第1章 集合 单元培优检测-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

第1章 集合 单元培优检测 姓名：___________班级：___________学号：___________ 一、单选题 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，集合，， 所以. 故选：C 2．已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用并集的结果列式求解. 【详解】集合或，，由， 得，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C 3．为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、书法社团和围棋社团，若高一（10）班共有45名学生，每个学生至少参加一个社团，其中有29人参加篮球社团，26人参加书法社团，24人参加围棋社团，三个社团均参加的有4人，则恰好参加一个社团的学生有（   ） A．8人 B．10人 C．13人 D．15人 【答案】D 【分析】利用Venn图求解即可. 【详解】如图所示： 设恰好参加一个社团的人数为，恰好参加两个社团的人数为，则①， 又②， 联立①②得，. 故选：D. 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将集合内式子进行通分，列举法判断表示的数即可比较． 【详解】， ∵，∴表示所有奇数，也表示所有奇数， ∴， 故选：D． 5．已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对集合是否为空集进行分类讨论，解不等式可求得实数的取值范围. 【详解】由集合可得或； 当时，可知，即可得，符合题意； 当时，可知，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：B 6．图中阴影部分所表示的集合是（   ）.（全集） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形结合集合的基本运算求解即可. 【详解】根据图形，阴影部分属于集合，不属于集合A，C， 则阴影部分所表示的集合可以为. 故选：A 7．置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，.已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组，且中所有数之和为2026，则（    ） A．1004 B．1007 C．1010 D．1013 【答案】C 【分析】本题通过分析数组元素的大小关系，结合绝对值的运算求解参数. 【详解】由“间距置换”定义，得，，. 由，得. 因且，故或. 若，则，，， 于是， 得，即，故. 若，同理可得. 综上所述，的值为. 故选：C. 8．已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”.①集合是“完美集”；②若是两个不同的正数，且是“完美集”，则至少有一个大于；③二元“完美集”有无穷多个；④若为正整数，则“完美集”有且只有一个，且；上列结论是真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题设中的“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质，可判定①②③正确；设A中，得到，分和，两种情况分类讨论，可判定④正确. 【详解】对于①中，，， 集合是“完美集”，所以①正确； 对于②中，若、是两个不同的正数，且是“完美集”， 设， 根据根和系数的关系知，和相当于的两根， 由，解得或（舍去），所以，又均为正数， 所以、至少有一个大于2，所以②正确； 对于③中，由②知，一元二次方程，当t取不同的值时，的值是不同的， 所以二元“完美集”有无穷多个，所以③正确； 对于④，不妨设A中， 由，得， 当时，即有，所以，于是，无解， 即不存在满足条件的“完美集”； 当时，，故只能，，求得， 于是“完美集”A只有一个，为． 当时，由，即有， 事实上，，矛盾， 所以当时不存在完美集，所以④正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 二、多选题 9．下列命题中正确的是（   ） A．集合的真子集是 B． C．设，若，则 D． 【答案】BCD 【分析】根据空集是任何非空集合的真子集可知A不正确；根据菱形一定是平行四边形，可知B正确；根据集合相等的概念求出，可知C正确；根据空集是任何非空集合的真子集，可知D正确. 【详解】对于A，集合的真子集包括，A错误； 对于B，因为菱形一定是平行四边形，所以，B正确； 对于C，因为，，，所以，，，C正确； 对于D，因为方程的解为，所以，因为空集是任何非空集合的真子集，所以，D正确． 故选：BCD. 10．若集合A具有以下性质：（1），；（2）若x、，则，且时，.则称集合A是“完美集”．则下列说法正确的是（    ） A．集合是“完美集” B．有理数集Q是“完美集” C．设集合A是“完美集”，，则 D．设集合A是“完美集”，若，则 【答案】BCD 【分析】A选项，举出反例可得A错误；B选项，有理数集Q满足两个条件，B正确；C选项，得到，所以，C正确；D选项，若中有0或1时，显然，当均不为0，1时，得到，推出，，同理可知，，，，故，所以，，则，D正确. 【详解】A选项，取，则，集合不是“完美集”，A错误； B选项，有理数集Q满足（1），，（2）若，则， 且时，，故有理数集Q是“完美集”，B正确； C选项，集合A是“完美集”，，，则， 所以，C正确； D选项，集合A是“完美集”， ，，任取， 若中有0或1时，显然， 当均不为0，1时，则，显然， 所以，则， 由C可知，，同理可知， 由C可知，， 从可得，所以， 故，所以， ，则，D正确. 故选：BCD 11．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N．且，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割，例如：集合，，则为戴德金分割，若为戴德金分割，则下列结论正确的是（    ）． A．若集合A确定，则集合B一定是唯一的 B．若集合A中没有最大值，则集合B中一定有最小值 C．若集合A中有最大值，则集合B中一定没有最小值 D．若集合A中没有最大值，则集合B中一定没有最小值 【答案】AC 【分析】根据戴德金分割的定义，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】因为为戴德金分割，所以集合A确定，则集合B一定是唯一的，A正确； 当集合，时，集合A中没有最大值，集合B中没有最小值，B错误； 若集合A中有最大值，则，所以， 所以集合B中一定没有最小值，C正确； 当集合，时，集合A中没有最大值，集合B中有最小值，D错误． 故选：AC. 三、填空题 12．已知集合，若，则实数的取值范围是 ．（结果用集合表示） 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，列出不等式，求出结果即可. 【详解】由，得，解得. 实数的取值范围是. 故答案为：. 13．已知，，若集合，则的值为 ． 【答案】 【分析】由集合相等与集合中元素的互异性求出参数的值，进而求出即可． 【详解】由可知， ，，即， ， ，解得或， 当时，不符合元素的互异性，故舍去， 综上，，， 则． 故答案为． 14．设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的与可以相等，也可以不相等)，且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题的个数为 个. ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，总有. 【答案】3 【分析】利用和谐集的定义，判断集合中必有元素0，从而可判断①，利用和谐集的定义，可证明②，利用举例可证明③④. 【详解】对于①，存在，满足有限集，也满足和谐集，故①正确； 对于②，当时， 对于， 总有 所以且，即满足“和谐集”，故②正确； 对于③，若都是“和谐集”，则当时，由可知，“和谐集”中必有元素0，即，故③正确； 对于④，存在“和谐集”，此时，故④错误； 故答案为：3 四、解答题 15．已知集合． (1)求集合； (2)设集合，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合的补集，再与集合求交集即得； （2）由，列出不等式组，解之即得. 【详解】（1）由题， 所以，则. （2）由集合，且， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 16．已知集合， (1)当时，求 (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定集合，再根据交集的定义求解； （2）根据，得，求解即可. 【详解】（1）， 当时，， 所以 （2），根据， 则，即， 所以实数的取值范围为. 17．已知集合或，. (1)求； (2)若，当时，求实数的取值范围； (3)若，当时，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）直接根据补集定义求解； （2）分、、三种情况讨论集合的范围，结合子集关系求解； （3）分和两种情况，结合交集为空的条件求解. 【详解】（1）因为，，所以. （2）当时，，满足； 当时，，由得，解得； 当时，，由得，解得. 综上，实数的取值范围是. （3）当时，，解得； 当时，，由得或，即或. 结合，得或. 综上，实数的取值范围是. 18．设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)求所有的集合，使得①；②是“好集”；③不存在“好集”，使得是的真子集． 【答案】(1)是“好集”，理由见解析 (2)，，，， 【分析】（1）根据好集的定义判断即可； （2）判断包含于的好集的特征，再求得满足条件的集合A. 【详解】（1）由，得. 因为，所以是“好集”． （2）由于所以同时含有1，2；或2，4；或1，3，4；或1，4，5；或2，3，5的集合均不是好集； 那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素子集，除和以外的双元素子集，以及三元素子集，，根据定义验证，这些集合都是“好集”． 又因为条件③，所以集合不是其它包含于的“好集”的真子集. 因为空集及单元素好集都是其它双元素好集的真子集，所以空集及单元素好集均不满足条件； 因为好集和的真子集均不满足条件， 所以满足条件的就只能是，，，，． 19．已知有限集，如果中元素满足，就称为“和积平衡集”． (1)判断集合是否为“和积平衡集”： (2)若是两个不同的正数，且是“和积平衡集”，写出以为根的一个一元二次方程（系数可用表示），并证明至少有一个大于2； (3)若，且，求所有符合条件的“和积平衡集”． 【答案】(1)是； (2)，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据“和积平衡集”的定义，进行判断即可； （2）根据“和积平衡集”的定义，结合一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设A中的 ，进行分类讨论求解. 【详解】（1）， 又， 满足 集合是“和积平衡集”； （2）以为根的一个一元二次方程可为， 是两个不同的正数，且是“和积平衡集”， ， 又和为的两个不同的正根， ， 又，则， 若都小于等于2，则，矛盾， 所以至少有一个大于2； （3）设中的，且， 由， 当时，由， 而且都为正整数，明显等式不可能成立， 所以，故， 所以， 当时，，所以只能有， 由，得，此时的“和积平衡集”为， 当时， 又，即， 即，与矛盾，所以不满足条件， 所以符合条件的“和积平衡集”有且只有，此时的“和积平衡集”为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 集合 单元培优检测 姓名：___________班级：___________学号：___________ 一、单选题 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、书法社团和围棋社团，若高一（10）班共有45名学生，每个学生至少参加一个社团，其中有29人参加篮球社团，26人参加书法社团，24人参加围棋社团，三个社团均参加的有4人，则恰好参加一个社团的学生有（   ） A．8人 B．10人 C．13人 D．15人 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．图中阴影部分所表示的集合是（   ）.（全集） A． B． C． D． 7．置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，.已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组，且中所有数之和为2026，则（    ） A．1004 B．1007 C．1010 D．1013 8．已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”.①集合是“完美集”；②若是两个不同的正数，且是“完美集”，则至少有一个大于；③二元“完美集”有无穷多个；④若为正整数，则“完美集”有且只有一个，且；上列结论是真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．下列命题中正确的是（   ） A．集合的真子集是 B． C．设，若，则 D． 10．若集合A具有以下性质：（1），；（2）若x、，则，且时，.则称集合A是“完美集”．则下列说法正确的是（    ） A．集合是“完美集” B．有理数集Q是“完美集” C．设集合A是“完美集”，，则 D．设集合A是“完美集”，若，则 11．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N．且，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割，例如：集合，，则为戴德金分割，若为戴德金分割，则下列结论正确的是（    ）． A．若集合A确定，则集合B一定是唯一的 B．若集合A中没有最大值，则集合B中一定有最小值 C．若集合A中有最大值，则集合B中一定没有最小值 D．若集合A中没有最大值，则集合B中一定没有最小值 三、填空题 12．已知集合，若，则实数的取值范围是 ．（结果用集合表示） 13．已知，，若集合，则的值为 ． 14．设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的与可以相等，也可以不相等)，且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题的个数为 个. ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，总有. 四、解答题 15．已知集合． (1)求集合； (2)设集合，且，求实数的取值范围． 16．已知集合， (1)当时，求 (2)若，求实数的取值范围． 17．已知集合或，. (1)求； (2)若，当时，求实数的取值范围； (3)若，当时，求实数的取值范围. 18．设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)求所有的集合，使得①；②是“好集”；③不存在“好集”，使得是的真子集． 19．已知有限集，如果中元素满足，就称为“和积平衡集”． (1)判断集合是否为“和积平衡集”： (2)若是两个不同的正数，且是“和积平衡集”，写出以为根的一个一元二次方程（系数可用表示），并证明至少有一个大于2； (3)若，且，求所有符合条件的“和积平衡集”． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $