2026年数学中考第一轮复习专题03 整式篇(全国通用版)

专题03 整式考点一：代数式 1、代数式的定义： 由数与字母通过“＋，－，×，÷”以及乘方、开方等运算符号连接的式子叫做代数式。 2、列代数式： 把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式。 3、代数式求值： ①单个字母带入求代数式的值。 ②整体代入法求代数式的值。（找已知式子与所求式子的倍数关系） （例题讲解） 1．下列各式中，是代数式的是（    ） A． B． C． D． （练习题） 2．用代数式表示“a与的和的5倍”，下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．元旦是公历新一年的第一天，“元旦”一词最早出现于（晋书）：“颛顼帝以孟夏正月为元，其实正朔元旦之春．”为庆祝元旦，某商场举行促销活动，促销的方法是“消费超过元时，所购买的商品按原价打折后，再减少元”．若某商品的原价为元（），则购买该商品实际付款的金额是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．如果代数式，那么代数式的值为（    ） A．2 B． C． D．4 5．小亮用长度相同的小棒按规律拼摆图形．下列拼摆方式中，第个图形所需小棒的根数为的拼摆方式是（    ） A． B． C． D． 6．“的2倍与的4倍的差”用代数式可表示为 ． 7．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中代数式有 个 8．若式子的值是6，则式子的值是 ． 9．嘉祥某校区的是数学节上，小何同学展示了一种神奇的“阶梯数”，该数为一个四位数字（表示这个四位数字千、百、十、个位数字分别为a，b，c，d，且均不为0），且满足．例如：数字1235满足12 + 23 = 35，则1235为“阶梯数”，又如数字3241中，，则3241不是“阶梯数”．若是一个“阶梯数”，则n的值为 ；若是一个“阶梯数”中的与的差，减去12，结果能被5整除，则满足条件的x的和为 ． 10．学校为适应新中考要求，决定添置一批体育器材，学校准备订购一批某品牌篮球和跳绳，篮球每个定价120元，跳绳每条定价25元．现有，两家店铺提出了各自的优惠方案． 店：买一个篮球送一条跳绳； 店：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知该学校要购买篮球30个，跳绳条（）． (1)若在店购买，需付款_______元，若在店购买，需付款_______元；（用含的代数式表示） (2)请利用（1）的结论，当时，通过计算说明在哪家店购买较为合算？ 11．为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含的式子表示广场（阴影部分）的周长和面积； (2)若米，米，修建每平方米需费用180元，求修建广场的总费用的值． 考点二：单项式 1、单项式的定义： 由数与字母的乘积组成的式子叫做单项式。单独的一个数或单独的一个字母都是单项式。 2、单项式的系数： 单项式的数字因数部分叫做单项式的系数。 3、单项式的次数： 单项式中多有字母次数的和叫做单项式的次数。 （例题讲解） 12．下列各式属于单项式的是（    ） A． B． C． D． （练习题） 13．如果是一个十次单项式，那么的值为（    ） A． B． C．或 D．或12 14．下列说法中正确的是（   ） A．不是单项式 B．的系数是 C．的系数是，次数是 D．的系数为，次数为 15．观察下列有序数对:，……，根据你发现的规律，第个有序数对是（  ） A． B． C． D． 16．类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值小于或等于1的项称为“准同类项”．例如与是“准同类项”，则下列单项式中：①；②；③；④，与是“准同类项”的是 ．（填序号） 17．下列各式：，，﹣25，，，a2﹣2ab+b2中属于单项式的有 ． 18．写出系数为，含有字母，的三次单项式 ． 19．若关于a,b单项式的系数是,次数是5,则 , ． 20．指出下列各单项式的系数和次数： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．观察下列单项式：． (1)按此规律直接写出：第7个单项式是_______________；第8个单项式是_______________． (2)按此规律直接写出第（为正整数）个单项式，并写出它的系数和次数． 考点三：同类项 1、同类项的概念： 所含字母相同，相同字母的指数也相同的几个单项式叫做同类项。 2、合并同类型的方法： 一相加，两不变。即系数相加得新的系数，字母与字母指数不变。 注意：只有同类项才能进行加减。 （例题讲解） 22．下列各组式子中的两个单项式是同类项的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 （练习题） 23．下列选项中的两项是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 24．若单项式与是同类项，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2025 25．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 26．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 27．合并同类项的结果为（    ） A．0 B． C．m D．无法确定 28．写出的三个同类项： ， ， ． 29．已知与是同类项，则 ． 30．（1） ； （2） ． 31．若单项式与的和是单项式，则的值是 ． 32．已知：表示不超的最大整数．例如：，．令关于的等式（是整数）．例如：，则下列结论正确的有 （填序号） ①；②；③；④或1 33．如果两个关于x，y的单项式与是同类项（其中）． (1)求a的值． (2)如果这两个单项式的和为零，求的值．． 34．化简： (1)； (2)； (3)； (4)； （例题讲解） 35．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． （练习题）考点四：整式的加减运算 1、整式的加减运算： 整式加减运算的实质就是合并同类项。 36．计算的结果，下列与之相同的是（    ） A． B． C． D． 37．小聪和小明在数学活动课上表演了一个纸牌游戏：小聪背对着小明，让小明将一副纸牌按以下步骤操作： 第一步，把部分纸牌分发为左、中、右三堆，每堆张数相同，且不少于3张； 第二步，从左边一堆中拿出2张，放入中间一堆； 第三步，从左边一堆中拿出1张，放入中间一堆； 第四步，从中间一堆中拿出与右边一堆张数相等的牌放入左边． 此时小聪准确地说出了中间一堆牌现有的张数，这个张数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 38．在给定字母顺序的多项式中，对相邻的两个字母添加小括号，添加完括号后，将括号内第一项的符号变成负号，然后将所得式子化简，这样的操作称之为“括变操作”．例如：，，下列说法： ①不存在任何“括变操作”，使其结果与原多项式之和为0； ②至少存在一种“括变操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③所有的“括变操作”化简后共有7种不同的运算结果． 其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 39．如图，把，，，，0，1，2，3，4这9个数填入的方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都为0，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”，如图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则 ． 40．多项式合并同类项后不含a的一次项，则m的值为 ． 41．化简代数式的结果为 ． 42．若关于的多项式：与的和是一个二次三项式，则 ． 43．计算： (1) (2) 44．化简题： (1) (2) 考点五：幂的运算 1、同底数幂的乘法： ①法则：底数不变，指数相加。即：。 ②逆运算：。 2、同底数幂的除法： ①法则：底数不变，指数相减。即：。 ②逆运算： 3、幂的乘方： ①法则：底数不变，指数相乘。即：。 ②逆运算：。 4、积的乘方： ①法则：积的乘方等于乘方的积。即：。 ②逆运算：。 （例题讲解） 45．计算的结果为（    ） A． B． C． D． （练习题） 46．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 47．的计算结果是（    ） A． B． C． D． 48．实数，，满足，，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 49．定义：如果（，），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法中：①；②若，则；③；④（，）．正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 50．计算（保留幂的形式）： ． 51．已知，则 ． 52．①若，则 ；②若，则 ． 53．在数学的世界里，新定义的运算常常能为我们探索数的规律打开新的窗口．有一种名为“幂记号”的新定义：如果、、是整数，且，那么我们规定一种记号，例如：，那么记作．现已知、是正整数，且，，，利用定义可以得到 ．（用含、的代数式表示） 54．计算：＝ . 55．已知，，求，的值． 56．已知． (1)求的值； (2)计算的结果． （例题讲解）考点六：整式的乘除运算 1、单项式乘单项式： 系数相乘得新的系数，再把同底数幂相乘。对应只在其中一个因式存在的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。 2、单项式乘多项式： 利用单项式去乘多项式的每一项，得到单项式乘单项式，再按照单项式乘单项式进行计算，把得到的结果相加。 注意：多项式的每一项都包含前面的符号。 3、多项式乘多项式： 利用前一个多项式的每一项乘后一个多项式的每一项，得到单项式乘单项式，再按照单项式还曾单项式进行计算，把得到的结果相加。 4、单项式除以单项式： 系数相除得到新的系数，再把同底数幂相除。对于只在被除式里面存在的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式。 5、多项式除以单项式： 利用多项式的每一项除以单项式，得到单项式除以单项式，再按照单项式除以单项式进行计算，再把多得到的结果相加。 6、乘法公式： ①平方差公式：。 ②完全平方公式：。 57．计算：（1） ，（2） ． （练习题） 58．有一道残缺不全的题目，如图所示，这道题目的被除式为（    ） A． B． C． D． 59．观察下图，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积，可以说明下列哪个等式成立（　　） A． B． C． D． 60．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 61．要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 62．已知关于x的多项式除以余1 ，除以余4，则除以的余式为（   ） A．4 B．3 C． D． E． 63．若商品的买入价为a，售出价为b，则毛利率，已知p，a，则（   ） A． B． C． D． 64．计算： (1) ; (2) . 65．用篱笆围一个面积为的长方形花圃，其中一边长为，则另一边的长为 ． 66．计算： ． 67．若，则 68．计算： (1)； (2)． 69．计算： (1) (2) (3) (4) 70．计算 （1）（xy2﹣2xy）•xy （2）[（x+y）•（x﹣y）﹣（x+y）2]÷（﹣2y） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式考点一：代数式 1、代数式的定义： 由数与字母通过“＋，－，×，÷”以及乘方、开方等运算符号连接的式子叫做代数式。 2、列代数式： 把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式。 3、代数式求值： ①单个字母带入求代数式的值。 ②整体代入法求代数式的值。（找已知式子与所求式子的倍数关系） （例题讲解） 1．下列各式中，是代数式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式的定义，熟练掌握代数式的定义，是解题的关键．代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式，不包含等号、不等号或约等号等关系符号，据此判断各选项是否符合此定义即可． 【详解】解：A．仅含数字、字母和加号，是代数式，故A正确； B．含不等号“”，不是代数式，故B错误； C．含等号“”，不是代数式，故C错误； D．含约等号“”，不是代数式，故D错误． 故选：A． （练习题） 2．用代数式表示“a与的和的5倍”，下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，根据题意表述，列出正确的代数式进行表示，即可作答． 【详解】解：用代数式表示“a与的和的5倍”为， 故选：B． 3．元旦是公历新一年的第一天，“元旦”一词最早出现于（晋书）：“颛顼帝以孟夏正月为元，其实正朔元旦之春．”为庆祝元旦，某商场举行促销活动，促销的方法是“消费超过元时，所购买的商品按原价打折后，再减少元”．若某商品的原价为元（），则购买该商品实际付款的金额是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，根据促销规则，实际付款金额为原价打折后再减少元即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵消费超过元时，所购买的商品按原价打折后，再减少元， ∴实际付款金额为：（元）， 故选：． 4．如果代数式，那么代数式的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了求代数式的值，运用整体代入思想是解题的关键；先求出，再将所求代数式变形，再整体代入求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 故选：． 5．小亮用长度相同的小棒按规律拼摆图形．下列拼摆方式中，第个图形所需小棒的根数为的拼摆方式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形类规律问题． 分别求出各选项的规律，进而作答即可． 【详解】解：A． 可知第个图形所需小棒的根数为，不符合题意； B． 可知第个图形所需小棒的根数为，符合题意； C． 可知第个图形所需小棒的根数为，不符合题意； D． 可知第个图形所需小棒的根数为，不符合题意； 故选：B． 6．“的2倍与的4倍的差”用代数式可表示为 ． 【答案】 【分析】该题考查了列代数式，主要是对文字语言转化为数学语言的能力的考查，关键是根据题目给出的数量关系列出式子．先分别表示x的2倍和y的4倍，然后求它们的差． 【详解】解：x的2倍表示为，y的4倍表示为，它们的差表示为． 故答案为：． 7．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中代数式有 个 【答案】5 【分析】本题考查代数式，掌握用运算符号连接数或字母的式子叫代数式，单独的数或字母也是代数式．根据代数式的定义排除含有等号或不等号的式子，再统计即可． 【详解】解：①是代数式； ②是代数式； ③是代数式； ④是代数式； ⑤不是代数式； ⑥不是代数式； ⑦是代数式． 综上，代数式有①②③④⑦，共5个； 故答案为5． 8．若式子的值是6，则式子的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值，解题的关键是将已知式子进行适当的变形，利用整体代入求解．由已知，通过变形得到的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：因为， 所以两边同时除以2，得， 则； 故答案为：． 9．嘉祥某校区的是数学节上，小何同学展示了一种神奇的“阶梯数”，该数为一个四位数字（表示这个四位数字千、百、十、个位数字分别为a，b，c，d，且均不为0），且满足．例如：数字1235满足12 + 23 = 35，则1235为“阶梯数”，又如数字3241中，，则3241不是“阶梯数”．若是一个“阶梯数”，则n的值为 ；若是一个“阶梯数”中的与的差，减去12，结果能被5整除，则满足条件的x的和为 ． 【答案】 7 3 【分析】本题主要考查了新定义运算，理解题意是解题关键． 根据阶梯数的定义，列出方程求解n；首先根据阶梯数的条件得到z关于x和y的表达式，再根据差减12能被5整除的条件得到x满足的同余关系，结合z为数字的约束求解x的可能值，并求和即可． 【详解】解：∵是“阶梯数”， ∴，即， 整理得， 解得：； 设为阶梯数， ∴， 整理得； ∵与的差，减12，结果能被5整除， ∴， ∴能被5整除， ∵， ∴能被5整除， ∴除以5后，余数为3， ∴将代入得 除以5余3， 即除以5余3， ∴x除以5余3， ∵x为1至9的数字， ∴x可能为3或8， ∵z为数字需满足 ，即 ， 当时，解得，满足条件； 当时，代入解得， ∵为至的整数， ∴无解； 故满足条件的x只有3，和为3； 故答案为：7；3． 10．学校为适应新中考要求，决定添置一批体育器材，学校准备订购一批某品牌篮球和跳绳，篮球每个定价120元，跳绳每条定价25元．现有，两家店铺提出了各自的优惠方案． 店：买一个篮球送一条跳绳； 店：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知该学校要购买篮球30个，跳绳条（）． (1)若在店购买，需付款_______元，若在店购买，需付款_______元；（用含的代数式表示） (2)请利用（1）的结论，当时，通过计算说明在哪家店购买较为合算？ 【答案】(1)， (2)当时，在店购买划算 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，理解题意，正确列出代数式是解此题的关键． （1）根据题干所给的优惠方式列出代数式即可； （2）当时，分别求出在、两店所花费的钱，比较大小即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：若在店购买，需付款，若在店购买，需付款元； （2）解：当时，在店购买，需付款（元）， 在店购买，需付款（元）， ∵， ∴当时，在店购买划算． 11．为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含的式子表示广场（阴影部分）的周长和面积； (2)若米，米，修建每平方米需费用180元，求修建广场的总费用的值． 【答案】(1)，； (2)元. 【分析】本题考查了列代数式以及列数式求值，读懂题意列出代数式是解答关键. （1）根据长方形的周长和面积公式去求解； （2）将米，米代入所列的代数式中进行计算求解. 【详解】（1）解：根据题意得 广场的周长：， 广场的面积为：， ，； （2）解：当米，米时 （平方米）， (元)， 修建广场的总费用为元. （例题讲解）考点二：单项式 1、单项式的定义： 由数与字母的乘积组成的式子叫做单项式。单独的一个数或单独的一个字母都是单项式。 2、单项式的系数： 单项式的数字因数部分叫做单项式的系数。 3、单项式的次数： 单项式中多有字母次数的和叫做单项式的次数。 12．下列各式属于单项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】单项式是指由数字与字母的乘积组成的代数式，或单独的数字或字母，根据单项式的定义逐项判断即可；本题主要考查了单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、含有加法运算，是多项式，不符合题意； B、分母含有字母，不是单项式，不符合题意； C、分子含有加法运算，不是单项式，不符合题意； D、是数字与字母的乘积，符合单项式定义； 故选：D． （练习题） 13．如果是一个十次单项式，那么的值为（    ） A． B． C．或 D．或12 【答案】B 【分析】本题主要考查单项式，根据十次单项式的定义，所有字母的指数之和为10，且系数不能为零，据此列式计算即可． 【详解】解：∵单项式的次数为10， ∴， 解得． 故选：B． 14．下列说法中正确的是（   ） A．不是单项式 B．的系数是 C．的系数是，次数是 D．的系数为，次数为 【答案】C 【分析】此题考查了单项式有关概念，根据单项式系数、次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：、是单项式，原选项说法错误，不符合题意； 、的系数是，原选项说法错误，不符合题意； 、的系数是，次数是，原选项说法正确，符合题意； 、的系数为，次数为，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 15．观察下列有序数对:，……，根据你发现的规律，第个有序数对是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知数对，归纳横、纵坐标的规律，然后利用规律即可解答． 【详解】解：∵…… ∴第n个有序数对的横坐标为：（-1）n+1（2n+1），纵坐标为 ∴第个有序数对的横坐标为：（-1）100+1（2×100+1）=-201，纵坐标为． 故答案为B． 【点睛】本题考查了有序数对和数字规律，根据已知数对归纳横、纵坐标的规律是解答本题的关键． 16．类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值小于或等于1的项称为“准同类项”．例如与是“准同类项”，则下列单项式中：①；②；③；④，与是“准同类项”的是 ．（填序号） 【答案】①② 【分析】本题考查了对新定义信息的理解与应用能力． 根据“准同类项”的定义，所含字母相同，且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1．基准项为 ．分别计算各选项与基准项相同字母的指数差，判断是否均满足绝对值小于或等于1． 【详解】解：基准项为，字母为和． ①： 的指数差为 ， 的指数差为 ，满足条件． ②： 的指数差为 ， 的指数差为 ，满足条件． ③： 的指数差为 ，不满足条件． ④： 的指数差为 ，不满足条件． 故与基准项是“准同类项”的是①②． 故答案为：①②． 17．下列各式：，，﹣25，，，a2﹣2ab+b2中属于单项式的有 ． 【答案】，﹣25 【分析】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式． 【详解】根据单项式的定义知，单项式有：，﹣25． 【点睛】此题考查单项式，解题关键在于掌握单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式，这是判断是否是单项式的关键． 18．写出系数为，含有字母，的三次单项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的定义，由数或字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，单项式中数字因数叫做单项式的系数（当系数为1或时，1可以省略不写）．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：系数为，含有字母，的三次单项式： 故答案为：（答案不唯一） 19．若关于a,b单项式的系数是,次数是5,则 , ． 【答案】 4 【分析】直接利用单项式的次数与系数确定方法分析得出答案． 【详解】解：是关于a,b的单项式,系数是,次数是5, ,, 解得：,, 故答案为,4． 【点睛】此题主要考查了单项式,正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键． 20．指出下列各单项式的系数和次数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的系数是，次数是2 (2)的系数是，次数是4 (3)的系数是2，次数是1 (4)的系数是，次数是3 【分析】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，据此求解即可． 【详解】（1）解：的系数是，次数是； （2）解：的系数是，次数是； （3）解：的系数是2，次数是1； （4）解：的系数是，次数是． 21．观察下列单项式：． (1)按此规律直接写出：第7个单项式是_______________；第8个单项式是_______________． (2)按此规律直接写出第（为正整数）个单项式，并写出它的系数和次数． 【答案】(1)， (2)第个单项式是，其系数为，次数为 【分析】本题是以单项式为背景的规律题目，确定单项式的系数规律、字母指数规律是解题关键． （1）观察单项式的系数、字母指数，即可求解； （2）根据题意可得出通用规律，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知： 单项式的系数依次为：1，，5，，9，，，， x的指数都是3，的指数依次为：1，2，3，4，5，6，，， 故第7个单项式是：， 第8个单项式是：． 故答案为：，； （2）解：由上可得第个单项式是，其系数为，次数为． 考点三：同类项 1、同类项的概念： 所含字母相同，相同字母的指数也相同的几个单项式叫做同类项。 2、合并同类型的方法： 一相加，两不变。即系数相加得新的系数，字母与字母指数不变。 注意：只有同类项才能进行加减。 （例题讲解） 22．下列各组式子中的两个单项式是同类项的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查同类项的判断，熟记定义是解题关键． 根据同类项的定义（所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同）逐项判断． 【详解】解：A：∵字母a与b不同， ∴不是同类项，不符合题意； B：∵都含有字母x和y，且x的指数均为1，y的指数均为1， ∴是同类项，符合题意； C：∵两项中含有字母不同， ∴不是同类项，不符合题意； D：∵都含有x和y，但x的指数不同，y的指数不同， ∴不是同类项，不符合题意； 故选：B． （练习题） 23．下列选项中的两项是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类项，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项，据此判断即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键. 【详解】解：、与不是同类项，该选项不合题意； 、与是同类项，该选项符合题意； 、与不是同类项，该选项不合题意； 、与不是同类项，该选项不合题意； 故选：. 24．若单项式与是同类项，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2025 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义．根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，由此列出方程求解和，再代入计算的值． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， ∴． 故选：C． 25．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项的法则逐一判断即可，掌握合并同类项法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； B、，故选项符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 26．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则．根据整式的加减运算法则，先去括号，然后合并同类项． 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项错误，不符合题意． 故选：C． 27．合并同类项的结果为（    ） A．0 B． C．m D．无法确定 【答案】B 【分析】与结合，与结合，依此类推相减结果为，得到506对，计算即可得到结果． 【详解】解： ， 故选B． 【点睛】本题考查合并同类项，根据题意弄清式子的规律是解本题的关键． 28．写出的三个同类项： ， ， ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查同类项，根据字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，进行求解即可． 【详解】解：写出的三个同类项：，，（答案不唯一）． 故答案为：，，（答案不唯一）． 29．已知与是同类项，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，列出方程求解． 【详解】解：∵与是同类项， ∴a的指数相等，即，解得， ∴b的指数相等，即，解得， ∴． 故答案为：1． 30．（1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． （1）“被减数=差+减数”，合并同类项即可； （2）“减数=被减数-差”，展开被减数合并同类项即可． 【详解】解：（1） 故答案为：． （2） 故答案为：． 31．若单项式与的和是单项式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项的法则以及单项式，根据合并同类项的法则进行解答即可，掌握合并同类项的法则是解题的关键． 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 32．已知：表示不超的最大整数．例如：，．令关于的等式（是整数）．例如：，则下列结论正确的有 （填序号） ①；②；③；④或1 【答案】①②④ 【分析】本题考查了新定义运算，合并同类项，明确运算的法则，运用分类讨论思想是解题的关键． 根据新定义的运算逐项进行计算即可做出判断． 【详解】解：∵， ∴，故①正确，符合题意； 而， ∴，故②正确，符合题意； 设n为正整数， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 所以或1，故④正确，符合题意， 由③可得：当，时， ，， 此时， 当时，， ∴，， ∴此时， 当时，， ∴， 此时，故③错误，不符合题意； 故答案为：①②④ 33．如果两个关于x，y的单项式与是同类项（其中）． (1)求a的值． (2)如果这两个单项式的和为零，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查同类项，合并同类项，熟练掌握同类项的定义，是解题的关键： （1）根据同类项的定义，得到，进行求解即可； （2）根据两个同类项的和为0，则两个同类项的系数之和为0，得到，整体代入法求值即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得； （2）∵这两个单项式的和为零， ∴， ∴， ∴． 34．化简： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握合并同类项法则是解答本题的关键． （1）直接合并同类项即可； （2）直接合并同类项即可； （3）原式去括号，再合并同类项即可； （4）原式去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． （例题讲解） 35．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查整式的加减．合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变．据此求解即可判断。 【详解】解：A、与，不是同类项不能合并，原计算错误，故本选项不符合题意； B、，原计算正确，故本选项符合题意； C、与，不是同类项不能合并，原计算错误，故本选项不符合题意； D、，原计算错误，故本选项不符合题意； 故选：B． （练习题）考点四：整式的加减运算 1、整式的加减运算： 整式加减运算的实质就是合并同类项。 36．计算的结果，下列与之相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，先去括号，再合并即可，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：B． 37．小聪和小明在数学活动课上表演了一个纸牌游戏：小聪背对着小明，让小明将一副纸牌按以下步骤操作： 第一步，把部分纸牌分发为左、中、右三堆，每堆张数相同，且不少于3张； 第二步，从左边一堆中拿出2张，放入中间一堆； 第三步，从左边一堆中拿出1张，放入中间一堆； 第四步，从中间一堆中拿出与右边一堆张数相等的牌放入左边． 此时小聪准确地说出了中间一堆牌现有的张数，这个张数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】此题考查了整式的加减，弄清题意是解本题的关键． 根据题中的步骤，即可得到第四步中间一堆牌此时的张数．通过逐步模拟纸牌操作过程，计算每步后各堆牌的数量变化，发现中间一堆的最终张数与初始每堆张数无关，恒为3． 【详解】解：设初始左、中、右三堆各有n张牌， ∵第二步：从左边拿2张放入中间， ∴各堆牌的张数为：左堆：，中堆：，右堆：n， ∵第三步：从左边拿1张放入中间， ∴各堆牌的张数为：左堆：，中堆：，右堆：n， ∵第四步：从中间拿出与右边张数相等的牌（即n张）放入左边， ∴各堆牌的张数为：中堆：，左堆：，右堆：n． ∴中间一堆最终有3张牌． 故答案为：A． 38．在给定字母顺序的多项式中，对相邻的两个字母添加小括号，添加完括号后，将括号内第一项的符号变成负号，然后将所得式子化简，这样的操作称之为“括变操作”．例如：，，下列说法： ①不存在任何“括变操作”，使其结果与原多项式之和为0； ②至少存在一种“括变操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③所有的“括变操作”化简后共有7种不同的运算结果． 其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减的应用，解通过分析“括变操作”的所有可能情况，共有7种不同的运算结果，且不存在任何操作使结果与原多项式之和为0，因此说法①和③正确，说法②错误． 【详解】解：∵ 原多项式为 ， “括变操作”需添加至少一对括号，可能添加括号的相邻字母对为：、、、，但添加的括号对必须互不相交（即不共享字母）， ∴ 可能操作有7种： （1）仅添加：结果为 ， （2）仅添加：结果为 ， （3）仅添加：结果为 ， （4）仅添加：结果为 ， （5）添加和：结果为 ， （6）添加和：结果为 ， （7）添加和：结果为 ， 以上7种结果互不相同，故说法③正确， ∵ 设原多项式 ， 若 ，则 ， 但7种结果中无此系数组合（系数均为，系数均为）， ∴ 说法①③正确，说法②错误， 综上，正确个数为2， 故选：C． 39．如图，把，，，，0，1，2，3，4这9个数填入的方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都为0，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”，如图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意，得到，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：1． 40．多项式合并同类项后不含a的一次项，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项以及不含某项的运算，本题需要将同类项合并后，令一次项的系数为零，解方程即可求得m的值． 【详解】解：， 合并同类项后不含的一次项， ， ． 故答案为：． 41．化简代数式的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减法运算，熟练掌握整式的加减法运算法则是解题的关键． 观察代数式，提取公因式 后，将每个分数进行部分分式分解，转化为两个分数之和，再通过求和并利用项相消简化，得到结果即可． 【详解】解： . ． 故答案为： 42．若关于的多项式：与的和是一个二次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，将两个多项式相加，合并同类项后根据和是一个二次三项式，进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ∵和是一个二次三项式， ∴当，时， 则， 故， 此时； 当，时，则，此时没有意义； 当时，则，此时没有意义； 综上可得：； 故答案为：． 43．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减； （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 44．化简题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号法则，合并同类项法则进行化简． （1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： （2）解： 考点五：幂的运算 1、同底数幂的乘法： ①法则：底数不变，指数相加。即：。 ②逆运算：。 2、同底数幂的除法： ①法则：底数不变，指数相减。即：。 ②逆运算： 3、幂的乘方： ①法则：底数不变，指数相乘。即：。 ②逆运算：。 4、积的乘方： ①法则：积的乘方等于乘方的积。即：。 ②逆运算：。 （例题讲解） 45．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，同底数幂的除法运算，正确运算是解题的关键．从左到右先进行同底数幂的乘法运算，再进行同底数幂的除法运算即可． 【详解】解：, 故选：D． （练习题） 46．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方等知识点，掌握相关指数运算的基本规则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故A错误，不符合题意； B．，故B错误，不符合题意； C．，故C错误，不符合题意； D． ，故D正确，符合题意． 故选D． 47．的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，把原式先变形为，进一步变形为，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 48．实数，，满足，，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据已知得出，，进而得到，，再代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 49．定义：如果（，），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法中：①；②若，则；③；④（，）．正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题以新定义题型为背景，主要考查了数的乘方的计算能力，解题的关键是理解定义． 根据定义理解，然后灵活应用定义变化，一一判断给出的说法是否正确即可． 【详解】解：①∵， ∴，该选项正确，符合题意； ②∵， ∴， 解得，该选项错误，不符合题意； ③由得，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，该选项正确，符合题意； ④令，则， ∵， ∴，该选项正确，符合题意； ∴正确的选项有：①③④， 故选：C． 50．计算（保留幂的形式）： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了同底数幂的运算，幂的乘方，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则运算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 51．已知，则 ． 【答案】64 【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方运算，熟练掌握幂的乘方“底数不变，指数相乘”、积的乘方“把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”的运算法则是解题的关键． 先根据幂的乘方与积的乘方法则化简等式左边，再通过相同底数的指数相等建立方程，求出、的值，最后计算． 【详解】解：， 所以，， 解得，． 则 故答案为：． 52．①若，则 ；②若，则 ． 【答案】 2 【分析】本题考查的是同底数幂的除法和同底数幂的乘法、积的乘方． 对于①，将4和8表示为2的幂，利用同底数幂的乘法法则； 对于②，利用幂的运算性质，将指数表达式变形后代入计算． 【详解】解：①因为， 所以， 又， 所以， 故， 解得 故答案为：2， ②因为， 又， 所以原式． 故答案为：． 53．在数学的世界里，新定义的运算常常能为我们探索数的规律打开新的窗口．有一种名为“幂记号”的新定义：如果、、是整数，且，那么我们规定一种记号，例如：，那么记作．现已知、是正整数，且，，，利用定义可以得到 ．（用含、的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，关键是根据新定义进行转换； 根据幂记号的定义，将已知条件转化为指数形式，再代入求解. 【详解】解：由已知，，根据定义得：； 同理，，得 ； 则：， 又∵， ∴ ， ∴ ， 故答案为： . 54．计算：＝ . 【答案】2 【分析】利用同底数幂的乘法运算将原式变形，再利用积的乘方求出结果. 【详解】解：（-2）2020）2019 =22020）2019 =222019）2019 =2）2019 =2 =2 【点睛】此题考查整式乘法公式的运用，准确变形是解题的关键. 55．已知，，求，的值． 【答案】3；288 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则． 【详解】解：①； ②. 56．已知． (1)求的值； (2)计算的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法及其逆运算，幂的乘方运算，积的乘方运算的逆运算，同底数幂的除法运算； （1） 由条件可得，，再代入计算即可； （2）把原式化为，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴； （2）解：∵，， ∴ ． （例题讲解）考点六：整式的乘除运算 1、单项式乘单项式： 系数相乘得新的系数，再把同底数幂相乘。对应只在其中一个因式存在的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。 2、单项式乘多项式： 利用单项式去乘多项式的每一项，得到单项式乘单项式，再按照单项式乘单项式进行计算，把得到的结果相加。 注意：多项式的每一项都包含前面的符号。 3、多项式乘多项式： 利用前一个多项式的每一项乘后一个多项式的每一项，得到单项式乘单项式，再按照单项式还曾单项式进行计算，把得到的结果相加。 4、单项式除以单项式： 系数相除得到新的系数，再把同底数幂相除。对于只在被除式里面存在的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式。 5、多项式除以单项式： 利用多项式的每一项除以单项式，得到单项式除以单项式，再按照单项式除以单项式进行计算，再把多得到的结果相加。 6、乘法公式： ①平方差公式：。 ②完全平方公式：。 57．计算：（1） ，（2） ． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘除运算．掌握单项式乘多项式法则、用单项式除以单项式法则是解题的关键． （1）运用单项式乘多项式法则计算即可； （2）运用单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． （练习题） 58．有一道残缺不全的题目，如图所示，这道题目的被除式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算；根据整式的运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意可得：， 故选：A． 59．观察下图，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积，可以说明下列哪个等式成立（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘法的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间面积的数量进行求解． 用不同的方法表示长方形的面积即可得出结果． 【详解】解：∵长方形面积=三个小长方形面积的和， ∴， 故选：A． 60．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的乘法，根据单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的法则逐一进行计算，进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选C． 61．要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴ ∴， 故选：B． 62．已知关于x的多项式除以余1 ，除以余4，则除以的余式为（   ） A．4 B．3 C． D． E． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式除以多项式， 先确定的表达式，再结合余式的表达式，根据多项式除法的余式性质求解. 【详解】解：设， 则. 设，由题意可知为一次多项式，设余式为，则， 则有，， 即， 解得， 所以余式是. 故选：D. 63．若商品的买入价为a，售出价为b，则毛利率，已知p，a，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的变形与求解．解题的关键是根据给定的毛利率公式，将其看作关于b的方程，通过移项、合并同类项等步骤解出b的表达式． 已知毛利率公式，将其视为关于b的方程，先去分母得到，再通过移项把含b的项合并，最后将b的系数化为1，即可得到用p和a表示b的代数式． 【详解】解：已知毛利率， 去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得b． 两边同时除以，得 故选：A． 64．计算： (1) ; (2) . 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算法则的应用，能灵活运用法则进行化简是解此题的关键． （1）根据多项式乘以多项式法则进行计算即可； （2）根据多项式除以单项式法则进行计算即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 65．用篱笆围一个面积为的长方形花圃，其中一边长为，则另一边的长为 ． 【答案】； 【分析】由长方形的面积求法可知由一边乘以另一边而得，则本题由面积除以边长可求得另一边． 【详解】解：∵长方形面积是，一边长为， ∴它的另一边长是：（）÷=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的除法，依据长方形面积公式，边长乘以边长，而求边长即为面积除以其中一个边长而得． 66．计算： ． 【答案】 【分析】根据单项式乘多项式的乘法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式的乘法法则是解题的关键． 67．若，则 【答案】2 【分析】把原式化简得，，根据非负数的性质得到a、b的值，代入所求式子计算即可． 【详解】原式可化为：， ∴a=2，b=1，代入ab=2×1=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了代数式求值的运算，非负数的性质，完全平方公式应用，掌握非负数的性质是解题的关键． 68．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，熟练掌握整式的相关计算法则是解题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式和多项式除以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 69．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用积的乘方运算法则化简； （2）利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案； （3）利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案； （4）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ． 70．计算 （1）（xy2﹣2xy）•xy （2）[（x+y）•（x﹣y）﹣（x+y）2]÷（﹣2y） 【答案】（1）x2y3﹣x2y2；（2）x+y 【分析】（1）用多项式的每一项去乘以单项式，再把结果相加即可； （2）先将括号内的用平方差公式和完全平方公式化简、合并同类项，再用每一项去除以（﹣2y）. 【详解】（1）原式＝； （2）原式＝[x2﹣y2﹣（x2+2xy+y2）]÷（﹣2y）， ＝（x2﹣y2﹣x2﹣2xy﹣y2）÷（﹣2y）， ＝（﹣2y2﹣2xy）÷（﹣2y）， ＝y+x． 【点睛】此题考查整式的混合运算，按照整式乘除法的法则、乘法公式计算乘法，再把结果相加. 学科网（北京）股份有限公司 $