精品解析：江苏省扬州市邗江区2025-2026学年八年级上学期期中数学试题

2025—2026学年度第一学期八年级数学学科期中考试试卷 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 在，，，7.86，，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（　 　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，平方根的概念理解，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：是整数，属于有理数；是开方开不尽的数，是无理数；是无理数；7.86是有限小数，属于有理数；是分数，属于有理数；0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数，是无理数， ∴ 无理数共3个， 故选：C． 2. 如图，已知，，，则的度数为（　 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及全等三角形性质、三角形内角和定理等知识，熟记全等三角形性质、三角形内角和定理是解决问题的关键． 先由全等三角形性质得到，在中，由三角形内角和定理求解即可得到答案． 【详解】解：， ， 在中，，，则由三角形内角和定理可得， 故选：C 3. 下列说法正确的是（　 　） A. 的立方根是 B. C. 没有平方根和立方根 D. 的算术平方根是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根，根据立方根、平方根和算术平方根的定义逐一判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、的立方根是，该选项说法正确，符合题意； 、，该选项说法错误，不合题意； 、 的平方根和立方根都是，该选项说法错误，不合题意； 、，所以的算术平方根是，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 4. 已知△中，、、分别是、、的对边，下列条件中不能判断△是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用．由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理求解，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可． 【详解】解：A、， ， 是直角三角形，故选项A不符合题意； B、， 最大角， 不是直角三角形，故选项B符合题意； C、， ， ， ， 是直角三角形，故选项C不符合题意； D、设，，， ， ， 是直角三角形，故选项D不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点D、E，，的周长为，则的周长是（　 　）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键；由题意易得，，即，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于点D、E， ∴，，即， ∵的周长为，即， ∴， ∴的周长为； 故选C． 6. 如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（　 　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形中线等分三角形面积，熟记三角形中线等分三角形面积，数形结合表示三角形面积关系是解决问题的关键． 由是的中线，得到，由是的中线，得到，即可得到答案． 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， ， 故选：D． 7. 如图，在中，分别是边上的高，M为的中点，，，则的周长是（　 　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练运用该性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边中线的性质可得到、的长，即可求出的周长． 【详解】解：∵分别是边上的高，M为的中点， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴的周长=． 故选：A． 8. 如图，点P，Q是等边边，上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接，其中与交于点M．针对点P，Q的运动过程，下列结论错误的是（ ） A. B. C. 的形状可能是等边三角形 D. 的度数随点P，Q的运动而变化 【答案】D 【解析】 【分析】点P，Q以相同的速度向点B，C方向运动，得到；根据等边三角形的性质，证明；根据等边三角形的判定方法证明的形状可能是等边三角形，利用外角的性质，求出的度数，进行判断即可． 【详解】解：∵点P，Q以相同的速度向点B，C方向运动， ∴；故选项A正确； ∵为等边三角形， ∴， 又， ∴；故选项B正确； 当为的中点时，， ∵， ∴是等边三角形；故选项C正确； ∵， ∴， ∴， ∴是个定值；故选项D错误； 故选D． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共30分） 9. ______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 在，已知，，那么___________．(填“”“”或“”) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，根据三角形中大边对大角即可得到结果． 【详解】解：在中，对的是，对的是， ，， ， ． 故答案为： ． 11. 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是_______． 【答案】10 【解析】 【详解】解：因为2+2=4， 所以腰长为2时不能构成三角形； 所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2， 周长：4+4+2=10， 答：它的周长是10， 故答案为：10． 12. 如图，在中，角平分线和相交于点，，，，则的周长为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线定义，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，得到，推出，同理：，于是得到的周长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴的周长． 故答案为：． 13. 如图，中，，是边上的中线，的平分线交于点，于点，若，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一，确定AD⊥BC，又因为EF⊥AB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证出结论． 【详解】是边上的中线 平分 且 【点睛】本题考查角平分线的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质和等腰三角形的性质. 14. 如图，已知正方形的面积为3，点在数轴上，且表示的数为．现以点为圆心，以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点（在的右侧），则点表示的数为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是解题的关键．根据正方形的边长是其面积的算术平方根得，然后根据勾股定理求出，结合A点所表示的数及，可得点所表示的数． 【详解】正方形的面积为3，且， ， ， 点A表示的数是，且点在的右侧， ∴点E表示的数为， 故答案为：． 15. 如图，三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．根据折叠的性质可得：，，，，进而证明，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故答案为：． 16. 如图，，于A，于B，且，Q点从B向D运动，每分钟走，P点从B向A运动，P，Q两点同时出发，P点每分钟走______时与全等． 【答案】1或3 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．分两种情况：①若，，则；②若，，则即可得出结果． 【详解】解：∵于A，于B， ∴， 设P点每分钟走， ①若，此时，， ， ， ②若，，， ， ． 故答案为：1或 17. 如图，点在等边的边上，，射线于点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作出图形是解题的关键． 根据等边三角形的性质得到，作点关于直线的对称点，过作于，交于，则此时，的值最小，根据直角三角形的性质得到，求得，于是得到答案． 【详解】解：是等边三角形， ， 作点关于直线的对称点，过作于，交于，如图所示： 则此时，的值最小， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 如图，中，，，，点是上一动点，连接，的垂直平分线分别交、于点E、F，当点D沿线段从点B运动到点C时，点F经过的路径长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查含直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握含直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质是解题的关键；由题意易得，要求点F经过的路径长，则可求的最小值和最大值即可，然后利用的最大值减去最小值即可求解问题． 【详解】解：∵，，， ∴， 要求点F经过的路径长，则可求的最小值和最大值即可， 当点与点重合时，的值为最小，由题意得此时点是的中点，即的最小值为， 连接，过点作于点，如图所示： ∵的垂直平分线分别交、于点E、F， ∴， 设，则有， ∵， ∴， 根据点到直线垂线段最短可知：，即， ∴， ∴的最小值为，的最大值为， ∴点F经过的路径长为； 故答案为． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 求下列各式中的x的值∶ （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴． 20. 如图所示，BF＝CE，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D． 【答案】 证明：∵BF＝CE， ∴BC=EF， 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠A=∠D． 【解析】 【分析】先推出△ABC≌△DEF，即可证明结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握知识点是解题关键． 21. 已知一个正数的两个平方根分别为，的立方根为2． （1）求a与b的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根，注意：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根． （1）根据平方根的定义可得，即可求出，再由立方根的定义得到，即可求解； （2）先求出，再根据算术平方根的定义即可求解． 【小问1详解】 解：∵一个正数的两个平方根分别为， ∴， 解得， ∵的立方根为2， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴其算术平方根为． 22. 如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． （1）直接写出 ； （2）判断的形状，并说明理由； （3）直接写出的面积为 ． 【答案】（1） （2） 解：直角三角形， 理由如下： 由图可知，、、， ， 则， 是直角三角形； （3） 【解析】 【分析】本题考查网格中求线段长、判断三角形是直角三角形及网格中求三角形面积等知识，熟练掌握在网格中由勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）由图可知，即可得到答案； （2）由图可知，、、，从而得到即可得到答案； （3）由（2）知，是直角三角形，根据三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图可知，， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知，是直角三角形， ， 故答案为：． 23. 如图，是等边三角形，是中线，延长至，使，，垂足为点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，则的周长为 ． 【答案】（1） 证明：是等边三角形，是中线， ，且平分，， ∴， ， ， ， ， 则， ， 即是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）先由等腰三角形三线合一可得，且平分，则，根据等边三角形，可知，由等腰三角形性质及外角性质求得即可得证； （2）在中，由含直角三角形性质求出，再由等边三角形性质求周长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 在中，，则， ， ， 是中线， ， 则的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、等边三角形性质、直角三角形两锐角互余、含直角三角形性质等知识，熟记等边三角形的性质、直角三角形性质是解决问题的关键． 24. 如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． （1）求证：； （2）若，则　 　． 