精品解析：安徽省安庆市外国语学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

安庆市外国语学校25—26学年第一学期 九年级期中考试数学试卷 （满分150分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分） 1. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键． 【详解】解：的顶点坐标为， 故选：． 2. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设x=4k，y=3k，然后代入化简即可. 【详解】设x=4k，y=3k， ∴. 故选B. 【点睛】本题考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，然后消掉所设的未知数，即可求得所给代数式的值，本题较为简单，属于基础题． 3. 下列抛物线中，开口最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，绝对值越小，开口越大，据此解题即可． 【详解】解：∵ 二次函数 的开口大小取决于 ， 越小，开口越大； A：； B：； C：； D：； ∴ 最小的是选项A，故开口最大的是选项A中的抛物线． 故选：A． 4. 如表中列出了二次函数的、的一些对应值，则一元二次方程的一个解的范围是（ ） … 0 1 … … 1 1 … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与对应一元二次方程的关系，由表格数据可知，当时，，当时，，可得函数的图象在x轴的交点横坐标的范围是，即可得到一元二次方程一个解的范围． 【详解】解：由表格数据可知，当时，，当时，． ∴函数的图象在x轴的交点横坐标的范围是， 即一元二次方程的一个解的范围是． 故选：C． 5. 下列图形中不一定是相似图形的是（ ） A. 两个等边三角形 B. 两个等腰直角三角形 C. 两个菱形 D. 两个正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似多边形的定义判断即可． 【详解】因为两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等， 所以两个等边三角形一定相似， 故A不符合题意； 因为两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等， 所以两个等腰直角三角形一定相似， 故B不符合题意； 因为两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等， 所以两个菱形不一定相似， 故C符合题意； 因为两个正方形的对应边成比例，对应角相等， 所以两个正方形一定相似， 故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了相似多边形即对应边成比例，对应角相等的两个多边形，熟练掌握定义是解题的关键． 6. 已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ） A. （2，3） B. （-2，3） C. （3，0） D. （-3，0） 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k=xy，逐项判定即可． 【详解】解：∵反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，, ∴k=xy<0， A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意； C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 7. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知，因为点为的黄金分割点， 所以． 因为， 所以， 所以， 故选：C． 8. 已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，开口方向，再判断点关于对称轴的对称点，最后根据抛物线的性质得出答案． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，对称轴为. 由点关于对称轴的对称点是， 在对称轴的左侧，y随x得增大而减小， ∵（时，y最小）， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像和性质，掌握对称轴左右的性质是解题的关键． 9. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数y（b≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象大致是（　　） A. AI B. AI C. AI D. AI 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案． 【详解】A、抛物线y＝ax2+bx开口方向向上，则a>0，对称轴位于轴的右侧，则a，b异号，即b<0．所以反比例函数y的图象位于第二、四象限，故本选项错误； B、抛物线y＝ax2+bx开口方向向上，则a>0，对称轴位于轴的左侧，则a，b同号，即b>0．所以反比例函数y的图象位于第一、三象限，故本选项错误； C、抛物线y＝ax2+bx开口方向向下，则a<0，对称轴位于轴的右侧，则a，b异号，即b>0．所以反比例函数y的图象位于第一、三象限，故本选项错误； D、抛物线y＝ax2+bx开口方向向下，则a<0，对称轴位于轴的右侧，则a，b异号，即b>0．所以反比例函数y的图象位于第一、三象限，故本选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象，要熟练掌握二次函数，反比例函数中系数与图象位置之间关系． 10. 如图，锐角中，，，两动点、分别在边、上滑动，且，以为边向作正方形，设其边长为，正方形与公共部分的面积为，则与的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况：①公共部分全在内；②公共部分的一部分在内，另一部分在外．方法一：先利用相似三角形的性质求出在边上时的值，再利用正方形和长方形的面积公式求出与的函数关系式即可得；方法二：先利用面积法求出在边上时的值，再利用正方形和长方形的面积公式求出与的函数关系式即可得． 【详解】如图，过点作于点， ，， ， 解得， 方法一：当在边上时，则的边上的高为， ， ，即， 解得， 由题意，分以下两种情况： ①当公共部分全在内，即时， 则； ②当公共部分的一部分在内，另一部分在外，即时， 如图，设交于点，且，则， ， ，即， 解得， 则， 由此可知，与的函数图象大致是选项的图象； 方法二：当在边上时，则的边上的高为，， ， ， 即， 解得， 由题意，分以下两种情况： ①当公共部分全在内，即时， 则； ②当公共部分的一部分在内，另一部分在外，即时， 如图，设交于点，且，则， ， ， 解得， 则， 由此可知，与的函数图象大致是选项的图象； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的图象等知识点，正确分两种情况讨论，并求出临界位置时的值是解题的关键． 二、填空题（本大题4题，每题5分，共20分） 11. 在比例尺1：500000的地图上，量得A、B两地的距离为4cm，则A、B两地的实际距离是___千米． 【答案】20 【解析】 【分析】根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离． 【详解】解：设实际距离为xcm，则： 1：500000＝4：x， 解得x＝2000000． 2000000cm＝20000m＝20km． 故答案为：20． 【点睛】此题考查了比例尺的性质，比例尺是图上距离比实地距离缩小的程度．解题关键是掌握比例尺的定义，注意单位要统一． 12. 若是关于x的二次函数，则m的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，理解其定义是解题的关键． 根据二次函数的定义解题即可． 【详解】解：由题意知，， 解得：． 故答案为： ． 13. 如图，D是的边上一点，已知，，，若的面积为a，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键 ．先证，再根据即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ，即， ， 故答案为：． 14. 如图，反比例函数，在第一象限的图象，过上任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，过点A作x轴的垂线交于点D，交x轴于点E，连接，，则：①________；②的面积为________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，根据 证出是解题的关键．设点A的坐标为，则有，由此即可得出，结合，证得，再根据相似三角形的性质即可得出的值，再利用相似三角形的性质求出的面积． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵作x轴的平行线交于B，交y轴于点C，过点A作x轴的垂线交于D，交x轴于点E， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题9小题，15-18，每题8分，19、20，每题10分，21、22，每题12分，23题14分，共90分） 15. 已知二次函数 （1）将该函数表达式化为二次函数的一般形式； （2）当________时，函数有最________值是________． 【答案】（1） （2）当时，函数有最大值是 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的一般形式、二次函数的性质， （1）按照完全平方公式计算函数右边的乘法运算，再合并同类项即可得到答案； （2）根据二次函数的性质求出最大值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴该二次函数的一般形式是； 【小问2详解】 解：， 当时，函数有最大值是：． 16. 已知线段、满足，且． （1）求、的值； （2）若线段是线段、的比例中项，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【小问1详解】 解：， 设，， ， ， 解得， ，； 【小问2详解】 线段是线段、的比例中项， ， 是线段，， ． 17. 图中的小方格都是边长为1的正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O； （2）求与的相似比； （3）以点O为位似中心，再画一个，使它与的相似比等于． 【答案】（1）作图见解答过程 （2） （3）作图见解答过程 【解析】 【分析】本题考查位似图形的意义及作图能力．画位似图形的一般步骤为：（1）确定位似中心；（2）分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；（3）根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线、的交点就是位似中心； （2）与的位似比等于与的比，也等于与在水平线上的投影比，即位似比为； （3）要画，先确定点的位置，因为与的位似比等于，因此，所以．再过点画交于，过点画交于． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问2详解】 解：与的位似比等于； 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求． 18. 如图，，，． （1），求； （2），求的长． 【答案】（1）6 （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，然后代值计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴的长为5． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，B两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）如图，在第二象限，当时，写出x的范围． 【答案】（1）一次函数的表达式是，反比例函数的表达式 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别把A点坐标代入和中计算出b和k的值即可； （2）先确定B点坐标，然后设直线与y轴的交点为C，求得C的坐标，再根据三角形面积公式求解； （3）根据图象即可求得． 【小问1详解】 解：把代入得， 解得； 把代入得：， ∴一次函数的表达式是，反比例函数的表达式； 【小问2详解】 解：由， 解得或， ∴B点坐标为， 设直线与y轴的交点为C， 把代入求得， ∴， ∴， ∴的面积的面积的面积； 【小问3详解】 解：观察图象，在第二象限，当时，x的范围为． 20. 【综合与实践】主题：X型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点O，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． （1）晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； （2）晒衣架完全稳固张开，求出此时，的长度； （3）利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵立杆相交于点， ． ， ， ∴； （2）， （3）晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，即可证明； （2）证明，即可求解，再证明，即可求解； （3）过点作于点，过点作，在中，根据勾股定理，求得．证明，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，过点作， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴是边上的中线， ∴， 在中，根据勾股定理，得 ． ∴，即， 解得， 答：晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖到地面上． 21. 如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]． （1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标． （2）探究下列问题： ①若一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数． ②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？ 【答案】（1）（1，0）；（2）①[2，﹣3]；②原函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到． 【解析】 【分析】（1）根据题意得出函数解析式，进而得出顶点坐标即可． （2）①首先得出函数解析式，进而利用函数平移规律得出答案； ②分别求出两函数解析式，进而得出平移规律． 【详解】解：（1）由题意可得出：y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2， ∴此函数图象的顶点坐标为：（1，0）． （2）①由题意可得出：y=x2+4x﹣1=（x+2）2﹣5， ∴将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到： y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3． ∴图象对应的函数的特征数为：[2，﹣3]． ②∵一个函数的特征数为[2，3]， ∴函数解析式为：y=x2+2x+3=（x+1）2+2， ∵一个函数的特征数为[3，4]， ∴函数解析式为：． ∴原函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到． 考点：1．新定义和阅读理解型问题；2．二次函数图象与平移变换；3．二次函数的性质 【点睛】本题考查二次函数综合题、配方法、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 22. 已知：如图，中，，为边上的高，的平分线分别交，于点F，E． （1）求证：； （2）若，， ①求的长度；②直接写出的面积． 【答案】（1） 证明：∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据，可得，再结合角平分线的定义可得，即可得证； （2）①先由勾股定理求出，然后导角证明，则设，则，再由即可求解； ②过点作于点，由角平分线的性质可得，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进而可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得，即； ②过点作于点， ∵是的平分线，， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 23. 抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于A点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，连接，在y轴的负半轴是否存在点Q，使得？若存在，求Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点P是抛物线上的一个动点，且点P在第三象限内，连接与直线交于点D，若，请求出k的取值范围． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当，可导角得到，由（1）可得点A坐标由勾股定理得即可求解； （3）过点P作轴垂线交直线于点E得将转化为，再利用二次函数的性质求解最值，即可求解取值范围 【小问1详解】 解：将，两点代入得 ， 解得：， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：存在， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 设点Q坐标为， 由（1）可知：，， ， ， ， 解得：， 故Q点的坐标为； 【小问3详解】 解：过点P作轴垂线交直线于点E如图： 设直线的解析式为：， 将代入得， ， 解得：， 直线的解析式为： 设点P的坐标为， ， ∴， 解得， 则E的坐标为， ∴， ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值为， 当或时，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数—几何综合，三角形相似的判定及性质，一次函数，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，题目综合性强、难度较大，解题关键的正确做出辅助线及数形结合思想．为中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安庆市外国语学校25—26学年第一学期 九年级期中考试数学试卷 （满分150分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分） 1. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 下列抛物线中，开口最大的是（ ） A. B. C. D. 4. 如表中列出了二次函数的、的一些对应值，则一元二次方程的一个解的范围是（ ） … 0 1 … … 1 1 … A. B. C. D. 5. 下列图形中不一定是相似图形的是（ ） A. 两个等边三角形 B. 两个等腰直角三角形 C. 两个菱形 D. 两个正方形 6. 已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ） A. （2，3） B. （-2，3） C. （3，0） D. （-3，0） 7. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系是（　　） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数y（b≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象大致是（　　） A. AI B. AI C. AI D. AI 10. 如图，锐角中，，，两动点、分别在边、上滑动，且，以为边向作正方形，设其边长为，正方形与公共部分的面积为，则与的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题4题，每题5分，共20分） 11. 在比例尺1：500000的地图上，量得A、B两地的距离为4cm，则A、B两地的实际距离是___千米． 12. 若是关于x的二次函数，则m的值是_______． 13. 如图，D是的边上一点，已知，，，若的面积为a，则的面积为_______． 14. 如图，反比例函数，在第一象限的图象，过上任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，过点A作x轴的垂线交于点D，交x轴于点E，连接，，则：①________；②的面积为________． 三、解答题（本大题9小题，15-18，每题8分，19、20，每题10分，21、22，每题12分，23题14分，共90分） 15. 已知二次函数 （1）将该函数表达式化为二次函数的一般形式； （2）当________时，函数有最________值是________． 16. 已知线段、满足，且． （1）求、的值； （2）若线段是线段、的比例中项，求的值． 17. 图中的小方格都是边长为1的正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O； （2）求与的相似比； （3）以点O为位似中心，再画一个，使它与的相似比等于． 18. 如图，，，． （1），求； （2），求的长． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，B两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）如图，在第二象限，当时，写出x的范围． 20. 【综合与实践】主题：X型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点O，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． （1）晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； （2）晒衣架完全稳固张开，求出此时，的长度； （3）利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 21. 如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]． （1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标． （2）探究下列问题： ①若一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数． ②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？ 22. 已知：如图，中，，为边上的高，的平分线分别交，于点F，E． （1）求证：； （2）若，， ①求的长度；②直接写出的面积． 23. 抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于A点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，连接，在y轴的负半轴是否存在点Q，使得？若存在，求Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点P是抛物线上的一个动点，且点P在第三象限内，连接与直线交于点D，若，请求出k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $