数是获得二等奖人数的2倍，最终共颁发了120个礼品．求获得一、二、三等奖的同学分别有多少人？ 例4．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）爸爸比儿子大岁，今年爸爸的年龄是儿子年龄的倍，求父子二人今年各是多少岁？（用一元一次方程解答） 变式1．（24-25七年级上·江苏徐州·开学考试）果园里桃树的棵数相当于梨树棵数的，相当于苹果树棵数的，如果梨树比苹果树少棵，这个果园里桃树、梨树、苹果树各多少棵？ 变式2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）“星耀舞台”是力旺中学的传统活动．在准备阶段，需要根据节目个数和所计划的节目表演时长（不包含报幕、串场等时间）进行安排．如果每个节目表演3分钟，则所有节目表演完还剩下7分钟；如果每个节目表演4分钟，则所有节目表演完比计划表演时长超出4分钟．求此次“星耀舞台”一共有多少个节目？ 变式3．（24-25七年级上·陕西延安·阶段练习）某学校举办冬季运动会，初一年级的检阅方队由本年级的学生组成，原计划方队中女同学的人数占整个方队总人数的，因方队的阵型改变需要，又调来20名女生加入方队，此时方队中女同学的人数占整个方队总人数的． (1)初一年级的检阅方队中现在一共有多少名同学？ (2)在改变后的方队中，需要每名男同学手拿两面国旗，每名女同学拿一个花环，去商店购买国旗和花环一共花费2640元，已知商店里一面国旗的价格恰好是一个花环价格的，求一个花环和一面国旗各多少元？ 变式4．（24-25七年级上·河南漯河·阶段练习）在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时可以剪筒身40个或剪筒底120个． (1)七年级（2）班有男生、女生各多少人？ (2)原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 考点三 几何问题 例1．（25-26七年级上·河南新乡·期中）阅读下列内容：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数-5的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)数轴上表示5与两点之间的距离是________； (2)数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为________； (3)由以上探索猜想对于任何有理数，的最小值是________； (4)若有最小值4，则________． 例2．（25-26七年级上·北京西城·期中）对于点M，N，给出如下定义：在直线上，若存在点P，使得，则称点P是“点M到点N的k倍分点”． 例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点． 已知：在数轴上，点A，B，C分别表示－5，－3，1． (1)点B是点A到点C的______倍分点，点C是点B到点A的______倍分点； (2)点B到点C的3倍分点表示的数是______； (3)点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的2倍分点，求出x的取值范围． 例3．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知数轴上三点，，对应的数分别为，0，4，点为数轴上任意一点，其对应的数为． (1)如果点到点、点的距离相等，那么的值是_____； (2)数轴上存在点，使点到点、点的距离之和是10，直接写出的值，_____； (3)若两点间的数轴称为“隔离带”（包含两点），点以每秒4个单位的速度向右运动，点以每秒2个单位的速度向左运动，点以每秒1个单位的速度从点向左运动．请问在点运动的过程中，点能否突破“隔离带”？若能突破，共有多长时间保持在“隔离带”之外？（请同学们画数轴进行分析并写出解答过程） 例4．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小东在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： (1)如图1，在数轴上，两个有理数从左到右依次是，b，折叠这条数轴所在纸面，若使表示的点与5表示的点重合，折痕与数轴的交点表示的数为n，则___________；此时，数b表示的点与数表示的点重合，则___________； (2)若在数轴上点、表示的数分别是、3，且数轴上有点，使点到点的距离是点到点距离的4倍，那么点表示的数是多少； (3)如图2，在数轴上剪下到10共12个单位长度的部分（不考虑宽度），并把这条数轴沿数所在点折叠，使表示的点落在这条线段上，然后在重叠部分某处剪开，展开后得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，直接写出m的值． 变式1．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图1，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且满足．是数轴上的一个动点，点到点的距离表示为，点到点的距离表示为． (1)________，________； (2)当时，求点所表示的数； (3)如图2，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点从点出发，以与点相同的速度沿数轴向左运动． ①若运动时间均为，用代数式表示，之间的距离； ②若点，之间的距离是点，之间距离的2倍，求此时运动时间的值． 变式2．（25-26七年级上·北京西城·期中）对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以（），再加上，所得数的对应点为．将称为点的“倍移点”． (1)当，时， ①若点A表示的数为，则其“倍移点”表示的数为______； ②若点的“倍移点”表示的数是7，则点表示的数为______； ③若点与其“倍移点”在数轴上重合，求点所表示的数． (2)已知点表示的有理数为，其“倍移点”为点，原点的“倍移点”为点．若，线段与的重叠部分长度为3，求的值． 变式3．（25-26七年级上·上海宝山·期中）如图，数轴的单位长度为1，点A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K中相邻两点的长度都是1个单位长度． (1)如果点D、H表示的数是互为相反数，那么原点是点 ； (2)如果点A、G表示的两个数的绝对值相等，那么点K表示的数是 ； (3)如果点I为原点，数轴上某个点到点D的距离是到点G的距离的2倍，这个点表示的数是 ． 变式4．（25-26七年级上·北京大兴·期中）数轴上互不重合的三个点，，表示的数分别为，，，如果是的倍，那么就称点是点关于点的“倍关联点”．如图所示，点，点表示的数分别是，4． (1)点是点关于原点的“倍关联点”，则_____； (2)点是点关于点的“2倍关联点”，求点表示的数； (3)点，表示的数分别是，，点，不与点，重合，若点是点关于点的“倍关联点”，且，则点是点关于点的“_____倍关联点”（用含的代数式表示）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $一元一次方程：比例分配问题、和差倍分问题、几何问题专项训练 一元一次方程：比例分配问题、和差倍分问题、几何问题专项训练 考点目录 比例分配问题 和差倍分问题 几何问题 考点一 比例分配问题 例1．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）风华中学举办英语节活动，包括三大组别的节目：歌曲组、短剧组、演讲组，每位学生只能参加一个组别的节目．六年级有部分同学参加活动，其中的同学加入歌曲组，的同学加入演讲组，剩下20名同学加入短剧组，参加英语节的男生比女生少． (1)六年级参加英语节的学生有多少人； (2)参加演讲组的男生是参加短剧组男生的，且比参加歌曲组的男生多，求参加歌曲组的男生有多少人； (3)在（2）的条件下，由于英语节活动调整，一些学生从演讲组调整到歌曲组和短剧组，从演讲组调出学生中，3名男生全部调入歌曲组，调入歌曲组和短剧组的女生人数比为，此时歌曲组人数是短剧组人数的，求调入歌曲组的女生有多少人． 【答案】(1)60 (2)5 (3)6 【详解】（1）解：短剧组的20名同学占六年级参加英语节总人数的， ∴六年级参加英语节总人数为（人）； （2）解：∵参加英语节的男生比女生少， ∴男生占总人数的， ∴男生人数为（人）， 设：歌曲组男生为人，演讲组男生为人，短剧组男生为人 已知：，（演讲组男生比歌曲组男生多，即是的倍）， 由和得：，故， 男生总数：， ， 解得， ∴歌曲组男生为5人． （3）解：由（2）知各组人数： 歌曲组：15人（男生5人，女生10人） 演讲组：25人（男生8人，女生17人） 短剧组：20人（男生12人，女生8人） 调整过程： 从演讲组调出学生，其中3名男生全部调入歌曲组． 调出的女生中，调入歌曲组和短剧组的人数比为． 设调入歌曲组的女生为人，调入短剧组的女生为人． 总调出女生：（人） 总调出人数：人 调整后各组人数： 歌曲组：原15人调入男生3人调入女生人人 短剧组：原20人调入女生人人 调整后歌曲组人数是短剧组人数的：， 解得， ∴调入歌曲组的女生：（人）． 例2．（25-26七年级上·福建福州·开学考试）某中学社团活动丰富多彩，其中体育社团有三个，分别是篮球社、足球社和羽毛球社．篮球社人数最多，有48人． (1)以下三个关于体育社团人数的信息只有一个是准确的，准确的信息是 ． A．