【答案】（1） 证明：连接， 垂直平分， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线的性质和证明和全等，进而解答即可； （2）根据，得出方程解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 则，， ， ， ， ． 故答案为： ． 【点睛】此题考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 25. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； （2）应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理求线段长的应用，理解题意，构造直角三角形由勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）将圆柱体展开得到平面图形，如图所示，求出直角边长，再由勾股定理求值即可得到答案； （2）由题意可得，，，，设，得到，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：将圆柱展开得到平面图形，如图所示： 一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，圆柱的高为，圆柱的底面半径为， ，， 在中，， 即最短的路线长是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可得，，，， ， 设， 则， 在中，，，，， 则由勾股定理可得， 即， 解得， 故绳索的长为． 26. 如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动时间为秒（）． （1）当点在点左侧时， ，当点在点右侧时， （用含的代数式表示）； （2）当为直角三角形时，求的值； （3）当为等腰三角形时，请直接写出的值 ． 【答案】（1）， （2）的值为或 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查三角形综合，涉及勾股定理、等腰三角形性质，根据点的运动情况分类讨论是解决问题的关键． （1）先由勾股定理得到，在求出，分情况表示即可得到答案； （2）分三种情况：当点在点左侧时；当点与点重合时；当点在点右侧时；由勾股定理求解即可得到答案； （3）分三种情况：当点在点左侧，时；当点在点右侧，或时；由等腰三角形性质列式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，，，，则由勾股定理可得， 动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动时间为秒（）， ， 则当点在点左侧时，，当点在点右侧时，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）可知，是直角三角形， 当点在点左侧时，不可能为直角三角形； 当点与点重合时，为直角三角形， 则， ； 当点在点右侧时，若为直角三角形，如图所示： 在中，，，，则由勾股定理可得， 在中，，，，则由勾股定理可得， 即， 解得； 综上所述，当为直角三角形时，的值为或； 【小问3详解】 解：由（1）可知，是直角三角形， 当点在点左侧时，若为等腰三角形，如图所示： ， ，，， 在中，，由勾股定理可得， 即， 解得； 当点在点右侧时，若为等腰三角形， 当时，如图所示： 则， ， ； 当时，如图所示： ； 综上所述，当为等腰三角形时，的值为或或， 故答案为：或或． 27. 对于非负实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数．例如：，．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次→，这时候结果为1． （1）仿照以上方法计算： ； （2）对100连续求根整数， 次之后结果为1．只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的正整数是 ； （3）计算： ； （4）若x是方程的最小非负整数解，则 ． 【答案】（1）5 （2）3,255 （3）316 （4）2025 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根，解不等式组，掌握根整数的定义是解题关键． （1）根据无理数的估算，得出，则不大于的最大整数是5，即可得解； （2）根据根整数的定义，分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案； （3）根据根整数的定义计算即可； （4）根据题意分情况讨论，利用根整数的定义列不等式，最后确定最小非负整数解，代入计算求值即可． 【小问1详解】 解：， ，即， ， 故答案为：5； 【小问2详解】 解：，，， 则对100连续求根整数，3次之后结果为1； ，，，只需进行3次连续求根整数运算后结果为1， ，，，，需进行4次连续求根整数运算后结果为1， 则只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的正整数是255， 故答案为：3，255； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解：若x是方程的最小非负整数解， ①当，时，则，， 解得：，，此时无解； ②当，时，则，， 解得：，，此时无解； ③当，时，则，， 解得：，，此时无解； ④当，时，则，， 解得：，，此时无解； ⑤当，时，则，， 解得：，，此时无解； ⑥当，时，则，， 解得：，，此时； ⑦当，时，则，， 解得：，，此时无解； ⑧当，时，则，， 解得：，，此时无解； ⑨当，时，则，， 解得：，，此时无解； 则最小非负整数解， 则． 28. 【问题发现】（1）如图1，在中，，以AB为边向外作等边三角形，连接，小明通过测量发现：．如图2，为了证明这一结论，小明决定延长到，使得，连接，通过证明，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程． 【深入探究】 （2）如图3，在中，，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，则满足什么样的数量关系？并给出证明． 【启发应用】 （3）如图4，在等腰直角中，，，点是的中点，点在边上，且满足，在射线上取一点使得，直接写出的最小值 ． 【答案】 （1）证明：， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， 即； （2）满足的数量关系为， 证明如下： 将绕点逆时针旋转到使与重合，如图所示： 由旋转性质可得，， 在等腰中，由勾股定理可得， 即， ， 即； （3） 【解析】 【分析】（1）利用手拉手模型，结合等边三角形性质，证明，即可得证； （2）将绕点逆时针旋转到使与重合，如图所示，得到，，再由勾股定理求解即可得到答案； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接EQ，如图所示，可证明，则，得，再证明，得，推导出，在上截取，连接，可证明，得，当时，的值最小，此时的值最小，由勾股定理得，即可得到的最小值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）将绕点顺时针旋转得到，连接EQ，如图所示： ，，， ∴，， ∴， 则， ∵， ， 在中，由勾股定理可得， ∵， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在上截取，连接，如图所示： 则， ∵， ∴， 在和中， ， ， ， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，根据知，此时的值最小，如图所示： ， ， ， 在等腰中，由勾股定理可得， 则， 解得， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查几何综合，重点考查旋转的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期八年级数学学科期中考试试卷 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 在，，，7.86，，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（　 　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图，已知，，，则的度数为（　 　） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（　 　） A. 的立方根是 B. C. 没有平方根和立方根 D. 的算术平方根是 4. 已知△中，、、分别是、、的对边，下列条件中不能判断△是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点D、E，，的周长为，则的周长是（　 　）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 6. 如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（　 　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，分别是边上的高，M为的中点，，，则的周长是（　 　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 8. 如图，点P，Q是等边边，上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接，其中与交于点M．针对点P，Q的运动过程，下列结论错误的是（ ） A. B. C. 的形状可能是等边三角形 D. 的度数随点P，Q的运动而变化 二、填空题（每小题3分，共30分） 9. ______． 10. 在，已知，，那么___________．(填“”“”或“”) 11. 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是_______． 12. 如图，在中，角平分线和相交于点，，，，则的周长为___________． 13. 如图，中，，是边上的中线，的平分线交于点，于点，若，则的长度为______． 14. 如图，已知正方形的面积为3，点在数轴上，且表示的数为．现以点为圆心，以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点（在的右侧），则点表示的数为_____． 15. 如图，三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是________． 16. 如图，，于A，于B，且，Q点从B向D运动，每分钟走，P点从B向A运动，P，Q两点同时出发，P点每分钟走______时与全等． 17. 如图，点在等边的边上，，射线于点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则为_____． 18. 如图，中，，，，点是上一动点，连接，的垂直平分线分别交、于点E、F，当点D沿线段从点B运动到点C时，点F经过的路径长为_____． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 求下列各式中的x的值∶ （1）； （2）． 20. 如图所示，BF＝CE，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D． 21. 已知一个正数的两个平方根分别为，的立方根为2． （1）求a与b的值； （2）求的算术平方根． 22. 如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． （1）直接写出 ； （2）判断的形状，并说明理由； （3）直接写出的面积为 ． 23. 如图，是等边三角形，是中线，延长至，使，，垂足为点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，则的周长为 ． 24. 如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． （1）求证：； （2）若，则　 　． 25. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； （2）应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 26. 如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动时间为秒（）． （1）当点在点左侧时， ，当点在点右侧时， （用含的代数式表示）； （2）当为直角三角形时，求的值； （3）当为等腰三角形时，请直接写出的值 ． 27. 对于非负实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数．例如：，．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次→，这时候结果为1． （1）仿照以上方法计算： ； （2）对100连续求根整数， 次之后结果为1．只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的正整数是 ； （3）计算： ； （4）若x是方程的最小非负整数解，则 ． 28. 【问题发现】（1）如图1，在中，，以AB为边向外作等边三角形，连接，小明通过测量发现：．如图2，为了证明这一结论，小明决定延长到，使得，连接，通过证明，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程． 【深入探究】 （2）如图3，在中，，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，则满足什么样的数量关系？并给出证明． 【启发应用】 （3）如图4，在等腰直角中，，，点是的中点，点在边上，且满足，在射线上取一点使得，直接写出的最小值 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $