精品解析：陕西省西安市高新区2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

2025~2026学年度第一学期期中考试八年级数学试题 （总分120分 用时120分钟） 第一部分（选择题） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各数中，为无理数的是（） A. 3.14 B. C. D. 2. 若方程是关于x，y的二元一次方程，则关于m，n的值判断正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 点在第二象限，距轴单位，距轴单位，则坐标为( ) A. B. C. D. 4. 根据下列条件，分别判断以a，b，c为三边的，不是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 5. 一个正比例函数的图象经过点，则它的表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ） A. －1 B. 7 C. 1 D. 2 7. 在同一平面直角坐标系中，函数和（m为常数，）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点C在y轴的负半轴上，将沿翻折，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 第二部分（非选择题） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 的立方根是__________． 10. 估算比较大小：_____1．（填“”或“”或“”） 11. 塑料凳子轻便实用，在生活中随处可见，如图，3支塑料凳子叠放在一起的高度为55，5支塑料凳子叠放在一起的高度为65．假设1支塑料凳子的高度为，每叠放1支塑料凳子高度增加，则可列方程组为______． 12. 若，，三点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是________．（填“>”，“<”，“=”） 13. 如图，在直角坐标系中，点，是第一象限角平分线上的两点，点的纵坐标为1，且，在轴上取一点，连接，，，，使得四边形的周长最小，这个最小周长的值为________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 解方程组：． 16. 如图，某同学在公园荡秋千．已知秋千静止时绳索，踏板离地的垂直高度．当他往前荡至点处时，测得水平距离．假设人在荡秋千的过程中秋千绳索始终拉直不变形，求点处踏板离地的垂直高度的长． 17. 已知，求的平方根． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，． （1）画出关于y轴对称的，其中点A的对应点是点，点B的对应点是点； （2）求的面积． 19. 已知，且是关于的正比例函数． （1）求与的函数关系式； （2）若，求函数的最小值． 20. 如图，在三角形中，为边上的中线，且，过点D作于点E．请求出线段的长． 21. 上数学课时，陈老师让同学们解一道关于x、y的方程组，并请小方和小龙两位同学到黑板上板演．可是小方同学看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小龙同学看错了方程②中的b，得到方程组的解为，你能按正确的a、b值求出方程组的解吗？ 22. 如图，直线分别交y轴，x轴于A，B两点，直线分别交y轴，x轴于C，D两点，直线，相交于P点． （1）方程组的解是______； （2）求直线，与x轴围成的三角形面积； 23. 国庆节假期间，小亮和妈妈到某度假村度假．返回时，他们先搭乘顺路车到服务区，爸爸再驾车到服务区接小亮和妈妈回家．一家人在服务区见面后，休息了一会儿，然后乘坐爸爸的车以的速度返回家中．返回途中，小亮与自己家的距离和时间之间的关系大致如图所示． （1）小亮从度假村到服务区的过程中，求与之间的函数关系式； （2）小亮从度假村回到自己家共用了多长时间？ 24. 某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元． （1）求，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 25. 定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． （1）方程的“变更方程”为________； （2）方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为________； （3）已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 26. 【阅读材料】建系法：通过构建平面直角坐标，借助点坐标、函数等方法，可以把几何关系转化成代数关系． 【初步运用】2025年陕西中考第7题：如图1，正方形的边长为4，点E为的中点，点F在上，，则的面积为多少？ 解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”． 解题思路： ①如图2，以直线为x轴，以直线为y轴，以点A为原点建立直角坐标系． ②由题意得，点A坐标为，点E坐标为，点B坐标为，点C坐标为． ③由点E和点C的坐标求出直线的关系式为． ④由和点，可求出直线关系式为，即可求点F坐标为． ⑤由此得到线段和的长，从而求出面积为5． 【迁移探究】如图，长方形中，，，，，，点E是边上的一点，，交于点F． （1）请用“建系法”求四边形的面积．（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．） （2）在题（1）建立的直角坐标系基础上，点P是长方形边、边和边上的一个动点，沿着由的方向移动，点Q是点P在运动过程中关于x轴的对称点．请问在点P的运动过程中，是否存在某一时刻使得是一个等腰三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在题（1）建立的直角坐标系基础上，把沿着直线折叠，点D的对应点为点，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中考试八年级数学试题 （总分120分 用时120分钟） 第一部分（选择题） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各数中，为无理数的是（） A. 3.14 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数是关键．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可． 【详解】解：A．3.14是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意； B．，3是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； C．是无理数，故此选项符合题意； D．是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； 故选：C 2. 若方程是关于x，y的二元一次方程，则关于m，n的值判断正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，方程应含有两个未知数，且每个未知数的次数均为1，同时未知数的系数不能为零，据此求出结论即可． 【详解】解：∵ 方程 是关于， 的二元一次方程， ∴的指数必须为1，即， 解得：， ∵的系数（若 ，则方程变为，不符合二元一次方程定义）， ∴， ， 故选：C． 3. 点在第二象限，距轴单位，距轴单位，则坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标；根据第二象限点的坐标符号特征及点到坐标轴的距离确定坐标, 第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正，即形式为(，)，即可求解． 【详解】解：点在第二象限，距轴单位，距轴单位，则坐标为， 故选：D． 4. 根据下列条件，分别判断以a，b，c为三边的，不是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，， 设，，，即， 解得：， ∴，，， ∴不是直角三角形，故本选项符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即是直角三角形，故本选项不符合题意； D、， 设，，， ∵， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的定义和勾股定理的逆定理． 5. 一个正比例函数的图象经过点，则它的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求正比例函数解析式，关键是将点的坐标代入解析式求解，设正比例函数解析式为，将点代入求出k的值． 【详解】解：设正比例函数解析式为，将点代入， 得， ∴， ∴函数表达式为， 故选：A． 6. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ） A. －1 B. 7 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将二元一次方程组的解代入方程组求解未知数的值是解题的关键． 首先通过将方程组的两个方程相减，得到，再代入已知条件求解的值即可． 【详解】解：令方程组， ①－②，得：， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：C． 7. 在同一平面直角坐标系中，函数和（m为常数，）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数与一次函数的图象共存的问题．根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，从而可得答案． 【详解】解：当时，正比例函数的图象上y的值随x值的增大而增大， ，一次函数的图象过第一、二、四象限， 故B，D选项不符合题意； 当时，正比例函数的图象上y的值随x值的增大而减小， ，一次函数的图象过第一、三、四象限， 故C选项不符合题意，A选项符合题意． 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点C在y轴的负半轴上，将沿翻折，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、翻折的性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意先求出，推出，由折叠可知：，，得的长；然后设点，则，根据即可求解． 【详解】解：对于函数， 令，则；令，则， ∴， ∴， 由折叠可知：，， ∴， 设点，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 第二部分（非选择题） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 的立方根是__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 10. 估算比较大小：_____1．（填“”或“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是无理数的估算及大小比较，通过估算的取值范围，比较与1的大小即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 则， 因此， 故答案为：． 11. 塑料凳子轻便实用，在生活中随处可见，如图，3支塑料凳子叠放在一起的高度为55，5支塑料凳子叠放在一起的高度为65．假设1支塑料凳子的高度为，每叠放1支塑料凳子高度增加，则可列方程组为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设1支塑料凳子的高度为，每叠放1支塑料凳子高度增加，即可根据3支塑料凳子叠放在一起的高度为55，5支塑料凳子叠放在一起的高度为65列出方程组即可． 【详解】解：设1支塑料凳子的高度为，每叠放1支塑料凳子高度增加，则可列方程组为， 故答案为：． 12. 若，，三点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是________．（填“>”，“<”，“=”） 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．先根据点代入可得，再根据一次函数的增减性即可得． 【详解】解：点在一次函数的图象上， ，解得：， 一次函数解析式为， ， 随的增大而减小， 又点，点都在一次函数的图象上，且， ． 故答案为：<． 13. 如图，在直角坐标系中，点，是第一象限角平分线上的两点，点的纵坐标为1，且，在轴上取一点，连接，，，，使得四边形的周长最小，这个最小周长的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出AC=BC=2，作点B关于y轴对称的点E，连接AE，交y轴于D，此时AE=AD+BD，且AD+BD值最小，即此时四边形的周长最小；作FG∥y轴，AG∥x轴，交于点G，则GF⊥AG，根据勾股定理求出AE即可． 【详解】解：∵，点的纵坐标为1， ∴AC∥x轴， ∵点，是第一象限角平分线上的两点， ∴∠BAC=45°， ∵， ∴∠BAC=∠ABC=45°， ∴∠C=90°， ∴BC∥y轴， ∴AC=BC=2， 作点B关于y轴对称的点E，连接AE，交y轴于D，此时AE=AD+BD，且AD+BD值最小， ∴此时四边形的周长最小， 作FG∥y轴，AG∥x轴，交于点G，则GF⊥AG， ∴EG=2，GA=4， 在Rt△AGE中， ， ∴ 四边形的周长最小值为2+2+=4+ ． 【点睛】本题考查了四条线段和最短问题．由于AC=BC=2,因此本题实质就是求AD+BD最小值，从而转化为“将军饮马”问题，这是解题关键． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，绝对值的意义，零指数幂，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再合并同类项即可； （2）先化简绝对值和二次根式，零指数幂，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 15. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解是． 16. 如图，某同学在公园荡秋千．已知秋千静止时绳索，踏板离地的垂直高度．当他往前荡至点处时，测得水平距离．假设人在荡秋千的过程中秋千绳索始终拉直不变形，求点处踏板离地的垂直高度的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，由勾股定理求出，燃弧根据计算即可． 【详解】解：∵，， 在中，由勾股定理，得：， 即，， ∴． 17. 已知，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，求平方根，先根据非负数的性质求出，，再代入所求代数式，最后根据平方根的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，． （1）画出关于y轴对称的，其中点A的对应点是点，点B的对应点是点； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图，为作三角形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质. （1）分别作出点，关于y轴的对称点，再顺次连接可得； （2）利用整体减部分法求解可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的顶点坐标分别是，， ∴. 19. 已知，且是关于的正比例函数． （1）求与的函数关系式； （2）若，求函数的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，求正比例函数值，正比例函数的增减性： （1）一般地，形如（k是常数，且）的函数叫做正比例函数，据此可得，解之即可得到答案； （2）根据（1）所求，先求出当时，，再根据解析式可得y随x增大而减小，则当，函数的最小值为． 【小问1详解】 解：∵，且是关于的正比例函数， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∵在中，， ∴y随x增大而减小， ∴当，函数的最小值为． 20. 如图，在三角形中，为边上的中线，且，过点D作于点E．请求出线段的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据中线的性质可得，再利用勾股定理的逆定理即可得，再利用等面积法即可求解． 【详解】解：，AD为BC边上的中线， ， ，，， ， ，即， ∵AD为BC边上的中线，即AD垂直平分BC， ， ∵的面积， ， 解得：． 【点睛】本题考查了中线的性质，勾股定理的逆定理的应用及等面积法求三角形的高，熟练掌握勾股定理的逆定理及等面积法求三角形的高是解题的关键． 21. 上数学课时，陈老师让同学们解一道关于x、y的方程组，并请小方和小龙两位同学到黑板上板演．可是小方同学看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小龙同学看错了方程②中的b，得到方程组的解为，你能按正确的a、b值求出方程组的解吗？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组； 分别把给出的方程组的解代入到没有看错的方程中求出a、b的值，得到原方程组，再利用加减消元法求解即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组为， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 故方程组的解为． 22. 如图，直线分别交y轴，x轴于A，B两点，直线分别交y轴，x轴于C，D两点，直线，相交于P点． （1）方程组的解是______； （2）求直线，与x轴围成的三角形面积； 【答案】（1） （2）直线，与x轴围成的三角形面积为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系、图象与坐标轴围成面积等知识点，一次函数知识点的熟练运用是解题关键， （1）根据一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系即可求得； （2）分别求出A、C两点的坐标，然后根据坐标求出长度，代入面积公式即可求得. 【小问1详解】 解：∵直线与直线相交于点， ∴方程组的解是； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， ， 当时，， 解得：， ， ， ∴直线，与x轴围成的三角形面积． 23. 国庆节假期间，小亮和妈妈到某度假村度假．返回时，他们先搭乘顺路车到服务区，爸爸再驾车到服务区接小亮和妈妈回家．一家人在服务区见面后，休息了一会儿，然后乘坐爸爸的车以的速度返回家中．返回途中，小亮与自己家的距离和时间之间的关系大致如图所示． （1）小亮从度假村到服务区的过程中，求与之间的函数关系式； （2）小亮从度假村回到自己家共用了多长时间？ 【答案】（1） （2）4小时 【解析】 【分析】本题考查一次函数的解析式，及函数值问题，掌握函数的待定系数法求解析式，会用解析式求函数值，掌握路程速度与时间的关系，会用路程与速度求时间解决问题是关键． （1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法解答即可； （2）根据“时间路程速度”，求出从A服务区到家的时间即可解答． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意得： ， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， 从A服务区到家的时间为：（小时）， （小时）， 答：小亮从度假村回到自己家共用了4小时． 24. 某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元． （1）求，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 【答案】（1），两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元 （2）该公司共有三种购买方案：方案一：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆；方案二：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车10辆；方案三：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组以及二元一次方程是解此题的关键． （1）设，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元，根据“1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆，根据“该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车”列出二元一次方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：设，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元， 由题意得：， 解得：， ∴，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元； 【小问2详解】 解：设购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆， 由题意得：， 整理得：， ∵、均为正整数， ∴或或， ∴该公司共有三种购买方案：方案一：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆；方案二：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车10辆；方案三：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆． 25. 定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． （1）方程的“变更方程”为________； （2）方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为________； （3）已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可； （2）联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【小问1详解】 解：方程的“变更方程”为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ①②的：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方 程组为，解得， ∴把代入可得，即， ∴， 26. 【阅读材料】建系法：通过构建平面直角坐标，借助点坐标、函数等方法，可以把几何关系转化成代数关系． 【初步运用】2025年陕西中考第7题：如图1，正方形的边长为4，点E为的中点，点F在上，，则的面积为多少？ 解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”． 解题思路： ①如图2，以直线为x轴，以直线为y轴，以点A为原点建立直角坐标系． ②由题意得，点A坐标为，点E坐标为，点B坐标为，点C坐标为． ③由点E和点C的坐标求出直线的关系式为． ④由和点，可求出直线关系式为，即可求点F坐标为． ⑤由此得到线段和的长，从而求出面积为5． 【迁移探究】如图，长方形中，，，，，，点E是边上的一点，，交于点F． （1）请用“建系法”求四边形的面积．（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．） （2）在题（1）建立的直角坐标系基础上，点P是长方形边、边和边上的一个动点，沿着由的方向移动，点Q是点P在运动过程中关于x轴的对称点．请问在点P的运动过程中，是否存在某一时刻使得是一个等腰三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在题（1）建立的直角坐标系基础上，把沿着直线折叠，点D的对应点为点，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）点Q的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据要求建立坐标系，利用待定系数法求函数解析式，通过联立解析式求出交点坐标，然后根据割补法求四边形的面积即可； （2）根据等腰三角的性质及判定定理，分情况进行讨论，分别利用勾股定理和两边长度相等，列出方程求解即可； （3）于相交于点，根据给出的示例，利用两直线垂直和待定系数法求出直线的解析式，联立解析式求出交点坐标，然后根据平移的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图建立坐标系，，，， ∵四边形为长方形，，， 且， ∴， 假设直线的解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴直线的解析式为， 假设直线的解析式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立以上两个解析式得， ， 解得， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：①如图所示， 当点在线段上运动，时，， 此时，为等腰三角形， 根据勾股定理得， ∴； ②如图所示， 当点在线段的垂直平分线上时，假设点的坐标为，则， 根据勾股定理得，， ∴， 解得， ∵，不符合题意； 假设点的坐标为，则， 根据勾股定理得，， ∴， 解得， ∵，符合题意； ∴； 综上，点Q的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图所示，与相交于点，根据翻折的性质可得，， 根据给出的例子可得， 由和得，直线的解析式为， 联立直线的解析式和直线的解析式得， ， 解得， ∴， 点平移到点和点平移到点轨迹一样， ∴由平移的性质得，，， 可以看作向左平移了，向下平移了， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系，一次函数的图象和性质，翻折的性质，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，平移的性质，解题的关键是理解题目给出的建立坐标系的方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $