精品解析：安徽省皖豫联考2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知扇形的面积为，圆心角为1弧度，则扇形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形的弧长、面积、周长公式求解即可. 【详解】记扇形的弧长、半径、圆心角分别为，，，， 则扇形的面积为，解得，则弧长为， 所以扇形的周长为． 故选：D 2. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，再根据集合的包含关系列不等式求解即可. 【详解】集合，， 因为，所以，解得. 故选：B. 3. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，则向量用基底，表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算即可得解. 【详解】由题图可设，，， 设，则故． 故选：D 4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由空间线面位置关系即可判断. 【详解】若，，则或． 当时，则，所以，充分性成立； 当时，即时，和可能平行，可能相交，也可能线在面内，必要性不成立． 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 5. 已知圆台的母线所在的直线和底面所成的角为，且该圆台的上、下底面的面积分别为和，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆台的性质，先求出上下底面半径，再根据已知条件求出圆台的高，最后利用圆台的体积公式求解． 【详解】 设圆台的上、下底面半径分别为，， 圆台的上、下底面的面积分别为和， ，解得， 又圆台的母线所在的直线和底面所成的角为， 圆台的高， 圆台的体积为． 故选：C． 6. 如图，在正四棱锥中，，，是棱上一动点，是棱上一点，且，则两线段，的长度的和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把沿展开后，，，三点共线时，最小，计算即可得. 【详解】如图，把沿展开，使，，，，五点共面． 当，，三点共线时，的值最小， 由正四棱锥性质可得， 则展开图中到的距离， 又，则， 此时． 故选：B. 7. 记数列的前项和为，，，则（ ） A. 9 B. C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据递推数列求出是周期为2的数列，然后求出前25项和. 【详解】由，得， 令，则，所以，， 所以，所以是周期为2的数列． 由题设易得，所以． 故选：D. 8. 已知某圆锥的轴截面是钝角三角形，记该钝角三角形的腰长为，若过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】画图，的面积可表示为，根据三角函数性质可得当时，截面面积取得最大值，即可得到结果. 【详解】如图，是圆锥的轴截面，依题意可得， 过该圆锥顶点的任意截面的面积可表示为， 易知当时，截面面积取得最大值，所以，解得． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数与都是纯虚数，则（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数是 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算和复数的概念进行求解即可. 【详解】设（，且）， 则， 因为是纯虚数，所以，（舍去）， 所以， 对于A：的虚部为1，所以A错误； 对于B：，所以B正确； 对于C：，所以C正确； 对于D：，所以D错误． 故选：BC. 10. 在长方体中，是的中点，（，），则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由空间向量加法法则即可求解. 【详解】因为，故，． 故选：BD 11. 如图，在四边形中，，，将沿折起至的位置，使，是的中点，是的中点，则（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. D. 直线和平面所成的角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】连接，，通过勾股定理得到，进而得到平面，可判断A，C，由等体积法可判断B，取的中点，连接，,得到就是直线和平面所成的角，可判断D. 【详解】，所以，如图，连接，， 在四面体中，，， 是的中点，则，， 且，，又， 所以，所以， 又因为，，平面， 所以平面，所以，故A选项正确； 由A项的分析知，又，所以，故C选项正确； 设点到平面的距离为， 由几何体的等体积法得，解得，故B选项错误； 因为，，为平面内两条相交直线， 所以平面，取的中点，连接，， 可知，所以平面，在平面内， ，， 所以就是直线和平面所成的角， 在中，，故D选项正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，且，则的最大值为______． 【答案】81 【解析】 【分析】根据基本不等式可解 【详解】因为，，所以， 当且仅当时等号成立，即，故． 故答案为：81 13. 如图，桌面上的无盖正方体容器内装有高度为的水，．现将容器绕着棱所在直线顺时针旋转，当容器中溢出的水刚好装满一个半径为的半球形玻璃瓶时，容器内水面交棱于，且．若不考虑容器厚度及其他因素影响，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由长方体、棱柱与球的体积公式列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可知当旋转且水溢出后，剩余的水在正方体容器中形成一个三棱柱， 故由长方体、棱柱与球的体积公式可知， 解得． 故答案为： 14. 已知在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据边长关系得到，进而可得到平面，再根据正弦定理即可得到结果. 【详解】因为，所以． 又因为，，所以平面， 所以该三棱锥的外接球的球心到平面的距离为． 设三棱锥的外接球的半径为，的外接圆的半径为， 在中，由正弦定理得，解得， 所以，故该三棱锥的外接球的表面积． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若曲线在原点处的切线与直线垂直，求的零点个数． （2）若在区间上不单调，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得，由，求得，得到，结合且，即可求解； （2）假设在区间上单调，转化为或恒成立，求得的取值范围，进而得到答案. 【小问1详解】 解：由函数，可得，则， 因为曲线在原点处的切线与直线垂直， 可得，即解得，所以， 又由恒成立，所以是上的增函数． 因为，所以只有1个零点． 【小问2详解】 解：假设在区间上单调，则或恒成立， 当，即时，在上单调递增； 当，即时，在上单调递减． 综上，若在区间上不单调，则实数的取值范围为． 16. 如图，在等腰梯形中，，，，为的中点，将沿折起至的位置，使平面平面．在四棱锥中，是（不含端点）上的一个动点． （1）设平面平面，证明：． （2）若直线和所成的角的余弦值为，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定与性质证明线线平行． （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线夹角，确定点的位置，再通过等体积法求三棱锥体积即可． 【小问1详解】 因为，平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． 【小问2详解】 根据题意可得是边长为的等边三角形，如图， 在上取中点，连接，则． 又平面平面，平面平面， 平面，所以平面． 由题意可知，底面是边长为4的菱形，且， 则，故以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，，，． 设（），可得，所以． 由，， 解得，故为的中点． 则有，， 因此， 又平面的一个法向量为，， 所以点到平面的距离， 所以． 故三棱锥的体积为． 17. 如图，在棱长均相等的平行六面体中，平面，二面角的大小为60°，是棱的中点． （1）证明：． （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过运用线面垂直的定理进行证明即可. （2）建立空间直角坐标系，运用坐标求出平面、平面的法向量，然后根据向量夹角的余弦公式求出余弦值，进而求得正弦值. 【小问1详解】 因为平面，，所以平面， 所以，，是二面角的平面角，即． 又，所以是等边三角形． 连接，因为是棱的中点，所以． 又，所以． 又，平面，， 所以平面，所以平面． 又平面，所以． 【小问2详解】 设，取的中点，连接，，， 则，可得，，． 又，所以平面， 故以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，， ，， 设平面，平面的法向量分别为，， 则，令，得， ，令，得， 所以， 故二面角的正弦值为． 18. 在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对原等式进行展开化简，即可求出. （2）根据三角形面积公式和余弦定理求出三角形边长. （3）根据正弦定理将的表达式列出来，然后根据三角函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 在中，， . 所以 所以 所以 所以，所以． 因为，所以，所以． 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，． 由余弦定理，得， 所以，所以，所以， 所以的周长为． 【小问3详解】 由正弦定理， 得，， 所以． 因为为锐角三角形，且，所以，所以． 因为函数在上单调递增，所以， 所以，所以的取值范围是． 19. 如图，在直四棱柱中，，，，，是的中点，是上的一个动点，点在上，且满足． （1）证明：． （2）证明：平面平面． （3）试问：是否存在，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，分别写出的坐标，计算即可； （2）分别求出平面与平面的法向量，证明两法向量垂直即可； （3）假设存在，由，结合点的位置，即可求出的值. 【小问1详解】 如图，过点作，交于点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，． 又为的中点，点在上，且满足，则 ，，，， , 所以， 所以． 【小问2详解】 由（1）知，， 设为平面的法向量， 则， 令，得平面的一个法向量． ，， 设为平面的法向量， 则， 令，得平面的一个法向量 因为， 所以， 所以平面平面． 即平面平面． 【小问3详解】 假设存在，，，四点共面，即点在平面内，则． 又（，），，，， 所以， ， 解得． 又因为，，三点共线，所以，所以，， 故存在，，，四点共面，且，即． 因为， 所以，即的值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知扇形的面积为，圆心角为1弧度，则扇形的周长为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，则向量用基底，表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知圆台的母线所在的直线和底面所成的角为，且该圆台的上、下底面的面积分别为和，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正四棱锥中，，，是棱上一动点，是棱上一点，且，则两线段，的长度的和的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 记数列的前项和为，，，则（ ） A. 9 B. C. 10 D. 8. 已知某圆锥的轴截面是钝角三角形，记该钝角三角形的腰长为，若过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数与都是纯虚数，则（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数是 C. D. 10. 在长方体中，是的中点，（，），则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在四边形中，，，将沿折起至的位置，使，是的中点，是的中点，则（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. D. 直线和平面所成的角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，且，则的最大值为______． 13. 如图，桌面上的无盖正方体容器内装有高度为的水，．现将容器绕着棱所在直线顺时针旋转，当容器中溢出的水刚好装满一个半径为的半球形玻璃瓶时，容器内水面交棱于，且．若不考虑容器厚度及其他因素影响，则______． 14. 已知在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若曲线在原点处的切线与直线垂直，求的零点个数． （2）若在区间上不单调，求实数的取值范围． 16. 如图，在等腰梯形中，，，，为的中点，将沿折起至的位置，使平面平面．在四棱锥中，是（不含端点）上的一个动点． （1）设平面平面，证明：． （2）若直线和所成的角的余弦值为，求三棱锥的体积． 17. 如图，在棱长均相等的平行六面体中，平面，二面角的大小为60°，是棱的中点． （1）证明：． （2）求二面角的正弦值． 18. 在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，求的取值范围． 19. 如图，在直四棱柱中，，，，，是的中点，是上的一个动点，点在上，且满足． （1）证明：． （2）证明：平面平面． （3）试问：是否存在，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $