13.1.1 直角三角形三边的关系课件2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

13.1 勾股定理及其逆定理 第13章 勾股定理 华东师大版（2024）八年级上册 1.直角三角形三边的关系 核心素养目标 1.掌握勾股定理及其简单应用，理解定理的一般探究方法．（重点） 2.通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理，经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数形结合的数学思想．（难点） 某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火? 导入新课 （图中每一格代表一平方厘米） （1）正方形P的面积是 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 平方厘米； （3）正方形R的面积是 平方厘米. 1 2 1 SP+SQ=SR P A C B AC2+BC2=AB2 等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？ Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2 上面三个正方形的面积之间有什么关系？ 观察正方形瓷砖铺成的地面. R Q 讲授新课 这说明在等腰直角三角形ABC中,两直角边的平方和等于斜边的平方 那么,在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢? 想一想 P的面积(单位长度) Q的面积(单位长度) R的面积(单位长度) 图2 图3 P、Q、R面积关系 直角三角形三边关系 Q P R Q P R A B C A B C 9 16 25 9 4 13 SP+SQ=SR BC2+AC2=AB2 (每一小方格表示1平方厘米) 试一试 BC2+AC2=AB2 Q P R Q P R 把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积. Q P R Q P R 把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积. S正方形R 分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立. 13 5 12 A B C 做一做 由前面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有 a2+b2=c2 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 几何语言： ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴a2+b2=c2（勾股定理）. a A B C b c ∟ 归 纳 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. 温馨提示：上述这种验证勾股定理的方法是用面积法 “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽. a b c S大正方形＝c2 S小正方形＝(b-a)2 S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形 赵爽弦图 证明： b-a a a a a b b b b c c c c 方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理． 大正方形的面积可以表示为 也可以表示为 (a+b)2 c2 +4ab/2 ∵ (a+b)2 = c2 + 4ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴ a2+b2=c2 用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形，你能否根据这一图形，证明勾股定理. 做一做 12 求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）： 已知直角三角形两边，求第三边. 练一练 认识勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么a2+b2=c2 利用勾股定理进行计算 课堂小结 1．用4个如图1所示的形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图2所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理．   (1)图2中大正方形的边长为_________，里面小正方形的边长为____； (2)大正方形面积可以表示为__________，也可以表示为_______________； (3)对比这两种表示方法，可得出________________________，整理，得_______________． a＋b c (a＋b)2 c2＝a2＋b2 当堂练习 B 3．求出下列直角三角形中未知边的长度． x＝____　y＝____　 10 12 4．(2024·重庆)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为____． 4 5．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为_________． 100 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°.若AB－AC＝2，BC＝8，则AB的长是____． 17 7．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，AC＝20. (1)求CD的长； (2)求AB的长． 8．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离为(  ) A．3    B．4    C．5    D．2.4 9．(复习题5变式)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大的正方形E的面积是(  ) A．13    B．26    C．47    D．94 D C 10．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若b－a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为_______． 96 11．(例题1变式)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝26，BC＝17，AD＝24.求AC的长. 12．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求CD的长． 13．(1)如图，正方形由四个边长为a，b，c的直角三角形拼成，请从面积关系出发，写出一个关于a，b，c的等式；(要化简) (2)请用四个边长为a，b，c的直角三角形拼出另一个图形，并验证(1)中所写的等式，写出验证过程； (3)若a＋b＝7，ab＝12，求c的值． 即c2=4× EQ \F(1,2) ab+(b-a)2, c2=2ab+a2-2ab+b2 所以 a2+b2=c2 4× eq \f(1,2)ab＋c2 (a＋b)2＝4× eq \f(1,2)ab＋c2 2．如图，点E在正方形ABCD的边AB上．若EB＝1，EC＝2，则正方形ABCD的面积为( ) A． eq \r(3) B．3 C． eq \r(5) D．5 解：(1)在Rt△BCD中，BD2＋CD2＝BC2，∴CD＝ eq \r(BC2－BD2)＝12　(2)在Rt△ACD中，AD＝ eq \r(AC2－CD2)＝16，∴AB＝AD＋BD＝25 解：在Rt△ABD中，根据勾股定理， 可得BD＝ eq \r(AB2－AD2)＝ eq \r(262－242)＝10， ∴CD＝BC－BD＝7， 在Rt△ACD中， AC＝ eq \r(AD2＋CD2)＝ eq \r(242＋72)＝25 解：∵△ADE由△BDE折叠而成， ∴AD＝BD.设CD＝x cm， 则AD＝BD＝(8－x)cm， 在Rt△CDA中，由勾股定理知AC2＋CD2＝AD2， 即36＋x2＝(8－x)2， 解得x＝ eq \f(7,4). 即CD的长为 eq \f(7,4) cm 解：(1) eq \f(1,2)ab×4＋(a－b)2＝c2，化简得a2＋b2＝c2 如图 eq \f(1,2)ab×4＋c2＝(a＋b)2，化简得c2＝a2＋b2　(3)c＝ eq \r(a2＋b2)＝ eq \r((a＋b)2－2ab)＝5 $