4.2认识一次函数题型总结讲义2025-2026学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级上册4.1认识函数-4.2认识一次函数题型总结讲义 【题型一】函数的概念 【例1】（2025秋•西安校级月考）下列图象中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2024秋•雁塔区校级月考）下列各图能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【题型二】函数关系式 【例1】（2025•靖边县模拟）执行如图所示的程序框图，所得y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝﹣x﹣18 B．y＝﹣3x﹣6 C． D． 【例2】（2025秋•高陵区校级月考）在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是某天一地的海拔h（km）与对应高度处气温T（℃）的关系． 海拔h/km … 0 1 2 3 4 … 气温T/℃ … 20 14 8 2 ﹣4 … （1）当海拔高度为2km时，气温是 　 　 ℃；当气温为﹣4℃时，海拔是 　 　 km； （2）写出气温T与海拔h的关系式：T＝ 　 ； （3）求海拔8km处的气温． 【变式1】（2025春•陕西期末）一辆汽车以60km/h的平均速度在公路上行驶，则它所走的路程s（km）与所用的时间t（h）之间的关系式为（　　） A．s＝60﹣t B． C． D．s＝60t 【变式2】（2025春•蒲城县期末）端午节期间，某商场搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在本商场一次性购买粽子超过100元者，超过100元的部分按8折优惠”．在此活动中，李明到该商场一次性购买单价为60元的礼盒x（x＞2）件，则应付款y（元）与商品件数x（件）之间的关系式是（　　） A．y＝48x B．y＝48x+20 C．y＝48x﹣80 D．y＝48x+40 【变式3】（2025秋•西安校级月考）我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 一户居民一个月用电量的范围 电费价格/（元/千瓦时） 不超过200千瓦时的部分 0.55 超过200千瓦时，但不超过400千瓦时的部分 0.6 超过400千瓦时的部分 0.8 （1）设该市一户居民某月用电量x千瓦时，当月的电费y元，写出y与x的关系式： 当200＜x≤400时， 　 ；当x＞400时， 　 ； （2）某户居民七月份用电量为260千瓦时，求该户这个月的电费； （3）某户居民八月份缴电费170元，那么该户居民八月份用电量为多少千瓦时？ 【题型三】函数自变量的取值范围 【例1】（2025秋•高陵区校级月考）函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≠﹣5 B．x≠5 C．x＞5 D．x＜5 【例2】（2024•雁塔区校级模拟）在函数y中，自变量x的取值范围是 　 【变式1】（2023秋•莲湖区校级月考）函数中自变量x的取值范围是 　 ． 【变式2】（2024春•商南县月考）函数中x的取值范围为 　 ． 【题型四】函数值 【例1】（2025秋•碑林区校级月考）若一个函数的自变量x每增加1，函数值就减少2，则其解析式可以是（　　） A．y＝﹣x+2 B．y＝2x C．y＝﹣2x+1 D．y＝﹣2x2 【变式1】（2025秋•高陵区校级月考）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．若输入x的值为1时，则输出y的值为（　　） A．0 B．2 C．﹣3 D．3 【变式2】（2025春•紫阳县校级月考）变量x，y的一些对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣1 3 7 11 15 … 根据表格中的数据，当x＝﹣15时，y的值是（　　） A．﹣57 B．﹣55 C．﹣53 D．﹣51 【题型五】函数的图象 【例1】（2025秋•高陵区校级月考）“司马光砸缸”是大家熟知的故事，大意是水缸里原有一部分水（未满），玩耍的孩童落入水缸中，水已没过孩童头顶．同伴们除了大声呼救，毫无办法．此时，司马光急中生智，举起石头砸破水缸，水流出后，孩童得救．下面比较符合“司马光砸缸”的故事情节的图是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2023春•莲湖区期中）5月12日，抚州市某中学进行了全校师生防灾减灾大演练，警报拉响后同学们匀速跑步到操场，在操场指定位置清点人数后，再沿原路匀速步行回教室，同学们离开教学楼的距离y与时间x的关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025•西安校级开学）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速v（km/h）之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（　　） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9 B．当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60km/h D．若车速从25km/h增大到60km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04 【变式2】（2025•高新区校级开学）如图，是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，若以固定流量向蓄水池里注水，那么下列哪个图能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（　　） A． B． C． D． 【题型六】一次函数的定义 【例1】（2025春•渭城区校级月考）下列函数为一次函数的有（　　） ①y＝x+6； ②y﹣x＝﹣2（x+1）； ③y＝﹣x2+4x﹣1； ④y＝4x． A．①②④ B．①③ C．①② D．②④ 【例2】（2023秋•雁塔区校级月考）函数①y＝kx+b；②y＝2x；③；④；⑤y＝x2﹣2x+1．是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（2024秋•雁塔区校级期中）函数①y＝kx+b；②y＝2x；③；④；⑤y＝x2﹣2x+1．其中是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（2024秋•雁塔区校级月考）已知y关于x的函数是一次函数，则m的值为 　 　 ． 【变式3】（2025春•咸阳月考）已知函数y＝（m+3）x|m|﹣2+2m是一次函数，求m的值． 【题型七】正比例函数的定义 【例1】（2025春•咸阳月考）下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝x2 B．y C．y D．y＝2x+3 【变式1】（2024秋•商洛期中）如果y＝x+4a﹣1是x的正比例函数，则a的值是（　　） A． B．0 C． D．﹣4 【变式2】（2024秋•秦都区校级月考）已知函数是正比例函数，则m的值是 　 　 ． 【课后练习】 1．（2024秋•灞桥区校级期中）函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≤2 B．x＜2 C．x＞2 D．x≥2 2．（2015•石家庄二模）函数y中的自变量x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．x≠2 C．x＞1且x≠2 D．x≥1且x≠2 2．（2024春•邯郸期末）函数的自变量x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1 3．（2024春•雁塔区校级月考）如图是关于变量x，y的计算程序，若开始输入x的值为3，则最后输出因变量y的值为 　 　 ． 4．（2024•西安校级模拟）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值： 输入x … 2 5 7 9 11 … 输出y … 5 4 10 16 22 … 根据以上信息，解答下列问题： （1）当输入的x值为﹣3时，输出的y值为 　 　 ； （2）求k，b的值； （3）当输出的y值为6时，求输入的x值． 5．（2025秋•高陵区校级月考）某水果店销售某种新鲜水果，出售量x（kg）与销售额y（元）之间的函数关系如图所示．若小强同学在该水果店一次购买25kg该种水果，需要付款（ ） 元． 、6．（2024秋•永寿县校级期中）已知函数y＝（m﹣1）1是一次函数，则m＝　 　 ． 7．（2023秋•阜南县校级期中）已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7． （1）当m为何值时，y是x的一次函数？ （2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？ 7．（2024秋•秦都区校级月考）已知y＝（m+1）x2﹣|m|+n+4，当m，n取何值时，y是x的一次函数？ 8．（2023秋•西安期中）已知函数是一次函数，求m的值． 9．（2023秋•金台区期末）若函数y＝（4+m）x+|m|﹣4是正比例函数，则m的值是 　 　 ． 10．（2024秋•秦都区校级期中）若函数y＝（m﹣2）x+4﹣m2是关于x的正比例函数，则常数m的值是　 　 ． 11．（2025•高陵区校级开学）若函数y＝（a+1）x+a2﹣1是关于x的正比例函数，求a的值． 12．（2024秋•榆阳区校级期中）已知y关于x的函数y＝4x+m﹣3． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若m＝7，求该函数图象与x轴的交点坐标． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版八年级上册4.1认识函数-4.2认识一次函数题型总结讲义 【题型一】函数的概念 【例1】（2025秋•西安校级月考）下列图象中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【考点】函数的概念．版权所有 【分析】根据函数的定义：有两个变量x、y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，据此即可判断求解． 【解答】解：A、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不合题意； B、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不合题意； C、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不合题意； D、y是x的函数，该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（2024秋•雁塔区校级月考）下列各图能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【考点】函数的概念．版权所有 【分析】根据函数的概念可直接进行排除选项． 【解答】解：∵一个x的值对应有多个y的值， ∴A、C、D都不是函数，不符合题意； B选项符合函数的概念， 故选：B． 【题型二】函数关系式 【例1】（2025•靖边县模拟）执行如图所示的程序框图，所得y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝﹣x﹣18 B．y＝﹣3x﹣6 C． D． 【考点】函数关系式．版权所有 【分析】根据题意列出函数关系式即可． 【解答】解：执行如图所示的程序框图，所得y与x之间的函数关系式， 输入x后第一步取x的相反数得到﹣x，在此基础上“×3”得到﹣3x，在此基础上“﹣6”得到﹣3x﹣6，因此输出的y应为﹣3x﹣6． ∴y＝﹣3x﹣6． 故选：B． 【例2】（2025秋•高陵区校级月考）在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是某天一地的海拔h（km）与对应高度处气温T（℃）的关系． 海拔h/km … 0 1 2 3 4 … 气温T/℃ … 20 14 8 2 ﹣4 … （1）当海拔高度为2km时，气温是 　8　 ℃；当气温为﹣4℃时，海拔是 　4　 km； （2）写出气温T与海拔h的关系式：T＝ 　20﹣6h ； （3）求海拔8km处的气温． 【考点】函数关系式；正数和负数．版权所有 【分析】（1）根据表格中数据即可解答； （2）根据表格中气温与海拔高度的变化规律：h每增加1km，气温就下降6℃，即可解答； （3）把h＝8代入T＝20﹣6h中，进行计算即可得出答案． 【解答】解：（1）当海拔高度为2km时，气温是8℃；当气温为﹣4℃时，海拔高度是4km； 故答案为：8，4； （2）由条件可得T＝20﹣6h， ∴气温T与海拔h的关系式为：T＝20﹣6h， 故答案为：20﹣6h； （3）当h＝8时，T＝20﹣6×8＝﹣28． 答：海拔8km处的气温是﹣28℃． 【变式1】（2025春•陕西期末）一辆汽车以60km/h的平均速度在公路上行驶，则它所走的路程s（km）与所用的时间t（h）之间的关系式为（　　） A．s＝60﹣t B． C． D．s＝60t 【考点】函数关系式．版权所有 【分析】根据：路程＝速度×时间关系式进行列式即可． 【解答】解：∵s＝vt， ∴s＝60t， 故选：D． 【变式2】（2025春•蒲城县期末）端午节期间，某商场搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在本商场一次性购买粽子超过100元者，超过100元的部分按8折优惠”．在此活动中，李明到该商场一次性购买单价为60元的礼盒x（x＞2）件，则应付款y（元）与商品件数x（件）之间的关系式是（　　） A．y＝48x B．y＝48x+20 C．y＝48x﹣80 D．y＝48x+40 【考点】函数关系式．版权所有 【分析】根据已知表示出买x件礼盒的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可． 【解答】解：∵凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按8折优惠，李明到该商场一次性购买单价为60元的礼盒x（x＞2）件， ∴李明应付货款y（元）与礼盒件数x（件）的函数关系式是：y＝（60x﹣100）×0.8+100＝48x+20（x＞2）， 故选：B． 【变式3】（2025秋•西安校级月考）我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 一户居民一个月用电量的范围 电费价格/（元/千瓦时） 不超过200千瓦时的部分 0.55 超过200千瓦时，但不超过400千瓦时的部分 0.6 超过400千瓦时的部分 0.8 （1）设该市一户居民某月用电量x千瓦时，当月的电费y元，写出y与x的关系式： 当200＜x≤400时，y＝0.6x﹣10　 ；当x＞400时，y＝0.8x﹣90　 ； （2）某户居民七月份用电量为260千瓦时，求该户这个月的电费； （3）某户居民八月份缴电费170元，那么该户居民八月份用电量为多少千瓦时？ 【考点】函数关系式；一元一次方程的应用．版权所有 【分析】（1）根据所给的收费方案列式求解即可； （2）把x＝260代入y＝0.6x﹣10中，求出y的值即可得到答案； （3）可证明该户居民八月份用电量超过200千瓦时，但不超过400千瓦时，则把y＝170代入y＝0.6x﹣10中，求出x的值即可得到答案． 【解答】解：（1）根据题意可知， 当200＜x≤400时， y＝200×0.55+0.6（x﹣200）＝110+0.6x﹣120＝0.6x﹣10， 当x＞400时， y＝200×0.55+0.6×（400﹣200）+0.8（x﹣400）＝0.8x﹣90． 故答案为：y＝0.6x﹣10；y＝0.8x﹣90； （2）在y＝0.6x﹣10中， 当x＝260时， y＝0.6×260﹣10＝156﹣10＝146， 答：该户这个月的电费为146元； （3）∵200×0.55＝110，200×0.55+0.6×（400﹣200）＝230，且110＜170＜230， ∴该户居民八月份用电量超过200千瓦时，但不超过400千瓦时， 在y＝0.6x﹣10中， 当y＝0.6x﹣10＝170时， x＝300， 答：该户居民八月份用电量为300千瓦时． 【题型三】函数自变量的取值范围 【例1】（2025秋•高陵区校级月考）函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≠﹣5 B．x≠5 C．x＞5 D．x＜5 【考点】函数自变量的取值范围．版权所有 【分析】根据分母不为0列式计算即可作答． 【解答】解：由题意得：x﹣5≠0， 解得：x≠5， 故选：B． 【例2】（2024•雁塔区校级模拟）在函数y中，自变量x的取值范围是x≥﹣1且x≠2　 【考点】函数自变量的取值范围．版权所有 【分析】根据分式的分母不为零、二次根式的被开方数为非负数求解可得答案． 【解答】解：根据题意，得：x﹣2≠0且x+1≥0， 解得x≥﹣1且x≠2， 故答案为：x≥﹣1且x≠2． 【变式1】（2025秋•秦都区校级月考）如图，一动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，规定：每向左运动3秒就向右运动2秒．则动点运动到第2025秒时所对应的数是（　　） A．﹣405 B．﹣406 C．2024 D．202513．（2023秋•莲湖区校级月考）函数中自变量x的取值范围是 x＞﹣2　 ． 【考点】函数自变量的取值范围．版权所有 【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零，分式有意义的条件是分母不等于零，列式计算即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：x＞﹣2， ∴函数中自变量x的取值范围是x＞﹣2， 故答案为：x＞﹣2． 【变式2】（2024春•商南县月考）函数中x的取值范围为 x　 ． 【考点】函数自变量的取值范围．版权所有 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：2x﹣3＞0， 解得：x， 故答案为：x． 【题型四】函数值 【例1】（2025秋•碑林区校级月考）若一个函数的自变量x每增加1，函数值就减少2，则其解析式可以是（　　） A．y＝﹣x+2 B．y＝2x C．y＝﹣2x+1 D．y＝﹣2x2 【考点】函数值．版权所有 【分析】函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．自变量x每增加1，将x+1代入函数，即可求得y变化了多少． 【解答】解：A．自变量x每增加1，将x+1代入函数y＝﹣x+2得：y＝﹣（x+1）+2＝﹣x+1，即函数值减少1，不符合题意； B．将x+1代入函数y＝2x得：y＝2（x+1）＝2x+2，即函数值增加2，不符合题意； C．将x+1代入函数y＝﹣2x+1得：y＝﹣2（x+1）+1＝﹣2x﹣1，即函数值减少2，符合题意； D．将x+1代入函数y＝﹣2x2得：y＝﹣2（x+1）2＝﹣2x2﹣4x﹣2，即函数值的变化量为﹣4x﹣2，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（2025秋•高陵区校级月考）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．若输入x的值为1时，则输出y的值为（　　） A．0 B．2 C．﹣3 D．3 【考点】函数值．版权所有 【分析】根据输入的x的值为4时，输出的y的值为5，求出b＝﹣3，进而求出输入x的值为1时，输出y的值即可． 【解答】解：根据流程图与有理数运算可得： 若输入的x的值为4时，输出的y的值为5， 则2×4+b＝5，解得b＝﹣3， ∵1＜3， ∴输出的数是﹣3×1+3＝0， 故选：A． 【变式2】（2025春•紫阳县校级月考）变量x，y的一些对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣1 3 7 11 15 … 根据表格中的数据，当x＝﹣15时，y的值是（　　） A．﹣57 B．﹣55 C．﹣53 D．﹣51 【考点】函数值．版权所有 【分析】由表格可知，x的值增加1，y的值增加4，x与y之间是一次函数的关系，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式并将x＝﹣15代入，求出对应的y值即可． 【解答】解：由条件可知x与y之间是一次函数的关系． 设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），由条件可得： ，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝4x+3， 当x＝﹣15时，y＝4×（﹣15）+3＝﹣57． 故选：A． 【题型五】函数的图象 【例1】（2025秋•高陵区校级月考）“司马光砸缸”是大家熟知的故事，大意是水缸里原有一部分水（未满），玩耍的孩童落入水缸中，水已没过孩童头顶．同伴们除了大声呼救，毫无办法．此时，司马光急中生智，举起石头砸破水缸，水流出后，孩童得救．下面比较符合“司马光砸缸”的故事情节的图是（　　） A． B． C． D． 【考点】函数的图象．版权所有 【分析】统计图的纵轴表示水面的高度，横轴表示时间，水缸里原有一部分水（未满），玩耍的孩童落入水缸中，水面上涨，水已没过孩童头顶后．水面高度不变，此时，举起石头砸破水缸，水流出后，水面下降，据此解答． 【解答】解：水缸里原有一部分水（未满），玩耍的孩童落入水缸中，水面上涨，水已没过孩童头顶后．水面高度不变，此时，举起石头砸破水缸，水流出后，水面下降，孩童得救．下面比较符合“司马光砸缸”的故事情节的图是C． 故选：C． 【例2】（2023春•莲湖区期中）5月12日，抚州市某中学进行了全校师生防灾减灾大演练，警报拉响后同学们匀速跑步到操场，在操场指定位置清点人数后，再沿原路匀速步行回教室，同学们离开教学楼的距离y与时间x的关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【考点】函数的图象．版权所有 【分析】根据在每段中，离教学楼的距离随时间的变化情况即可进行判断． 【解答】解：图象应分三个阶段，第一阶段：匀速跑步到操场，在这个阶段，离教学楼的距离随时间的增大而增大； 第二阶段：在操场停留了一段时间，这一阶段离教学楼的距离不随时间的变化而改变．故D错误； 第三阶段：沿原路匀速步行回教学楼，这一阶段，离教学楼的距离随时间的增大而减小，故A错误； 并且这段的速度小于第一阶段的速度，则C正确． 故选：C． 【变式1】（2025•西安校级开学）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速v（km/h）之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（　　） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9 B．当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60km/h D．若车速从25km/h增大到60km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04 【考点】函数的图象．版权所有 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【解答】解：由图象可得， 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9，故选项A说法正确，不符合题意； 当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，故选项B说法正确，不符合题意； 要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不超过60km/h，故选项C说法错误，符合题意； 若车速从25km/h增大到60km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04，故选项D说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2025•高新区校级开学）如图，是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，若以固定流量向蓄水池里注水，那么下列哪个图能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（　　） A． B． C． D． 【考点】函数的图象．版权所有 【分析】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积大，故h与t的关系变为先慢后快． 【解答】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先慢后快． 故选：D． 【题型六】一次函数的定义 【例1】（2025春•渭城区校级月考）下列函数为一次函数的有（　　） ①y＝x+6； ②y﹣x＝﹣2（x+1）； ③y＝﹣x2+4x﹣1； ④y＝4x． A．①②④ B．①③ C．①② D．②④ 【考点】一次函数的定义．版权所有 【分析】一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数，据此进行判断即可． 【解答】解：y＝x+6，y﹣x＝﹣2（x+1）整理得y＝﹣x﹣2，y＝4x符合一次函数的定义，它们是一次函数， 故选：A． 【例2】（2023秋•雁塔区校级月考）函数①y＝kx+b；②y＝2x；③；④；⑤y＝x2﹣2x+1．是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】一次函数的定义．版权所有 【分析】根据一次函数的定义对各函数进行逐一分析即可． 【解答】解：①y＝kx+b，当k＝0时，不是一次函数； ②y＝2x是一次函数； ③不是一次函数； ④是一次函数； ⑤y＝x2﹣2x+1不是一次函数； 所以是一次函数的有2个． 故选：B． 【变式1】（2024秋•雁塔区校级期中）函数①y＝kx+b；②y＝2x；③；④；⑤y＝x2﹣2x+1．其中是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】一次函数的定义．版权所有 【分析】形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数，由此判断即可． 【解答】解：①当k≠0，y＝kx+b才是一次函数； ②是一次函数； ③不是一次函数； ④是一次函数； ⑤不是一次函数； 故是一次函数的有②④，共2个， 故选：B． 【变式2】（2024秋•雁塔区校级月考）已知y关于x的函数是一次函数，则m的值为 　﹣1　 ． 【考点】一次函数的定义．版权所有 【分析】根据一次函数的概念求解可得． 【解答】解：根据题意知m2＝1且m﹣1≠0， 解得m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【变式3】（2025春•咸阳月考）已知函数y＝（m+3）x|m|﹣2+2m是一次函数，求m的值． 【考点】一次函数的定义．版权所有 【分析】利用一次函数的定义可得|m|﹣2＝1且m+3≠0，解得m的值即可． 【解答】解：由题意得|m|﹣2＝1且m+3≠0， 解得：m＝3． 【题型七】正比例函数的定义 【例1】（2025春•咸阳月考）下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝x2 B．y C．y D．y＝2x+3 【考点】正比例函数的定义．版权所有 【分析】根据正比例函数y＝kx（k≠0）求解． 【解答】解：A选项，y＝x2，x次数为2，是2次函数，不符合题意． B选项，y，x次数为1，系数为，是正比例函数，符合题意． C选项，y，x次数为﹣1，是反比例函数，不符合题意． D选项，y＝2x+3为一次函数，不符合题意． 故选：B． 【变式1】（2024秋•商洛期中）如果y＝x+4a﹣1是x的正比例函数，则a的值是（　　） A． B．0 C． D．﹣4 【考点】正比例函数的定义．版权所有 【分析】根据正比例函数的定义得到4a﹣1＝0，然后解一次方程即可． 【解答】解：∵y＝x+4a﹣1是x的正比例函数， ∴4a﹣1＝0， 解得a． 故选：A． 【变式2】（2024秋•秦都区校级月考）已知函数是正比例函数，则m的值是 　﹣2　 ． 【考点】正比例函数的定义．版权所有 【分析】形如y＝kx（k为常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，由此计算即可． 【解答】解：∵函数是正比例函数， ∴m2﹣3＝1且m+2＝0， 解得m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【课后练习】 1．（2024秋•灞桥区校级期中）函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≤2 B．x＜2 C．x＞2 D．x≥2 【考点】函数自变量的取值范围．版权所有 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x﹣2≥0， 解得x≥2． 故选：D． 2．（2015•石家庄二模）函数y中的自变量x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．x≠2 C．x＞1且x≠2 D．x≥1且x≠2 【考点】函数自变量的取值范围．版权所有 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0， 解得：x≥1且x≠2． 故选：D． 2．（2024春•邯郸期末）函数的自变量x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1 【考点】函数自变量的取值范围．版权所有 【分析】由题意可得x≥0且x﹣1≠0，解得x的取值范围即可． 【解答】解：由题意可得x≥0且x﹣1≠0， 解得：x≥0且x≠1， 故选：C． 3．（2024春•雁塔区校级月考）如图是关于变量x，y的计算程序，若开始输入x的值为3，则最后输出因变量y的值为 　156　 ． 【考点】函数值．版权所有 【分析】把x＝3代入x（x+1），如果结果大于15就输出，如果结果不大于15，就再算一次． 【解答】解：当x＝3时， x（x+1）＝3×（3+1）＝3×4＝12＜15， 当x＝12时， x（x+1）＝12×（12+1）＝12×13＝156＞15， ∴输出因变量y＝156． 故答案为：156． 4．（2024•西安校级模拟）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值： 输入x … 2 5 7 9 11 … 输出y … 5 4 10 16 22 … 根据以上信息，解答下列问题： （1）当输入的x值为﹣3时，输出的y值为 　﹣5　 ； （2）求k，b的值； （3）当输出的y值为6时，求输入的x值． 【考点】函数值；函数的概念．版权所有 【分析】（1）把x＝﹣3代入y＝2x+1，即可得到结论； （2）将（7，10），（5，4）代入y＝kx+b解方程即可得到结论； （3）解方程即可得到结论． 【解答】解：（1）当输入的x值为﹣3时，输出的y值为y＝2x+1＝2×（﹣3）+1＝﹣5， 故答案为：﹣5； （2）将（7，10），（5，4）代入y＝kx+b， 得， 解得； （3）把y＝6代入y＝2x+1， 得2x+1＝6， 解得， 把y＝6代入y＝3x﹣11， 得3x﹣11＝6， 解得， ∴输出的y值为6时，输入的x值为或． 5．（2025秋•高陵区校级月考）某水果店销售某种新鲜水果，出售量x（kg）与销售额y（元）之间的函数关系如图所示．若小强同学在该水果店一次购买25kg该种水果，需要付款 　220　 元． 【考点】函数的图象．版权所有 【分析】根据题意求出x＞10时与y与x之间的函数关系式，再把x＝25代入计算可得答案． 【解答】解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（x＞0）， 则， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝8x+20， 当x＝25时，y＝25×8+20＝220， ∴小强同学在该家水果店一次购买25kg该种水果，需要付款220元， 故答案为：220． 6．（2024秋•永寿县校级期中）已知函数y＝（m﹣1）1是一次函数，则m＝　﹣1　 ． 【考点】一次函数的定义．版权所有 【分析】根据一次函数的定义，令m2＝1，m﹣1≠0即可解答． 【解答】若两个变量x和y间的关系式可以表示成y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式， 则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）． 因而有m2＝1， 解得：m＝±1， 又m﹣1≠0， ∴m＝﹣1． 7．（2023秋•阜南县校级期中）已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7． （1）当m为何值时，y是x的一次函数？ （2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？ 【考点】一次函数的定义．版权所有 【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，可得答案； （2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【解答】解：（1）由y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数，得 ， 解得m＝﹣2． 故当m＝﹣2时，y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数； （2）当y＝3时，3＝﹣4x+5，解得x， 故当x时，y的值为3． 7．（2024秋•秦都区校级月考）已知y＝（m+1）x2﹣|m|+n+4，当m，n取何值时，y是x的一次函数？ 【考点】一次函数的定义．版权所有 【分析】根据一次函数的定义得出m+1≠0且2﹣|m|＝1，n+4为任何数，再求出答案即可． 【解答】解：当m+1≠0且2﹣|m|＝1时y＝（m+1）x2﹣|m|+n+4是一次函数， 解得：m＝1， n+4为任何数，y＝（m+1）x2﹣|m|+n+4都是一次函数 所以m＝1，n为任何数，y是x的一次函数． 8．（2023秋•西安期中）已知函数是一次函数，求m的值． 【考点】一次函数的定义．版权所有 【分析】根据一次函数的定义得出关于m的不等式组，求出m的值即可． 【解答】解：∵函数是一次函数， ∴， 解得m＝2． 9．（2023秋•金台区期末）若函数y＝（4+m）x+|m|﹣4是正比例函数，则m的值是 　4　 ． 【考点】正比例函数的定义．版权所有 【分析】根据正比例函数的定义可知4+m≠0且|m|﹣4＝0即可． 【解答】解：由题意知，4+m≠0且|m|﹣4＝0， 解得m＝4， 故答案为：4． 10．（2024秋•秦都区校级期中）若函数y＝（m﹣2）x+4﹣m2是关于x的正比例函数，则常数m的值是　﹣2　 ． 【考点】正比例函数的定义．版权所有 【分析】根据正比例函数的定义列式计算． 【解答】解：∵函数y＝（m﹣2）x+4﹣m2是关于x的正比例函数， ∴4﹣m2＝0，m﹣2≠0， 解得，m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 11．（2025•高陵区校级开学）若函数y＝（a+1）x+a2﹣1是关于x的正比例函数，求a的值． 【考点】正比例函数的定义．版权所有 【分析】根据正比例函数的定义得出关于a的方程和不等式，求出a的值即可． 【解答】解：∵函数是关于x的正比例函数， ∴a+1≠0，且a2﹣1＝0， ∴a＝1． 12．（2024秋•榆阳区校级期中）已知y关于x的函数y＝4x+m﹣3． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若m＝7，求该函数图象与x轴的交点坐标． 【考点】正比例函数的定义．版权所有 【分析】（1）根据正比例函数的定义即可得出m的值； （2）当m＝7时，函数为一次函数，令y＝0，即可得出图象与x轴的交点坐标． 【解答】解：（1）∵y是x的正比例函数，∴m﹣3＝0， 解得m＝3． 故m的值为：3． （2）当m＝7时，该函数的表达式为y＝4x+4， 令y＝0，得4x+4＝0， 解得x＝﹣1，∴当m＝7时，该函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $