13.2 勾股定理的应用 课件2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

13.2 勾股定理的应用 第13章 勾股定理 华东师大版（2024）八年级上册 情境引入 1.能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.(重点) 2.经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用条件.（难点） 核心素养目标 如图所示，一个圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程.(精确到0.01cm) A B C 导入新课 分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬动，如果将这半个侧面展开，得到长方形ABCD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是这一展开图——长方形ABCD的对角线AC之长. A B C A C B D 解：如图，在Rt△ABC中，BC=底面周长的一半=10cm.由勾股定理，可得 答:爬行的最短路程约为10.77cm. 把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间，线段最短”性质来解决问题. 例1 如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？(精确到0.01cm) A B 讲授新课 A B 10 10 10 B C A 解：最短路程即为长方形的对角线AB, 答：爬行的最短路程约是22.36cm, 例2 如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面由A爬到C1需要爬行的最短路程又是多少呢？ A B C D B1 C1 D1 A1 分析：蚂蚁由A爬到C1过程中较短的路线有多少种情况？ (1)经过前面和上底面; (2)经过前面和右面; (3)经过左面和上底面. A B C D B1 C1 D1 A1 2 3 A 1 B B1 C1 D1 A1 3 2 1 A B C B1 C1 A1 3 2 1 A D D1 A1 B1 C1 (1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为 解: A AB＝ ≈4.24（cm）. ＝ B C D B1 C1 D1 A1 2 3 A 1 B B1 C1 D1 A1 (2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为 A AB＝ ≈5.10（cm）. ＝ B C D B1 C1 D1 A1 3 2 1 A B C B1 C1 A1 (3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路程为 A AC1＝ ≈4.47（cm）. ＝ B C D B1 C1 D1 A1 3 2 1 A D D1 A1 B1 C1 ∴最短路程约为4.24cm. ∵4.24＜4.47＜5.10， 例3 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?说明理由. A B C D 2米 2.3米 CD＝ CH＝0.6＋2.3＝2.9(米)＞2.5(米). 答：卡车能通过厂门． 解：在Rt△OCD中，∠CDO=90°,由勾股定理，得 A B M N O C ┏ D H 2米 2.3米 勾股定理的应用 最短路程问题 勾股定理与其逆定理的应用 课堂小结 1．已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C，若用反证法来证明这个结论，可以假设(  ) A．∠A＝∠B    B．AB＝BC C．∠B＝∠C    D．∠A＝∠C C 当堂练习 1．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少要飞行 ( ) A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 B 当堂练习 2．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为____cm.(杯壁厚度不计) 10 3．(例题1变式)如图所示，有一块砖高AN＝5 cm，长ND＝10 cm，CD上的点B距点D的距离BD＝8 cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？ 4．如图，小张为测量校园内池塘A，B两点之间的距离，他在池塘边定一点C，使∠ABC＝90°，并测得AC长为26 m，BC长为24 m，则A，B两点间的距离为( ) A．5 m B．8 m C．10 m D．12 m C 5．(2024·吉林)图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为_____________________． x2＋22＝(x＋0.5)2 6．(例题2变式)一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的单向隧道，上半部分为半圆，下半部分为长方形，OC＝OB＝OA，问卡车的外形高必须低于多少米？ 7．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( ) A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 C A 点拨：在AC上取点K，使点N，K关于AD对称， ∴MN＝MK，当点K，M，B在同一条直线上且BK⊥AC时， BM＋MN最小，这是因为BM＋MN＝BM＋MK≥BK， 易知△ABK是等腰直角三角形， 由勾股定理得AK＝BK＝4， ∴BM＋MN的最小值是4 9．如图，一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别为20，3，2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶表面爬到B点最短路程是______． 25 10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 ____. 11．如图所示，OA⊥OB，OA＝45 cm，OB＝15 cm，一机器人在B处发现有一个小球自A点出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从B处出发以相同的速度匀速直线前进去拦截小球，在点C处截住了小球，求机器人行走的路程BC. 解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC＝AC， 设AC＝BC＝x，则OC＝45－x， 由勾股定理可知OB2＋OC2＝BC2， 又∵OB＝15，∴152＋(45－x)2＝x2， 解得x＝25. 答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25 cm 12．如图，一个牧童在小河的南4 km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8 km北7 km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 13．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向78 km的B处，以每小时20 km的速度沿BC方向移动，A到BC的距离AD＝30 km，在距台风中心50 km的圆形区域都将受到台风的影响． (1)台风中心经过多长时间将到达D点？ (2)A城受这次台风的影响有多长时间？ 解：将砖的右侧面展开与上面在同一平面内， 最短路径为AB＝ eq \r(（5＋8）2＋102) ＝ eq \r(269) (cm) 解：由题意知OC＝OB＝ eq \f(1,2)AB＝2米，OD＝1.2米， CD＝ eq \r(OC2－OD2)＝1.6米， CH＝1.6＋2.5＝4.1(米)， 所以卡车的外形高必须低于4.1米 8．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4 eq \r(2) ，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是( ) A．4 B．5 C．6 D．2 点拨：当BP⊥AC时，BP取最小值， 过点A作AD⊥BC于点D， 由勾股定理得AD＝4， ∵BP⊥AC， ∴S△ABC＝ eq \f(1,2) AC·BP＝ eq \f(1,2) BC·AD， ∴BP＝ eq \f(24,5) eq \f(24,5) 解：如图，作出A点关于MN的对称点A′，连结A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线，在Rt△A′DB中，由勾股定理求得A′B＝ eq \r(DA′2＋DB2)＝ eq \r((7＋4＋4)2＋82)＝17(km).答：他要完成这件事情所走的最短路程是17 km 解：(1)BD＝ eq \r(AB2－AD2)＝72 km，72÷20＝3.6(小时)， 即台风中心经过3.6小时将到达D点　 设台风中心移动到点E处A城开始受影响，至点F后影响结束， 则AE＝AF＝50 km， 在Rt△ADE中，DE＝ eq \r(AE2－AD2)＝40 km， ∴EF＝80 km，80÷20＝4(小时)， 即A城受这次台风的影响有4小时 $