篮球社、足球社和羽毛球社人数的比是． B．篮球社人数是足球社人数的． C．篮球社人数比三个体育社团总人数多10人． (2)根据以上信息算一算，该校三个体育社团的总人数． 【答案】(1)C (2)三个体育社团的总人数为95人 【详解】（1）解：由题意可知：篮球社人数最多， 所以篮球社人数所占比例最多，比足球社人数多， 所以选项A、B错误，选项C正确； （2）设三个体育社团总人数为x人，由题意可得： 解这个方程得：， 所以三个体育社团的总人数为95人． 例3．（24-25七年级下·福建泉州·期中）2025年红五月校园文化艺术节现场书法比赛即将开启，学校决定将综合实践活动教室布置为比赛场地，如图，这是该教室第一排5张课桌的布置示意图．布置说明：桌子与桌子、桌子与墙之间的距离均相等，课桌的桌宽均相等，且间距：桌宽，现测得该教室内南墙到北墙之间的距离是6米，请计算出该教室布置的间距与桌宽． 【答案】0.5米，0.6米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设间距为米，则桌宽为米，根据课桌的布置示意图列方程求解即可． 【详解】解：设间距为米，则桌宽为米， 由题意得：， 解得， ， 答：该教室布置的间距为0.5米，桌宽为0.6米． 变式1．（24-25七年级上·陕西延安·期末）在清冰雪劳动中，某武警部队出动兵力人参加三条街道的清冰雪劳动，其中街道清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加街道和街道的清冰雪劳动，并且参加街道清冰雪的人数是参加街道清冰雪人数的． (1)求参加街道清冰雪劳动的有多少人？ (2)求参加街道和街道清冰雪劳动的各有多少人？ 【答案】(1)参加街道清冰雪劳动的有人； (2)参加街道清冰雪劳动的有人，参加街道清冰雪劳动的有人． 【详解】（1）解：（人）， 答：参加街道清冰雪劳动的有人； （2）解：设参加街道的清冰雪劳动有人，那么参加街道清冰雪的人数为人， ， 解得，， ， 答：参加街道清冰雪劳动的有人，参加街道清冰雪劳动的有人． 变式2．（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）在《国家空间科学中长期发展规划（2024-2050年）》中，明确了我国空间科学发展目标，提出我国拟突破的“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”5大科学主题．某班老师在进行相关科普时，让48名学生从这5大科学主题中各自选择一个喜欢的主题，最终选择“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”的人数比是，那么喜欢“宜居行星”主题的人数是多少？ 【答案】喜欢“宜居行星”主题的人数是16 【详解】解：设喜欢“太空格物”主题的人数为，则喜欢“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”主题的人数分别为：、、、． 由题意列方程为： 得：． 答：喜欢“宜居行星”主题的人数是16． 变式3．（2024·北京昌平·二模）如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距，试求横幅字距是多少？ 【答案】 【详解】解：因为边空宽：字宽：字距， 所以设边空宽为，字宽为，字距为. 由题意可得：， 解得. 答：横幅字距为． 考点二 和差倍分问题 例1．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． (1)请问该车间有男生、女生各多少人？ (2)已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 【答案】(1)该车间有男生31人，女生54人 (2)应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮 【详解】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，则 ， 解得， 则， 答：该车间有男生31人，女生人数是54人． （2）设应分配y名工人生产大齿轮，名工人生产小齿轮， 由题意得： 解得：， 答：应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮． 例2．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）我国城市中，暂不缺水城市数比严重缺水城市数的3倍多52座，一般缺水城市数是严重缺水城市数的2倍．若城市总数为664座，求严重缺水城市有多少座？ 【答案】102座城市 【详解】解；设严重缺水城市有x座， 依题意得：， 解得：， 答：严重缺水城市有102座． 例3．（24-25七年级上·北京西城·开学考试）学校将礼品颁发给朗诵比赛获得一、二、三等奖的同学，一等奖的每个同学能得到5个礼品，二等奖的每个同学能得到3个礼品，三等奖的每个同学能得到1个礼品．已知一、二、三等奖的同学共有56人，且获得三等奖的人数是获得二等奖人数的2倍，最终共颁发了120个礼品．求获得一、二、三等奖的同学分别有多少人？ 【答案】获得一等奖8人，二等奖16人，三等奖32人． 【详解】解：设获得二等奖有x人，则获得三等奖有人，获得一等奖有人，依题意，得 ， 解得， ∴获得三等奖有（人），获得一等奖有（人）， 答：获得一等奖8人，二等奖16人，三等奖32人． 例4．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）爸爸比儿子大岁，今年爸爸的年龄是儿子年龄的倍，求父子二人今年各是多少岁？（用一元一次方程解答） 【答案】爸爸今年岁，儿子今年岁 【详解】解：设今年儿子的年龄为岁，则爸爸的年龄是岁， 根据题意，得， 解得， 所以（岁）， 答：爸爸今年岁，儿子今年岁 变式1．（24-25七年级上·江苏徐州·开学考试）果园里桃树的棵数相当于梨树棵数的，相当于苹果树棵数的，如果梨树比苹果树少棵，这个果园里桃树、梨树、苹果树各多少棵？ 【答案】桃树棵，梨树棵，苹果树棵． 【详解】解：设果园里桃树的棵数为棵，则梨树的棵数为棵，苹果树的棵数为棵， 根据题意可得：， 解得：， 梨树的棵数是(棵)，苹果树的棵数为(棵)， 答：果园里有桃树棵，梨树棵，苹果树棵． 变式2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）“星耀舞台”是力旺中学的传统活动．在准备阶段，需要根据节目个数和所计划的节目表演时长（不包含报幕、串场等时间）进行安排．如果每个节目表演3分钟，则所有节目表演完还剩下7分钟；如果每个节目表演4分钟，则所有节目表演完比计划表演时长超出4分钟．求此次“星耀舞台”一共有多少个节目？ 【答案】此次“星耀舞台”一共有11个节目 【详解】解：设此次“星耀舞台”一共有个节目． 根据题意得：， 解得：， 答：此次“星耀舞台”一共有11个节目． 变式3．（24-25七年级上·陕西延安·阶段练习）某学校举办冬季运动会，初一年级的检阅方队由本年级的学生组成，原计划方队中女同学的人数占整个方队总人数的，因方队的阵型改变需要，又调来20名女生加入方队，此时方队中女同学的人数占整个方队总人数的． (1)初一年级的检阅方队中现在一共有多少名同学？ (2)在改变后的方队中，需要每名男同学手拿两面国旗，每名女同学拿一个花环，去商店购买国旗和花环一共花费2640元，已知商店里一面国旗的价格恰好是一个花环价格的，求一个花环和一面国旗各多少元？ 【答案】(1)初一年级的检阅方队中现在一共有120名同学 (2)一个花环20元，一面国旗12元 【详解】（1）解：设初一年级的检阅方队中现在一共有x名同学，则原计划方队中有名同学， 根据题意得，， 解得：． 答：初一年级的检阅方队中现在一共有120名同学； （2）由（1）得，男生共有60人，女生共有60人， 设一个花环价格为y元，则一面国旗的价格为元， 所以， 解得：， ∴． 答：一个花环20元，一面国旗12元． 变式4．（24-25七年级上·河南漯河·阶段练习）在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时可以剪筒身40个或剪筒底120个． (1)七年级（2）班有男生、女生各多少人？ (2)原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 【答案】(1)男生24人，女生26人 (2)不配套；从男生中抽调4人去支援女生 【详解】（1）解∶ 设七年级2班有女生人，则有男生人． 由题意，得 解得： ∴， 答：七年级（2）班有男生24人，女生26人． （2）男生每小时剪出筒底数为：(个) 女生每小时剪出筒身数为 (个) 因为，所以原计划每小时剪出的筒身与筒底不配套． 设从男生中调y人去支援女生，根据题意： 得， 解得∶ 答：应从男生中抽调4人去支援女生，才能使剪出的筒身筒底刚好配套． 考点三 几何问题 例1．（25-26七年级上·河南新乡·期中）阅读下列内容：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数-5的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)数轴上表示5与两点之间的距离是________； (2)数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为________； (3)由以上探索猜想对于任何有理数，的最小值是________； (4)若有最小值4，则________． 【答案】(1)7 (2) (3)4 (4)3或11 【详解】（1）解：数轴上表示5与两点之间的距离是， 故答案为：7； （2）解：数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为， 故答案为：； （3）解：的几何意义是数轴上表示数的点，到表示2、6两点距离之和， 当时，的最小值是， 故答案为：4； （4）解：由的几何意义是数轴上表示数的点，到表示、6两点距离之和， 当有最小值4时，则， ∴或， 解得或， 故答案为：3或11． 例2．（25-26七年级上·北京西城·期中）对于点M，N，给出如下定义：在直线上，若存在点P，使得，则称点P是“点M到点N的k倍分点”． 例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点． 已知：在数轴上，点A，B，C分别表示－5，－3，1． (1)点B是点A到点C的______倍分点，点C是点B到点A的______倍分点； (2)点B到点C的3倍分点表示的数是______； (3)点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的2倍分点，求出x的取值范围． 【答案】(1) (2)0或3 (3) 【详解】（1）解：由题意的：， ， ， ， 点是点到点的倍分点．点是点到点的倍分点， 故答案为：； （2）解：设3倍分点为，则， 若在左侧，则，不成立； 若在之间，则有， ， ， ， 点为0， 若在点右侧，则有， ， ， 所以点为3， 综上所述，点到点的3倍分点表示的数是0或3； （3）解：当2倍分点为点且点在点左侧时，取得最小值， 此时 解得：， 当2倍分点为点且点在点右侧时，取得最大值， 此时 解得， 综合两种情况，的取值范围是． 例3．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知数轴上三点，，对应的数分别为，0，4，点为数轴上任意一点，其对应的数为． (1)如果点到点、点的距离相等，那么的值是_____； (2)数轴上存在点，使点到点、点的距离之和是10，直接写出的值，_____； (3)若两点间的数轴称为“隔离带”（包含两点），点以每秒4个单位的速度向右运动，点以每秒2个单位的速度向左运动，点以每秒1个单位的速度从点向左运动．请问在点运动的过程中，点能否突破“隔离带”？若能突破，共有多长时间保持在“隔离带”之外？（请同学们画数轴进行分析并写出解答过程） 【答案】(1)1 (2)或6 (3) 点能突破“隔离带”共有秒保持在“隔离带”之外 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； 故答案为：1； （2）解：根据题意得：M，N两点间的距离为， ∵点P到点M、点N的距离之和是10， ∴点P在点M的左侧或在点N的右侧， 当点P在点M的左侧时， ， 解得； 当点P在点N的右侧时， ， 解得； 综上所述，x的值为或； 故答案为：或； （3）解：点P能突破“隔离带”共有秒保持在“隔离带”之外， 设运动时间为t秒，则t秒后点M对应的数为，点N对应的数为，点P对应的数为， 当点P和点M相遇时，如图： 则， 解得， 此时，点M对应的数为，点N对应的数为，点P对应的数为； 当点P在点M左侧时，如图： 此时，点P突破“隔离带”； 当点N追上点P时，如图： 则， 解得， 此时，点M对应的数为，点N对应的数为，点P对应的数为； ∴点P能突破“隔离带”共有秒保持在“隔离带”之外． 例4．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小东在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： (1)如图1，在数轴上，两个有理数从左到右依次是，b，折叠这条数轴所在纸面，若使表示的点与5表示的点重合，折痕与数轴的交点表示的数为n，则___________；此时，数b表示的点与数表示的点重合，则___________； (2)若在数轴上点、表示的数分别是、3，且数轴上有点，使点到点的距离是点到点距离的4倍，那么点表示的数是多少； (3)如图2，在数轴上剪下到10共12个单位长度的部分（不考虑宽度），并把这条数轴沿数所在点折叠，使表示的点落在这条线段上，然后在重叠部分某处剪开，展开后得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，直接写出m的值． 【答案】(1)2；2029 (2)点C表示的数是2或 (3)m的值为2或4 【详解】（1）解：根据题意得， ∵数b表示的点与数表示的点重合， ∴； 故答案为：2；2029 （2）解：设点C表示的数是x， 当点C在点A，B之间时，， 解得：， 当点C在点B的右侧时，， 解得：， 综上所述，点C表示的数是2或； （3）解：由题意可得：， ∵三条线段的长度之比为， 可设三条线段的长为，，， ∴， 解得， 当时，，，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴； 当时，，，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ， ∴； 综上所述，m的值为2或4． 变式1．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图1，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且满足．是数轴上的一个动点，点到点的距离表示为，点到点的距离表示为． (1)________，________； (2)当时，求点所表示的数； (3)如图2，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点从点出发，以与点相同的速度沿数轴向左运动． ①若运动时间均为，用代数式表示，之间的距离； ②若点，之间的距离是点，之间距离的2倍，求此时运动时间的值． 【答案】(1)，10 (2)1或4 (3)①；②6或10 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，10． （2）解：设点表示的数为， 因，则点在，两点之间， 所以，． 当时，，解得：； 当时，，解得：． 综上，点表示的数为1或4． （3）解：①点表示的数是，点表示的数为， ．（如写“或”也可） ②当在的左侧时，，解得：； 当在的右侧时，，解得：． 即此时运动时间的值为6或10． 变式2．（25-26七年级上·北京西城·期中）对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以（），再加上，所得数的对应点为．将称为点的“倍移点”． (1)当，时， ①若点A表示的数为，则其“倍移点”表示的数为______； ②若点的“倍移点”表示的数是7，则点表示的数为______； ③若点与其“倍移点”在数轴上重合，求点所表示的数． (2)已知点表示的有理数为，其“倍移点”为点，原点的“倍移点”为点．若，线段与的重叠部分长度为3，求的值． 【答案】(1)①13；②；③点所表示的数为 (2)或． 【详解】（1）解：①∵，， ∴点表示的数为， 故答案为：13； ②设点B表示的数为x，则 ， 解得：， ∴点B表示的数为， 故答案为：； ③设点C表示的数为x，由题意得， ， 解得：， ∴点C表示的数为； （2）解：由题意得，点表示的数为n，点表示的数为， ∵， ∴点表示的数为n，点表示的数为， ∴点始终在点的右侧，且两点间距离为8个单位长度， 如图1，当点在线段上时， ∵线段与的重叠部分长度为3， ∴， ∴； 如图2，当点在上时， ∵线段与的重叠部分长度为3， ∴， 综上所述，或． 变式3．（25-26七年级上·上海宝山·期中）如图，数轴的单位长度为1，点A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K中相邻两点的长度都是1个单位长度． (1)如果点D、H表示的数是互为相反数，那么原点是点 ； (2)如果点A、G表示的两个数的绝对值相等，那么点K表示的数是 ； (3)如果点I为原点，数轴上某个点到点D的距离是到点G的距离的2倍，这个点表示的数是 ． 【答案】(1) (2)7 (3)1或 【详解】（1）解：当点D、H表示的数是互为相反数时，则点D、H在原点的两侧，且到原点的距离相等， 故原点为点， 故答案为：； （2）解：∵点A、G表示的两个数的绝对值相等， ∴点为原点， ∵数轴的单位长度为1， ∴点K表示的数是7， 故答案为：． （3）解：设这个点表示的数为， ∵点I为原点， ∴点表示的数为，点表示的数为， 当该点在点和点之间时，，解得； 当该点在点右侧时，，解得； 综上：这个点表示的数是1或， 故答案为：1或． 变式4．（25-26七年级上·北京大兴·期中）数轴上互不重合的三个点，，表示的数分别为，，，如果是的倍，那么就称点是点关于点的“倍关联点”．如图所示，点，点表示的数分别是，4． (1)点是点关于原点的“倍关联点”，则_____； (2)点是点关于点的“2倍关联点”，求点表示的数； (3)点，表示的数分别是，，点，不与点，重合，若点是点关于点的“倍关联点”，且，则点是点关于点的“_____倍关联点”（用含的代数式表示）． 【答案】(1)2 (2)或 (3) 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， 故答案为：2； （2）解：设表示的数为， 由题意得，， 解得或， ∴点表示的数为或； （3）解：∵点是点关于点的“倍关联点”， ∴， 设点是点关于点的“倍关联点” ∴ ∵， ∴将代入，则得到， ∵，， ∴， ∵点，不与点，重合， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $