第2章 常用逻辑用语 章末培优检测卷-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

第二章 常用逻辑用语 章末培优检测卷 姓名：___________班级：___________学号：___________ 一、单选题 1．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题分析判断. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：B. 2．已知命题，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论. 【详解】由题意可知，命题为存在量词命题，该命题的否定为，. 故选：B. 3．下列命题既是真命题又是存在量词命题的是（    ） A． B． C．菱形的对角线互相垂直平分 D．在到之间至少有两个质数 【答案】D 【分析】根据全称量词命题与存在性量词命题的定义，以及真假判定方法，逐项分析，即可求解. 【详解】对于A，命题“”为全称量词命题，所以A不符合题意； 对于B，方程，因为，所以方程在无解， 所以命题“”为假命题，所以B不符合题意； 对于C，命“菱形的对角线互相垂直平分”，即所有菱形的对角线互相平分， 所以命题为全称量词命题，所以C不符合题意； 对于D，在到之间有三个质数，分别为， 故在到之间至少有两个质数，为存在性量词命题且为真命题，所以D符合题意. 故选：D. 4．设集合，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式得到，是的真子集，从而得到答案． 【详解】，故， 又，故是的真子集，所以是的必要不充分条件． 故选：B． 5．已知命题p：实数的平方不全是非负数，则下列结论正确的是（    ） A．命题是假命题 B．命题是特称命题 C．命题是全称命题 D．命题不是命题 【答案】C 【分析】由题设写出命题的数学表达，应用特称命题的否定为全称命题写出，进而判断真假即可. 【详解】根据命题的描述有“使”，易知为假命题， ∴为“都有”，为全称命题且为真命题. 故选：C 6．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将充分不必要条件转化为真子集关系即可求解. 【详解】设集合，集合，若是的充分不必要条件， 所以是的真子集，可得， 故选：D. 7．在下列条件中：①；②；③且；④，，中能成为“使二次方程的两根为正数”的必要非充分条件是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据二次方程的两根为正数，则一定满足，，，故根据必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】∵二次方程的两根为正数， ∴，，， 故由使二次方程的两根为正数，一定能推出 ，，， 但是满足其中一个或2个不能推出使二次方程的两根为正数，故①②③能成为使二次方程的两根为正数的必要非充分条件. 故选A. 【点睛】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断.掌握必要条件的定义是解题基础． 8．袋中装有红球、黑球各3个.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（   ） A．乙盒中黑球与丙盒中黑球一样多 B．乙盒中红球与丙盒中红球一样多 C．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 D．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 【答案】D 【分析】由题意知，乙中放红球，则甲中也肯定是放红球，往丙中放球的前提是放入甲中的不是红球，据此可以从乙中的红球个数为切入点进行分析即可. 【详解】取出两个球放入盒子，有4种情况： 红+红：则乙盒中的红球增加一个； 黑+黑：则丙盒中的黑球增加一个； 红+黑：（红球放入甲盒）则乙盒中的黑球增加一个； 黑+红：（黑球加入甲盒）则丙盒中的红球增加一个. 现共有6个球，红球与黑球各3个，甲盒中的球共有3个，设其中的红球有个，黑球个，则， 因乙盒中有个球，其中红球个，黑球个，则， 丙盒中有个球，其中红球个，黑球个，则， 则黑球总数为，又，则，又，故， 即乙盒中红球与丙盒中黑球一样多. 故选：D. 二、多选题 9．下列命题正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．的充要条件是 C． D．是的充分不必要条件 【答案】AD 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可判断A；举出反例即可判断BC；根据充分条件和必要条件的定义即可判断D. 【详解】对于A，命题“”的否定是“，故A正确； 对于B，当时，满足，但无意义， 所以充分性不成立，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，若，则， 当时，满足， 所以是的充分不必要条件，故D正确. 故选：AD. 10．下列说法中正确的有（   ） A．命题：，，则命题的否定是， B．“”是“”的既不充分也不必要条件 C．命题“，”是真命题 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ABCD 【分析】对于A，利用含量词的命题的否定要求判断即可；对于B，取反例排除；对于C，一个数的平方大于等于恒成立；对于D，按照充要条件的要求，从两个角度完成推理即得. 【详解】对于A，含量词的命题的否定包括改变量词和否定结论，所以A正确； 对于B，若，满足，但，故“”不是“”的充分条件， 若，满足，但，故“”不是“”的必要条件，所以B正确； 对于C，恒成立，故命题“”是真命题，即C正确； 对于D，若，方程的根的判别式，设两根为，则，故方程有一正一负根；若方程有一正一负根，则由韦达定理可得，故D正确. 故选：ABCD. 【点睛】 11．非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（    ） A．若A为一个“封闭集”，则 B．若A为一个“封闭集”，且，则 C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 【答案】ABD 【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确. 【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确． 对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确． 对于C，不妨取“封闭集”， 则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误． 对于D，充分性：都是“封闭集”， 若或，则或，则是“封闭集”． 必要性：若是“封闭集”，令， 假设或不成立，则存在，同时， 因为是“封闭集”，所以， 分两类情况讨论， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确． 故选：ABD. 三、填空题 12．若“”为真命题，则实数的最小值为 . 【答案】 【分析】根据存在量词命题为真命题得，求解最小值即可. 【详解】因为“”， 所以，因为，所以， 所以，即实数的最小值为. 故答案为： 13．命题p：已知，“，”是真命题，命题，则q是p的 条件． 【答案】充分不必要 【分析】求出命题p和q对应a的范围的集合，根据集合包含关系来判断充分必要条件. 【详解】命题p为真命题，则，设集合； 对于命题，可得，，设集合； 则C是B的真子集，即q是p的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 14．设是非空数集，若对任意，都有，则称集合为一个“完美集”，给出以下命题： ①若是一个“完美集”，且，则也为“完美集”； ②若、都是“完美集”，且，则也是“完美集”； ③若是“完美集”，则可以是有限集； ④若、都是“完美集”，则也是“完美集”． 其中说法正确的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】利用“完美集”的定义逐一判断各命题即可. 【详解】对于①，若是“完美集”，且， 假设也是“完美集”，设，在中任取一个， 此时可证得，否则若，由于也是“完美集”， 则，与矛盾，故， 由于是“完美集”， 也是“完美集”，所以， 而，这与矛盾， 故当且是“完美集”时，则不是“完美集”， 同理当时，也可以类似推出矛盾，故①错误； 对于②，取，则， 又是“完美集”，， ， 所以是“完美集”，故②正确； 对于③，当集合时，显然它是“完美集”，即可以是有限集，故③正确； 对于④，取“完美集”， 则，但，即此时不是“完美集，故④错误． 故答案为：②③． 四、解答题 15．已知集合． (1)若，求和； (2)若集合，是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或，； (2). 【分析】（1）把代入，利用补集、并集的定义求解. （2）利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系列式求出范围. 【详解】（1）当时，，而， 所以或，. （2）由集合，是的充分不必要条件，得非空集合是的真子集， 因此或， 解得或，则， 所以实数的取值范围是. 16．已知集合或，，， (1)已知，求实数的取值范围； (2)已知命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集的定义即可求解； （2）由题意可得，根据参数的取值分类讨论即可求解. 【详解】（1），或， 因，故， 即实数的取值范围为. （2）由于是的必要条件，所以， 因， ① 当时，，此时，符合题意； ② 当时，，由，可得，解得， ③ 当时，，由，可得，解得， 综上所述：， 即实数的取值范围为. 17．已知集合，集合，命题：“”，命题：“”． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若命题为真命题，则进行求解； （2）求命题为真命题时，实数的取值范围为，再由命题的否定进行求解． 【详解】（1） 若命题：“”为真命题，则， 得， 故实数的取值范围为： （2）， 由，得， ，解得且， 得， 因为， 当时，，不满足， 当时，，不满足， 当时，，要使，则， 则若命题：“”为真命题时，实数的取值范围为：， 当命题与命题都是真命题时，则，得， 则命题和命题至少有一个为假命题时，得或， 故实数的取值范围为： 18．若集合具有①，，②若，，则，且时，这两条性质，则称集合是“好集”. (1)判断集合是否是“好集”，并说明理由. (2)设集合是“好集”，求证：若，，则. (3)对任意的一个“好集”，判断命题“若，，则”的真假，并说明理由. 【答案】(1)不是“好集”，理由见解析 (2)证明见解析 (3)真命题，理由见解析 【分析】（1）利用定义，判断集合B不是“好集”； （2）由，若，，则，从而得出； （3）先证：若，则，同理，最后根据性质②可得，即可判断命题为真. 【详解】（1）集合不是“好集”，理由如下： 因为，，， 所以集合B不是“好集”． （2）因为集合A是“好集”，所以． 若，，则，即， 所以，即，命题得证． （3）命题“若，，则”为真命题，理由如下： 先证明：若，则. 对任意一个“好集”，任取， 若或时，显然. 且时，由定义可知：. 所以，即.所以. 由（2）可得：，即.同理. 根据性质②若，，则，可得. 所以命题“若，，则”为真命题. 19．已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 (3)当时，若与有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据命题p是真命题，则列式计算即可； （2）记，，依题意可得，即可得到不等式组，解之即得； （3）分命题为真，命题为假或命题为假，命题为真两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）因为命题是真命题， 所以． 即，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）由（1）可知：， 记，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以或， 解得，所以实数的取值范围是； （3）当时，命题：， 当命题为真，命题为假时，此时； 当命题为假，命题为真时，此时； 综上，实数得取值范围为：或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 常用逻辑用语 章末培优检测卷 姓名：___________班级：___________学号：___________ 一、单选题 1．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知命题，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．下列命题既是真命题又是存在量词命题的是（    ） A． B． C．菱形的对角线互相垂直平分 D．在到之间至少有两个质数 4．设集合，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知命题p：实数的平方不全是非负数，则下列结论正确的是（    ） A．命题是假命题 B．命题是特称命题 C．命题是全称命题 D．命题不是命题 6．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．在下列条件中：①；②；③且；④，，中能成为“使二次方程的两根为正数”的必要非充分条件是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 8．袋中装有红球、黑球各3个.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（   ） A．乙盒中黑球与丙盒中黑球一样多 B．乙盒中红球与丙盒中红球一样多 C．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 D．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 二、多选题 9．下列命题正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．的充要条件是 C． D．是的充分不必要条件 10．下列说法中正确的有（   ） A．命题：，，则命题的否定是， B．“”是“”的既不充分也不必要条件 C．命题“，”是真命题 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 11．非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（    ） A．若A为一个“封闭集”，则 B．若A为一个“封闭集”，且，则 C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 三、填空题 12．若“”为真命题，则实数的最小值为 . 13．命题p：已知，“，”是真命题，命题，则q是p的 条件． 14．设是非空数集，若对任意，都有，则称集合为一个“完美集”，给出以下命题： ①若是一个“完美集”，且，则也为“完美集”； ②若、都是“完美集”，且，则也是“完美集”； ③若是“完美集”，则可以是有限集； ④若、都是“完美集”，则也是“完美集”． 其中说法正确的序号是 ． 四、解答题 15．已知集合． (1)若，求和； (2)若集合，是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16．已知集合或，，， (1)已知，求实数的取值范围； (2)已知命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围. 17．已知集合，集合，命题：“”，命题：“”． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为假命题，求实数的取值范围． 18．若集合具有①，，②若，，则，且时，这两条性质，则称集合是“好集”. (1)判断集合是否是“好集”，并说明理由. (2)设集合是“好集”，求证：若，，则. (3)对任意的一个“好集”，判断命题“若，，则”的真假，并说明理由. 19．已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 (3)当时，若与有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $