18.1 分式及其基本性质 讲义 2024-2025学年人教版八年级数学上册

18.1 分式及其基本性质 18.1.1从分数到分式 分式概念 （1）引入分式概念要注意学生体会到引入分式的必要性，体会到分式比分数更有一般性，体会从具体到抽象，从特殊到一般的认识过程.分式的形式与分数有相同之处，分式是分数抽象化的结果分数． 例.在 ，，, , , ，，中，分式有；整式有. （2）强调分式中的分母中含有字母；强调分母不为0,见到分母首先想起分母不能为零. 例. 指出使下列分式有意义的字母取值范围. ①当时，分式有意义；②当_____时，有意义； ③当时，分式有意义；④当时，分式有意义； ⑤时，分式有意义；⑥当x、y满足关系时，分式有意义； ⑦当_____时，有意义． （3）分式的值为0的条件是：分子的值为0且分母的值不为0. 分式 =0满足：; 分式0满足：;分式0满足. 例.1当 x为何值时，下列分式的值为零 . ①②③④ 2．①当x时，分式的值为正. ② 若分式的值为正数，则x范围是. ③若分式的值为负，则x范围是. ④若分式的值为正，则x范围是. 3.若不论x取何值时，分式总有意义，则m. 18.1.2分式的基本性质 1.分式的基本性质 类比分数的基本性质，得出分式的基本性质． 分数的基本性质：分数的分子、分母乘（或除以）同一个不等于0的整数，分数的值不变. 分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变. 即：（）其中、、是整式. （1）认识分式基本性质的重要性是分式恒等变形的基础，是学习好分式的关键； 例如：化分数系数为整系数；化简符号；约分、通分的依据. 比较分式的基本性质与等式基本性质的异同点，避免学生在进行分式加减法和分式方程计算时发生混淆。 例如课本145页12题： （2）借助课本145页第5题研究归纳分式的变号法则： 分式本身及其分子、分母这三处的正负号中，同时改变两处，分式的值不改变. 即： 注意：因为分数线在分式中具有括号的作用，当分子或分母为多项式时，要把它看作一个整体，改变符号时，将多项式的各项都改变符号. 例. 1填空： （1）（2）= （3）（4） 2.下列变形是否正确？如果正确，说出是如何变形的？如果不正确，说明理由. （1）（2）（3） 3．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数 （1）（2）（3） 4．不改变分式的值，使下列分式的分子，分母都不含负号： (1) (2) (3) (4) 5．不改变分式的值,使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数. （1）（2） 6. 下列等式: ①②③④ 其中正确的有． 2.约分 （1）最简分式：分子、分母没有公因式的分式，叫做最简分式. （2）分式的约分 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分. ①约分的结果——使学生明确最简分式的要求 ②分式的分子、分母是单项式时，公因式是它们系数的最大公约数与公有字母的最低次幂的积 ③分式的分子、分母是多项式时，先进行因式分解，然后再约分 例1. 下列分式中，是最简分式的是　　　　（填序号）. 2.约分 3. 化简求值：,其中x=1,y=-2. 3. 通分 （1）最简公分母 分式的通分关键是确定几个分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫做最简公分母. 求最简公分母的步骤： ①因式分解；②系数：各分式分母系数的最小公倍数； ③字母：各分母的所有字母的最高次幂；④多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂； ⑤积：按上述条件取出的因式写成积的形式即为最简公分母. （2）分式的通分 利用分式的基本性质，将分子和分母乘同一个适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分. ①通分的依据：分式的基本性质. ②通分的关键：确定各分式的最简公分母. 例. 1.(1)分式，，的最简公分母是 . (2)分式,, 的最简公分母. 2.将下列各组中的分式通分 学科网（北京）股份有限公司 $