精品解析：四川省宜宾市第一中学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

四川省宜宾市第一中学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷 命题人：朱春林 审题人：赖菊 满分150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点关于原点成中心对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是（ ） A. 至多一次中靶 B. 两次都中靶 C. 只有一次中靶 D. 两次都没有中靶 3. 如图，在四面体OABC中，．点M在OA上，，N为BC中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 点是圆上的定点，为圆上异于点的动点，则线段AP的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 设，直线过点且与线段AB相交，则的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆，点，若直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为（ ） A. B. C. 4 D. 8 8. 在长方体中，分别是棱的中点，是平面ABCD内一动点，若直线与平面EFG平行，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 若向量，则向量在向量上的投影向量为 10. 已知椭圆，关于椭圆下述正确的有（ ） A. 椭圆的焦点在轴上 B. 椭圆的长轴长为10 C. 若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线与椭圆交于P，Q，则 D. 若椭圆的两焦点分别为，点在椭圆上，且，则的面积为 11. 设点为圆上一点，则下列结论正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 圆关于直线对称，点与圆上点距离的最小值为 D. 若点，在圆上存在点，使 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机事件A，B，A和互斥，且，则___________. 13. 若直线与直线平行，则的值为___________. 14. 圆心在上，与轴相切，被直线截得的弦长为的圆的标准方程为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，动点在直线上运动，求的最小值. 16. 已知圆，过点作圆的切线 （1）求切线方程； （2）若两切点分别为A，B，求A，B两点之间的距离. 17. 2025年10月31日中国神舟二十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射.在太空停留期间，航天员们计划开展“天宫课堂”，在空间站进行太空授课，极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣.为此，某校组织了一次“航空知识答题竞赛”活动. （1）在A，B两个班中各选3名同学参加本次知识答题竞赛，经初赛，从6名同学中选2名同学参加复赛，求参加复赛的这2名同学来自同一个班的概率； （2）班进行了三轮初选活动，甲同学每轮合格概率分别为，各轮结果均相互独立，至少两轮合格记为“优秀”，求三轮初选后，甲记为“优秀”的概率 18. 已知椭圆分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最小值为1，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆相交于A，B，点在第一象限，直线与椭圆的另一交点为，且点关于原点的对称点为. （i）若直线BC，AC的斜率分别为，证明：为常数； （ii）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省宜宾市第一中学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷 命题人：朱春林 审题人：赖菊 满分150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点关于原点成中心对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间点的对称关系即可得到答案. 【详解】根据空间直角坐标系的特点得 点关于原点成中心对称的点的坐标是. 故选：C. 2. 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是（ ） A. 至多一次中靶 B. 两次都中靶 C. 只有一次中靶 D. 两次都没有中靶 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用对立事件的定义判断即可. 【详解】连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶； ②只有一次中靶；③两次都没有中靶， 所以事件“至少一次中靶”互为对立事件的是两次都没有中靶. 故选：D． 3. 如图，在四面体OABC中，．点M在OA上，，N为BC中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的加法与减法可得出关于、、的表达式. 【详解】 . 故选：B. 4. 点是圆上的定点，为圆上异于点的动点，则线段AP的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出点的坐标，得出点坐标，代入圆方程，即可得到线段的中点M的轨迹方程. 【详解】设线段的中点为，因为两点不重合，则， 根据题意得， ∴，即：， 故选：C. 5. 设，直线过点且与线段AB相交，则的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图象，求出边界直线斜率，写出斜率范围. 【详解】如图，直线过点且与线段AB相交，， ， 当直线从处逆时针旋转接近轴时，斜率; 当直线在顺时针旋转接近轴时，斜率， 所以的斜率的取值范围是. 故选：B. 6. 如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接与交于点，连接，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得向量和的坐标，结合向量的夹角公式，即可得解. 【详解】连接与交于点，连接， 由题意得，，且平面， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，    设四棱锥各棱长均为2，则，， 可得， 则， 设异面直线与所成角为， 则． 故选：D. 7. 已知椭圆，点，若直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线所过的定点，再利用椭圆的定义求出三角形周长. 【详解】椭圆E：的长半轴长，半焦距， 则点为椭圆的右焦点，其左焦点为， 而直线恒过定点， 所以的周长为. 故选：A 8. 在长方体中，分别是棱的中点，是平面ABCD内一动点，若直线与平面EFG平行，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面平行确定点轨迹，进而求得数量积的最小值. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以，则，， 设，则， 设是平面的法向量，则，即， 令，则，所以是平面的一个法向量， 因为直线与平面平行，所以，即， 所以， 因为， 所以 所以当时取得最小值， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 若向量，则向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量的运算，空间位置关系得到向量表示，投影向量的概念依次讨论各选项即可. 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，，，故B正确； 对于C，因为，所以，则，解得，故C错误； 对于D，在上的投影向量为，D正确． 故选：ABD． 10. 已知椭圆，关于椭圆下述正确的有（ ） A. 椭圆的焦点在轴上 B. 椭圆的长轴长为10 C. 若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线与椭圆交于P，Q，则 D. 若椭圆的两焦点分别为，点在椭圆上，且，则的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】椭圆方程化为标准方程，求出，然后判断各选项，对于D，利用椭圆定义和余弦定理求解即可. 【详解】由已知椭圆标准方程为， 椭圆焦点在轴上，且，∴，A错误； 长轴长为，B正确； 代入椭圆方程得，解得，∴，C正确； 设，，由椭圆的定义知：， 在中，由余弦定理得， 解得，，D错误. 故选：BC． 11. 设点为圆上一点，则下列结论正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 圆关于直线对称，点与圆上点距离的最小值为 D. 若点，在圆上存在点，使 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用换元法再结合直线与圆有交点即可得到不等式，解出即可判断AB；对C，找到点的轨迹方程，再计算圆心到直线距离，最后减去半径即可得到最小值；对D，求出点的轨迹方程，最后转化为判断两圆位置关系即可. 【详解】对A，由圆，可化为， 可得圆心坐标为，半径， 设，即，即， 所以直线与圆C有交点， 则，解得，则的最大值为，故A正确； 对B，设，即， 所以直线与圆C有交点， 则，解得，则的最大值为，故B正确； 对C，若圆关于直线对称，则该直线经过圆心， 则，则，则点即为直线上动点， 圆心到该直线距离为，则点与圆上点距离的最小值为，故C错误； 对D，设，因为，则， 即， 整理得，整理得点的轨迹方程为圆方程，即， 设其圆心，半径， 则，， 则，所以两圆相交，则在圆上存在点，使，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机事件A，B，A和互斥，且，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据互斥事件概率的加法公式求解. 【详解】因为和互斥，所以， 所以，解得， 故答案为：. 13. 若直线与直线平行，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由两直线平行时的系数关系求解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得， 故答案为：. 14. 圆心在上，与轴相切，被直线截得的弦长为的圆的标准方程为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的方程. 【详解】设圆心坐标为，半径， 到直线的距离， 所以，解得或. 当时，圆的方程为； 当时，圆的方程为. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，动点在直线上运动，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用过两直线交点的直线系求解； （2）求出点关于直线的对称点，则即为所求. 【小问1详解】 设所求直线方程为，即， 由其与直线垂直可得，解得， 所以所求直线方程为，化简得：. 【小问2详解】 因为，所以两点在直线同侧， 由已知可知， 设点关于直线的对称点为，则，解得， 即，因为，所以， 当且仅当动点位于与交点时取等号， 所以的最小值为. 16. 已知圆，过点作圆的切线 （1）求切线方程； （2）若两切点分别为A，B，求A，B两点之间的距离. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】(1)分切线的斜率不存在与存在两种情况进行求解； (2)求出两切点坐标即可求解. 【小问1详解】 圆化为标准式为： 当切线的斜率不存在时，得切线方程为：，显然满足题意， 当切线的斜率存在时，设切线方程为：，即， 由，解得，得切线方程为：，即， 综上知，所求切线方程为：或. 【小问2详解】 如图所示： 则切点， 由，消去，得，得， 则，故， ， 故A，B两点之间的距离. 17. 2025年10月31日中国神舟二十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射.在太空停留期间，航天员们计划开展“天宫课堂”，在空间站进行太空授课，极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣.为此，某校组织了一次“航空知识答题竞赛”活动. （1）在A，B两个班中各选3名同学参加本次知识答题竞赛，经初赛，从6名同学中选2名同学参加复赛，求参加复赛的这2名同学来自同一个班的概率； （2）班进行了三轮初选活动，甲同学每轮合格概率分别为，各轮结果均相互独立，至少两轮合格记为“优秀”，求三轮初选后，甲记为“优秀”的概率 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）列出所有情况和满足题意的情况数，再根据古典概型的计算公式即可得到答案； （2）根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案. 【小问1详解】 设来自班的3名同学分别为，来自班的3名同学分别为， 则总共有，共15种情况， 其中共有6种情况满足题意, 由古典概型的概率公式可得参加复赛的这2名同学来自同一个班的概率. 【小问2详解】 设甲同学每轮合格分别为事件，甲记为“优秀”为事件， 则， , 则三轮初选后，甲记为“优秀”的概率为. 18. 已知椭圆分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最小值为1，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆相交于A，B，点在第一象限，直线与椭圆的另一交点为，且点关于原点的对称点为. （i）若直线BC，AC的斜率分别为，证明：为常数； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1）； （2） （i）由题意知，，若，此时直线的斜率不存在，不合要求，舍去， 设，，，此时， 则，，， 又①， ②， 式子①－②得， 所以； （ii）3. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到关于的方程组，解出即可. （2）（i）设出，，则，表达出，，由点差法得到证明； （ii）三角形面积等于三角形的面积2倍，设直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，换元后，结合对勾函数性质求出最值，得到答案. 【小问1详解】 由题意得，解得， 则椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由题意可知，三角形面积等于三角形的面积2倍， 椭圆左焦点为，可设直线方程为， 联立方程组， 即， 故，， 所以三角形的面积为 ， 令，， 由对勾函数性质可得在单调递增， 故，当且仅当取得最小值成立， 所以，当且仅当，即时成立， 三角形的面积的最大值为， 所以面积的最大值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $