13.1.3 反证法 课件2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦反证法，通过回顾勾股定理逆定理引入相反条件问题，引导学生从“a²+b²=c²是直角三角形”探究“a²+b²≠c²是否非直角三角形”，搭建前后知识衔接的学习支架。 亮点在于以问题探究驱动，通过“假设-推理-矛盾-结论”步骤培养推理意识，典例与变式练习结合强化应用。学生能提升逻辑思维，教师可高效开展反证法教学，落实核心素养。

13.1 勾股定理及其逆定理 第13章 勾股定理 华东师大版（2024）八年级上册 3.反证法 情境引入 1.了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题.(重点) 2.理解并体会反证法的思想内涵.（难点） 核心素养目标 如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（a≤b≤c）有关系a2 +b2 =c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？ c a b A C B 解析：由a2 +b2 ＝c2 ，根据勾股定理的逆定理可知∠C=90°，这个三角形一定是直角三角形. 导入新课 若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a,AC=b（a≤b≤c）,a2 +b2 ≠ c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由. c a b A C B 探究： （1）假设它是一个直角三角形; （2）由勾股定理，一定有a2 +b2 ＝c2，与已知条件a2 +b2 ≠ c2矛盾； （3）因此假设不成立，即它不是一个直角三角形. 问题探究 讲授新课 4 这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1)先假设结论的反面是正确的; (2)然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾； (3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确。 探究发现 像这样的证明方法叫“反证法”. 例1 写出下列各结论的反面： （1）a∥b； （2）a≥0； （3）b是正数； （4）a⊥b. a<0 b是0或负数 a不垂直于b a不平行于b 典例精析 例2 在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C. A B C 证明：假设　　　　　， 则　　　　　（　　　　　 ） 这与　　　　　　　　　矛盾． 假设不成立． ∴　　　　　　　　． ∠B ＝ ∠C AB＝AC 等角对等边 已知AB≠AC ∠B ≠ ∠ C 小结： 反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确 证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A', 因为两点确定一条直线，即经过点A和A’的直线有且只有一 条，这与已知两条直线矛盾,假设不成立. 　 所以两条直线相交只有一个交点. 小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾. 例3 求证：两条直线相交只有一个交点. 已知：如图，两条相交直线a，b. 求证：a与b只有一个交点. a b A ● A' ● 分析：想从已知条件“两条相交直线a，b”出发，经过推理，得出结论“a，b只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法. 例4 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　， 即　　　　　　　　　 　　　， ∴　　　　　　　　　　　　　 　　， 这与　　　　　　　　　　　矛盾．假设不成立． ∴　　　　　　　　　　　　　　　 　　． △ABC中没有一个内角小于或等于60° ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° 三角形的内角和为180° △ABC中至少有一个内角小于或等于60° 点拨：至少的反面是没有！ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° 反证法 概念 反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命题的结论. 证明步骤 课堂小结 1．已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C，若用反证法来证明这个结论，可以假设(  ) A．∠A＝∠B    B．AB＝BC C．∠B＝∠C    D．∠A＝∠C C 当堂练习 2．用反证法证明“在△ABC中，∠C＝90°，求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设(  ) A．∠A＞45°，∠B＞45° B．∠A≥45°，∠B≥45° C．∠A＜45°，∠B＜45° D．∠A≤45°，∠B≤45° A 4．(练习题2变式)已知：如图，直线a，b被直线c所截，∠1，∠2是同位角，且∠1≠∠2，求证：a与b不平行． 证明：假设___________，则____________，这与___________相矛盾，因此假设a∥b不成立，所以a与b不平行． a∥b ∠1＝∠2 ∠1≠∠2 5．(练习题2变式)用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行. 已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2≠180°. 求证：l1与l2不平行． 证明：假设l1∥l2，那么∠1＋∠2＝180°，这与已知∠1＋∠2≠180°相矛盾，因此假设l1∥l2不成立，所以l1与l2不平行 6．证明“在△ABC中，至少有两个锐角”时，第一步应假设这个三角形中(  ) A．没有锐角    B．都是直角 C．最多有一个锐角    D．有三个锐角 7．用反证法证明：“多边形的内角中锐角的个数最多有三个”的第一步应假设________________________________________． C 多边形的内角中锐角的个数最少有4个 8．(例题6变式)求证：等腰三角形的底角必为锐角. 已知：在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B，∠C均为锐角. 证明：假设∠B≥90°，∠C≥90°，那么∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，因此假设不成立，所以∠B，∠C均为锐角 9．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB和AC上，CD，BE相交于点O，求证：CD，BE不可能互相平分． 证明：假设CD，BE互相平分，即OB＝OE，OC＝OD， 又∵∠BOD＝∠EOC， ∴△BOD≌△EOC， ∴∠OBD＝∠OEC， ∴AB∥AC，这与AB，AC相交于点A相矛盾， ∴CD，BE互相平分不成立， ∴CD，BE不可能互相平分 3．设x1，x2，x3都是正数，且x1＋x2＋x3＝1，那么这三个数中至少有一个大于或等于 eq \f(1,3)，用反证法证明这一结论的第一步是__________________________． 假设x1，x2，x3都小于 eq \f(1,3) $