精品解析：江苏省靖江市靖城中学2025-2026学年九年级上学期数学期中试卷

2025~2026学年度第一学期期中学业质量监测 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知（，），下列等式中变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的直径为4，，则点A在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 无法确定 3. 拉布布（）作为中国潮玩品牌泡泡玛特旗下的核心，其全球爆火不仅是一次商业奇迹，更是中国文化输出的创新范式．某商店在今年6月和8月拉布布的销售额分别是万元和万元．设今年6月到8月拉布布的销售额的月平均增长率为，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A、B、C是上不重合的三点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则的长是（ ） A. B. C. 2 D. 6. 如图，中，，于点，矩形、矩形的顶点分别在，的三边上，且矩形矩形．若已知下列某个选项可求两矩形的相似比，则这个选项是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若关于的方程是一元二次方程，则需满足________． 8. 若一直角三角形外接圆的半径为2.5，则这个直角三角形的斜边长为______． 9. 如果两个相似三角形对应边的中线之比为∶，其中较小的三角形面积为，那么另一个三角形的面积为________． 10. 在中，，若，则的值为_______． 11. 若是方程的两个实数根，则的值为______． 12. 如图是一种贝壳的俯视图，点分线段近似于黄金分割．已知，则的长为__________．（结果保的根号） 13. 如图，点为正方形网格中的3个格点，则______． 14. 有一块三角板，为直角，，将它放置在中，如图，点、在圆上，边经过圆心，劣弧的度数等于_______ 15. 如图，的中线，相交于点G，点P，Q分别是和的重心，若连接，则________． 16. 如图，在中，，，，，连接，则的取值范围为________． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （）计算：； （）解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）以点O为位似中心，将按相似比为放大得到，与位于位似中心异侧； （2）点P在x轴上，且，则点P的坐标为________． 19. 关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的一个实数根是另一个实数根的倍，求的值． 20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高线，BE平分∠ABC交AC于点 E，交CD于点F．求证： （1）△ABE∽△CBF； （2）． 21. 某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，其中，另外每天还需支付其他各项费用80元． 销售单价x（元） 销售量y（袋） 280 120 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若要每天获得160元的利润，销售单价为多少元？ 22. 如图是水槽水龙头（图1）的侧面平面示意图，矩形为水槽侧面，有，在水槽边上方安装水管，水龙头，其中．测得，． （1）求点F离水槽底的高度． （2）若水柱与共线，当手伸到水槽内洗手时（即手与水柱的交点在下面），水不会溅出．当手与水柱交点P离水槽壁的距离为，洗手时水会不会溅出？试通过计算说明．（参考数据：） 23. 定义：设，是方程的两个实数根，其中．若，则称这个方程为“俏方程”． （1）方程 ________“俏方程”（用“是”或“不是”填空）； （2）若关于x的方程是“俏方程”． ①不论m取何值，方程一定有一个固定的实数根为________； ②求m的取值范围． 24. 如图，在中，，O为与的角平分线的交点，以为半径的交三边于点D，E，F，G． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 25. 如图，在中，，． （1）直接填空：________； （2）如图，在射线上有一个动点，，作的垂直平分线，垂足为点．点是上的一个动点，连接并延长，交直线于点，连接，． ①若，求的长； ②当点在同一直线上且时，求的值． 26. 如图1，在矩形中，． （1）用无刻度的直尺和圆规作图：在图1中，先在边上确定点E，连接使得．再在边上确定点F，使得以F为圆心的圆经过点E和点C； （2）在（1）的条件下，连接．若，且，则的半径为________； （3）在（1）的条件下，连接． ①延长，相交于点G．若点G恰好在上，求的值； ②取的中点M，连接，与相交于点N．当时，求的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中学业质量监测 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知（，），下列等式中变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项分析即可得解，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵（，）， ∴，，，故ABD正确，C不正确， 故选：C． 2. 已知的直径为4，，则点A在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】考查了点与圆的位置关系，判断点与圆的位置关系，也就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径）． 【详解】解：∵的直径为4， ∴的半径为2， ∵， 点与的位置关系是点在圆外， 故选：C． 3. 拉布布（）作为中国潮玩品牌泡泡玛特旗下的核心，其全球爆火不仅是一次商业奇迹，更是中国文化输出的创新范式．某商店在今年6月和8月拉布布的销售额分别是万元和万元．设今年6月到8月拉布布的销售额的月平均增长率为，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设今年6月到8月拉布布的销售额的月平均增长率为，则7月拉布布的销售额为万元，则8月拉布布的销售额为，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 4. 如图，点A、B、C是上不重合的三点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的有关概念及其性质、等腰三角形的性质、三角形外角定理，准确识图，熟练掌握圆的有关概念及其性质、等腰三角形的性质、三角形外角定理是解题的关键．连接并延长交于点D，根据得出，，再根据三角形外角定理可得，，从而可得，据此即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点D， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 即， 故选：B． 5. 如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则的长是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出，过点作于点，根据锐角三角函数值得到，，由即可求出，进而根据勾股定理可求出，即可解答． 【详解】解：在中，，，， ∴ ， ， 过点作于点，如图， ∴， ∵，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6. 如图，中，，于点，矩形、矩形的顶点分别在，的三边上，且矩形矩形．若已知下列某个选项可求两矩形的相似比，则这个选项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定和性质，连接，由矩形矩形可得，，又可证，得到，即得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若关于的方程是一元二次方程，则需满足________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据一元二次方程的定义进行解答即可． 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴m−1≠0，解得m≠1. 故答案为m≠1. 【点睛】考查一元二次方程的定义，掌握二次项系数不为零是解题的关键. 8. 若一直角三角形外接圆的半径为2.5，则这个直角三角形的斜边长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆，熟记直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半是解决问题的关键． 根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半即可得出斜边长． 【详解】解：∵直角三角形外接圆的半径为2.5， ∴斜边， 故答案为：5． 9. 如果两个相似三角形对应边的中线之比为∶，其中较小的三角形面积为，那么另一个三角形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质；关键是知道面积比等于相似比的平方； 根据给定中线比等于相似比，面积比等于相似比的平方，可求另一个三角形面积。 【详解】解：设另一个三角形的面积为， ∵相似三角形对应边的中线之比为∶， ∴相似比为∶， ∴面积比为∶， ∵， ∴． 故答案为：． 10. 在中，，若，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握勾股定理和锐角三角函数是解题关键．利用正弦值设．，，再利用勾股定理求出，再利用余弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 设，， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 11. 若是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，直接利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系，得，， ∴， 故答案为：． 12. 如图是一种贝壳的俯视图，点分线段近似于黄金分割．已知，则的长为__________．（结果保的根号） 【答案】 【解析】 【分析】此题考据黄金分割点的计算公式，正确掌握公式是解题的关键． 根据黄金分割的计算公式正确计算即可． 【详解】∵点分线段近似于黄金分割点， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，点为正方形网格中的3个格点，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质及解直角三角形，连接格点B、D．利用勾股定理先计算的长，根据等腰三角形的性质，再判定是直角三角形，最后根据直角三角形的边角间关系求出的正切值． 【详解】解：如图，连接格点B、D． ∵，， ∴． 在中，， ∴． 故答案为：2． 14. 有一块三角板，为直角，，将它放置在中，如图，点、在圆上，边经过圆心，劣弧的度数等于_______ 【答案】120° 【解析】 【分析】因为半径相等，根据等边对等角结合三角形内角和定理即可求得，继而求得答案． 【详解】如图，连接OA， ∵OA，OB为半径， ∴， ∴， ∴劣弧的度数等于， 故答案为：120． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系以及圆周角定理，是基础知识要熟练掌握． 15. 如图，的中线，相交于点G，点P，Q分别是和的重心，若连接，则________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据的中线，相交于点G，得到；取的中点F，连接，根据重心，平行线的性质，重心的定义解答即可． 本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，熟练掌握三角形的重心及平行线所截线段成比例是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵的中线，相交于点G， ∴； 取的中点F， 连接， ∴分别是和中线， ∵点P，Q分别是和的重心， ∴点P，Q分别在上，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，，连接，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形三边关系，熟练掌握相似三角形的判定方法和三角形三边关系是解题的关键．通过构造相似三角形，将的取值范围转化为三角形三边关系问题，利用相似三角形的性质和三角形三边关系求解． 【详解】解：过点A作，在上取一点，使得，连接、，则， ∵ ，，， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴的最小值为，最大值为， 即， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （）计算：； （）解方程：． 【答案】（）；（）， 【解析】 【分析】（）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂和零指数幂分别运算，再合并即可； （）把方程化成一般式，再利用公式法解答即可； 本题考查了特殊角的三角函数值混合运算，解一元二次方程，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）以点O为位似中心，将按相似比为放大得到，与位于位似中心异侧； （2）点P在x轴上，且，则点P的坐标为________． 【答案】（1） 画图如下： 即为所求． （2）或 【解析】 【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出，，关于原点O的位似坐标，，，顺次连接三点得出，即可解题； （2）设，则，， ，建立方程求解即可． 本题考查了位似变换作图，三角形的面积，坐标与图形，掌握位似变换的性质、正确作出图形是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得，，关于原点O的位似坐标分别是，， 【小问2详解】 解：设， 则，， 由， 根据题意，得， 解得或， 故点或， 故答案为：或． 19. 关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的一个实数根是另一个实数根的倍，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系，关键是知识点的熟练应用； （1）由两个不等实根可得，即可求得的取值范围； （2）根据根与系数的关系可求得的值． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即：， 解得： 【小问2详解】 解：设一个根为，则另一个根为 根据根与系数的关系得： ， 即：， ∵， ∴， 即：. 20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高线，BE平分∠ABC交AC于点 E，交CD于点F．求证： （1）△ABE∽△CBF； （2）． 【答案】 （1）证明： BE平分∠ABC， ∠ACB＝90°，CD是高线， △ABE∽△CBF； （2）证明： △ABE∽△CBF； 【解析】 【分析】（1）先证明再证明从而可得结论； （2）由（1）的相似三角形的性质可得：再证明 从而可得结论. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，证明再证明△ABE∽△CBF是解本题的关键. 21. 某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，其中，另外每天还需支付其他各项费用80元． 销售单价x（元） 销售量y（袋） 280 120 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若要每天获得160元的利润，销售单价为多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价为4元 【解析】 【分析】（1）设，利用待定系数法解答即可； （2）设售价为x元，根据题意，得，解方程即可； 本题考查了待定系数法求解析式，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设，把时，；时，分别代入解析式，得， 解得， 故． 【小问2详解】 解：设售价为x元，根据题意，得， 整理，得 解得，， 由， 故舍去， 答：每天获得160元的利润，销售单价为4元． 22. 如图是水槽水龙头（图1）的侧面平面示意图，矩形为水槽侧面，有，在水槽边上方安装水管，水龙头，其中．测得，． （1）求点F离水槽底的高度． （2）若水柱与共线，当手伸到水槽内洗手时（即手与水柱的交点在下面），水不会溅出．当手与水柱交点P离水槽壁的距离为，洗手时水会不会溅出？试通过计算说明．（参考数据：） 【答案】（1） （2）水不会溅出, 由（1）可得，，， 在中，， ∴， 作交于点L，， ∵，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴水不会溅出． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，（1）过点E作，证明四边形是矩形，可得，，利用锐角三角函数求得，再利用求解即可； （2）求得，，作交于点L，，则，利用锐角三角函数求得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点E作， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 23. 定义：设，是方程的两个实数根，其中．若，则称这个方程为“俏方程”． （1）方程 ________“俏方程”（用“是”或“不是”填空）； （2）若关于x的方程是“俏方程”． ①不论m取何值，方程一定有一个固定的实数根为________； ②求m的取值范围． 【答案】（1）不是，理由： 解方程， 得， 故，，不满足， 故方程不是“俏方程”， （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）求得方程的两个根分别为，，，不满足，故判定不是即可； （2）①根据题意，得，解得，故判定不论m取何值，方程一定有一个固定的实数根为； ②当时，此时，根据方程是“俏方程”，得，解答即可；当时，此时，根据方程是“俏方程”，得，解答即可； 本题考查了一元二次方程的解法，新定义方程，熟练掌握解方程的方法，正确理解新定义方程是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：根据题意，得， 解得， 故不论m取何值，方程一定有一个固定的实数根为， 故答案为：； ②解：当时，此时， 由方程是“俏方程”，得， 解得； 当时，此时， 由方程是“俏方程”，得， 解得； 综上所述，m的取值范围是或． 24. 如图，在中，，O为与的角平分线的交点，以为半径的交三边于点D，E，F，G． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：过点作于点，作于点N，连接， ∵O为的角平分线上的一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）点作于点，作于点N，由角平分线性质定理得到，然后证明，则，再由垂径定理即可求证； （2）过点作于点，连接，则四边形为正方形，那么，然后证明，则，则，则，设，则，，然后在中运用勾股定理建立方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点，连接， 同理可得， ∵，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 同理， ∴， 设，则，， ∵在中， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及垂径定理，角平分线的性质定理，正方形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 如图，在中，，． （1）直接填空：________； （2）如图，在射线上有一个动点，，作的垂直平分线，垂足为点．点是上的一个动点，连接并延长，交直线于点，连接，． ①若，求的长； ②当点在同一直线上且时，求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（）过点作于，可得，即得，再根据正切的定义解答即可； （）①得，进而得，可得，得到，即得到，设，则，利用勾股定理求出的值即可求解；②当点在同一直线上时，过点作于，过点作于，可证，即得，得到，即得到，即可得，再利用面积法求出，最后根据正弦的定义解答即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴； ②当点在同一直线上时，如图，过点作于，过点作于， ∵直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 由（）知，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，线段垂直平分线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 26. 如图1，在矩形中，． （1）用无刻度的直尺和圆规作图：在图1中，先在边上确定点E，连接使得．再在边上确定点F，使得以F为圆心的圆经过点E和点C； （2）在（1）的条件下，连接．若，且，则的半径为________； （3）在（1）的条件下，连接． ①延长，相交于点G．若点G恰好在上，求的值； ②取的中点M，连接，与相交于点N．当时，求的正弦值． 【答案】（1）如图： （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）以点B为圆心，为半径画弧，交于点E，连接，作线段的垂直平分线，交于点F，以F为圆心，为半径作圆即可； （2）根据题意，的半径为，则，结合，结合，解答即可； （3）①根据三角形全等性质，等腰三角形的性质，证明，设，则，，，根据解答即可； ②设，，根据题意，得，，根据勾股定理，得，确定，建立等式，解答即可． 本题考查了矩形的性质，圆的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：以点B为圆心，为半径画弧，交于点E，连接，作线段的垂直平分线，交于点F，以F为圆心，为半径作圆， 则点E，即为所求． 【小问2详解】 解：由矩形，， ∴，， 设的半径为，则， ∵， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 【小问3详解】 ①解：设，的交点为H， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵矩形， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：设，， 根据题意，得，， 根据勾股定理，得， ∵的中点M， ∴， 设，的交点为H， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 根据勾股定理，得， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $