4.4一次函数应用题 型总结讲义 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年上册数学4.4一次函数应用题型总结讲义 【题型一】一次函数图象上点的坐标特征 【例1】（2025秋•西安校级月考）A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y＝﹣2x+b图象上的不同的两点，则（　　） A．（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0 B．（x1﹣x2）（y1﹣y2）＝0 C．（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0 D．（x1﹣x2）（y1﹣y2）的符号无法判断 【变式1】（2025秋•西安校级月考）如图，点C是直线y＝3x+6在第二象限上的一个点，点C关于x轴对称的点为D，关于y轴对称的点为E，连接DE，则线段DE的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025•碑林区校级二模）在平面直角坐标系中，A（3，m）和B（3，﹣m）分别是正比例函数y＝k1x（k1≠0）和y＝k2x（k2≠0）图象上的点，则k1，k2一定满足（　　） A．k1＝k2 B．k1＞k2 C．k1•k2＞0 D．k1+k2＝0 【变式3】（2025•西安校级一模）设正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x的增大而增大，则m＝（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【题型二】待定系数法求一次函数解析式 【例1】（2025春•紫阳县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A（a，12），B（12，﹣a），点A在第二象限，点O为坐标原点，连接OA，OB，△AOB的面积为90，则直线AB对应的函数解析式是 　 ． 【例2】（2024秋•长安区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+3交x轴于点A，交y轴于点B，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则直线BC的解析式为 　 ． 【变式1】（2023秋•雁塔区校级期中）若一次函数y＝kx+b图象经过（2，0），若每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则这个函数关系式为 　 ． 【变式2】（2023秋•西安月考）若y与x+1成正比例，且当x＝2时，y＝4，则y与x的函数解析式为 　 　 ． 【变式3】（2021•雁塔区校级模拟）在同一平面直角坐标系中，若直线l：y＝2x+1与直线l′关于x轴对称，求直线l′的函数表达式 　 ． 【题型三】待定系数法求正比例函数解析式 【例1】（2024秋•碑林区校级期末）已知一个正比例函数的图象经过点（﹣2，3），则这个正比例函数的表达式是 ． 【例2】（2024秋•宝鸡期中）已知一个正比例函数的图象经过点（﹣2，4），则这个正比例函数的表达式是 ． 【变式1】（2022秋•秦都区校级期中）已知点P在第二象限，且离x轴的距离是4，离y轴的距离是3，则经过点P的正比例函数表达式为 ． 【变式2】（2024秋•汉台区期末）已知y与x成正比例，且当x＝﹣3时，y＝15． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点（a，﹣7）在这个函数的图象上，求a的值． 【变式3】（2024秋•秦都区校级期中）已知点P在第四象限，且离x轴的距离是4，离y轴的距离是，则经过点P的正比例函数表达式为 ． 【题型四】一次函数与一元一次方程 【例1】（2025•灞桥区四模）关于x的方程kx+b＝3的解为x＝7，则直线y＝kx+b的图象一定过点（　　） A．（3，0） B．（7，0） C．（3，7） D．（7，3） 【变式1】（2025•雁塔区校级二模）已知方程kx+b＝0的解是x＝3，则函数y＝kx+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025•碑林区校级四模）一次函数y＝kx+b（k＜0）与y＝x+3交于点P（m，5），则关于x的方程kx+b＝x+3的解为（　　） A．x＝2 B．x＝3 C．x＝4 D．x＝5 【变式3】（2024秋•灞桥区校级月考）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是 　 ． 【题型五】两条直线相交或平行问题 【例1】（2025秋•高新区月考）已知一次函数的图象经过点（1，5），且与直线y＝2x平行，则一次函数的表达式为 　 ． 【变式1】（2024秋•长安区期末）一次函数y＝4x﹣1与y＝2x+3的图象的交点坐标为 　 　 ． 【变式2】（2023秋•三原县校级月考）已知直线y＝kx+b与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），则一次函数的表达式是 　 ． 【变式3】（2024秋•汉台区期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点A，若点P是线段AB上的一个动点，则线段OP长的最小值为 　 　 ． 【题型六】根据实际问题列一次函数关系式 【例1】（2023秋•西安期中）目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是 ． 【变式1】（2024春•新城区校级期中）小颖现有存款300元．为赞助“希望工程”，她计划今后每个月存款20元，则存款总金额y（元）与时间x（个月）之间的函数关系式为 ． 【变式2】（2024春•武功县期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在AB上运动，设PB＝x，图中阴影部分的面积为y． （1）写出阴影部分的面积y与x之间的关系式； （2）当x的值为5时，阴影部分的面积为多少？ 【题型七】一次函数的应用 【例1】（2025秋•西安校级月考）周末甲、乙两同学计划从同一起点出发，沿同一条路出发去距离80km的某风景旅游区游玩，甲、乙两人离开出发点的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示．当乙比甲多行驶10km时，乙出发了　 　 h． 【变式1】（2025春•碑林区校级期末）摩托车油箱中14升油，行驶时每小时耗油2升，在不加油的情况下，剩余油量Q（升）与行驶时间t（小时）之间的函数关系式为 ． 【变式2】（2025春•耀州区校级月考）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示： （1）乙车从A地到B地用了 　 　 小时； （2）图象中，点H的坐标为 　 　 ． 【变式3】（2024秋•西安期末）一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留4h，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止，已知两车距甲地的距离s（km）与所用的时间t（h）的关系如图所示．在小轿车从乙地返回甲地的过程中，当两车相遇时，两车出发了 　 　 h． 【课后练习】 1．（2025•雁塔区校级模拟）若点A（﹣5，y1）和点B（﹣6，y2）都在直线y＝﹣9x的图象上，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定 2．（2025秋•高陵区校级月考）在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣1过点P（a，b），则4a﹣2b+2025的值为 　 　 ． 3．（2024秋•雁塔区校级期中）若（﹣5，y1），（﹣3，y2）是直线y＝﹣2x+b上的两点，则y1　 　 y2．（填“＞”、“＝”或“＜”） 3．（2025秋•雁塔区校级月考）已知点A（a+1，y1）和点B（a，y2）都在一次函数y＝﹣2x+b（b为常数）的图象上，则y1　 　 y2（选填“＞”“＜”或“＝”）． 4．（2022秋•未央区校级月考）如图所示，四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D的坐标分别为（﹣1，1）、（﹣1，﹣3）、（5，3）、（1，3），则其对称轴的函数表达式为 　 ． 5．（2024秋•雁塔区校级期末）在直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线l2：y＝mx+m（m＞0）与l1交于点E．若点E坐标为（1，n）． （1）求直线l2的表达式； （2）点P在直线l2上，若S△AEP＝3，求点P的坐标． 6．（2025秋•雁塔区校级月考）已知：y﹣2与x成正比例，且x＝2时，y＝4． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点M（m，3）在这个函数的图象上，求点M的坐标． 7．（2025•碑林区校级模拟）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值： 输入x … 2 5 7 9 11 … 输出y … 5 4 10 16 22 … 根据以上信息，解答下列问题： （1）求k，b的值； （2）当输出的y值为9时，求输入的x值． 8．（2024春•沧州期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交点为A（﹣3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数的图象的交于点C（m，4）． （1）求m的值及一次函数y＝kx+b的表达式； （2）若点P是y轴上一点，且△BPC的面积为6，请直接写出点P的坐标． 9．（2024秋•雁塔区校级期中）已知关于x的方程ax﹣5＝0的解为x＝2，则一次函数y＝ax﹣5的图象与x轴的交点坐标为 　 　 ． 10．（2024秋•碑林区校级月考）如图，一次函数y＝ax+2与y＝2x﹣1的图象相交于点P，则关于x的方程ax+2＝2x﹣1的解是 　 ． 11．（2025秋•高陵区校级月考）如图，已知直线y＝﹣2x+8与y轴、x轴分别交于A，B两点，与直线y＝kx（k≠0）交于点C（2，m）． （1）求k和m的值； （2）若点P在y轴上，且，求点P的坐标； （3）若点M在直线y＝kx上，点M的横坐标为n，过点M作直线MN∥y轴，直线MN与直线y＝﹣2x+8交于点N，且MN＝2，求点M的坐标． 12．（2025秋•西安校级月考）如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，6）的直线AB与直线OC相交于点C（2，4），动点P沿路线B→O→C运动． （1）求直线AB的表达式； （2）当△CPB的面积是△OBC的面积的时，求出相应点P的坐标． 14．（2024秋•雁塔区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求k、b的值； （2）若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． 15．（2024秋•雁塔区校级月考）如图，平面直角坐标系中，直线l1分别与x，y轴交于A（6，0），B（0，3）两点，正比例函数y＝kx的图象l2与l1交于点C（m，4）． （1）求直线l1及l2的解析式； （2）若点P为直线l2上一动点，当S△ACP＝2S△AOB时，求点P坐标． 16．（2025•新城区开学）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+m（m为常数）、直线l2：y＝﹣3x+n（n为常数）分别交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），点P是两直线的交点． （1）求直线l1和直线l2的函数表达式及点P的坐标； （2）在直线l2上是否存在点Q，连接AQ，使得S△APQ＝3S△ABP？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（2024秋•府谷县期末）如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段OA和线段AC上运动． （1）求直线AB的函数表达式； （2）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 18．（2025春•华阴市期末）如图，一次函数y＝﹣x+2的图象与x轴、y轴分别相交于点D、C，直线AB经过点A（﹣2，0）和点B（0，6），直线AB、CD相交于点M． （1）求点M的坐标； （2）在直线CD上是否存在点N，使得S△BCN＝S△OAB，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（2025春•碑林区校级期中）如图，直线与y轴交于点A（0，4），直线l2：y2＝kx+1分别与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C．两条直线相交于点D，连接AB． （1）求两直线交点D的坐标； （2）根据图象，直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围 x　 ； （3）求△ABD的面积． 20．（2024秋•雁塔区校级期中）一次函数的图象l1分别与x、y轴交于A、B两点，正比例函数l2与l1交于点C（m，4）． （1）求m的值及l2的解析式； （2）若点D在x轴上，且满足S△DOC＝2S△BOC，求点D的坐标． 21．（2025春•阎良区期末）如图，直线y1＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y2＝kx+b与y轴交于点C（0，4），与直线y1＝x﹣4交于点E（m，﹣2）． （1）求m的值及直线y2的函数解析式； （2）连接AC，若P为直线y1上的动点，当时，求点P的坐标． 22．（2025秋•碑林区校级月考）为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法．现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： XX居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量x（度） 电价（元/度） 第一档：0＜x≤180 0.50 第二档：180＜x≤350 0.55 第三档：x＞350 0.80 本月实用金额：106.5（元） （大写）壹佰零陆元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： （1）如果月用电量用x度来表示，实付金额用y元来表示，当180＜x≤350时，写出实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； （2）请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量； （3）若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和250度，则实付金额分别为多少元？ 24．（2024秋•雁塔区校级期末）某项工程由甲、乙两个工程队合作完成，先由甲队单独做3天，剩下的工作由甲、乙两工程队合作完成，工程进度满足如图所示的函数关系（x为天数，y为工作量）： （1）求合作部分工作量y与工作时间x之间的函数关系式； （2）该工程共支付8万元，若按完成的工作量所占比例支付工资，甲工程队应得多少元？ 25．（2025•雁塔区校级四模）我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨2元，超过6吨时，超过的部分按每吨3元收费，该市某户居民5月份用水x吨，应交水费y元． （1）请写出y与x的函数关系式． （2）如果该户居民这个月交水费27元，那么这个月该户用了多少吨水？ 26．（2025•陕西）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积y（L）与气体温度x（℃）成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如表： 气体温度x（℃） … 25 30 35 … 气体体积y（L） … 596 606 616 … （1）求y与x的函数关系式； （2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到700L时停止加热．求停止加热时的气体温度． 27．（2025•新城区校级二模）直播带货是目前盛行的销售方式，小静为了推销家乡的樱桃和甜瓜，在抖音上进行直播带货．小静和她的团队每天在家乡收购两种水果共600箱．且当天全部售出．进货成本、销售单价如表所示，设该团队每天收购樱桃x箱，每天获得的利润为y元． 进货成本（元/箱） 销售单价（元/箱） 樱桃 34 50 甜瓜 28 41 （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）若该团队每天投入总成本不超过19200元，应怎样安排樱桃和甜瓜的进货量，才能使该团队一天所获得的利润最大，最大利润为多少元？ 28．（2025•西安校级模拟）为了全面贯彻党的教育方针，使学生成长为德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，在课程标准中，强调要加强体育教育．某中学为了增强学生的体质，准备购买一批甲、乙两种体育器材300件，已知某体育用品店，甲种器材每件20元，乙种器材每件15元，且该店对同时购买两种器材有两种销售方案．（只能选择其中一种） 方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折； 方案二：甲、乙种器材每件均打八折； 设购买甲种器材x件，选择方案一的购买费用为y1元，选择方案二的购买费用为y2元． （1）请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式； （2）请你计算该校选择哪种方案支付的费用较少． 29．（2025•碑林区校级模拟）已知：当人体在进行中等强度运动时，心率将从静息心率逐渐上升到稳态心率．在这一过程中，心率p（单位：次/min）与运动时间t（单位：min）大致存在一次函数关系．热爱运动的小李同学通过佩戴的心率传感器记录了自己运动一段时间内的数据，如表： 运动时间t/min 1 3 5 7 心率p/（次/min） 69 87 105 123 （1）根据如表数据，请求出小李的心率p与运动时间t之间的函数关系式； （2）求小李从运动开始多久时心率达到150次/min． 30．（2025•秦都区校级模拟）某校迎来了一百二十年校庆，为了准备校庆，校方决定准备一场别开生面的文艺演出，有歌唱，舞蹈，小舞台剧等节目，为此学校需要采购一批演出服装．现有质量较好且价格合理的A，B两家公司供选择，这两家公司给出的价格都是每套服装100元，经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是全部服装单价打8折，但校方需要承担1500元的运费；B公司给出的优惠条件是购买服装不超过100套时不打折，超过100套时，超出部分每套打7折，校方不用承担运费． （1）分别求出学校购买A，B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与购买服装的数量x（套）之间的函数关系式； （2）如果该校根据演出人数决定购买180套服装，请通过计算说明学校选择哪家公司的服装花费更少． 31．（2025春•碑林区校级期末）欢欢骑共享单车匀速前往某主题公园游玩，他从家出发0.5小时后先到达中途的一家书店，在书店看了一会书后继续骑车前往公园（速度保持不变），欢欢从书店出发的同时他的爸爸骑摩托车沿相同的路线匀速前往公园，结果两人同时到达公园．如图所示的是他们离家路程s（km）与欢欢离家时间t（h）的关系图，请根据图象回答下列问题： （1）欢欢从家到书店骑车的速度为 　 　 km/h，书店到主题公园的路程为 　 　 km； （2）图中a的值为 　 　 ； （3）求欢欢爸爸从家到公园骑摩托车的平均速度． 32．（2024秋•榆林期末）某蔬菜种植基地为了提高蔬菜苗的成活率，决定进行集中育苗．已知某种蔬菜苗早期在新建的育苗温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长，研究表明，60天内，这种蔬菜苗生长的高度y（cm）与生长的时间x（天）之间大致的函数关系图象如图所示． （1）当15＜x≤60时，求y与x之间的函数表达式． （2）当这种蔬菜苗长到大约100cm时，开始开花结果，试求这种蔬菜苗移至大棚后，继续生长多少天，开始开花结果？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版八年上册数学4.4一次函数应用题型总结讲义 【题型一】一次函数图象上点的坐标特征 【例1】（2025秋•西安校级月考）A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y＝﹣2x+b图象上的不同的两点，则（　　） A．（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0 B．（x1﹣x2）（y1﹣y2）＝0 C．（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0 D．（x1﹣x2）（y1﹣y2）的符号无法判断 【考点】一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】根据一次函数的性质和分类讨论的方法，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+b， ∴该函数y随x的增大而减小， ∵A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y＝﹣2x+b图象上的两点， ∴当x1＜x2时，y1＞y2，即x1﹣x2＜0，y1﹣y2＞0， 则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0， 当x1＞x2时，y1＜y2，即x1﹣x2＞0，y1﹣y2＜0， 则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0， 故选：C． 【变式1】（2025秋•西安校级月考）如图，点C是直线y＝3x+6在第二象限上的一个点，点C关于x轴对称的点为D，关于y轴对称的点为E，连接DE，则线段DE的最小值为（　　） A． B． C． D． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．版权所有 【分析】设直线y＝3x+6分别与x轴，y轴交于G，H，连接OC，则G（﹣2，0），H（0，6），利用勾股定理求出GH的长；设C（m，3m+6），根据轴对称的性质得到OC＝OD，OC＝OE，D（m，﹣3m﹣6），E（﹣m，3m+6），则点D和点E关于原点对称，故D、O、E三点共线，可推出DE＝OD+OE＝2OC，则当OC⊥GH时，OC有最小值，即此时DE有最小值，利用等面积法求出OC的长即可得到答案． 【解答】解：点C是直线y＝3x+6在第二象限上的一个点，点C关于x轴对称的点为D，关于y轴对称的点为E， 设直线y＝3x+6分别与x轴，y轴交于G，H，连接OC， 在y＝3x+6中，当y＝3x+6＝0时，x＝﹣2，当x＝0时，y＝6， ∴G（﹣2，0），H（0，6）， ∴OG＝2，OH＝6， ∴； 设C（m，3m+6）， 由题意可得：OC＝OD，OC＝OE，D（m，﹣3m﹣6），E（﹣m，3m+6）， ∴点D和点E关于原点对称， ∴D、O、E三点共线， ∴DE＝OD+OE＝2OC， ∴当OC⊥GH时，OC有最小值，即此时DE有最小值， ∵此时， ∴， ∴DE的最小值为， 故选：D． 【变式2】（2025•碑林区校级二模）在平面直角坐标系中，A（3，m）和B（3，﹣m）分别是正比例函数y＝k1x（k1≠0）和y＝k2x（k2≠0）图象上的点，则k1，k2一定满足（　　） A．k1＝k2 B．k1＞k2 C．k1•k2＞0 D．k1+k2＝0 【考点】一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】直接把A（3，m）和B（3，﹣m）分别代入正比例函数y＝k1x（k1≠0）和y＝k2x（k2≠0），进而可得出结论． 【解答】解：∵A（3，m）和B（3，﹣m）分别是正比例函数y＝k1x（k1≠0）和y＝k2x（k2≠0）图象上的点， ∴m＝3k1，﹣m＝3k2， ∴k1＝﹣k2， ∴k1+k2＝0． 故选：D． 【变式3】（2025•西安校级一模）设正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x的增大而增大，则m＝（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正比例函数的性质．版权所有 【分析】直接根据正比例函数的性质和待定系数法求解即可． 【解答】解：把x＝m，y＝4代入y＝mx中， 可得：m＝±2， 因为y的值随x值的增大而增大， 所以m＝2， 故选：A． 【题型二】待定系数法求一次函数解析式 【例1】（2025春•紫阳县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A（a，12），B（12，﹣a），点A在第二象限，点O为坐标原点，连接OA，OB，△AOB的面积为90，则直线AB对应的函数解析式是 yx+10　 ． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】过A点AC⊥x轴于C点，过B点作BD⊥x轴于D点，如图，则OC＝BD＝﹣a，AC＝OD＝12，利用面积的和差得到（﹣a+12）×（﹣a+12）﹣212×（﹣a）＝90，解方程求出a得到A（﹣6，12），B（12，6），然后利用待定系数法求直线AB的解析式． 【解答】解：过A点AC⊥x轴于C点，过B点作BD⊥x轴于D点，如图， ∵A（a，12），B（12，﹣a）， ∴OC＝BD＝﹣a，AC＝OD＝12， ∵△AOB的面积为90， ∴（﹣a+12）×（﹣a+12）﹣212×（﹣a）＝90， 整理得a2﹣36＝0， 解得a1＝6（舍去），a2＝﹣6， ∴A（﹣6，12），B（12，6）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（﹣6，12），B（12，6）分别代入得， 解得， ∴直线AB的解析式为yx+10． 故答案为：yx+10． 【例2】（2024秋•长安区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+3交x轴于点A，交y轴于点B，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则直线BC的解析式为y＝3x+3　 ． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】先求得A、B的坐标，然后利用勾股定理得出AB的长，再利用圆的性质得出CO的长，即可得出C的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线BC的解析式． 【解答】解：在直线yx+3中，令y＝0，求得x＝4；令x＝0，求得y＝3， ∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）， ∴BO＝3，AO＝4， ∴AB5， ∵以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C， ∴CO＝5﹣4＝1， 则点C的坐标为：（﹣1，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 把B（0，3），C（﹣1，0）代入得，解得， ∴直线BC的解析式为y＝3x+3． 故答案为y＝3x+3． 【变式1】（2023秋•雁塔区校级期中）若一次函数y＝kx+b图象经过（2，0），若每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则这个函数关系式为 y＝3x﹣6　 ． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】根据题意得出一次函数的图象经过点（3，3），进而待定系数即可求解． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（2，0），每当x增加1个单位时，y增加3个单位， ∴一次函数y＝kx+b的图象也经过点（3，3）， ∴， 解得， ∴此函数表达式是y＝3x﹣6． 故答案为：y＝3x﹣6． 【变式2】（2023秋•西安月考）若y与x+1成正比例，且当x＝2时，y＝4，则y与x的函数解析式为 　　 ． 【考点】待定系数法求一次函数解析式．版权所有 【分析】据正比例函数定义可设y＝k（x﹣1），再将x，y值代入计算可求解y与x的函数关系式． 【解答】解：设y＝k（x+1），把x＝2，y＝4代入得： 3k＝4， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2021•雁塔区校级模拟）在同一平面直角坐标系中，若直线l：y＝2x+1与直线l′关于x轴对称，求直线l′的函数表达式 y＝﹣2x﹣1　 ． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；关于x轴、y轴对称的点的坐标．版权所有 【分析】分别求出点（0，1）、（，0）关于x轴的对称点，再利用待定系数法即可求出其l′解析式． 【解答】解：由直线：y＝2x+1得到该直线与坐标轴的交点分别是：（0，1）、（，0）． 点（0，1）、（，0）关于x轴的对称点分别是（0，﹣1）、（，0）． 设直线l′的函数表达式为：y＝kx+b（k≠0），则． 解得． 故直线l′的函数表达式为：y＝﹣2x﹣1． 故答案为：y＝﹣2x﹣1． 【题型三】待定系数法求正比例函数解析式 【例1】19．（2024秋•碑林区校级期末）已知一个正比例函数的图象经过点（﹣2，3），则这个正比例函数的表达式是 yx ． 【考点】待定系数法求正比例函数解析式．版权所有 【分析】根据待定系数法，可得函数解析式． 【解答】解：设函数解析式为y＝kx，将（﹣2，3）代入函数解析式，得 ﹣2k＝3． 解得k， 函数解析式为yx， 故答案为：yx． 【例2】（2024秋•宝鸡期中）已知一个正比例函数的图象经过点（﹣2，4），则这个正比例函数的表达式是 y＝﹣2x ． 【考点】待定系数法求正比例函数解析式．版权所有 【分析】本题可设该正比例函数的解析式为y＝kx，然后根据该函数图象过点（﹣2，4），由此可利用方程求出k的值，进而解决问题． 【解答】解：设该正比例函数的解析式为y＝kx，根据题意，得 ﹣2k＝4， k＝﹣2． 则这个正比例函数的表达式是y＝﹣2x． 故答案为y＝﹣2x． 【变式1】（2022秋•秦都区校级期中）已知点P在第二象限，且离x轴的距离是4，离y轴的距离是3，则经过点P的正比例函数表达式为 yx ． 【考点】待定系数法求正比例函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值求解即可． 【解答】解：∵点P在平面直角坐标系中的第二象限内，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3， ∴点P的横坐标为﹣3，纵坐标为4， ∴点P的坐标为（﹣3，4）． 经过点P的正比例函数表达式为yx． 故答案为：yx． 【变式2】（2024秋•汉台区期末）已知y与x成正比例，且当x＝﹣3时，y＝15． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点（a，﹣7）在这个函数的图象上，求a的值． 【考点】待定系数法求正比例函数解析式．版权所有 【分析】（1）设正比例函数为y＝kx，将x＝﹣3，y＝15代入得，15＝﹣3k，计算求解，然后作答即可； （2）将（a，﹣7）代入y＝﹣5x得，﹣7＝﹣5a，计算求解即可． 【解答】解：（1）设正比例函数为y＝kx， 将x＝﹣3，y＝15代入得，15＝﹣3k， 解得k＝﹣5， ∴y＝﹣5x； （2）将（a，﹣7）代入y＝﹣5x得，﹣7＝﹣5a， 解得， ∴a的值为． 【变式3】（2024秋•秦都区校级期中）已知点P在第四象限，且离x轴的距离是4，离y轴的距离是，则经过点P的正比例函数表达式为yx ． 【考点】待定系数法求正比例函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值求解即可． 【解答】解：∵点P在平面直角坐标系中的第四象限内，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为，∴点P的横坐标为，纵坐标为﹣4， ∴点P的坐标为（，﹣4）． 又设所求正比例函数为y＝kx， ∴k＝﹣4． ∴k． ∴经过点P的正比例函数表达式为yx． 故答案为：yx． 【题型四】一次函数与一元一次方程 【例1】（2025•灞桥区四模）关于x的方程kx+b＝3的解为x＝7，则直线y＝kx+b的图象一定过点（　　） A．（3，0） B．（7，0） C．（3，7） D．（7，3） 【考点】一次函数与一元一次方程．版权所有 【分析】关于x的方程kx+b＝3的解其实就是求当函数值为3时x的值，据此可以直接得到答案． 【解答】解：∵关于x的方程kx+b＝3的解为x＝7， ∴x＝7时，y＝kx+b＝3， ∴直线y＝kx+b的图象一定过点（7，3）． 故选：D． 【变式1】（2025•雁塔区校级二模）已知方程kx+b＝0的解是x＝3，则函数y＝kx+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】一次函数与一元一次方程．版权所有 【分析】由于方程kx+b＝0的解是x＝3，即x＝3时，y＝0，所以直线y＝kx+b经过点（3，0），然后对各选项进行判断． 【解答】解：∵方程kx+b＝0的解是x＝3， ∴y＝kx+b经过点（3，0）． 故选：C． 【变式2】（2025•碑林区校级四模）一次函数y＝kx+b（k＜0）与y＝x+3交于点P（m，5），则关于x的方程kx+b＝x+3的解为（　　） A．x＝2 B．x＝3 C．x＝4 D．x＝5 【考点】一次函数与一元一次方程．版权所有 【分析】先利用y＝x+3确定P点坐标，然后根据方程的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标的横坐标进行判断． 【解答】解：把P（m，5）代y＝x+3，得m+3＝5， ∴m＝2， ∴P（2，5）， ∴关于x的方程kx+b＝x+3的解为x＝2， 故选：A． 【变式3】（2024秋•灞桥区校级月考）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是 x＝1　 ． 【考点】一次函数与一元一次方程．版权所有 【分析】首先利用函数解析式y＝2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b＝2的解可得答案． 【解答】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2）， ∴2＝2m， ∴m＝1， ∴P（1，2）， ∴当x＝1时，y＝kx+b＝2， ∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝1， 故答案为：x＝1． 【题型五】两条直线相交或平行问题 【例1】（2025秋•高新区月考）已知一次函数的图象经过点（1，5），且与直线y＝2x平行，则一次函数的表达式为y＝2x+3　 ． 【考点】两条直线相交或平行问题；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求正比例函数解析式．版权所有 【分析】由题意可设一次函数的表达式为y＝2x+b，把点（1，5）代入计算即可求解． 【解答】解：由题意可设一次函数的表达式为y＝2x+b， 由条件可知5＝2+b， ∴b＝3， ∴一次函数的表达式为y＝2x+3， 故答案为：y＝2x+3． 【变式1】（2024秋•长安区期末）一次函数y＝4x﹣1与y＝2x+3的图象的交点坐标为 　（2，7）　 ． 【考点】两条直线相交或平行问题．版权所有 【分析】联立方程组求出方程组的解即可得到两直线的交点坐标． 【解答】解：联立方程组得：， 解得． ∴一次函数y＝4x﹣1与y＝2x+3的图象的交点坐标为（2，7）， 故答案为：（2，7）． 【变式2】（2023秋•三原县校级月考）已知直线y＝kx+b与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），则一次函数的表达式是 y＝﹣x+10　 ． 【考点】两条直线相交或平行问题；待定系数法求一次函数解析式．版权所有 【分析】根据平行直线的解析式的k值相等求出k，然后把点（8，2）的坐标代入一次函数解析式计算即可得解． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣x+1平行， ∴k＝﹣1， ∵一次函数过点（8，2）， ∴2＝﹣8+b 解得b＝10， ∴一次函数解析式为y＝﹣x+10． 故答案为：y＝﹣x+10． 【变式3】（2024秋•汉台区期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点A，若点P是线段AB上的一个动点，则线段OP长的最小值为 　　 ． 【考点】两条直线相交或平行问题．版权所有 【分析】判断出OP⊥AB时，OP最小，利用三角形的面积建立方程求解即可得出结论． 【解答】解：由得， ∴A（2，3）， 由一次函数，令y＝0，解得x＝﹣2， ∴B（﹣2，0）， ∴S△AOBOB•|yA|3，AB5， ∵当OP⊥AB时，OP最小， ∴此时S△AOBAB•OP， ∴5OP＝3， ∴OP最小为， 故答案为：． 【题型六】根据实际问题列一次函数关系式 【例1】（2023秋•西安期中）目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是y＝5x ． 【考点】根据实际问题列一次函数关系式．版权所有 【分析】每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升，则一分钟滴水100×0.05毫升＝5毫升，则x分钟可滴5x毫升，据此即可求解． 【解答】解：由题意得：y＝100×0.05x， 即y＝5x． 故答案为：y＝5x． 【变式1】（2024春•新城区校级期中）小颖现有存款300元．为赞助“希望工程”，她计划今后每个月存款20元，则存款总金额y（元）与时间x（个月）之间的函数关系式为 y＝300+20x ． 【考点】根据实际问题列一次函数关系式．版权所有 【分析】根据存款总金额＝现已存款300元+每月20元×月数列出函数关系式即可． 【解答】解：根据题意，得y＝300+20x， 故答案为：y＝300+20x． 【变式2】（2024春•武功县期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在AB上运动，设PB＝x，图中阴影部分的面积为y． （1）写出阴影部分的面积y与x之间的关系式； （2）当x的值为5时，阴影部分的面积为多少？ 【考点】根据实际问题列一次函数关系式；函数值．版权所有 【分析】（1）先求出长方形的面积，再求出三角形的面积，最后做减法，即可得出答案； （2）把x＝5代入（1）中解析式求出y即可． 【解答】解：（1）根据题意得：y＝AB×BCBC×PB ＝6×88x ＝48﹣4x（0≤x≤6）， ∴y与x之间的关系式y＝48﹣4x（0≤x≤6）； （2）当x＝5时，y＝48﹣4×5＝28． ∴阴影部分的面积为28． 【题型七】一次函数的应用 【例1】（2025秋•西安校级月考）周末甲、乙两同学计划从同一起点出发，沿同一条路出发去距离80km的某风景旅游区游玩，甲、乙两人离开出发点的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示．当乙比甲多行驶10km时，乙出发了　或　 h． 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】设乙出发的时间为mh，根据函数图象可求出甲、乙的速度，再分甲未出发，乙走10km和甲出发，且甲没有追上乙时，乙比甲多行驶10km两种情况，讨论求解即可． 【解答】解：甲、乙两人离开出发点的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示． 设乙出发的时间为mh， 由函数图象可知，甲的速度为，乙的速度为， 当甲未出发，乙走10km时，乙出发的时间为； 当甲出发，且甲没有追上乙时，乙比甲多行驶10km，则， 解得； 当乙比甲多行驶10km时，乙出发了或， 故答案为：或． 【变式1】（2025春•碑林区校级期末）摩托车油箱中14升油，行驶时每小时耗油2升，在不加油的情况下，剩余油量Q（升）与行驶时间t（小时）之间的函数关系式为 Q＝14﹣2t ． 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】根据余油量等于原来的油量减去消耗的油量，列出函数关系式，即可求解． 【解答】解：函数关系式为：Q＝14﹣2t， 故答案为：Q＝14﹣2t． 【变式2】（2025春•耀州区校级月考）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示： （1）乙车从A地到B地用了 　6　 小时； （2）图象中，点H的坐标为 　（7，80）　 ． 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）两车的行驶过程是：当x＝2时，乙车追上甲车；当x＝6时，乙车到达B地；当x＝6+1＝7时，乙车开始返回；之后，两车相向行驶，直至相遇； （2）设乙车的速度为vkm/h，当乙车追上甲车时，列关于v的方程并求解，从而求出当x＝6时两车之间的距离，再减去之后1个小时甲车向B地行驶的路程，进而得到点H的坐标即可． 【解答】解：（1）当x＝6时，乙车到达B地， ∴乙车从A地到B地用了6小时． 故答案为：6． （2）设乙车的速度为vkm/h， 当乙车追上甲车时，得2（v﹣80）＝80， 解得v＝120， ∴乙车的速度为120km/h， 当x＝6时，两车之间的距离为（120﹣80）×（6﹣2）＝160（km）， 当乙车开始返回时，x＝6+1＝7， 当x＝7时，两车之间的距离为160﹣80×1＝80（km）， ∴点H的坐标为（7，80）． 故答案为：（7，80）． 【变式3】（2024秋•西安期末）一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留4h，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止，已知两车距甲地的距离s（km）与所用的时间t（h）的关系如图所示．在小轿车从乙地返回甲地的过程中，当两车相遇时，两车出发了 　15　 h． 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】利用待定系数法分别求出大客车距甲地的距离s与所用的时间t的函数关系式、小轿车从乙地返回甲地的过程中距甲地的距离s与所用的时间t的函数关系式，当两车相遇时，两函数值相等，据此列关于t的方程并求解即可． 【解答】解：设大客车距甲地的距离s与所用的时间t的函数关系式为s＝k1t（k1为常数，且k1≠0）， 将坐标（，500）代入s＝k1t， 得k1＝500， 解得k1＝30， ∴大客车距甲地的距离s与所用的时间t的函数关系式为s＝30t（0≤t）； 由题意可知，当t＝24时，小轿车从乙地返回到达甲地， 设小轿车从乙地返回甲地的过程中距甲地的距离s与所用的时间t的函数关系式为s＝k2t+b（k2、b为常数，且k1≠0）， 坐标（14，500）和（24，0）分别代入s＝k2t+b， 得， 解得， ∴小轿车从乙地返回甲地的过程中距甲地的距离s与所用的时间t的函数关系式为s＝﹣50t+1200（14≤t≤24）， 当在小轿车从乙地返回甲地的过程中，当两车相遇时，得30t＝﹣50t+1200， 解得t＝15， ∴小轿车从乙地返回甲地的过程中，当两车相遇时，两车出发了15h． 故答案为：15． 【课后练习】 1．（2025•雁塔区校级模拟）若点A（﹣5，y1）和点B（﹣6，y2）都在直线y＝﹣9x的图象上，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定 【考点】一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】首先由已知函数y＝﹣9x中k＝﹣9＜0，得到其函数图象的性质：y随x的增大而减小；然后由点A（﹣5，y1）和点B（﹣6，y2）得到它们的横坐标﹣5＞﹣6，由此可比较y1与y2的大小． 【解答】解：由已知的直线表达式y＝﹣9x可知：k＜0， 所以y随x的增大而减小． 因为﹣5＞﹣6， 所以y1＜y2． 故选：A． 2．（2025秋•高陵区校级月考）在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣1过点P（a，b），则4a﹣2b+2025的值为 　2027　 ． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出b＝2a﹣1，再将其代入原式，即可求出结论． 【解答】解：∵直线y＝2x﹣1过点P（a，b）， ∴b＝2a﹣1， ∴原式＝4a﹣2（2a﹣1）+2025＝4a﹣4a+2+2025＝2027． 故答案为：2027． 3．（2024秋•雁塔区校级期中）若（﹣5，y1），（﹣3，y2）是直线y＝﹣2x+b上的两点，则y1　＞　 y2．（填“＞”、“＝”或“＜”） 【考点】一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】根据一次函数的性质，即可解答． 【解答】解：由条件可知：k＝﹣2＜0，直线y＝﹣2x+b上的点，y随x的增大而减小， ∴y1＞y2， 故答案为：＞． 3．（2025秋•雁塔区校级月考）已知点A（a+1，y1）和点B（a，y2）都在一次函数y＝﹣2x+b（b为常数）的图象上，则y1　＜　 y2（选填“＞”“＜”或“＝”）． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】根据一次函数的性质解答即可． 【解答】解：∵k＝﹣2＜0， ∴一次函数y＝﹣2x+b随x的增大而减小， ∵点A（a+1，y1）点B（a，y2）都在一次函数y＝﹣2x+b（b为常数）的图象上，且a+1＞a， ∴y1＜y2． 故答案为：＜． 4．（2022秋•未央区校级月考）如图所示，四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D的坐标分别为（﹣1，1）、（﹣1，﹣3）、（5，3）、（1，3），则其对称轴的函数表达式为 y＝﹣x+2　 ． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的性质．版权所有 【分析】先求出AD、BC的中点坐标，然后设对称轴的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答． 【解答】解：易得其对称轴为经过AD、BC的中点的直线， ∵A、B、C、D的坐标分别为（﹣1，1）、（﹣1，﹣3）、（5，3）、（1，3）， ∴AD、BC的中点坐标分别为（0，2），（2，0）， 设对称轴的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 则， 解得， 所以，对称轴的函数表达式为y＝﹣x+2． 故答案为：y＝﹣x+2． 5．（2024秋•雁塔区校级期末）在直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线l2：y＝mx+m（m＞0）与l1交于点E．若点E坐标为（1，n）． （1）求直线l2的表达式； （2）点P在直线l2上，若S△AEP＝3，求点P的坐标． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设点P的横坐标为t，则P（t，2t+2），过点P作PM∥y轴交直线l1于点M，由此可表示PM的长，根据三角形的面积公式可列出关于t的方程，求出t，即可得出P点的坐标． 【解答】解：（1）把E（1，n）代入y＝﹣x+5得：n＝﹣1+5＝4， ∴E（1，4）， 将点E（1，4）代入y＝mx+m得：4＝m+m， 解得：m＝2， ∴直线l2的表达式为y＝2x+2； （2）由（1）知，直线l2：y＝2x+2， 过点P作PM∥y轴交直线l1于点M，如图： 设点P的横坐标为t，则P（t，2t+2），M（t，﹣t+5）， ∴PM＝|2t+2﹣（﹣t+5）|＝|3t﹣3|， ∵直线l1：y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A，点B． ∴A（5，0）， ∴S△AEP＝PM•（xA﹣xE）＝3， 即|， 解得：t＝1.5或t＝0.5， ∴P（1.5，5）或（0.5，3）． 6．（2025秋•雁塔区校级月考）已知：y﹣2与x成正比例，且x＝2时，y＝4． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点M（m，3）在这个函数的图象上，求点M的坐标． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质．版权所有 【分析】（1）根据正比例函数的定义设y﹣2＝kx（k≠0），然后把x、y的值代入求出k的值，再整理即可得解； （2）将点M（m，3）的坐标代入函数解析式得到关于m的方程即可求解． 【解答】解：（1）设y﹣2＝kx（k≠0）， 把x＝2，y＝4代入得4﹣2＝2k， 解得k＝1， ∴函数解析式是y＝x+2； （2）∵点M（m，3）在这个函数图象上， ∴把M点的坐标代入y＝x+2得， m+2＝3， ∴m＝1， ∴M（1，3）． 7．（2025•碑林区校级模拟）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值： 输入x … 2 5 7 9 11 … 输出y … 5 4 10 16 22 … 根据以上信息，解答下列问题： （1）求k，b的值； （2）当输出的y值为9时，求输入的x值． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】（1）在x≥3的范围内取两组对应值分别代入y＝kx+b得到关于k、b的方程组，然后解方程组即可； （2）利用（1）所求的解析式计算函数值为9所对应的自变量的值即可． 【解答】解：（1）把（5，4），（7，10）分别代入y＝kx+b得， 解得， 所以函数y＝kx+b的关系式为y＝3x﹣11； （2）当y＝9时，3x﹣11＝9， 解得x， 即输入的x值为． 8．（2024春•沧州期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交点为A（﹣3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数的图象的交于点C（m，4）． （1）求m的值及一次函数y＝kx+b的表达式； （2）若点P是y轴上一点，且△BPC的面积为6，请直接写出点P的坐标． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】（1）首先利用待定系数法把C（m，4）代入正比例函数中，计算出m的值，进而得到C点坐标，再利用待定系数法把A、C两点坐标代入一次函数y＝kx+b中，计算出k、b的值，进而得到一次函数解析式． （2）利用△BPC的面积为6，即可得出点P的坐标． 【解答】解：（1）∵点C（m，4）在正比例函数的图象上， ∴•m，m＝3即点C坐标为（3，4）． ∵一次函数 y＝kx+b经过A（﹣3，0）、点C（3，4） ∴解得： ∴一次函数的表达式为 （2）∵点P是y轴上一点，且△BPC的面积为6， ∵△BPC的高是3， ∴BP＝4， ∵B的坐标为（0，2）， ∴点P 的坐标为（0，6）、（0，﹣2）． 9．（2024秋•雁塔区校级期中）已知关于x的方程ax﹣5＝0的解为x＝2，则一次函数y＝ax﹣5的图象与x轴的交点坐标为 　（2，0）　 ． 【考点】一次函数与一元一次方程．版权所有 【分析】一次函数y＝ax﹣5的图象与x轴的交点横坐标为关于x的方程ax﹣5＝0的解． 【解答】解：∵关于x的方程ax﹣5＝0的解为x＝2， ∴一次函数y＝ax﹣5的图象与x轴的交点坐标为（2，0）． 故答案为：（2，0）． 10．（2024秋•碑林区校级月考）如图，一次函数y＝ax+2与y＝2x﹣1的图象相交于点P，则关于x的方程ax+2＝2x﹣1的解是 x＝4　 ． 【考点】一次函数与一元一次方程．版权所有 【分析】先求出点P的坐标为（4，7），由图象可以知道，当x＝4时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【解答】解：根据题意得：点P的纵坐标为7， 把y＝7代入y＝2x﹣1，得： 7＝2x﹣1，解得：x＝4， ∴点P的坐标为（4，7）， ∵一次函数y＝ax+2与y＝2x﹣1的图象相交于点P， ∴关于x的方程ax+2＝2x﹣1的解是x＝4． 故答案为：x＝4． 11．（2025秋•高陵区校级月考）如图，已知直线y＝﹣2x+8与y轴、x轴分别交于A，B两点，与直线y＝kx（k≠0）交于点C（2，m）． （1）求k和m的值； （2）若点P在y轴上，且，求点P的坐标； （3）若点M在直线y＝kx上，点M的横坐标为n，过点M作直线MN∥y轴，直线MN与直线y＝﹣2x+8交于点N，且MN＝2，求点M的坐标． 【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数的性质．版权所有 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）求出OA＝8．设点P的坐标为（0，t）．根据解得t＝4或t＝﹣4，即可求出答案； （3）由题意得M（n，2n），N（n，﹣2n+8）．MN＝2，得到|2n﹣（﹣2n+8）|＝2，解得或，即可求出答案． 【解答】解：（1）直线y＝﹣2x+8与y轴、x轴分别交于A，B两点，与直线y＝kx（k≠0）交于点C（2，m）． 把点C（2，m）代入y＝﹣2x+8， 得m＝﹣2×2+8＝4， 所以C（2，4）． 把C（2，4）代入y＝kx，得4＝2k， 解得k＝2， 所以k和m的值分别为2，4． （2）在直线y＝﹣2x+8中，令x＝0，得y＝8； 令y＝0，得﹣2x+8＝0，解得x＝4， 所以A（0，8），B（4，0）， 所以OA＝8． 设点P的坐标为（0，t）． 因为， 所以， 解得t＝4或t＝﹣4， 所以点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）． （3）因为点M在直线y＝2x上，点N在直线y＝﹣2x+8上，点M的横坐标为n，MN∥y轴， 所以M（n，2n），N（n，﹣2n+8）． 因为MN＝2， 所以|2n﹣（﹣2n+8）|＝2， 解得或， 所以点M的坐标为或． 12．（2025秋•西安校级月考）如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，6）的直线AB与直线OC相交于点C（2，4），动点P沿路线B→O→C运动． （1）求直线AB的表达式； （2）当△CPB的面积是△OBC的面积的时，求出相应点P的坐标． 【考点】两条直线相交或平行问题；待定系数法求一次函数解析式．版权所有 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点B的坐标，进而求出△OBC的面积，则可得到△CPB的面积，再分点P在OC上和点P在OB上两种情况，讨论求解即可． 【解答】解：（1）设直线AB的表达式为y＝kx+b（k≠0）， 由条件可得， ∴， ∴直线AB的表达式为y＝﹣x+6； （2）在y＝﹣x+6中，当y＝﹣x+6＝0时，x＝6， ∴B（6，0）， ∴OB＝6， ∴， ∵△CPB的面积是△OBC的面积的， ∴△CPB的面积是9； 设直线OC的表达式为y＝k′x，则4＝2k′， ∴k′＝2， ∴直线OC的表达式为y＝2x； 如图所示，当点P在OC上时，设P（p，2p）， ∵S△OPB＝S△OBC﹣S△PBC＝12﹣9＝3， ∴， ∴， ∴2p＝1， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在OB上时，则， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 14．（2024秋•雁塔区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求k、b的值； （2）若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． 【考点】两条直线相交或平行问题；待定系数法求一次函数解析式．版权所有 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点C的坐标，根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出k、b的值； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B的坐标，设点D的坐标为（0，m），根据三角形的面积公式结合，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，进而可得出点D的坐标． 【解答】解：（1）当x＝1时，y＝3， ∴点C的坐标为（1，3）． 将A（﹣2，6）、C（1，3）代入y＝kx+b， 得：， 解得：k＝﹣1，b＝4； （2）当y＝0时，有﹣x+4＝0， 解得：x＝4， ∴点B的坐标为（4，0）． 设点D的坐标为（0，m）， ∵，即， 解得：m＝±4， ∴点D的坐标为（0，±4）． 15．（2024秋•雁塔区校级月考）如图，平面直角坐标系中，直线l1分别与x，y轴交于A（6，0），B（0，3）两点，正比例函数y＝kx的图象l2与l1交于点C（m，4）． （1）求直线l1及l2的解析式； （2）若点P为直线l2上一动点，当S△ACP＝2S△AOB时，求点P坐标． 【考点】两条直线相交或平行问题．版权所有 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出，得出S△ACP＝2×9＝18，设点P（n，﹣2n），根据三角形面积公式得出，求解即可． 【解答】解：（1）设直线l1的解析式为：y＝k1x+b1（k1≠0），把A（6，0），B（0，3）代入得： ， 解得：， ∴直线l1的解析式为：； 把C（m，4）代入解析式得：， 解得：m＝﹣2， ∴C（﹣2，4）， 把C（﹣2，4）代入y＝kx得：4＝﹣2k， 解得：k＝﹣2， ∴直线l2的解析式为：y＝﹣2x； （2）由条件得， ∵S△ACP＝2S△AOB， ∴S△ACP＝2×9＝18， 设点P（n，﹣2n）， ∵C（﹣2，4）， ∴， 解得n＝1或n＝﹣5， ∴P（1，﹣2）或P（﹣5，10）． 16．（2025•新城区开学）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+m（m为常数）、直线l2：y＝﹣3x+n（n为常数）分别交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），点P是两直线的交点． （1）求直线l1和直线l2的函数表达式及点P的坐标； （2）在直线l2上是否存在点Q，连接AQ，使得S△APQ＝3S△ABP？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式．版权所有 【分析】（1）利用待定系数法求出l1：y＝x+4，l2：y＝﹣3x+6，然后联立方程组得，解得，从而求出点P坐标； （2）先求出△ABP的面积，然后分当点Q在x轴上方时，当点Q在x轴下方时两种情况分析求解即可． 【解答】（1）解：将A（﹣4，0）代入l1：y＝x+m（m为常数）中，得﹣4+m＝0， 解得m＝4， ∴直线l1的函数表达式为y＝x+4， 已知直线l2：y＝﹣3x+n（n为常数）过B（2，0）， 将B（2，0）代入l2：y＝﹣3x+n（n为常数）中， 得﹣3×2+n＝0， 解得n＝6， ∴l2：y＝﹣3x+6， 联立方程组，得，解得， ∴； （2）解：存在，理由： ∵A（﹣4，0）、B（2，0）， ∴AB＝6， ∴△ABP的面积， 当点Q在x轴上方时，如图， 由S△APQ＝3S△ABP知S△ABQ＝4S△ABP， ∴，即，解得yQ＝18， 把y＝18代入y＝﹣3x+6中， 得﹣3x+6＝18， 解得x＝﹣4， ∴Q（﹣4，18）； 当点Q在x轴下方时，如图 ， 由S△APQ＝3S△ABP知S△ABQ＝2S△ABP， ∴，即，解得yQ＝﹣9， 把y＝﹣9代入y＝﹣3x+6中， 得﹣3x+6＝﹣9， 解得x＝5， ∴Q（5，﹣9）， 综上，存在点Q，使得S△APQ＝3S△ABP，点Q的坐标为（﹣4，18）或（5，﹣9）． 17．（2024秋•府谷县期末）如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段OA和线段AC上运动． （1）求直线AB的函数表达式； （2）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 【考点】两条直线相交或平行问题；待定系数法求一次函数解析式．版权所有 【分析】（1）用待定系数法求解析式即可； （2）由面积求出M点横坐标为±1，再分两种情况确定M点坐标：当M点在线段OA上，当M点在射线AC上时． 【解答】解：（1）设AB的直线解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴y＝﹣x+6； （2）存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的，理由如下： 令x＝0，则y＝6， ∴C（0，6）， ∴OC＝6， ∵点A（4，2）， ∴点A到OC的距离为4 ∴S△OAC＝×6×4＝12； 设直线OA的解析式为y＝kx， ∴4k＝2， ∴k， ∴yx， ∵△OMC的面积是△OAC的面积的， ∴S△OMC＝123， 设M点的横坐标为x， ∴6×|x|＝3， ∴|x|＝1， ∴x＝±1， 当M点在线段OA上时，M（1，）； 当M点在射线AC上时，M（1，5）或M（﹣1，7）； 综上所述：M点坐标为（1，）或（1，5）或（﹣1，7）． 18．（2025春•华阴市期末）如图，一次函数y＝﹣x+2的图象与x轴、y轴分别相交于点D、C，直线AB经过点A（﹣2，0）和点B（0，6），直线AB、CD相交于点M． （1）求点M的坐标； （2）在直线CD上是否存在点N，使得S△BCN＝S△OAB，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数的性质．版权所有 【分析】（1）依据题意，求出直线AB解析式为y＝3x+6，联立，可解得M（﹣1，3）； （2）依据题意，由一次函数y＝﹣x+2中，令x＝0，得y＝2，可得C（0，2），故BC＝4，又A（﹣2，0），B（0，6），可得OA＝2，OB＝6，从而求出S△OAB＝6，又N在直线CD：y＝﹣x+2上，从而可设N为（m，﹣m+2），则S△BCNBC•|xN|＝2|m|，结合S△BCN＝S△OAB，求出m的值后即可得解． 【解答】解：（1）由题意，设直线AB解析式为y＝kx+b，把A（﹣2，0），B（0，6）代入得：， ∴ ∴直线AB解析式为y＝3x+6． 联立方程组， ∴． ∴M（﹣1，3）． （2）如图： 在y＝﹣x+2中，令x＝0，得y＝2， ∴C（0，2）， ∴BC＝6﹣2＝4， ∵A（﹣2，0），B（0，6）， ∴OA＝2，OB＝6． ∴S△OABOA•OB＝6． ∵N在直线CD：y＝﹣x+2上， ∴可设N为（m，﹣m+2）． ∴S△BCNBC•|xN|＝2|m|． 又∵S△BCN＝S△OAB， ∴2|m|＝6． ∴m＝±3． ∴N的坐标为（﹣3，5）或（3，﹣1）； 19．（2025春•碑林区校级期中）如图，直线与y轴交于点A（0，4），直线l2：y2＝kx+1分别与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C．两条直线相交于点D，连接AB． （1）求两直线交点D的坐标； （2）根据图象，直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围 x　 ； （3）求△ABD的面积． 【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数的性质．版权所有 【分析】（1）将A（0，4）代入y1x+m即可求出m的值，将B（﹣1，0）代入y2＝kx+1即可求出k的值，联立求D的坐标； （2）由图可直接得出y1＞y2＞0时自变量x的取值范围； （2）由y2＝x+1可知，C点坐标为（0，1），分别求出△ABC和△ACD的面积，相加即可． 【解答】解：（1）将A（0，4）代入y1 x+m得，m＝4， 将B（﹣1，0）代入y2＝kx+1得，k＝1， 联立y1 x+4，y2＝x+1 解得x，y， 故D点坐标为（，）； （2）由图可知，直线l1在交D点右侧时，y1＜y2，即x； 故答案为：x； （3）由y2＝x+1可知，C点坐标为（0，1）， ∴AC长度＝4﹣1＝3， S△ABD＝S△ABC+S△ACD 3×13． 20．（2024秋•雁塔区校级期中）一次函数的图象l1分别与x、y轴交于A、B两点，正比例函数l2与l1交于点C（m，4）． （1）求m的值及l2的解析式； （2）若点D在x轴上，且满足S△DOC＝2S△BOC，求点D的坐标． 【考点】两条直线相交或平行问题．版权所有 【分析】（1）待定系数法求出正比例函数解析式即可； （2）先求出点B坐标，计算出S△DOC＝2S△BOC＝10，设点D的坐标为（m，0），建立方程求出m值，即可得到点D坐标． 【解答】解：（1）∵点C（m，4）在一次函数的图象上， ∴5＝4，解得m＝2， ∴C（2，4）， 设l2的解析式为y＝kx，代入点C（2，4）坐标得：4＝2k，解得k＝2， ∴l2的解析式为y＝2x； （2）在一次函数中，当x＝0时，y＝5， ∴OB＝5， ∴S△BOC5， ∵S△DOC＝2S△BOC， ∴S△DOC＝2×5＝10， 设点D的坐标为（m，0）， ∴S△DOC|m|＝10， 解得m＝±5， ∴D（5，0）或（﹣5，0）． 21．（2025春•阎良区期末）如图，直线y1＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y2＝kx+b与y轴交于点C（0，4），与直线y1＝x﹣4交于点E（m，﹣2）． （1）求m的值及直线y2的函数解析式； （2）连接AC，若P为直线y1上的动点，当时，求点P的坐标． 【考点】两条直线相交或平行问题；待定系数法求一次函数解析式．版权所有 【分析】（1）将点E坐标代入直线y2的函数解析式求出m值，再利用待定系数法求出y2的函数解析式即可； （2）先求出S△ACB16，再求出S△BCP24，设点P（n，n﹣4），24，解出n值即可得到点P坐标． 【解答】解：（1）∵点E（m，﹣2）在直线直线y2的函数解析式的图象上， ∴m﹣4＝﹣2，解得m＝2， 由点C（0，4），E（2，﹣2）可得， 解得， ∴直线y2的函数解析式为y＝﹣3x+4； （2）由直线y1＝x﹣4解析式可知A（4，0）， S△ACB16， ∵， ∴S△BCP24， 设点P（n，n﹣4），24， 解得：n＝±6， ∴P（6，2）或（﹣6，﹣10）． 22．（2025秋•碑林区校级月考）为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法．现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： XX居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量x（度） 电价（元/度） 第一档：0＜x≤180 0.50 第二档：180＜x≤350 0.55 第三档：x＞350 0.80 本月实用金额：106.5（元） （大写）壹佰零陆元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： （1）如果月用电量用x度来表示，实付金额用y元来表示，当180＜x≤350时，写出实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； （2）请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量； （3）若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和250度，则实付金额分别为多少元？ 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）当180＜x≤350时，成一次函数关系，实付金额等于180度内的用电付出金额与超出180度的用电付出金额的和，然后即可得到y与x的函数关系式； （2）先计算出106.5元的用电量超出180度，然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可得解； （3）根据用电度数判断出适合的函数关系式，然后把用电度数代入关系式进行计算即可得解． 【解答】解：（1）当180＜x≤350时，则 y＝0.50×180+0.55×（x﹣180） y＝90+0.55x﹣99 ＝0.55x﹣9， ∴y＝0.55x﹣9； （2）∵180度电费为：0.50×180＝90， 350度电费为：0.55×350﹣9＝183.5， 90＜106.5＜183.5， ∴该家庭本月用电量属于第二档，令y＝106.5，则0.55x﹣9＝106.5， 解的x＝210， 答：这个家庭本月的实际用电量为210度． （3）当180＜x≤350时，则y＝0.55x﹣9， ∵180＜250≤350 ∴当x＝250时，则y＝0.55x﹣9＝0.55×250﹣9＝128.5元． 当0＜x≤180时，则y＝0.50x； ∵120＜180， ∴把x＝120代入y＝0.50x得y＝0.50×120＝60元； 答：小强和小华家这一个月实付金额分别为60元和128.5元． 24．（2024秋•雁塔区校级期末）某项工程由甲、乙两个工程队合作完成，先由甲队单独做3天，剩下的工作由甲、乙两工程队合作完成，工程进度满足如图所示的函数关系（x为天数，y为工作量）： （1）求合作部分工作量y与工作时间x之间的函数关系式； （2）该工程共支付8万元，若按完成的工作量所占比例支付工资，甲工程队应得多少元？ 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）根据甲的工作效率是，于是得到甲9天完成的工作量是，即可得到结论． 【解答】解：（1）设一次函数的解析式（合作部分）是y＝kx+b（k≠0，k，b是常数）． ∵（3，0.25），（5，0.5）在图象上． 代入得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）当y＝1时，， 解得x＝9， ∴完成此项工程共需9天， 由图象知，甲的工作效率是， ∴甲9天完成的工作量是：， ∴（万元）， 所以甲工程队应得6万元． 25．（2025•雁塔区校级四模）我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨2元，超过6吨时，超过的部分按每吨3元收费，该市某户居民5月份用水x吨，应交水费y元． （1）请写出y与x的函数关系式． （2）如果该户居民这个月交水费27元，那么这个月该户用了多少吨水？ 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）根据分段函数求解方法由总价＝单价×数量，当0≤x≤6，x＞6时就可以求出结论； （2）把y＝27代入（1）的相应解析式，求出x的值就可以得出结论． 【解答】解：（1）由题意，得 ①当0≤x≤6时， y＝2x； ②当x＞6时 y＝6×2+3（x﹣6）＝3x﹣6． 综上所述，y与x的函数关系式为： y； （2）当y＝27时， 27＝3x﹣6， 解得：x＝11． 答：这个月该户用了11吨水． 26．（2025•陕西）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积y（L）与气体温度x（℃）成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如表： 气体温度x（℃） … 25 30 35 … 气体体积y（L） … 596 606 616 … （1）求y与x的函数关系式； （2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到700L时停止加热．求停止加热时的气体温度． 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）根据变量的变化规律解答即可； （2）当y＝700时，求出对应x的值即可． 【解答】解：（1）根据表格，气体温度升高1℃，气体体积增大2L，则y＝596+2（x﹣25）＝2x+546， ∴y与x的函数关系式为y＝2x+546． （2）当y＝700时，得2x+546＝700， 解得x＝77． 答：停止加热时的气体温度为77℃． 27．（2025•新城区校级二模）直播带货是目前盛行的销售方式，小静为了推销家乡的樱桃和甜瓜，在抖音上进行直播带货．小静和她的团队每天在家乡收购两种水果共600箱．且当天全部售出．进货成本、销售单价如表所示，设该团队每天收购樱桃x箱，每天获得的利润为y元． 进货成本（元/箱） 销售单价（元/箱） 樱桃 34 50 甜瓜 28 41 （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）若该团队每天投入总成本不超过19200元，应怎样安排樱桃和甜瓜的进货量，才能使该团队一天所获得的利润最大，最大利润为多少元？ 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，以及樱桃和甜瓜的利润之和等于y，列出函数关系式即可； （2）根据投入总成本不超过19200元，列出不等式求出x的范围，根据一次函数的性质，求最值即可． 【解答】解：（1）y＝（50﹣34）x+（41﹣28）（600﹣x） ＝16x+7800﹣13x ＝3x+7800； （2）34x+28（600﹣x）＜19200， 解得：x≤400， 由条件可知y随x的增大而增大． ∴当xmax＝400时，y最大，且ymax＝3×400+7800＝9000（元）， 此时600﹣x＝200（箱）， 答：当购进樱桃400箱，甜瓜200箱的时候，总利润最大，最大利润为9000元． 28．（2025•西安校级模拟）为了全面贯彻党的教育方针，使学生成长为德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，在课程标准中，强调要加强体育教育．某中学为了增强学生的体质，准备购买一批甲、乙两种体育器材300件，已知某体育用品店，甲种器材每件20元，乙种器材每件15元，且该店对同时购买两种器材有两种销售方案．（只能选择其中一种） 方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折； 方案二：甲、乙种器材每件均打八折； 设购买甲种器材x件，选择方案一的购买费用为y1元，选择方案二的购买费用为y2元． （1）请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式； （2）请你计算该校选择哪种方案支付的费用较少． 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）根据题意分别求出两种方案的费用即可； （2）先求出两种方案费用相等的情况，再分类讨论即可． 【解答】解：（1）由题意得： y1＝20x×0.9+15（300﹣x）×0.6＝9x+2700， y2＝20x×0.8+15（300﹣x）×0.8＝4x+3600； （2）当y1＝y2时，9x+2700＝4x+3600，解得x＝180； 当y1＞y2时，9x+2700＞4x+3600，解得x＞180； 当y1＜y2时，9x+2700＜4x+3600，解得x＜180； ∵0≤x≤300，0≤300﹣x≤300， ∴0≤x≤300， ∴当x＝180时，两种方案费用一样；当时180＜x≤300时，方案二支付的费用较少；当时0≤x＜180时，方案一支付的费用较少． 29．（2025•碑林区校级模拟）已知：当人体在进行中等强度运动时，心率将从静息心率逐渐上升到稳态心率．在这一过程中，心率p（单位：次/min）与运动时间t（单位：min）大致存在一次函数关系．热爱运动的小李同学通过佩戴的心率传感器记录了自己运动一段时间内的数据，如表： 运动时间t/min 1 3 5 7 心率p/（次/min） 69 87 105 123 （1）根据如表数据，请求出小李的心率p与运动时间t之间的函数关系式； （2）求小李从运动开始多久时心率达到150次/min． 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）当p＝150时，求出对应t的值即可． 【解答】解：（1）设小李的心率p与运动时间t之间的函数关系式为p＝kt+b（k、b为常数，且k≠0）， 将t＝1，p＝69和t＝3，p＝87分别代入p＝kt+b， 得， 解得， ∴小李的心率p与运动时间t之间的函数关系式为p＝9t+60． （2）当p＝150时，得9t+60＝150， 解得t＝10． 答：小李从运动开始10min时心率达到150次/min． 30．（2025•秦都区校级模拟）某校迎来了一百二十年校庆，为了准备校庆，校方决定准备一场别开生面的文艺演出，有歌唱，舞蹈，小舞台剧等节目，为此学校需要采购一批演出服装．现有质量较好且价格合理的A，B两家公司供选择，这两家公司给出的价格都是每套服装100元，经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是全部服装单价打8折，但校方需要承担1500元的运费；B公司给出的优惠条件是购买服装不超过100套时不打折，超过100套时，超出部分每套打7折，校方不用承担运费． （1）分别求出学校购买A，B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与购买服装的数量x（套）之间的函数关系式； （2）如果该校根据演出人数决定购买180套服装，请通过计算说明学校选择哪家公司的服装花费更少． 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）分别根据两家公司的优惠条件写出对应函数关系式即可； （2）将x＝180分别代入y1和y2与x之间的函数关系式，求出y1和y2并比较大小即可得出结论． 【解答】解：（1）y1＝0.8×100x+1500＝80x+1500， ∴y1＝80x+1500． 当0≤x≤100时，y2＝100x； 当x＞100时，y2＝100×100+0.7×100（x﹣100）＝70x+3000， ∴y2． （2）当x＝180时，y1＝80×180+1500＝15900，y2＝70×180+3000＝15600， ∵y1＞y2， ∴学校选择B公司的服装花费更少． 31．（2025春•碑林区校级期末）欢欢骑共享单车匀速前往某主题公园游玩，他从家出发0.5小时后先到达中途的一家书店，在书店看了一会书后继续骑车前往公园（速度保持不变），欢欢从书店出发的同时他的爸爸骑摩托车沿相同的路线匀速前往公园，结果两人同时到达公园．如图所示的是他们离家路程s（km）与欢欢离家时间t（h）的关系图，请根据图象回答下列问题： （1）欢欢从家到书店骑车的速度为 　12　 km/h，书店到主题公园的路程为 　9　 km； （2）图中a的值为 　1.25　 ； （3）求欢欢爸爸从家到公园骑摩托车的平均速度． 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）由图象可求出欢欢的速度和书店到主题公园的路程； （2）求出欢欢从书店到主题公园所用时间，再用总时间减去欢欢从书店到主题公园所用时间； （3）用爸爸所走路程除以爸爸所用时间即可求出爸爸的速度． 【解答】解：（1）由图象可知，欢欢从家到书店骑车的速度为：12（km/h）， 书店到主题公园的路程为：15﹣6＝9（km）， 故答案为：12，9； （2）∵欢欢从书店到主题公园所用时间为：0.75（h）， ∴a＝2﹣0.75＝1.25， 故答案为：1.25； （3）20（km/h）， 答：欢欢爸爸从家到公园骑摩托车的平均速度为20km/h． 32．（2024秋•榆林期末）某蔬菜种植基地为了提高蔬菜苗的成活率，决定进行集中育苗．已知某种蔬菜苗早期在新建的育苗温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长，研究表明，60天内，这种蔬菜苗生长的高度y（cm）与生长的时间x（天）之间大致的函数关系图象如图所示． （1）当15＜x≤60时，求y与x之间的函数表达式． （2）当这种蔬菜苗长到大约100cm时，开始开花结果，试求这种蔬菜苗移至大棚后，继续生长多少天，开始开花结果？ 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将y＝100代入（1）中求得的函数表达式，求出对应x的值，从而计算出移至大棚后继续生长的天数． 【解答】解：（1）当15＜x≤60时，设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标（15，20）和（60，170）分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴yx﹣30（15＜x≤60）． （2）当y＝100时，得x﹣30＝100，解得x＝39， 39﹣15＝24（天）， ∴这种蔬菜苗移至大棚后，继续生长24天，开始开花结果． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $