湖北省黄冈中学2026届高三实验班上学期11月月考数学试题

黄冈中学2026届实验班高三上学期11月数学月考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知命题，则（　　） A．是假命题， B．是假命题， C．是真命题， D．是真命题， 2.已知设，则，则的最小值为（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．若直线过点，则该直线在轴、轴上的截距之和的最小值为(　　) A．1 B．4 C．2 D．8 4．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ） A．若，，，则直线与一定平行 B．若，，，则直线与可能相交、平行或异面 C．若，，则直线与一定垂直 D．若，，，则直线与一定平行 5．已知随机变量，若，则( ) A． B． C． D． 6．已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，函数是偶函数，函数的图象关于直线对称，若当时，，则（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 8．在正方体中，，为的中点，点在线段（不含端点）上运动，点在棱上运动，为空间中任意一点，则下列结论不正确的是（     ） A．异面直线与所成角的取值范围是 B．若，则三棱锥体积的最大值为 C．的最小值为 D．平面 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．对于正项数列，定义 为数列的“匀称值”.已知数列的“匀称值”为，的前项和为，则下列关于数列的描述正确的有（　　） A．数列为递增数列 B．数列为等差数列 C． D．记，当且仅当n=3时取最大值 10．已知锐角三角形中，角的对边分别为，有，则的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（    ） A．三棱锥的外接球表面积为 B．动点的轨迹的线段为 C．三棱锥的体积为定值 D．若过，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知正方形的边长为，对角线、相交于点，动点满足，若，其中、．则的最大值为_______． 13.设O为坐标原点，F1、F2是的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2=60°，，则该双曲线的离心率为________. 14．数列满足，记，则的最大值为　　____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）在数学模拟考试中共有10道选择题，每题5分，满分50分.每题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的，每题答对得5分，不答或答错得0分.某考生前7道题已经选了正确答案，第8，9两道题只能排除两个选项是错误的，第10道题因不会而乱猜. （1）求该学生选择题得45分的概率；（2）设该学生得分值为随机变量，求的分布列和期望. 16．（15分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，延长BC至M，使得，，且． (1)求的值；(2)求的面积． 17.（15分）如图，直三棱柱的所有棱长都是2，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值. 18．（17分）已知抛物线：的焦点为，抛物线上的点到准线的最小距离为2. （1）求抛物线的方程； （2）若过点作互相垂直的两条直线，，与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点，，分别为弦，的中点，求的最小值. 19．（17分）已知函数. （1）若在处的切线方程为，求实数，的值； （2）求证：当时，在上有两个极值点； （3）设，若在单调递减，求实数的取值范围.（其中为自然对数的底数） 黄冈中学2026届实验班高三上学期11月数学月考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知命题，则（　　） A．是假命题， B．是假命题， C．是真命题， D．是真命题， 【答案】D【详解】设，则.由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值为.所以对恒成立.所以成立，即命题为真命题.因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以. 2.已知设，则，则的最小值为（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A【详解】由，可得，可令，则（为锐角，且）由，可得,则的最小值为3. 3．若直线过点，则该直线在轴、轴上的截距之和的最小值为(　　) A．1 B．4 C．2 D．8 【答案】B【详解】因为直线过点，所以因为直线在轴的截距为，在轴上的截距为，所以直线在轴、轴上的截距之和的最小值为，所以当时取最小值，最小值为． 4．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ） A．若，，，则直线与一定平行 B．若，，，则直线与可能相交、平行或异面 C．若，，则直线与一定垂直 D．若，，，则直线与一定平行 【答案】C【详解】对于A选项，若，，，则直线、相交、平行或异面，A选项错误；对于B选项，设直线、的方向向量分别为、，因为，，则为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，因为，则，即，但m与n不可能平行，B选项错误； 对于C选项，设直线、的方向向量分别为、，因为，则为平面的一个法向量，，则，即，C选项正确；对于D选项，若，，，则直线与平行或异面，D选项错误. 5．已知随机变量，若，则( ) A． B． C． D． 【答案】D【详解】随机变量，由，得，解得或.. 6．已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】函数，，的零点，即为函数分别与函数、、的图象交点的横坐标. 如图所示：由图可得. 7．已知函数的定义域为，函数是偶函数，函数的图象关于直线对称，若当时，，则（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C【详解】因为为偶函数，所以，即，故的图象关于直线对称，由的图象关于直线对称得，即对任意恒成立，则，所以图象关于点对称. 又，所以，即，所以，所以是周期为6的周期函数. 又当时，的图象关于直线对称，所以当时，，所以，， 所以， 所以 ． 8．在正方体中，，为的中点，点在线段（不含端点）上运动，点在棱上运动，为空间中任意一点，则下列结论不正确的是（     ） A．异面直线与所成角的取值范围是 B．若，则三棱锥体积的最大值为 C．的最小值为 D．平面 【答案】B【详解】对于A，如下图所示： 易知为平行四边形，则，所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角，又点在线段（不含端点）上运动， 可知是等边三角形，当点趋近于两端时，直线与所成的角大于且趋近于，当点为的中点时，直线与所成的角为，所以异面直线与所成角的取值范围是，即A正确； 对于B，若，又，所以在同一平面内，点的轨迹是以为焦点的椭圆. 又因为为空间中任意一点，所以点的轨迹是长轴为，短轴为，焦距的椭球表面. 当点在中点的正上方时，点到平面的距离最大为，由等体积法可知，所以三棱锥的体积最大值为，即B错误； 对于C，如下图所示： 展开平面，使平面与平面共面，过作，交于点，交于点，此时三点共线，满足取最小值，由题可得，所以，即的最小值为，即C正确； 对于D，如下图所示： 易知，平面，平面，所以平面； 同理可得平面，又，且平面， 所以平面平面，又平面，所以平面，即D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．对于正项数列，定义 为数列的“匀称值”.已知数列的“匀称值”为，的前项和为，则下列关于数列的描述正确的有（　　） A．数列为递增数列 B．数列为等差数列 C． D．记，当且仅当n=3时取最大值 【答案】ABC【详解】由已知可得，所以， 所以时，，得时，，即时，，当时，，满足．所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，故B正确，该等差数列是递增数列，所以A正确，所以，所以 故，故C正确． ，假设是最大项，则有，因此数列有最大项为，故D不正确. 10．已知锐角三角形中，角的对边分别为，有，则的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD【详解】由，则，则，根据正弦定理得，，则，所以或.当时，， 因为为锐角三角形，则，解得，则； 当时，由，则，即，此时条件中的分母为0，表达式无意义，故舍去. 综上所述，的取值范围为. 11．如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（    ） A．三棱锥的外接球表面积为 B．动点的轨迹的线段为 C．三棱锥的体积为定值 D．若过，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为 【答案】ACD【详解】对于A：由题意可知：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径，所以三棱锥的外接球表面积为，故A正确； 对于B：如图分别取，的中点，，连接，，，， 由正方体的性质可得，且平面，平面，所以平面. 同理可得：平面， 且，，平面，所以平面平面， 而平面，所以平面，所以点的轨迹为线段，长度为，故B不正确； 对于C：由选项B可知，点的轨迹为线段，因为平面，则点到平面的距离为定值，同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D：如图，设平面与平面交于，在上. 因为截面平面，平面平面，所以，同理可证，所以截面为平行四边形，所以点为的中点. 在四棱锥中，侧棱最长，且，设棱锥的高为，因为，所以四边形为菱形，所以的边上的高为面对角线的一半，即为，又，则，， 所以，解得，综上，可知长度的取值范围是，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知正方形的边长为，对角线、相交于点，动点满足，若，其中、．则的最大值为_______． 【答案】【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、、、，，即点，因为，则点在以为圆心，半径为的圆上. 设点，则，则，整理可得，所以，其中，，所以，，整理可得，解得，因此，的最大值为. 13.设O为坐标原点，F1、F2是的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2=60°，，则该双曲线的离心率为________. 【答案】【详解】不妨设在左支上，，则，因为是三角形的中线，又，所以，所以有，化简得，整理得，又因为∠F1PF2=60°，由余弦定理得，，整理得，所以，化简得，所以. 14．数列满足，记，则的最大值为　　_____． 【答案】【详解】因为，，，所以设，， ， ， ，当，时取等号，故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）在数学模拟考试中共有10道选择题，每题5分，满分50分.每题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的，每题答对得5分，不答或答错得0分.某考生前7道题已经选了正确答案，第8，9两道题只能排除两个选项是错误的，第10道题因不会而乱猜. （1）求该学生选择题得45分的概率；（2）设该学生得分值为随机变量，求的分布列和期望. 【详解】（1）设该考生答对第8，9，10道题的事件分别是，，，那么，， 该学生得45分即在第8，9，10道题中答对两道题，事件为， 那么 . （2）随机变量可以取35，40，45，50，， ，，. 随机变量的分布列是 35 40 45 50 所以. 16．（15分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，延长BC至M，使得，，且． (1)求的值；(2)求的面积． 【答案】(1)(2)【难度】0.65 【详解】（1）由， 根据正弦定理得， 则. 又，则，即，所以，则，由于，则，，， 因为，所以， 在中，由正弦定理得，则，则.   （2）由（1）知，，，，设，则，， 在中，由余弦定理得， 则，即， 所以. 17.（15分）如图，直三棱柱的所有棱长都是2，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. 【详解】（1）如图所示，取的中点，连接， 由直三棱柱的所有棱长都是2，是中点，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面. 由分别为的中点，可得,可得，，两两垂直. 以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，可得，. ∵，，∴，. 又，∴平面. （2）由（1）可得平面，则，即为平面的一个法向量，又由，设直线与平面所成的角为，可得，所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设平面的法向量，因为，可得 ，即，不妨取，得.设二面角的平面角为，由，所以二面角的余弦值为. 18．（17分）已知抛物线：的焦点为，抛物线上的点到准线的最小距离为2. （1）求抛物线的方程； （2）若过点作互相垂直的两条直线，，与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点，，分别为弦，的中点，求的最小值. 【答案】（1）；（2）32. 【详解】（1）因为抛物线上的点到准线的最小距离为2，所以，解得，故抛物线的方程为. （2）焦点为，，所以两直线，的斜率都存在且均不为0. 设直线的斜率为，则直线的斜率为，故直线的方程为，联立方程组消去，整理得.设点.，则. 因为为弦的中点，所以.由，得，故点.同理可得. 故，. 所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为32. 19．（17分）已知函数. （1）若在处的切线方程为，求实数，的值： （2）求证：当时，在上有两个极值点： （3）设，若在单调递减，求实数的取值范围.（其中为自然对数的底数） 【答案】（1）；.（2）见解析（3） 【详解】（1）函数.则，由条件知，所以，，所以切点坐标为.把代入，解得. （2）证明：令，则，所以在单调递减，在单调递增.因为，所以. 又，所以在有一个零点. 又，令，则， 所以在单调递减，故，即，所以在有一个零点.于是可知：当时，，单调递增；当时， ，单调递减；当时，，单调递增. 因此，在上有两个极值点（在处取得极大值，在处取得极小值）. （3），令， 则，令，当时，，单调递增，，所以，在单调递增，于是可得， ①若，则，， 因为在单调递减，所以 ，令， 当时，，故单调递减，所以，解得， ②若，则，. 因为在单调递减，所以，当，时，，所以，即，满足题设. ③若，则存在唯一确定的，使得.当时，，即存在，，但，这与在单调递减矛盾，不合题意. 综上所述，. 黄冈中学2026届实验班数学试题 第13页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $