18.1分式及其基本性质（基础篇）讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

18.1分式及其基本性质 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 分式： 形如，是整式，中含有字母且不等于0的整式叫做分式.其中叫做分式的分子，叫做分式的分母. 分式有意义的条件： 分母不等于0. 分式的基本性质： 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变. 约分： 把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分. 通分： 异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分. 最简分式: 一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式. 型 习 练 题 分式的判断 1．代数式，，，，，中，分式的个数为（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的代数式即为分式．需逐一判断各代数式是否符合条件． 【详解】解：：分母为常数3，不含字母，是整式，不是分式． ：分母为，含字母，是分式． ：分母为，是常数，不含变量，是整式，不是分式． ：分母为，含字母，是分式． ：分母为，含字母和，是分式． ：分母为常数2，不含字母，是整式，不是分式． 综上，分式共有3个， 故选C． 2．在，，，，，中，分式的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，熟记分式定义是解题关键． 根据分式的定义（分母中含有字母的式子称为分式），逐一判断各式即可． 【详解】∵ 分式的定义是分母中含有字母， 的分母是常数，不含字母，∴ 不是分式； 的分母是，含字母，∴ 是分式； 的分母是常数，不含字母，∴ 不是分式； 是整式，无分母，∴ 不是分式； 的分母是，含字母，∴ 是分式； 的分母是，含字母和，∴ 是分式； ∴ 分式有3个． 故选：B． 3．在，，，中，是分式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键，判断分式的关键是看分母是否含有字母，常数分母不是分式； 根据分式的定义，分母中含有字母的式子称为分式，逐一检查各表达式的分母是否含有字母． 【详解】解：∵分式的定义是分母中含有字母的式子； 对于 ，分母是2，不含字母，故不是分式； 对于 ，分母是，含有字母，故是分式； 对于 ，分母是，是常数，不含字母，故不是分式； 对于 ，分母是，含有字母和，故是分式； ∴共有2个分式； 故选：B. 4．在式子，，，中，分式有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，关键是抓住分母中是否含有字母，注意常数（如或数字）作为分母时，不是分式；根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式，逐项判断分母是否含有字母． 【详解】解：对于，分母含有字母，是分式； 对于，分母是常数（圆周率），不含字母，不是分式； 对于，分母含有字母，是分式； 对于，分母是常数，不含字母，不是分式． ∴ 分式有2个． 故选：B． 5．下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的判定．分式是指分母中含有字母的代数式．选项B的分母中含有字母x，因此是分式． 【详解】解：∵ 分式需满足分母中含有字母， A、式子中，分母为常数5，无字母，不是分式，该选项不符合题意； B、式子中，分母为，含字母x，是分式，该选项符合题意； C、式子中，分母为常数5，无字母，不是分式，该选项不符合题意； D、式子中，为整式，分母无字母，不是分式，该选项不符合题意； 故选：B． 分式无意义的条件 6．已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（    ） 的值 0 1 2 3 的值 无意义 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式．根据表格信息，当时分式无意义，说明分母在时为零；当时分式值为零，说明分子在时为零．逐一验证选项，只有选项A同时满足这两个条件． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴分母含有，排除BD； ∵当时，分式值为零， ∴分子含有，排除C， ∴分式可能是A：， 故选：A． 7．若分式无意义，则应该满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义时，分母不为零，是解题的关键．根据要使分式无意义，，进行求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得：． 故选：B． 8．若分式无意义，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件．根据分式无意义，分母等于0列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意可得出， 解得：， 故选：D． 9．若分式无意义，则实数x的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式无意义的条件，根据分式无意义分母等于零列式求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得， 故选：B． 10．若分式无意义，则x的值为（    ）． A． B． C．2 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了分式无意义的条件“分式的分母等于0”，熟练掌握分式无意义的条件是解题关键．根据分式无意义的条件：分式的分母等于0求解即可得． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴， 故选：C． 分式有意义的条件 11．要使分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．分式有意义时，分母，据此求的取值范围即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：A． 12．若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的核心：分母不等于零． 根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求解不等式得到的取值范围，再匹配选项得出答案． 【详解】解：分式有意义的条件是分母不为零，对于分式，需满足分母，解得． 故选：C． 13．若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】解：∵分式在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故选：． 14．若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件是解决问题的关键． 根据分式有意义的条件是分母不为零，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：∵ 分式有意义， ∴ ， ∴， 故选：D． 15．若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件，由，解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 故选：A． 分式值为零的条件 16．若分式的值为0，则实数x应满足的条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键． 根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， ∴． 故选：B． 17．要使分式的值为零，则应满足条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式值为0的条件． 分式的值为零需分子为零且分母不为零． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴分子且分母， 解得（此时，满足条件）． ∴应满足， 故选：A． 18．若分式的值是零，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值为零的条件和分式有意义的条件，先根据分式的值为零的条件和分式有意义的条件得出分子且分母，再求出答案即可． 【详解】解：∵ 分式的值为零， ∴ 分子且分母， 由得， ∴ 或， 当时，分母，不符合条件， ∴ ， 故选：D． 19．使分式值为0的的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式值为零的条件，解题关键是同时满足分子为零且分母不为零． 要使分式值为0，需先满足分子等于0，再确保分母不为0，从而求出x的值即可． 【详解】∵分式值为0， ∴分子，解得， 又∵当时，分母， ∴满足条件． 故选：D． 20．若分式的值为零，则的值是（   ） A． B． C． D．或0 【答案】C 【分析】此题主要考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0；分母不为0．这两个条件缺一不可． 根据分式值为零的条件可得且，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得：． 故选：C 判断分式变形是否正确 21．分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，通过提取分母中的负号，将分式简化即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴ 变形后为：， 故选：C． 22．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，直接利用分式的基本性质对选项逐一判断即可． 【详解】解：A、=，故错误； B、，故错误； C、，故错误； D、，故正确； 故选：D． 23．下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，通过检查每个等式的恒等性，使用分式的基本性质和指数运算法则判断即可． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意； B、与在x不为零时不一定相等（如，左边，右边），故B错误，不符合题意； C、， （当时），故C正确，符合题意； D、 （如时，左边，右边），故D错误，不符合题意； 故选：C． 24．式子：（1）；（2）；（3）．其中正确的是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变是解题的关键．分别对三个式子进行分式变形的分析，判断其正确性． 【详解】解：（1）．故（1）错误； （2）．故（2）错误； （3）分子、分母同时乘以，分式的值不变，即．故（3）正确． 综上所述，正确的变形有1个． 故选：B． 25．对下列分式约分，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简，分别根据分式的基本性质进行化简得出即可． 【详解】解：A、，故此选项正确，符合题意； B、是最简分式，无法变形或化简，故此选项错误，不符合题意； C、分子 与分母无公因式，所以不能约分为，故此选项错误，不符合题意； D、分子与分母无公因式，所以是最简分式，无法变形或化简，故此选项错误，不符合题意； 故选：A． 约分 26．计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的约分，根据分式的基本性质，进行约分即可． 【详解】解：； 故选B． 27．下列从左到右的分式变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质以及因式分解的应用，熟练掌握分式的基本性质（分子分母同乘或除以不为的整式，分式值不变）是解题的关键． 依次对每个选项依据分式的基本性质（分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为的整式，分式的值不变）以及因式分解、分式化简等知识进行分析判断． 【详解】解：的分子分母同时乘以，应为，故A项错误． 当时，的分母为，分式无意义，不满足分式基本性质中“乘以同一个不为的整式”，故B项错误． ∵（，即），分子分母同时约去， ∴，故C项正确． 与没有公因式，不能约分，，故D项错误． 故选：． 28．下列分式的约分，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了约分，根据分式约分的法则逐项分析即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、不能约分，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 29．下列各式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的变形，在分式中，无论进行何种运算，如果要不改变分式的值，则所做变化必须遵循分式基本性质的要求． 根据分式的基本性质，对四个选项逐个进行判断，即可得出结论． 【详解】A． ，故选项A计算错误； B．该分式的分子、分母是“和”的形式，不能进行约分，，故B计算错误； C． ，故C正确； D．分式的分子不能进行分解因式，所以该分式不能进行约分，，故D错误． 故选C． 30．约分的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的约分，熟练掌握分式的约分是解题的关键．分子分母同时约去即可． 【详解】解：． 故选：B． 最简分式 31．下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．通过检查各选项分子和分母是否能约分即可判断． 【详解】选项A：分子与分母无公因式，是最简分式，故符合题意； 选项B：分母=，与分子有公因式，可约分，故不符合题意； 选项C：分子6与分母有公因数2，可约分，故不符合题意； 选项D：分母=，与分子有公因式，可约分，故不符合题意； 故选：A． 32．下列分式中是最简分式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式．通过检查各选项分子和分母的公因式情况即可判断． 【详解】A．，故不是最简分式； B．，分子与分母无公因式（平方和不能因式分解），故是最简分式； C．，故不是最简分式； D．，故不是最简分式． 故选：B． 33．分式、、、中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简分式的判断，分子和分母没有公因式的分式 叫做最简分式，据此判断即可． 【详解】解：的分子、分母没有公因式，故是最简分式； 的分子、分母有公因式，故不是最简分式， 的分子、分母没有公因式，故是最简分式； 的分子、分母有公因式，故不是最简分式， 故最简分式有2个， 故选：B． 34．下列分式中，是最简分式的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式的定义．最简分式是指分子与分母没有公因式的分式，要判断哪个分式是最简分式，需依次分析每个选项的分子与分母是否有公因式，若没有公因式则为最简分式． 【详解】、，不是最简分式，不符合题意； 、是最简分式，符合题意； 、，不是最简分式，不符合题意； 、，不是最简分式，不符合题意； 故选：． 35．若是一个最简分式，则可以表示的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，先把分母因式分解，然后根据最简分式的定义进行判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 根据题意可得可以表示的式子是， 故选：C． 最简公分母 36．把分式与通分，它们的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的最简公分母，熟练掌握最简公分母的定义是解题的关键．最简公分母是分母系数的最小公倍数与各变量最高次幂的乘积． 【详解】解：分母和的系数4和6的最小公倍数为12，变量的最高次幂为，变量的最高次幂为， 最简公分母为， 故选：A． 37．分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．当各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． 【详解】解：分式与的最简公分母是； 故选A． 38．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的最简公分母的确定，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】解：，， ∴分式，的最简公分母是， 故选：D． 39．分式、、的最简公分母为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简公分母、平方差公式，首先利用平方差公式分解因式，可得：，再根据最简公分母的找法：系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在一个分母中出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式，据此求解即可． 【详解】解：分式、、的分母分别为、、， 三个分式的最简公分母为． 故选： C． 40．分式与分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．根据最简公分母的概念解答． 【详解】解：， 分式与分式的最简公分母是， 故选：C 通分 41．已知，，则的值 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的求值，解题的关键是熟练掌握异分母分式相加减就，先通分，变为同分母的分式，再加减． 根据分式的加减法则“异分母分式相加减就，先通分，变为同分母的分式，再加减”得原式等于，再根据进行完全平方即可得，进行计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ． 故选C． 42．化简结果正确的是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式加减，解题的关键是熟练掌握异分母分式加减运算法则． 根据异分母分式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故选：C． 43．已知和是一元二次方程的两个实数根，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 利用根与系数的关系，可得出，将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：D． 44．在计算通分时，分母确定为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将分母因式分解，进而确定公分母即可． 【详解】， 计算通分时，分母确定为． 故选B 【点睛】本题考查了找最简公分母，先将分母因式分解是解题的关键． 45．计算的正确结果是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了． 【详解】原式 . 故选B． 【点睛】本题考查分式的通分和分式的约分的运用，解题关键在于在解答的过程中注意符号的运用及平方差公式的运用． 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18．若分式的值是零，则的值是（   ） A． B． C． D． 19．使分式值为0的的取值是（    ） A． B． C． D． 20．若分式的值为零，则的值是（   ） A． B． C． D．或0 判断分式变形是否正确 21．分式可变形为（   ） A． B． C． D． 22．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 23．下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 24．式子：（1）；（2）；（3）．其中正确的是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 25．对下列分式约分，正确的是（   ） A． B． C． D． 约分 26．计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 27．下列从左到右的分式变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 28．下列分式的约分，正确的是（   ） A． B． C． D． 29．下列各式，正确的是（   ） A． B． C． D． 30．约分的结果是（   ） A． B． C． D． 最简分式 31．下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 32．下列分式中是最简分式的是（    ）． A． B． C． D． 33．分式、、、中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．下列分式中，是最简分式的是 （    ） A． B． C． D． 35．若是一个最简分式，则可以表示的式子是（   ） A． B． C． D． 最简公分母 36．把分式与通分，它们的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 37．分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 38．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 39．分式、、的最简公分母为（   ） A． B． C． D． 40．分式与分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 通分 41．已知，，则的值 （   ） A． B． C． D． 42．化简结果正确的是（    ） A．1 B． C． D． 43．已知和是一元二次方程的两个实数根，则（    ） A． B． C．6 D． 44．在计算通分时，分母确定为（    ） A． B． C． D． 45．计算的正确结果是(   ) A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $