精品解析：安徽省安庆市桐城市桐城部分学校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

桐城部分学校联考2025-2026学年上学期九年级期中试卷 数 学 本卷共23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各式中，是的二次函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴为直线x＝3，y的最大值为﹣5，且与的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 3. 已知二次函数的变量，的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是（ ） A. B. C. D. 4. 彝族年假期期间，某店销售特产苦荞饼，经调查发现每盒苦荞饼售价为20元时，日销售量为500盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加10盒．已知每盒苦荞饼的成本为10元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为（　　） A. B. C. D. 6. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是( ) A. 点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同 B. 点火后24 s火箭落于地面 C. 点火后10 s的升空高度为139 m D. 火箭升空的最大高度为145 m 7. 如图，是的中线，是上一点，，的延长线交于，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（ ） A. A B. B C. C D. D 9. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 一台机器原价为万元，如果每年价格的下降率为，两年后这台机器的价格为万元，则关于的函数关系式为__________． 12. 关于的函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是________． 13. 若，则 __________． 14. 如图，已知点D、E分别在△ABC边AB、AC上，DE//BC，BD=2AD，那么SΔDEB:SΔEBC==_____________. 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 二次函数的图象顶点是(﹣1，4)，且过(2，﹣3) (1)求函数的解析式. (2)求出函数图象与坐标轴的交点. 16. 已知，求的值． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知二次函数． （1）直接写出二次函数图象的顶点坐标； （2）画出这个二次函数的图象； （3）当时，的取值范围是_____________． 18. 如图，已知二次函数的图象与轴分别交于点和点，与轴交于点． （1）求的长； （2）求的面积． 19. 如图，，，点A，B分别在函数（）和（）的图象上，且点A的坐标为． （1）求，的值： （2）若点C，D分在函数（）和（）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请说明理由． 20. 在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购买一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构，根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量（个）与销售单价（元/个）之间的关系式为，许愿瓶的进价为6元/个 （1）按照上述市场调查的销售规律，求销售利润（元）与销售单价（元/个）之间的函数关系式，为了让顾客得到实惠，售价定为多少时可获利1200元？ （2）若许愿瓶的进价成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定此时的销售单价，并求出此时的最大利润 21. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长． 22. 已知：如图，在四边形中，，对角线交于点E，点F在边上，联结交线段于点G，． （1）求证：； （2）联结，求证：． 23. 在中，于点，点为射线上任一点点除外连接，将线段绕点顺时针方向旋转，，得到，连接． （1）【观察发现】 如图，当，且时，与的数量关系是________，与的位置关系是________． （2）【猜想证明】 如图，当，且时，中的结论是否成立若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．请选择图，图中的一种情况予以证明或说理 （3）【拓展探究】 在的条件下，若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桐城部分学校联考2025-2026学年上学期九年级期中试卷 数 学 本卷共23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各式中，是的二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】形如的函数叫做二次函数，其中a、b、c是常数；根据二次函数的定义判断即可． 【详解】A、自变量在分母上，不是二次函数，不符合题意； B、不一定，当a为零时，则不是，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、自变量在根号内，不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的概念，掌握概念是关键，特别强调：二次函数中的二次项系数非零． 2. 抛物线的对称轴为直线x＝3，y的最大值为﹣5，且与的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，再利用所求抛物线与的图象开口大小相同，可确定a的值，从而得到这条抛物线解析式． 【详解】解：设抛物线解析式为：， ∵所求抛物线与的图象开口大小相同， 且最大值为-5，则开口向下 ∴a=， ∴这条抛物线解析式为：． 故答案为B． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 3. 已知二次函数的变量，的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：在和时函数值由负数变为正数，即可得到方程的一个近似解的范围． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是, 故选：C． 4. 彝族年假期期间，某店销售特产苦荞饼，经调查发现每盒苦荞饼售价为20元时，日销售量为500盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加10盒．已知每盒苦荞饼的成本为10元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，审清题意、弄清数量关系是解题的关键． 由“”列出y与x之间的函数表达式即可． 【详解】解：由题知：日销售量为盒，每盒利润为元， 所以y与x之间的函数关系式为． 故选：D． 5. 若函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据二次函数及反比例函数的图象确定、的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可． 【详解】根据反比例函数的图象位于二、四象限知， 根据二次函数的图象确知，， 函数的大致图象经过二、三、四象限， 故选C． 【点睛】本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，难度不大． 6. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是( ) A. 点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同 B. 点火后24 s火箭落于地面 C. 点火后10 s的升空高度为139 m D. 火箭升空的最大高度为145 m 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出t=9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D选项． 【详解】A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误； B、当t=24时h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误； C、当t=10时h=141m，此选项错误； D、由h=－t2+24t+1=－（t－12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 7. 如图，是的中线，是上一点，，的延长线交于，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质与判定，三角形的中位线的性质．取的中点，连接，证明，结合，可得，设，则，可得，求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ∵是的中线， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（ ） A. A B. B C. C D. D 【答案】C 【解析】 【详解】∵△ABC是正三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∵∠BPD+∠APD=∠C+∠CAP,∠APD=60°， ∴∠BPD=∠CAP， ∴△BPD∽△CAP， ∴BP:AC=BD:PC， ∵正△ABC的边长为4，BP=x，BD=y， ∴x:4=y:(4−x)， ∴y=−x2+x. 故选C. 点睛：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图象获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题能力、解决问题能力.用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图. 9. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 10. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案. 【详解】解：如图所示， 由图可知，，， . 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， . 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，. . . 故选：B. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 一台机器原价为万元，如果每年价格的下降率为，两年后这台机器的价格为万元，则关于的函数关系式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价． 根据题意列出函数解析式即可． 【详解】解：由题意得：两年后的价格为：， 故y与x的函数关系式是：． 故答案为：． 12. 关于的函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】关于x的函数y=（k-2）x2-（2k-1）x+k的图象与x轴有两个交点，则判别式b2-4ac＞0，且二次项系数不等于0，据此列不等式求解． 【详解】解：根据题意得： ， 解得k＞- 且k≠2． 故答案是：k＞-且k≠2． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 13. 若，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是利用比例设参法将用含的参数表示． 设，，将其代入，化简计算得出结果． 【详解】解：， 设，， ． 14. 如图，已知点D、E分别在△ABC边AB、AC上，DE//BC，BD=2AD，那么SΔDEB:SΔEBC==_____________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：要求SΔDEB:SΔEBC的值，根据两个三角形底边DE和BC上的高相等，则只需要知道DE：BC即可，再根据DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，得出DE：BC，便可求解. 解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴, ∵BD=2AD，∴， ∴=, ∵△DBE和△EBC的高相同，设这个高为h， ∴S△DBE：S△EBC===, 故答案为． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 二次函数的图象顶点是(﹣1，4)，且过(2，﹣3) (1)求函数的解析式. (2)求出函数图象与坐标轴的交点. 【答案】(1)y＝﹣(x+1)2+4；(2)与x轴的交点坐标为(﹣1+，0)，(﹣1﹣，0)；与y轴的交点坐标为(0，). 【解析】 【分析】(1)设该函数的顶点式，然后根据该函数过点(2，﹣3)，可以求得该函数的解析式； (2)再令y＝0求出相应的x的值，即可写出该函数与x轴的交点坐标，令x＝0求出相应的y的值，即可写出该函数与y轴的交点坐标，本题得以解决. 【详解】解：(1)设这个二次函数的解析式为y＝a(x+1)2+4， ∵该函数过点(2，﹣3)， ∴﹣3＝a(2+1)2+4， 解得：a＝﹣， 即该函数的解析式为：y＝﹣(x+1)2+4； (2)当y＝0时，0＝﹣(x+1)2+4， 解得，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣， 当x＝0时，y＝， 由上可得，该函数的解析式为y＝﹣(x+1)2+4，与x轴的交点坐标为：(﹣1+，0)，(﹣1﹣，0)；与y轴的交点坐标为：(0，). 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 16. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是利用比例设参法将、用含的参数表示． 设，，（），将其代入，化简计算得出结果． 【详解】解：， 令，，， ． 故答案为： 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知二次函数． （1）直接写出二次函数图象的顶点坐标； （2）画出这个二次函数的图象； （3）当时，的取值范围是_____________． 【答案】（1）顶点坐标为； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，即可求解； （2）确定其对称轴、顶点坐标及与坐标轴的交点坐标后即可确定函数的图象； （3）分别令和4求得函数值后即可确定y的取值范围． 【小问1详解】 解： ； ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：列表： x 1 2 3 4 5 y 3 0 0 3 描点，连线，故图象为： ； 【小问3详解】 解：∵当时，；当时，， 又∵当时，y有最小值， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及二次函数的性质，作二次函数的图象时，关键是抓住几个关键点． 18. 如图，已知二次函数的图象与轴分别交于点和点，与轴交于点． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及二次函数图象与轴交点坐标求法、平面直角坐标系中三角形面积求法等知识，熟记二次函数相关问题解法是解决问题的关键． （1）根据二次函数图象与轴交点坐标求法求解即可得到答案； （2）根据平面直角坐标系中三角形面积求法求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：在二次函数中， 当时，， 即， 则， 解得或， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：在二次函数中， 当时，则， ∴点，即， ∴． 19. 如图，，，点A，B分别在函数（）和（）的图象上，且点A的坐标为． （1）求，的值： （2）若点C，D分在函数（）和（）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F，将点A代入即可求得，证明△AOE≌△BOF，从而求得点B坐标，将点B代入求得；（2）由可得OC=OA=OB=OD，可得C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称即可求得坐标． 【小问1详解】 如图，过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F， ∵， ∴∠AOE+∠BOF=90°， 又∵∠AOE+∠EAO=90°， ∴∠BOF=∠EAO， 又∵∠AEO=∠OFB，OA=OB， ∴△AOE≌△BOF（AAS）， ∴AE=OF，OE=BF， ∵点A的坐标为， ∴AE=1，OE=4， ∴OF=1，BF=4， ∴B（4，-1）， 将点A、B分别代入和， 解得，，； 【小问2详解】 由（1）得，点A在图象上，点B在图象上，两函数关于x轴对称， ∵， ∴OC=OA=OB=OD， 只需C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称即可，如图所示， ∴点C（4，1），点D（1，-4）． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定和性质，熟知反比例函数的性质是解题的关键． 20. 在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购买一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构，根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量（个）与销售单价（元/个）之间的关系式为，许愿瓶的进价为6元/个 （1）按照上述市场调查的销售规律，求销售利润（元）与销售单价（元/个）之间的函数关系式，为了让顾客得到实惠，售价定为多少时可获利1200元？ （2）若许愿瓶的进价成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定此时的销售单价，并求出此时的最大利润 【答案】（1）售价定为元/个 （2）单价为元/个时，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，一元一次不等式的应用等； （1）找出等量关系式：销售利润单个许愿瓶销售利润销售量，据此列出函数关系式，当时，解对应的一元二次方程，即可求解； （2）由进价成本不超过900元求出的取值范围，将化为顶点式，利用二次函数的性质求最值，即可求解； 找出等量关系式，会利用二次函数性质求最值是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得 ， 当时， ， 整理得：， 解得：，， 让顾客得到实惠， 舍去， 故为了让顾客得到实惠，售价定为元/个时可获利1200元； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得：， ， 当时，随着的增大而减小， 当时，取得最大值为， （元）， 故此时的销售单价为元/个时，最大利润为元． 21. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，． ，， ． 在与中， ． （2）6 【解析】 【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似； （2）利用，可以求出线段的长度；然后在中，利用勾股定理求出线段的长度． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是平行四边形， ． 由（1）知， ， ． ，， ， ， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是证明． 22. 已知：如图，在四边形中，，对角线交于点E，点F在边上，联结交线段于点G，． （1）求证：； （2）联结，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． （1）先根据得出，再由可知，．根据得出，故可得出结论； （2）先根据，得出，故．再由得出，进而可得出结论． 【小问1详解】 证明：， ． 又， ． ． ， ． ． 【小问2详解】 证明：，， ． ． 又， ． ． ． 23. 在中，于点，点为射线上任一点点除外连接，将线段绕点顺时针方向旋转，，得到，连接． （1）【观察发现】 如图，当，且时，与的数量关系是________，与的位置关系是________． （2）【猜想证明】 如图，当，且时，中的结论是否成立若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．请选择图，图中的一种情况予以证明或说理 （3）【拓展探究】 在的条件下，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）成立，不成立，与的关系为理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，可以判定，都是等边三角形，再证明可得证，根据等边三角形的性质，全等三角形的性质，可证明． （2）在上截取，设与的交点为N，证明， 再证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解答即可． （3）根据勾股定理，分点P在三角形内部和外部两种情况解答即可． 本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：与的数量关系是，与的位置关系是，理由如下： 连接， ∵，且， ∴是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点顺时针方向旋转，，得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，； ∵是等边三角形，, ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：与的数量关系不成立，应该是，与的位置关系是，仍成立．理由如下： 在上截取，设与的交点为N， ∵，且， ∴， ∵线段绕点顺时针方向旋转，，得到， ∴，， ∵，且，, ∴， ∴ 在和中， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：，． 【小问3详解】 解：∵ ，且，， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据（2）的解答，得； 当点P在三角形的外部时， 此时， 根据（2）的解答，得； 故的长为2或14． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $