13.1.3反证法第1课时课堂练习2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

13.1.3反证法 第1课时 课堂练习 学校:___________姓名：___________班级：_________ 一、单选题 1．用反证法证明“如果，那么”时，应先假设（   ） A． B． C． D． 2．用反证法证明：已知a，b，c是同一平面内的三条不同直线，如果，a与c相交，那么b与c相交．应先假设（    ） A．a与b相交 B．a与c平行 C．b与c垂直 D．b与c平行 3．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　） A．两锐角都大于 B．有一个锐角小于 C．有一个锐角大于 D．两锐角都小于 4．用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不大于90°”时，应假设（   ） A．四边形中有一个内角小于90° B．四边形中每一个内角都小于90° C．四边形中有一个内角大于90° D．四边形中每一个内角都大于90° 5．用反证法证明命题“等腰三角形的一个底角小于”时，第一步应假设（    ） A．等腰三角形的底角大于 B．等腰三角形的底角等于 C．等腰三角形的底角小于 D．等腰三角形的底角大于或等于 6．用反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，应假设（    ） A．一个三角形中至少有一个角是直角或钝角 B．一个三角形中至少有两个角是直角或钝角 C．一个三角形中至多有一个角是直角或钝角 D．一个三角形中没有一个直角或钝角 7．牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精当的武器之一”，用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（    ） A． B． C． D． 8．用反证法证明命题：“如果，那么”．如图，若假设b与c相交于点P，则需要推出的矛盾为（   ） A．两点确定一条直线 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．同位角相等，两直线平行 9．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 10．如图，在等边三角形中，、分别在、上，连接、交于，连接交于点．有下列两个命题： ①如果，那么为中点； ②如果，那么． 对于这两个命题判断正确的是（   ） A．①②都是真命题； B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题； D．①②都是假命题． 二、填空题 11．用反证法证明“已知，求证：”时，第一步应假设． 12．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题． 证明：假设是有理数， 那么存在两个互质的正整数、，使得，于是， ∴______ ∵是偶数，可得是偶数． ∵只有偶数的平方才是偶数，∴也是偶数． ∴可设，代入，得______．可得______ ∴______．这样，和都是偶数，不互质，这与假设，互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． 将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是．（填上序号） ①；    ②；    ③是偶数；    ④． 13．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题． 证明：假设是有理数， 那么存在两个互质的正整数，，使得，则___________． 是2的倍数， ____________________， 可设（为正整数），则， _____________，即， __________________， ，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾． 因此假设不成立，即不是有理数． 将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是．（填上序号） ①；    ②；    ③是2的倍数；    ④是2的倍数． 14．下列说法：①真命题的逆命题一定是真命题；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③如果是一组勾股数，那么也是一组勾股数；④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于”其中，正确的说法有个． 三、解答题 15．用反证法证明：如果，那么，中至少有一个大于零． 16．用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 证明：假设______，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“_______”矛盾，故假设不成立．所以． 17．用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证： 证明：假设______． 在中，， ∴______． ∵______， ∴______． ∴______． ∴与假设相矛盾． ∴假设不成立． ∴原命题成立，即． 18．数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等” 老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下： 小贴士 反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法． 如图1，我们想要证明“如果直线被直线所截，，那么” 如图2 假设，过点O作直线，使， 依据基本事实______． 可得． 这样过点O就有两条直线，都平行于直线，这与基本事实______矛盾， 说明的假设是不对的，于是有． 19．当直接证明一个命题为真命题有困难时，我们可以先假设求证的结论不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的结论正确，这种证明方法称为反证法．反证法是数学中一种常用的证明方法，它的一般证明思路是：第一步：假设求证的结论不成立； 第二步：基于假设进行逻辑推理， 第三步：推导出与条件、公理、定理等相矛盾的结果， 第四步：从而假设不成立，求证的结论正确． (1)阅读正文并解答下列问题： 如图1，已知在中，，求证：． 证明：假设， ①若， 如图2，在内部作，交于点D． ∵， ∴； ∴， ∵ 即：， 这与已知相矛盾， ∴假设不成立： ②若， ··· 综上，． 请你补充②中所缺失的部分 (2)用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”第一步应先假设______． (3)如图，在中，均不相等，点D、E、F分别是的中点．求证：用反证法证明：线段与不垂直． 20．如图，在中，，是的中线，于点E，用反证法证明：点D与点E不重合． 试卷第2页，共7页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查命题，解题关键在于根据反证法定义即可求得答案．了解反证法证明的方法和步骤，反证法的步骤中，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设成立． 【详解】解：原命题为“若，则”， 根据反证法，需假设结论不成立，“”， 则用反证法证明“如果，那么”时，应先假设“”． 故选：A． 2．D 【分析】此题考查反证法，使用反证法时，需假设结论不成立，据此求解即可． 【详解】∵用反证法证明：已知a，b，c是同一平面内的三条不同直线，如果，a与c相交，那么b与c相交． ∴应先假设b与c平行． 故选：D． 3．A 【分析】本题考查的是反证法的应用，反证法的关键是假设原命题结论不成立，即结论的反面成立，原命题结论为“至少有一个锐角不大于”，其反面应为“两个锐角都大于” ． 【详解】解：原命题“至少有一个锐角不大于”的否定是 “两个锐角都大于”，故应假设直角三角形中两锐角都大于． 故选：A． 4．D 【分析】在四边形中，至少有一个内角不大于90°的反面是每一个内角都大于90°，据此即可假设． 【详解】解：用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不大于”时，等于应先假设：四边形中每一个内角都大于90°． 故选：D． 【点睛】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时,要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 5．D 【分析】本题考查了反证法，解此题，关键要懂得反证法的意义和步骤，在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明“等腰三角形的一个底角小于”时，第一步应假设等腰三角形的底角大于或等于， 故选： D． 6．B 【分析】利用反证法证明一个命题，首先要假设所证的结论不正确，结论的反面正确． 【详解】解：假设正确的是：假设三角形中至少有两个角是直角或钝角， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了反证法，正确理解反证法的思想方法，理解求设的方法是解决本题的关键． 7．D 【分析】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】解：与的大小关系有，，三种情况， ∴的反面是“不小于”，即“”． ∴用反证法证明“”时，应先假设， 故选：D． 8．C 【分析】本题考查的是反证法，平行线的性质与判定，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．利用反证法若假设b与c相交于点P，可得过直线外一点，有两条直线和与直线平行，与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾，即可得到答案． 【详解】解：命题：“如果，那么”． 若假设b与c相交于点P， ，即过直线外一点，有两条直线和与直线平行， 则与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾， 故选：C． 9．C 【分析】本题考查的是反证法．根据反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤， ③假设在中，， ④由，得，即， ②，这与三角形内角和为矛盾， ①因此假设不成立．， 综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④②①． 故选：C． 10．A 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定，证明，得到，再证明，得到，进而得到垂直平分，判断①，反证法判断②． 【详解】解析：①三角形为等边三角形， ∴， ， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ， ∵，， ， ， 为中垂线上的点， ∵， ∴为中垂线上的点， ∴垂直平分， 为中点； 所以①为真命题； 假设与不平行，作，与交于点，作，则：，， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴，即：，与矛盾， ∴假设不成立， ∴；故②为真命题． 故选A． 11． 【分析】本题考查的是反证法的证明．用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可． 【详解】解： “已知．求证：”．第一步应先假设． 故答案为：． 12．②①④③ 【分析】根据有理数都可以写出分数的形式，那么存在两个互质的正整数、，使得，于是，等式两边平方得到，由此可得可得是偶数，则p为偶数，可设，则，即可证明q也是偶数，这与假设矛盾，由此即可证明结论． 【详解】证明：假设是有理数， 那么存在两个互质的正整数、，使得，于是， ∴， ∵是偶数，可得是偶数． ∵只有偶数的平方才是偶数， ∴也是偶数． ∴可设，代入，得．可得 ∴是偶数．这样，和都是偶数，不互质，这与假设，互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． 故答案为：②①④③． 【点睛】本题主要考查了用假设法证明，熟知假设法是解题的关键． 13．②④①③ 【分析】根据反证法的证明步骤以及立方根的定义补全证明过程即可求解． 【详解】证明：假设是有理数， 那么存在两个互质的正整数，，使得，则． 是2的倍数， 是2的倍数， 可设（为正整数），则， ，即， 是2的倍数， ，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾． 因此假设不成立，即不是有理数． 故答案为：．②④①③ 【点睛】本题考查了立方根的定义，反证法，熟练掌握反证法证明方法是解题的关键． 14．2 【分析】根据逆命题的概念、等腰三角形的三线合一、勾股数、反证法的一般步骤逐个判断即可． 【详解】解：①真命题的逆命题不一定是真命题，例如：对顶角相等是真命题，其逆命题相等角是对顶角是假命题，故①说法错误； ②等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，故②说法错误； ③如果a，b，c是一组勾股数，那么，，也是一组勾股数，故③说法正确； ④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于”，故④说法正确． 故正确的有③④共2个． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查的是命题的真假判断、反证法的应用，掌握逆命题的概念、等腰三角形的三线合一、勾股数等知识点，灵活运用反证法是解题的关键． 15．详见解析 【分析】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可． 【详解】证明：假设，都不大于零， 即，， 因为两个非正数相加还是非正数， 所以， 这与已知条件矛盾， 所以假设不成立． 所以，中至少有一个大于零． 16．与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题主要考查了反证法，同一平面内，过一点有且只有只有一条直线与已知直线平行，先假设结论不成立，即假设与不平行，那么它们相交于一点，则可推出过点的两条直线、都与直线垂直，这与“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，故假设不成立，据此求解即可． 【详解】证明：假设与不平行，那么它们相交于一点． ∵，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，故假设不成立．所以． 17．；；；； 【分析】本题考查了反证法的应用、三角形内角和定理及平角的定义，解题的关键是正确作出反设（假设结论不成立），并利用内角和与平角性质推出矛盾． 假设结论不成立；利用三角形内角和表示，利用平角表示；推导得出，与假设矛盾，从而证明原命题． 【详解】反证法的第一步是假设结论不成立，因此假设． 根据三角形内角和定理，，变形得． 由于是的外角，与组成平角，故，因此． 由上述两步可知，这与假设矛盾． 因此假设不成立，原命题成立． 18．同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】直接利用反证法的基本步骤以及结合平行线的性质分析得出答案． 【详解】解：假设，过点O作直线，使，依据基本事实同位角相等，两直线平行， 可得． 这样过点O就有两条直线，都平行于直线， 这与基本事实过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾， 说明的假设是不对的，于是有． 故答案为：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的基本步骤是解题关键． 19．(1)见解析 (2)三角形的三个内角中，三个内角都大于 (3)见解析 【分析】本题主要考查了反证法，菱形的性质与判定，三角形中位线定理等等，熟知反证法是解题的关键． （1）若，则，这与已知相矛盾，据此证明即可； （2）反证法第一步应假设结论不成立，即应假设三角形的三个内角中，三个内角都大于； （3）假设线段与垂直，根据三角形中位线定理得到，则四边形是平行四边形，线段与垂直，则四边形是菱形，可得，进而得到，这与均不相等矛盾，据此可证明结论． 【详解】（1）解：若，则，这与已知相矛盾， ∴假设不成立： 综上，． （2）解：用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”第一步应先假设三角形的三个内角中，三个内角都大于； （3）证明：假设线段与垂直， ∵点D、E、F分别是的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵线段与垂直， ∴四边形是菱形， ∴， ∴，这与均不相等矛盾， ∴假设不成立， ∴线段与不垂直． 20．见解析 【分析】本题考查等腰三角形“三线合一”的性质． 假设点D与点E重合．根据是的中线，，则，与相矛盾，即可得出结论． 【详解】证明：假设点D与点E重合． ∵是的中线，， ∴垂直平分， ∴，与相矛盾， ∴点D与点E不重合． 答案第2页，共9页 答案第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $