2026学年中考数学第一轮复习专题11一元二次方程(全国通用版)

.专题11一元二次方程 题型清单 [题型一 一元二次方程之相关概念]....................................................................................1 [题型二 一元二次方程之解一元二次方程]........................................................................9 [题型三 一元二次方程之根与系数的关系].......................................................................16 [题型四 一元二次方程之实际应用]....................................................................................26 一元二次方程之相关概念 一元二次方程:核心定义+一般形式(应试必记版) 1. 核心定义(抓关键条件) 一元二次方程的定义可概括为 “三要素”：只含有一个未知数（一元）、未知数的最高次数是 2（二次）、且是整式方程（分母或根号内不含未知数）。 *关键提醒：判断时需以化简后的方程为准，且二次项系数不能为 0（否则会退化为一元一次方程）。 2. 一般形式(规范表达,明确系数) 一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(其中a≠0,a.b.c均为常数). *各部分名称: 1. ax2是二次项,前面的系数a叫做二次项系数; 2. bx是一次项,前面的系数b叫做一次项系数(b可为0,此时方程为ax2+c=0,仍为一元二次方 程) 3.c是常数项(c可为0,此时方程为ax2+bx=0,属于一元二次方程的特殊形式) 三.方程的解(根的含义,明确区别) 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 （练习题） 1．下列方程中属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成一般形式后，若二次项的系数为1，则一次项系数是（   ） A．1 B． C．3 D． 3．将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如果方程，是关于x的一元二次方程，那么m的值为（    ） A． B．3 C． D．0 5．下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 6．关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 7．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则二次项系数的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 8．将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 9．已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 10．已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 11．写出两根的和与两根的积相等的一元二次方程： ．（写一个方程即可） 12．如果方程是一元二次方程，那么m的值为 ． 13．一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数之和为 ． 一元二次方程之解一元二次方程 解一元二次方程:核心方法+步骤拆解+考点应用 解一元二次方程是初中代数的核心技能，中考必考！核心思路是 “降次”—— 将二次方程转化为一次方程求解，以下梳理 4 种高频解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），含适用场景、标准步骤、易错点，方便直接套用解题。 1. 先明确前提 解一元二次方程的基础是将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0) 二.4种核心解法 1. 直接开平法 方程可化为(x+m)2=n(n>0)的形式(无一次项或能整理成完全平方). *标准步骤: 1 移项：将常数项移到等号右边，使左边为含未知数的完全平方形式； 2 开方：对等式两边同时开平方，注意右边要加 “±”（平方根的性质）； 3 求解：解两个一元一次方程，得到方程的两个根； 4 ④验根（可选）：代入原方程验证（简单题型可省略，复杂题型建议检验） 2. 因式分解法(中考高频,优先选择) *适用条件:方程右边为0,左边能分解为两个一次因式乘积(如x2+3x+2=0) *解题步骤: *① 移项：化为ax2+bx+c=0（右边为 0）；② 因式分解：左边化为(mx+n)(px+q)=0；③ 令每个因式为 0，解一元一次方程 *易错点:未将右边化为 0 就分解（如x2=3x直接得x=3，遗漏x=0） 3. 配方法(通用,中考必考步骤) *适用条件:所有一元二次方程(尤其二次项系数为1时简便) *解题步骤(四步核心) 1 化 1：二次项系数化为 1（如2x2−4x−6=0 → x2−2x−3=0）； 2 移项：常数项移到右边（x2−2x=3）； 3 配方：两边加 “一次项系数一半的平方”（x2−2x+1=3+1 → (x−1)2=4） 4 开方求解（x−1=±2 → x1=3,x2=-1） *中考考点：直接考查配方过程，或结合二次函数顶点式出题 4.公式法(万能,适用于复杂方程) *适用条件：无法因式分解、配方麻烦的方程 *核心公式:x=(Δ≥0) *解题步骤: ① 确定a、b、c（注意符号，如x2−3x−4=0中a=1，b=−3，c=-4） ② 计算Δ； ③ 代入公式求解; *易错点：代入b值时忽略符号（如b=−3时，−b=3） 5.中考高频易错点总结 *忽略a≠0的条件（含参数的一元二次方程需注意）； *配方时漏加 “一次项系数一半的平方”，或未先化二次项系数为 1； *公式法中计算Δ时符号错误（如负号平方、乘法符号）； *实际应用问题中未检验根的合理性（如长度、人数不能为负，需舍去）。 6.快速记忆口决 *直接开方：平方形式直接开，正负根号要记牢； *因式分解：右边为 0 左边分，因式为 0 解就到； *配方：二次系数先化 1，移项配方加平方，完全平方再开方； *公式：先算判别式，再代求根式，符号正负别混淆。 （练习题） 14．用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 15．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A． B． C． D． 16．关于的方程，下列解法完全正确的是（    ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得 整理得 ，，，， ，， 整理得， 配方得 ，，，， 移项得 ，，或，， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 17．已知实数a，b满足，，且，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 18．一元二次方程的解是 ． 19．将方程转化为的形式，则 ． 20．方程的解为 ． 21．定义：符号的含义为：当时，，当时，，如：，． （1） ； （2）方程的解是 ． 22．已知方程和方程的根完全相同，则 ． 一元二次方程之根与系数的关系 1.根与系数的基本关系 对于一元二次方程的标准形式 ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c 为常数），设其两个根为 x1​、x2​，则根与系数的核心关系为：x1+x2=−​ x1x2=​ 同时需满足两个前提条件： 方程为一元二次方程，即二次项系数 a≠0； 方程有实数根（实数范围内应用），即判别式 Δ=b2−4ac≥0。 （练习题） 23．已知方程，有一个根是，则另外一个根是（   ）． A． B． C． D． 24．已知方程的两个根都是整数，则的值有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 25．已知，为一元二次方程的两实数根，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 26．已知，且，那么的值为（   ） A．205 B．520 C．1001 D．1 27．已知、是一元二次方程两个不同的根．若，，则（    ） A．c和都小于 B．c和至少一个小于 C．c和都大于 D．c和至少一个大于 28．若方程的两根满足，则在下列关于、的等量关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 29．设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 30．已知实数，满足，，且，求的值 31．已知方程有一个实数根为，则另一个实数根是 ， ． 32．为方程的两个根，则代数式的值为 ． 33．若一元二次方程的两根为，则的值是 ． 34．方程的两个根的积是 ． 一元二次方程之实际应用 1. 列方程解实际应用题的核心步骤 ① 审题：通读题目，梳理已知条件与所求问题，精准提炼隐藏的等量关系（解题关键）。 ② 设未知数：根据等量关系灵活选择直接设元（直接设所求量）或间接设元（设中间关联量），简化计算。 ③ 列方程：依据等量关系，将文字表述转化为含未知数的一元二次方程，确保方程形式规范。 ④ 解方程：选择合适的解法（因式分解法、公式法等）求解，计算过程中注意符号与根式化简。 ⑤ 检验与作答：验证方程的解是否符合实际意义（如长度、人数、价格等不能为负或超出合理范围），舍去无效解后规范作答 二.一元二次方程实际应用的基本类型 *传播问题 核心公式：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数。 *握手(比赛)问题 设参与数量为n，核心公式: 单循环：＝总数（如握手、单循环赛制比赛） 双循环：＝总数(如互赠礼物、双循环赛制比赛） *数字问题 多位数表示规则： 两位数:10×十位数字+个位数字 三位数:100×百位数字+10×十位数字+个位数字 以此类推，高位数字乘对应数位的计数单位（10 的幂次）后相加。 *平均增长率(下降率)问题 增长率: 原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数， 下降率: 原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。 注意：增长率 / 下降率需用小数表示，且结果需符合实际（如增长率不能超过合理范围）。 *商品销售问题: 核心等量关系 总利润 = 单件利润 × 销售数量 现单件利润 = 原单件利润 + 涨价金额（或 - 降价金额）（单件利润 = 售价 - 进价） 现销售数量 = 原销售数量 - 涨价导致减少的数量（或 + 降价导致增加的数量） *圆形面积问题 核心建模思路： 利用几何图形面积公式（如矩形、三角形、梯形等）建立一元二次方程。 涉及直角图形时，可通过勾股定理建立方程。 （练习题） 35．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 36．2023年下半年金价为每克452元，但到了2025年下半年却一度增长到每克993元，设这两年金价的年平均增长率为x，则列方程为（　　）． A． B． C． D． 37．达州市要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ） A． B． C． D． 38．如图，在中，，，动点P从点A开始以的速度沿边向点B运动；动点Q从点B开始以的速度沿边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． ①当时，的面积为； ②t有两个不同的值，都使的面积为； ③的面积可以为 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 39.．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔．已知正方形面积是圆面积的．设圆的半径为，根据题意可列出的方程为（    ） A． B． C． D． 40．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（　　） A．1s B．1.2s C．2s D．4s 41．某商店销售一种文具，若每个盈利5元，每天可售出200个，经市场调查发现，若每个涨价1元，每天销售量就减少10个，现商店想每天盈利1500元，则每个应涨价（    ） A．5元 B．15元 C．5元或10元 D．5元或15元 42．若某三个连续偶数的平方和等于56，则这三个数是(    ) A．2、4、6 B．4、6、8 C．、、或2、4、6 D．、、或4、6、8 43．注重青少年心理健康是全社会义不容辞的责任，某校九年级学生开展了“凝聚力量、赋能成长”为主题的心理团建活动，第一阶段每两个班级之间都进行一场“锣鼓击球”比赛，共计比赛场次，则第一阶段参加比赛的有 个班级． 44．近些年某市出台的“助农计划”增加了广大农户的收益．已知农户甲2023年纯收入为2万元，经“助农计划”帮扶，到2025年农户甲的纯收入增长到3.92万元，设农户甲2023年到2025年纯收入的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为 ． 45．已知点是线段上一点，，如果，那么的长为 ． 46．某兴趣小组的每位同学，将自己收集的植物标本向本组其他成员各赠送1件，全组互赠标本共182件，若全组有名学生，则根据题意可列方程 47．暑假期间，某商场购进一批价格为元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为元时，每周可售出件，售价每上涨元，销售量将减少件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的倍．该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为元，每件文化衫应定价 ． 48．燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思.全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同.其桌面共有三种尺寸，包括2张长桌、2张中桌和3张小桌，它们的宽都相同.七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身.下图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式.若全套七张桌子桌面的总面积为61.25平方尺，则长桌的长度为 尺. 49．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿向点B以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ .专题11一元二次方程 题型清单 [题型一 一元二次方程之相关概念]....................................................................................1 [题型二 一元二次方程之解一元二次方程]........................................................................9 [题型三 一元二次方程之根与系数的关系].......................................................................16 [题型四 一元二次方程之实际应用]....................................................................................26 一元二次方程之相关概念 一元二次方程:核心定义+一般形式(应试必记版) 1. 核心定义(抓关键条件) 一元二次方程的定义可概括为 “三要素”：只含有一个未知数（一元）、未知数的最高次数是 2（二次）、且是整式方程（分母或根号内不含未知数）。 *关键提醒：判断时需以化简后的方程为准，且二次项系数不能为 0（否则会退化为一元一次方程）。 2. 一般形式(规范表达,明确系数) 一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(其中a≠0,a.b.c均为常数). *各部分名称: 1. ax2是二次项,前面的系数a叫做二次项系数; 2. bx是一次项,前面的系数b叫做一次项系数(b可为0,此时方程为ax2+c=0,仍为一元二次方 程) 3.c是常数项(c可为0,此时方程为ax2+bx=0,属于一元二次方程的特殊形式) 三.方程的解(根的含义,明确区别) 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 （练习题） 1．下列方程中属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；因此此题可根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）进行判断即可． 【详解】解：A选项可化为，是一元二次方程，故符合题意； B选项中含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； C选项中含有两个未知数x和y，不是一元二次方程，故不符合题意； D选项中，a为字母系数，若则不是二次方程，不一定是一元二次方程，故不符合题意； 故选A． 2．将一元二次方程化成一般形式后，若二次项的系数为1，则一次项系数是（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，通过乘以使二次项系数为1，再确定一次项系数． 【详解】解：∵ 原方程：， 展开：， 移项：， 为使二次项系数为1，乘以：， ∴ 一次项系数为． 故选：B． 3．将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，利用去括号和移项把方程整理成（为常数，且）即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴将一元二次方程化成一般形式为， 故选：． 4．如果方程，是关于x的一元二次方程，那么m的值为（    ） A． B．3 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，即可求解． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得． 故选：C． 5．下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，准确分析判断是解题的关键． 根据二次方程根的性质，两根为和的方程可写为，展开后即为，判断即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， 方程可表示为，展开得． 故选：． 6．关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入一元二次方程可得k的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即， ∴， 故选：A． 7．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则二次项系数的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，需满足判别式大于零且二次项系数不为零，计算判别式并解不等式即可，需注意二次项系数不为零的条件． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴ 解得：， ∴二次项系数的取值范围是：且， 故选：D． 8．将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将化为的形式为， 故，，， 故选：A． 9．已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据方程的解的定义可知是的解，则有，因为，方程两边同时乘以，可得：，所以方程一定有一个解为，所以可知甲同学的观点正确；如果方程有公共解，则有，可得解为：或，即这两个方程的公共解是或中的一个． 【详解】解：是的解， 方程两边同时乘以， 可得：， 方程一定有一个解为， 故甲同学的观点正确； 方程有公共解， ， 整理得：， 方程的公共解为：或， 故乙同学的观点正确． 故选：C． 10．已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为 （其中 ）. 根据二次项系数不为零的条件求解即可. 【详解】解：∵ 关于的方程是一元二次方程， ∴ 二次项系数， 解得：. 故答案为：. 11．写出两根的和与两根的积相等的一元二次方程： ．（写一个方程即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由题意可得，取的一个值代入求出的值进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 当时，， 解得， ∴方程可以为， 故答案为：． 12．如果方程是一元二次方程，那么m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得到且，再求解即可． 【详解】方程是一元二次方程， 所以且， 解得． 故答案为：2． 13．一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数之和为 ． 【答案】或5 【分析】将方程化为一元二次方程的一般形式即可得． 【详解】由题意，分以下两种情况： （1）一元二次方程化为， 由此可知，二次项系数为2、一次项系数为、常数为， 则它们之和为， （2）一元二次方程化为， 由此可知，二次项系数为、一次项系数为1、常数为6， 则它们之和为， 故答案为：或5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，依据题意，正确分两种情况是解题关键． 一元二次方程之解一元二次方程 解一元二次方程:核心方法+步骤拆解+考点应用 解一元二次方程是初中代数的核心技能，中考必考！核心思路是 “降次”—— 将二次方程转化为一次方程求解，以下梳理 4 种高频解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），含适用场景、标准步骤、易错点，方便直接套用解题。 1. 先明确前提 解一元二次方程的基础是将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0) 二.4种核心解法 1. 直接开平法 方程可化为(x+m)2=n(n>0)的形式(无一次项或能整理成完全平方). *标准步骤: 1 移项：将常数项移到等号右边，使左边为含未知数的完全平方形式； 2 开方：对等式两边同时开平方，注意右边要加 “±”（平方根的性质）； 3 求解：解两个一元一次方程，得到方程的两个根； 4 ④验根（可选）：代入原方程验证（简单题型可省略，复杂题型建议检验） 2. 因式分解法(中考高频,优先选择) *适用条件:方程右边为0,左边能分解为两个一次因式乘积(如x2+3x+2=0) *解题步骤: *① 移项：化为ax2+bx+c=0（右边为 0）；② 因式分解：左边化为(mx+n)(px+q)=0；③ 令每个因式为 0，解一元一次方程 *易错点:未将右边化为 0 就分解（如x2=3x直接得x=3，遗漏x=0） 3. 配方法(通用,中考必考步骤) *适用条件:所有一元二次方程(尤其二次项系数为1时简便) *解题步骤(四步核心) 1 化 1：二次项系数化为 1（如2x2−4x−6=0 → x2−2x−3=0）； 2 移项：常数项移到右边（x2−2x=3）； 3 配方：两边加 “一次项系数一半的平方”（x2−2x+1=3+1 → (x−1)2=4） 4 开方求解（x−1=±2 → x1=3,x2=-1） *中考考点：直接考查配方过程，或结合二次函数顶点式出题 4.公式法(万能,适用于复杂方程) *适用条件：无法因式分解、配方麻烦的方程 *核心公式:x=(Δ≥0) *解题步骤: ① 确定a、b、c（注意符号，如x2−3x−4=0中a=1，b=−3，c=-4） ② 计算Δ； ③ 代入公式求解; *易错点：代入b值时忽略符号（如b=−3时，−b=3） 5.中考高频易错点总结 *忽略a≠0的条件（含参数的一元二次方程需注意）； *配方时漏加 “一次项系数一半的平方”，或未先化二次项系数为 1； *公式法中计算Δ时符号错误（如负号平方、乘法符号）； *实际应用问题中未检验根的合理性（如长度、人数不能为负，需舍去）。 6.快速记忆口决 *直接开方：平方形式直接开，正负根号要记牢； *因式分解：右边为 0 左边分，因式为 0 解就到； *配方：二次系数先化 1，移项配方加平方，完全平方再开方； *公式：先算判别式，再代求根式，符号正负别混淆。 （练习题） 14．用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程配方法的应用，准确计算是解题的关键． 通过配方法将方程转化为完全平方形式，比较选项得出正确结果． 【详解】解：， ， ， ； 故选． 15．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握求根公式是解题的关键；通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程． 【详解】解：∵一元二次方程的标准求根公式为， 给出的根为， ∴比较分母：，∴； 比较分子：，∴； 根号内部分：， 但给出的根号内为 ， ∴ ，解得； ∴原方程为； 故选：D． 16．关于的方程，下列解法完全正确的是（    ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得 整理得 ，，，， ，， 整理得， 配方得 ，，，， 移项得 ，，或，， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据解一元二次方程的方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵方程 可移项得， ∴ 因式分解得， ∴ 或， ∴ ， ； 甲解法两边除以，漏掉了的情况，原计算错误； 乙解法整理后方程应为，，原计算错误； 丙解法配方应为 即 ，原计算错误； 丁解法正确． 故选D． 17．已知实数a，b满足，，且，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查因式分解的应用，通过对方程进行变形，得，推再与第一个方程相加，整理得，即，由得，故可得． 【详解】解：∵①，②， 由②得③， 得，， ， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 18．一元二次方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过移项将方程化为，然后利用直接开平方法求解． 【详解】解：， 移项，得， 两边开平方，得， 故答案为：或． 19．将方程转化为的形式，则 ． 【答案】 【分析】根据配方法解题即可． 本题考查了配方法的应用，求代数式的值，熟练掌握配方是解题的关键． 【详解】解：， 移项，得． 配方，得，即． 又． 解得． 故， 故答案为：． 20．方程的解为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程化为一般形式后因式分解，利用零乘积性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：或． 故答案为：或． 21．定义：符号的含义为：当时，，当时，，如：，． （1） ； （2）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程，解一元一次不等式，配方法，解题的关键是正确理解定义以及熟练运用一元二次方程的解法． （1）通过比较二次函数与常数2的大小关系，利用配方法求得，从而根据定义得出结果； （2）根据与的大小关系分类讨论，分别解方程并验证解的取值范围是否符合条件． 【详解】解：（1）对于 ，需比较与2的大小， 配方法： ， 因此恒有， ∵当 时，， ∴， 故答案为：； （2）方程， 分以下两种情况讨论： ①当，即时，， 则，即， 解得， 其中符合条件，不符合条件，舍去； ②当，即 时，， 则，即， 解得， 其中 符合条件，不符合条件，舍去； 综上，方程的解为． 故答案为：． 22．已知方程和方程的根完全相同，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程；由于两个方程的根完全相同，先求第一个方程的根，再代入第二个方程求参数，最后求和． 【详解】解：解方程 ，得 ，． 将 代入方程 ， 得 ， 即 ， ， ， 所以 ． 则第二个方程为 ， 两边乘以2，得 ． 解此方程，， 所以 ，． 因此 ， 故 ． 故答案为：． 一元二次方程之根与系数的关系 1.根与系数的基本关系 对于一元二次方程的标准形式 ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c 为常数），设其两个根为 x1​、x2​，则根与系数的核心关系为：x1+x2=−​ x1x2=​ 同时需满足两个前提条件： 方程为一元二次方程，即二次项系数 a≠0； 方程有实数根（实数范围内应用），即判别式 Δ=b2−4ac≥0。 （练习题） 23．已知方程，有一个根是，则另外一个根是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是利用两根之和公式求出另一根． 设方程的另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系（两根之和等于），求出． 【详解】解：对于方程，设另一个根为， 根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和为， 已知一个根是，则， 解得． 故选：D． 24．已知方程的两个根都是整数，则的值有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 利用根与系数的关系，列出所有整数根对，计算对应的k值． 【详解】解：∵方程的两个根都是整数，且积为，设两个根分别为， ∴所有可能的整数根的组合为：． 又∵根的和， ∴计算各对的和： 其余对的和与上述重复， ∴不同的值为，共4个． 故选：D． 25．已知，为一元二次方程的两实数根，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与积，再逐一验证各选项． 【详解】解：∵方程的根为， ∴，， A．，故错误； B．，故错误； C．，故错误； D．，故正确； 故选：D． 26．已知，且，那么的值为（   ） A．205 B．520 C．1001 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、换元法解一元二次方程，把方程两边同时除以，可得：，可知和是一元二次方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可以求出的值． 【详解】解：， 由方程可知， 把方程两边同时除以， 可得：， 和是一元二次方程的两个实数根， ， ． 故选：A. 27．已知、是一元二次方程两个不同的根．若，，则（    ） A．c和都小于 B．c和至少一个小于 C．c和都大于 D．c和至少一个大于 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 根据根与系数的关系得到b，c与，的关系，通过假设法，推导出A、C错误，此时可假设只有一个大（小）于，即，设出一对符合要求的，求出的大小，即可求解． 【详解】解：、是二次方程两个不同的根， 由根与系数的关系得，， ∵，， ∴， ∴ 设，则，， 假设，， ，， ， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，与产生矛盾， 所以假设不成立， 故C错误； 假设，， ，， ， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，与产生矛盾， 所以假设不成立， 故A错误； ∵B. c和至少一个小于，D. c和至少一个大于 ∴可假设只有一个大（小）于，即另一个等于， 设， ∵ ∴可设， 此时， ， 故选：B. 28．若方程的两根满足，则在下列关于、的等量关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，解决此题的关键是熟记公式；利用根与系数的关系和给定的根的比例关系，代入求解即可． 【详解】解：∵方程 的两根为 和 ， 由根与系数的关系可得：，， 又 ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 将 代入： ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴． 故选：D． 29．设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：． 30．已知实数，满足，，且，求的值 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，将第二个方程 变形，得到满足的方程 ，与第一个方程形式相同，且，因此 和 是方程的两个不相等的根，利用根与系数的关系求出 和的值，代入所求表达式化简即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，变形得， 又，且， 所以和是方程 的两个根， 由根与系数的关系，得， 所求表达式， 代入已知值，分子，分母， 所以， 故答案为：． 31．已知方程有一个实数根为，则另一个实数根是 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了一元二次方程中根与系数的关系．方程有一个实数根为，设另一个根是．则，，再进一步计算即可． 【详解】解：方程有一个实数根为，设另一个根是． 则，， ∴，． 故答案为：，． 32．为方程的两个根，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．一元二次方程的两根为，则根与系数的关系为．根据根与系数的关系得到，将原式化简得，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴ ． 故答案为：1． 33．若一元二次方程的两根为，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用根与系数的关系求出两根之和、两根之积，代入化简后的表达式计算． 【详解】解：由根与系数的关系，得 ，， 原式化简为： ， 代入得 ， 故答案为：3． 34．方程的两个根的积是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 先将原方程化为一般式，再利用根与系数的关系直接求解两根之积即可． 【详解】解：将原方程移项，得 ， 其中二次项系数，一次项系数，常数项． 根据根与系数的关系，方程的两个根的积为． 故答案为． 一元二次方程之实际应用 1. 列方程解实际应用题的核心步骤 ① 审题：通读题目，梳理已知条件与所求问题，精准提炼隐藏的等量关系（解题关键）。 ② 设未知数：根据等量关系灵活选择直接设元（直接设所求量）或间接设元（设中间关联量），简化计算。 ③ 列方程：依据等量关系，将文字表述转化为含未知数的一元二次方程，确保方程形式规范。 ④ 解方程：选择合适的解法（因式分解法、公式法等）求解，计算过程中注意符号与根式化简。 ⑤ 检验与作答：验证方程的解是否符合实际意义（如长度、人数、价格等不能为负或超出合理范围），舍去无效解后规范作答 二.一元二次方程实际应用的基本类型 *传播问题 核心公式：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数。 *握手(比赛)问题 设参与数量为n，核心公式: 单循环：＝总数（如握手、单循环赛制比赛） 双循环：＝总数(如互赠礼物、双循环赛制比赛） *数字问题 多位数表示规则： 两位数:10×十位数字+个位数字 三位数:100×百位数字+10×十位数字+个位数字 以此类推，高位数字乘对应数位的计数单位（10 的幂次）后相加。 *平均增长率(下降率)问题 增长率: 原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数， 下降率: 原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。 注意：增长率 / 下降率需用小数表示，且结果需符合实际（如增长率不能超过合理范围）。 *商品销售问题: 核心等量关系 总利润 = 单件利润 × 销售数量 现单件利润 = 原单件利润 + 涨价金额（或 - 降价金额）（单件利润 = 售价 - 进价） 现销售数量 = 原销售数量 - 涨价导致减少的数量（或 + 降价导致增加的数量） *圆形面积问题 核心建模思路： 利用几何图形面积公式（如矩形、三角形、梯形等）建立一元二次方程。 涉及直角图形时，可通过勾股定理建立方程。 （练习题） 35．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 根据流感传染模型，起始1人患病，每轮传染中每人传染x人，两轮后总患病人数为，据此列方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染x人，根据题意得， ∵ 起始患病人数为1， 第一轮后患病人数为：， 第二轮后患病人数为：， 又∵ 两轮后总患病人数为49， ∴ ， 故选：B． 36．2023年下半年金价为每克452元，但到了2025年下半年却一度增长到每克993元，设这两年金价的年平均增长率为x，则列方程为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这两年金价的年平均增长率为x，根据“2023年下半年金价为每克452元，但到了2025年下半年却一度增长到每克993元”列方程求解即可． 【详解】设这两年金价的年平均增长率为x， 根据题意得，． 故选：A． 37．达州市要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元二次方程，根据题意列方程即可． 【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛， 每支球队都需要与其他球队比赛场，但是两队之间只有场比赛， 则：． 故选：B． 38．如图，在中，，，动点P从点A开始以的速度沿边向点B运动；动点Q从点B开始以的速度沿边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． ①当时，的面积为； ②t有两个不同的值，都使的面积为； ③的面积可以为 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及三角形的面积，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． ①当时，，，利用三角形的面积公式，可求出的面积为；②当运动时间为秒时，，，根据的面积为，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；③假设的面积可以为，根据的面积为，可列出关于t的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即的面积不能为 【详解】解：①当时，，， ，结论①正确； ②秒，秒， 当运动时间为秒时，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 有两个不同的值，都使的面积为，结论②正确； ③假设的面积可以为， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即的面积不能为，结论③不正确． 综上所述，正确的结论有2个． 故选：C． 39.．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔．已知正方形面积是圆面积的．设圆的半径为，根据题意可列出的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列方程，关键在于分别表示出正方形的面积和圆的面积，再根据两者面积的数量关系列出方程． 【详解】解：已知正方形孔的边长为，可得正方形的面积为． 设圆的半径为，根据圆的面积公式（其中为圆的面积，为圆的半径），可得圆的面积为． 已知正方形面积是圆面积的，即圆面积的等于正方形的面积， 可列出方程． 故选：C． 40．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（　　） A．1s B．1.2s C．2s D．4s 【答案】A 【分析】等量关系为：平均速度×时间=16，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：设约用了x秒． 汽车每秒减少的速度为：20÷[25÷（20÷2）]=8， ∴16米时的平均速度为：[20+（20﹣8x）]÷2=20﹣4x． ∴（20﹣4x）×x=16， 解得：x1=1，x2=4， ∵20﹣8x＞0， ∴x=1， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点为：匀变速运动的物体的平均速度=初速度与末速度和的一半；每秒减少的速度等于初速度与末速度之差与所用时间的比值． 41．某商店销售一种文具，若每个盈利5元，每天可售出200个，经市场调查发现，若每个涨价1元，每天销售量就减少10个，现商店想每天盈利1500元，则每个应涨价（    ） A．5元 B．15元 C．5元或10元 D．5元或15元 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设涨价元，根据单个利润销售量每天盈利，列出一元二次方程，求解即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设涨价元， 由题意可得：， 解得或， ∴现商店想每天盈利1500元，则每个应涨价5元或10元， 故选：C． 42．若某三个连续偶数的平方和等于56，则这三个数是(    ) A．2、4、6 B．4、6、8 C．、、或2、4、6 D．、、或4、6、8 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，未知数表示出这三个连续偶数列出方程是解题的关键．设三个连续偶数中的中间一个为x，则其他两个偶数为、，然后根据它们的平方和等于56列出方程，解之即可． 【详解】解：设三个连续偶数中的中间一个为x，则其他两个偶数为、， 根据题意可得， 解得， ∴这三个数分别为、、或2、4、6． 故选：C． 43．注重青少年心理健康是全社会义不容辞的责任，某校九年级学生开展了“凝聚力量、赋能成长”为主题的心理团建活动，第一阶段每两个班级之间都进行一场“锣鼓击球”比赛，共计比赛场次，则第一阶段参加比赛的有 个班级． 【答案】 6 【分析】本题考查一元二次方程的应用． 设第一阶段参加比赛的有个班级，根据题意列方程，求解即可． 【详解】解：设第一阶段参加比赛的有个班级， 根据题意可得， 解得或（舍去） ∴第一阶段参加比赛的有个班级． 故答案为：． 44．近些年某市出台的“助农计划”增加了广大农户的收益．已知农户甲2023年纯收入为2万元，经“助农计划”帮扶，到2025年农户甲的纯收入增长到3.92万元，设农户甲2023年到2025年纯收入的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据年平均增长率的定义，初始收入经过连续两年以相同增长率增长后得到最终收入，由此建立方程． 【详解】解：设年平均增长率为 ，则2024年收入为万元，2025年收入为万元． 根据题意，2025年收入为3.92万元，故列方程为， 故答案为：． 45．已知点是线段上一点，，如果，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的基本性质，一元二次方程解决问题.设，则利用比例的基本性质建立一元二次方程求解即可. 【详解】解：如图所示，设，则 ∵ ∴ 解得或 ∵ ∴舍去， 故答案为. 46．某兴趣小组的每位同学，将自己收集的植物标本向本组其他成员各赠送1件，全组互赠标本共182件，若全组有名学生，则根据题意可列方程 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意列式即可得到本题答案． 【详解】解：∵全组有名学生，将自己收集的植物标本向本组其他成员各赠送1件， ∴全组有名学生将赠送给个人标本， ∵全组互赠标本共182件， ∴，整理得：， 故答案为：． 47．暑假期间，某商场购进一批价格为元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为元时，每周可售出件，售价每上涨元，销售量将减少件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的倍．该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为元，每件文化衫应定价 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件文化衫的定价为x元时，根据总利润每件利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合售价不能超过进价的倍即可确定x的值，此题得解． 【详解】解：设每件文化衫应定价为元， ， 解得：，， ∵该文化衫的售价不能超过进价的倍， ∴， ∴每件文化衫应定价为元， 故答案为：． 48．燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思.全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同.其桌面共有三种尺寸，包括2张长桌、2张中桌和3张小桌，它们的宽都相同.七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身.下图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式.若全套七张桌子桌面的总面积为61.25平方尺，则长桌的长度为 尺. 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，结合图形表示出小桌、中桌、长桌的长是解题的关键． 设每张桌面的宽为尺，结合图形分别表示出小桌、中桌、长桌的长，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设每张桌面的宽为尺， 根据图形可得：小桌的长为尺，中桌的长为尺，长桌的长为尺， 故可得， 解得：，（舍去）， ∴， 故答案为：7． 49．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿向点B以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是 ． 【答案】/10秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，得到关于t的方程是解题的关键． 设运动时间为秒，根据点的运动速度分别表示出和的长度，再利用直角三角形面积公式列出关于的一元二次方程，求解方程得到运动时间． 【详解】设经过秒时，的面积等于． 点的速度是，移动时间为秒，，则； 点的速度是，移动时间为秒，则． ∵， ∴ 的面积． ∵， ∴， 化简得， 即， 整理为， 解得． 所以经过的时间是． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $