专题07直角三角形与逆命题.逆定理精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦直角三角形的性质（两锐角互余、斜边上的中线等于斜边一半等）与判定（两角互余、一边中线等于该边一半等），以及互逆命题、逆定理的概念，搭建从单向推理到双向推理的学习支架，为后续勾股定理、直角三角形全等学习奠定逻辑基础。 资料通过重点辨析逆命题与逆定理的区别、常见错误分析（如中线性质的前提条件），结合分层题型（基础到拔高）和清晰解题思路，培养学生的推理意识与几何直观，规范几何证明书写提升数学语言表达能力，课中助力教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺强化理解。

专题07直角三角形与逆命题.逆定理精讲学案 核心立意 这两节重在发展逆向推理思维。学生需要掌握互逆命题、互逆定理的概念，能够正确写出一个命题的逆命题并判断真假；系统学习直角三角形的性质与判定，厘清性质、判定的推理方向，规范几何证明的书写格式。本节是从单向推理走向双向推理的关键节点，为后续勾股定理、直角三角形全等的学习搭建逻辑基础。 互逆命题 ① 若两个命题中，一个命题的条件是另一个命题的结论，同时它的结论是另一个命题的条件，则二者称为互逆命题。 ② 其中一个命题叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。 ③ 每一个命题都有逆命题，构造方法：交换原命题的条件与结论。 ④ 原命题的真假与逆命题的真假没有必然联系；可以通过举反例证明一个命题是假命题。 互逆定理 ① 如果一个定理的逆命题经过严格证明是真命题，那么这个逆命题也是一个定理，这一对定理叫作互逆定理。 ② 定理不一定存在逆定理：如果一个定理的逆命题是假命题，那么它没有逆定理。 ③ 关键区别：所有命题都有逆命题；只有部分定理有逆定理。 直角三角形的定义、各部分名称与表示 ① 有一个内角等于 90的三角形叫作直角三角形。 ② 构成直角的两条边叫作直角边；直角所对的边叫作斜边，斜边是直角三角形中最长的边。 ③ 符号记法：Rt ABC。 ④ 直角三角形有且只有一个直角，其余两个内角一定是锐角。 ⑤ 等腰直角三角形：两条直角边相等；两个锐角都是 45；同时具备等腰三角形与直角三角形的全部性质。 直角三角形的性质 ① 两锐角互余：直角三角形的两个锐角的和等于 90。   几何语言：在RtABC 中， C=90,A+B=90。 ② 斜边上的中线等于斜边的一半。   几何语言：在RtABC 中， C=90，点 D 是斜边 AB 的中点，则 CD=AB。 ③ 30 角的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么这个角所对的直角边等于斜边的一半。   几何语言：在Rt ABC 中，C=90,A=30^，则 BC=AB。 直角三角形的判定 ① 利用角判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。   几何语言：在ABC 中，A+ B=90,ABC 是直角三角形，C=90。 ② 利用中线判定：如果三角形一边上的中线等于这条边长的一半，那么这个三角形是直角三角形，该边为斜边。   几何语言：在 ABC 中，D 是 AB 的中点，若 CD=AB，则 ABC 是直角三角形，C=90。 ③ 30性质的逆用：仅在直角三角形内，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为 30。 重点辨析 ① 逆命题与逆定理：逆命题只需要交换条件和结论，无须为真；逆定理不仅要有逆命题，还必须经过证明是真命题。 ② 改写逆命题时，要先把原命题完整拆分为条件和结论，不能只调换个别词语，防止丢失原命题中的限定条件（如“在同一个三角形中”）。 ③ “斜边上的中线等于斜边的一半”只适用于直角三角形的斜边。普通三角形不具备这条性质。 ④ 中线性质与中线判定不能互推滥用：   直角三角形 ⇒ 斜边上的中线等于斜边的一半；   一边中线等于该边的一半 ⇒ 直角三角形，这条边是斜边；   直角三角形中，直角边上的中线不等于直角边的一半。 ⑤ 30的性质及其逆用，适用前提是已经确定该三角形为直角三角形。不能用这条结论证明一个普通三角形是直角三角形。 ⑥ 等腰直角三角形需要同时满足两个条件：有一个内角是直角，并且两条直角边相等。只知道一个直角或者只知道两边相等，不能判定为等腰直角三角形。 ① 写逆命题时，仅调换部分文字，没有完整交换全部条件与结论，遗漏重要的限制条件。 ② 主观认为每一个定理都有逆定理，把定理的逆命题直接当作逆定理，忽略“逆命题需要证明为真”这一必要步骤。 ③ 应用斜边中线的性质时，忽略两个必要前提：三角形是直角三角形、线段是斜边上的中线。 ④ 混淆 30角的对边，错误地把长直角边当作 30角的对边，套用“直角边等于斜边的一半”。 ⑤ 使用中线判定直角三角形时，没有验证这条边是否是最长边，随意把结论套用到任意一条边上。 ⑥ 把直角三角形特有的“两锐角互余”，错误地当作任意三角形的角度关系使用。 ⑦ 在直角三角形中，把“中线等于边长的一半”错误地用到直角边上。 ⑧ 使用 Rt记号进行推理时，不指明哪个角是直角，推理缺少关键条件。 ⑨ 进行双向推理时，混淆性质（已知图形，推边角关系）和判定（已知边角关系，推图形形状）的逻辑方向。 题型 考察方向 难度 题型一 写出命题的逆命题 ★★ 题型二 判断是否为互逆命题 ★★ 题型三 互逆定理 ★★★ 题型四 线段垂直平分线的判定 ★★★★ 题型五 直角三角形的两个锐角互余 ★★ 题型六 斜边的中线等于斜边的一半 ★★★ 题型七 锐角互余的三角形是直角三角形 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★★基础；★★★中档；★★★★拔高 题型一：写出命题的逆命题 解题思路：① 将原命题改写为“如果……，那么……”的标准形式。② 互换条件与结论。③ 优化语句，保留全部限定条件。④ 仅写出逆命题，无须判定真假。 1．若，则，它的逆命题是_________________________． 【答案】若，则 【分析】交换原命题的条件和结论即可得到逆命题． 【详解】解：原命题的条件为，结论为．，交换原命题的条件和结论，可得逆命题为：若，则． 2．命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题． 【详解】解：由题意得，原命题的逆命题为如果，那么． 3．命题“互为余角的两个角之和等于”的逆命题为_______． 【答案】两个角之和等于，则这两个角互为余角 【分析】本题主要考查逆命题；根据逆命题的定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，即可解答． 【详解】解：∵原命题“互为余角的两个角之和等于”中，条件是“两个角互为余角”，结论是“这两个角之和等于”， ∴根据逆命题的定义，交换条件和结论，得逆命题为“如果两个角之和等于，那么这两个角互为余角”． 故答案为：两个角之和等于，则这两个角互为余角． 4．下列命题中，其逆命题是真命题的是（   ） A．邻补角互补 B．若，则 C．全等三角形的对应边相等 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了命题，逆命题，判断命题的真假，正确理解真假命题的依据是解题的关键．先根据所学命题，逆命题的定义，再通过逻辑推理或反例验证逆命题的真假． 【详解】解：A选项的逆命题：互补的角是邻补角．是假命题，如平行线中的同旁内角互补但不相邻，故此选项不符合题意； B选项的逆命题：若，则．是假命题，如，但，故此选项不符合题意； C选项的逆命题：对应边相等的三角形全等．是真命题，故此选项符合题意； D选项的逆命题：若，则．是假命题，如时，，但，故此选项不符合题意． 故选：C ． 题型二：判断是否为互逆命题 解题思路：① 分别提取两个命题的条件与结论。② 验证二者是否完全互换：第一个命题的条件是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的条件。③ 命题的真假不作考量，满足互换关系即为互逆命题。 5．题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______． 【答案】 互逆命题 逆命题 【解析】略 6．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 7．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 题型三：互逆定理 解题思路：① 写出给定定理的逆命题。② 验证逆命题是否可以证明为真命题。③ 若逆命题为真，则二者为互逆定理；若逆命题为假，则原定理不存在逆定理。④ 明确：所有定理都存在逆命题，但未必存在逆定理。 8．定理“平行四边形的每一组邻角都互补”的逆定理是：_________． 【答案】 每一组邻角都互补的四边形是平行四边形 【分析】本题考查互逆定理．将原定理的题设和结论互换可得逆命题，如果一个定理的逆命题是真命题，则该逆命题为原定理的逆定理．据此解答即可． 【详解】解：“平行四边形的每一组邻角都互补”的逆命题是“每一组邻角都互补的四边形是平行四边形”， ∵“每一组邻角都互补的四边形是平行四边形”是真命题， ∴定理“平行四边形的每一组邻角都互补”的逆定理是“每一组邻角都互补的四边形是平行四边形”． 故答案为：每一组邻角都互补的四边形是平行四边形． 9．下列命题有逆定理的是（     ） A．全等三角形的对应角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．如果两个角都是，那么这两个角相等 D．对顶角相等 【答案】B 【分析】先写出各命题的逆命题，逆命题为真命题则原定理有逆定理． 【详解】解：A的逆命题为对应角相等的两个三角形是全等三角形，是假命题，故没有逆定理，不符合题意； B的逆命题为同位角相等，两直线平行，为真命题，故有逆定理，符合题意； C的逆命题为如果两个角相等，那么这两个角都是，是假命题，故没有逆定理，不符合题意； D的逆命题为相等的两个角是对顶角，是假命题，故没有逆定理，不符合题意． 10．“两边相等的三角形是等腰三角形”有逆定理吗？______．（填“有”或“没有”） 【答案】有 【分析】本题考查的是逆定理，原命题是等腰三角形的定义，其逆命题“等腰三角形有两边相等”也成立，因此有逆定理． 【详解】解：原命题“两边相等的三角形是等腰三角形”是等腰三角形的定义，其逆命题为“等腰三角形有两边相等”，该逆命题同样成立，故存在逆定理． 故答案为：有． 11．下列定理中，有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查逆定理的定义；判断每个定理的逆命题是否成立，若成立则有逆定理. 【详解】解：A、其逆命题为“相等的角是对顶角”，可举“等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故A不符合题意； B、其逆命题为“对应角相等的两个三角形是全等三角形”，可举“大小不一样的等边三角形所有的角都相等，但不是全等三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故B不符合题意； C、其逆命题为“面积相等的两个三角形是全等三角形”，可举“面积相同，但形状不一样的两个三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故C不符合题意； D、其逆命题为“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，逆命题成立，有逆定理，故D符合题意. 故选：D. 题型四：线段垂直平分线的判定 解题思路：① 若一点到线段两个端点的距离相等，则该点在线段的垂直平分线上。② 欲证明某直线是线段的垂直平分线，必须找到两个满足上述条件的点。③ 依据“两点确定一条直线”完成证明。④ 仅证得一个点，只能说明该点在垂直平分线上，不能证明整条直线为垂直平分线。 12．如图，点O是内一点，且，则点O是___________的交点．    【答案】三边的垂直平分线 【分析】根据到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，即可得出结论 【详解】∵， ∴点O是三边的垂直平分线的交点； 故答案为：三边的垂直平分线． 【点睛】本题考查垂直平分线的判定．熟练掌握到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，是解题的关键． 13．近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查垂直平分线的判定，根据垂直平分线的判定定理即可解答． 【详解】解：要使高铁站到A，B两地的距离相等，高铁站应在的垂直平分线上， 要使高铁站到B，C两地的距离相等，高铁站应在的垂直平分线上， 要使高铁站到A，C两地的距离相等，高铁站应在的垂直平分线上， 所以高铁站应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：D． 14．如图，，，下列判断正确的是（   ） A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD C．CD平分 D． 【答案】B 【分析】本题需要根据线段垂直平分线的判定定理，分析点A和点B与线段的位置关系，从而判断选项的正确性． 【详解】因为， 根据线段垂直平分线的判定定理，可知点A在线段的垂直平分线上. 又因为， 同理可得点B也在线段的垂直平分线上.由于两点确定一条直线， 所以直线就是线段CD的垂直平分线， 即垂直平分． 选项A：应该是垂直平分，不是垂直平分，该选项错误； 选项B：由上述推理可知，该选项正确，符合题意； 选项C：仅根据已知条件，无法得出平分，该选项错误； 选项D：已知条件中没有足够的信息能推出，该选项错误． 故答案选：B. 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定定理，掌握到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线是解题的关键． 15．如图，，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若，，则的周长最小值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，进而证明当、、三点共线，即点与点重合时，最小，最小值为，进而即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 是线段的垂直平分线， ， 的周长， 要使的周长最小，即要使最小， 当、、三点共线，即点与点重合时，最小，最小值为， ，，， ， ， 的周长最小值是， 故答案为：． 题型五：直角三角形的两个锐角互余 解题思路：① 确认三角形为直角三角形。② 运用性质：直角三角形的两个锐角互余，即两角之和为 90。③ 利用角度关系建立算式，求解未知角。④ 该结论是直角三角形的性质，不可用于判定直角三角形。 16．如图，在中，是斜边上的高，，则为______． 【答案】35 【分析】利用直角三角形两锐角互余，先推导与的关系，再推导与的关系，等量代换即可得到． 【详解】解：是直角三角形，， ， 是斜边上的高， ，即， ， 根据同角的余角相等，可得：， ， ． 17．如图，在中，，为边延长线上的一点，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，得到与相等，进而算出的大小。 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 18．如图，在中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，若，，则___________． 【答案】10 【分析】利用垂直的定义得到，由平角的定义及同角的余角相等得到，利用证得，由全等三角形对应边相等得到，，由即可求出长． 【详解】解：，， ， ， ∵， ， ， 在和中， ， ∴， ，， 则． 19．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，与交于点，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，，则的度数为（     ） A． B． C． D．与的大小有关 【答案】B 【分析】设，，先由直角三角形两锐角互余得到，再由题意及等腰三角形的性质得到和，最后在中，由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：设，，则在中，， 由题意可知， 和是等腰三角形， 则，， 在中，由可得． 题型六：斜边的中线等于斜边的一半 解题思路：① 确认三角形为直角三角形。② 准确识别斜边，避免将直角边误判为斜边。③ 运用数量关系：斜边上的中线长 =斜边长。④ 利用该等式求解线段长度或证明线段相等。⑤ 其逆命题可用于判定直角三角形，注意区分性质与判定。 20．如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为______________． 【答案】1.2 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：∵公路与互相垂直，即， ∴是直角三角形， ∵点是的中点，的长为， ∴，即，两点间的距离为． 21．如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，连接，则的长为_____． 【答案】 【分析】首先利用三线合一性质得到，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 22．如图，在中，，点是边的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得到，再根据等腰三角形的性质得到即可求解． 【详解】解：∵在中，，点D为边的中点， ∴， ∴， ∴． 23．如图，直角三角形中，分别是斜边上的高和中线，，则的值是（    ） A．15 B．12 C． D．5 【答案】A 【分析】先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出长度，并判定是等边三角形，再由三线合一得到长度，最后数形结合表示出要求的线段，代入值计算即可． 【详解】解：在中，为斜边上的中线，则， ， ， 则是等边三角形， ， 由三线合一可得是边上的中线，则， ． 题型七：锐角互余的三角形是直角三角形 解题思路：① 计算三角形中两个内角的和。② 检验两角之和是否等于 90。③ 结合三角形内角和 180，推得第三个内角为 90。④ 据此判定该三角形为直角三角形。⑤ 该结论是直角三角形的判定，与“直角三角形两锐角互余”互为逆命题。 24．在中，，则___________，是___________三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的形状． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：，直角． 25．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用三角形内角和为，计算各选项中三角形的内角度数，判断是否存在直角，即可得出结论． 【详解】解：三角形的三个内角满足， A ， ，得， 是直角三角形，不符合题意； B ， ， 是直角三角形，不符合题意； C ， ， 是直角三角形，不符合题意； D ， ， 解得，三角形中不存在的角， 不是直角三角形，符合题意． 26．如图，，，，且，，三点在同一条直线上，连接，，则下列结论中错误的是(   )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定得到，根据等腰直角三角形的性质及全等三角形性质可得到，根据直角三角形的性质可得，再逐项判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故项不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故项不符合题意； ∵根据题意可知，无法证明， 故项符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故不符合题意； 故选． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 27．如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则________． 【答案】6 【分析】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定及性质，掌握相关的知识是解题的关键． 连接，，，由垂直平分线的性质得到，，从而由的周长是得到，根据，结合，，可得，证明，，得到，再由等腰三角形的“三线合一”与直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【详解】解：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵的周长是，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴点H是的中点， ∴． 故答案为：6． 解答题 1．写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题： (1)如果，那么； (2)如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角． 【答案】(1) 逆命题：如果，那么．是假命题 (2) 逆命题：如果一个三角形有两个角是锐角，那么它的第三个角是钝角．是假命题 【分析】将原命题的题设与结论互换得到逆命题，通过举反例判断逆命题的真假． 【详解】（1）解： 原命题的题设为，结论为， 将题设与结论互换，得逆命题：如果，那么， 取，，满足，但， 故该逆命题是假命题． （2）解：原命题的题设为一个三角形有一个角是钝角，结论为它的另外两个角是锐角， 将题设与结论互换，得逆命题：如果一个三角形有两个角是锐角，那么它的第三个角是钝角， 若三角形的两个锐角分别为和，则第三个角为，是锐角， 故该逆命题是假命题． 2．如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：， ， 又∵E为的中点， ， 在和中， ∴， ∴． (2)证明：∵， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线； (3)结论：，理由如下： 在和中， ， ， ， 由（1）可知， ， 即． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）由（1）得，再由垂直平分线的判定即可证明； （3）根据全等三角形的判定和性质得出，确定，由（1）可知，根据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 3．如图， ， ， ，， 垂足分别为， (1)证明： ； (2)求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) ． 【分析】（1）利用同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明， （2）根据全等三角形对应边相等可得然后计算即可得解． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）知， ∴ ∴． 4．如图，在锐角三角形中，、分别是边，上的高，、分别是线段，的中点． (1)求证：； (2)连接，，若°，求的度数． 【答案】(1)证明：连接和，如图， ∵、分别是边，上的高， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴为等腰三角形， ∵是线段的中点， ∴； (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）连接和，由题意知，结合直角三角形斜边中线的性质得，利用等腰三角形的性质即可证明； （2）根据题意得，由（1）知，，结合中点得，即，根据等腰三角形的性质得和，利用三角形内角和定理和平角的定义即可求得． 【详解】（1）略 （2）解：∵°， ∴， 由（1）知，， ∵线段的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵ ． ∴的度数是． 5． 如图，在中，于点D，E是上的一点，且． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) 解：，理由如下： 如图，延长交于点， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，题的关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）根据条件证明即可得出结论； （2）根据（1）中的结论得出相等的角，然后利用直角三角形的判定即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07直角三角形与逆命题.逆定理精讲学案 核心立意 这两节重在发展逆向推理思维。学生需要掌握互逆命题、互逆定理的概念，能够正确写出一个命题的逆命题并判断真假；系统学习直角三角形的性质与判定，厘清性质、判定的推理方向，规范几何证明的书写格式。本节是从单向推理走向双向推理的关键节点，为后续勾股定理、直角三角形全等的学习搭建逻辑基础。 互逆命题 ① 若两个命题中，一个命题的条件是另一个命题的结论，同时它的结论是另一个命题的条件，则二者称为互逆命题。 ② 其中一个命题叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。 ③ 每一个命题都有逆命题，构造方法：交换原命题的条件与结论。 ④ 原命题的真假与逆命题的真假没有必然联系；可以通过举反例证明一个命题是假命题。 互逆定理 ① 如果一个定理的逆命题经过严格证明是真命题，那么这个逆命题也是一个定理，这一对定理叫作互逆定理。 ② 定理不一定存在逆定理：如果一个定理的逆命题是假命题，那么它没有逆定理。 ③ 关键区别：所有命题都有逆命题；只有部分定理有逆定理。 直角三角形的定义、各部分名称与表示 ① 有一个内角等于 90的三角形叫作直角三角形。 ② 构成直角的两条边叫作直角边；直角所对的边叫作斜边，斜边是直角三角形中最长的边。 ③ 符号记法：Rt ABC。 ④ 直角三角形有且只有一个直角，其余两个内角一定是锐角。 ⑤ 等腰直角三角形：两条直角边相等；两个锐角都是 45；同时具备等腰三角形与直角三角形的全部性质。 直角三角形的性质 ① 两锐角互余：直角三角形的两个锐角的和等于 90。   几何语言：在RtABC 中， C=90,A+B=90。 ② 斜边上的中线等于斜边的一半。   几何语言：在RtABC 中， C=90，点 D 是斜边 AB 的中点，则 CD=AB。 ③ 30 角的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么这个角所对的直角边等于斜边的一半。   几何语言：在Rt ABC 中，C=90,A=30^，则 BC=AB。 直角三角形的判定 ① 利用角判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。   几何语言：在ABC 中，A+ B=90,ABC 是直角三角形，C=90。 ② 利用中线判定：如果三角形一边上的中线等于这条边长的一半，那么这个三角形是直角三角形，该边为斜边。   几何语言：在 ABC 中，D 是 AB 的中点，若 CD=AB，则 ABC 是直角三角形，C=90。 ③ 30性质的逆用：仅在直角三角形内，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为 30。 重点辨析 ① 逆命题与逆定理：逆命题只需要交换条件和结论，无须为真；逆定理不仅要有逆命题，还必须经过证明是真命题。 ② 改写逆命题时，要先把原命题完整拆分为条件和结论，不能只调换个别词语，防止丢失原命题中的限定条件（如“在同一个三角形中”）。 ③ “斜边上的中线等于斜边的一半”只适用于直角三角形的斜边。普通三角形不具备这条性质。 ④ 中线性质与中线判定不能互推滥用：   直角三角形 ⇒ 斜边上的中线等于斜边的一半；   一边中线等于该边的一半 ⇒ 直角三角形，这条边是斜边；   直角三角形中，直角边上的中线不等于直角边的一半。 ⑤ 30的性质及其逆用，适用前提是已经确定该三角形为直角三角形。不能用这条结论证明一个普通三角形是直角三角形。 ⑥ 等腰直角三角形需要同时满足两个条件：有一个内角是直角，并且两条直角边相等。只知道一个直角或者只知道两边相等，不能判定为等腰直角三角形。 ① 写逆命题时，仅调换部分文字，没有完整交换全部条件与结论，遗漏重要的限制条件。 ② 主观认为每一个定理都有逆定理，把定理的逆命题直接当作逆定理，忽略“逆命题需要证明为真”这一必要步骤。 ③ 应用斜边中线的性质时，忽略两个必要前提：三角形是直角三角形、线段是斜边上的中线。 ④ 混淆 30角的对边，错误地把长直角边当作 30角的对边，套用“直角边等于斜边的一半”。 ⑤ 使用中线判定直角三角形时，没有验证这条边是否是最长边，随意把结论套用到任意一条边上。 ⑥ 把直角三角形特有的“两锐角互余”，错误地当作任意三角形的角度关系使用。 ⑦ 在直角三角形中，把“中线等于边长的一半”错误地用到直角边上。 ⑧ 使用 Rt记号进行推理时，不指明哪个角是直角，推理缺少关键条件。 ⑨ 进行双向推理时，混淆性质（已知图形，推边角关系）和判定（已知边角关系，推图形形状）的逻辑方向。 题型 考察方向 难度 题型一 写出命题的逆命题 ★★ 题型二 判断是否为互逆命题 ★★ 题型三 互逆定理 ★★★ 题型四 线段垂直平分线的判定 ★★★★ 题型五 直角三角形的两个锐角互余 ★★ 题型六 斜边的中线等于斜边的一半 ★★★ 题型七 锐角互余的三角形是直角三角形 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★★基础；★★★中档；★★★★拔高 题型一：写出命题的逆命题 解题思路：① 将原命题改写为“如果……，那么……”的标准形式。② 互换条件与结论。③ 优化语句，保留全部限定条件。④ 仅写出逆命题，无须判定真假。 1．若，则，它的逆命题是_________________________． 2．命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．命题“互为余角的两个角之和等于”的逆命题为_______． 4．下列命题中，其逆命题是真命题的是（   ） A．邻补角互补 B．若，则 C．全等三角形的对应边相等 D．若，则 题型二：判断是否为互逆命题 解题思路：① 分别提取两个命题的条件与结论。② 验证二者是否完全互换：第一个命题的条件是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的条件。③ 命题的真假不作考量，满足互换关系即为互逆命题。 5．题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______． 6．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 7．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 题型三：互逆定理 解题思路：① 写出给定定理的逆命题。② 验证逆命题是否可以证明为真命题。③ 若逆命题为真，则二者为互逆定理；若逆命题为假，则原定理不存在逆定理。④ 明确：所有定理都存在逆命题，但未必存在逆定理。 8．定理“平行四边形的每一组邻角都互补”的逆定理是：_________． 9．下列命题有逆定理的是（     ） A．全等三角形的对应角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．如果两个角都是，那么这两个角相等 D．对顶角相等 10．“两边相等的三角形是等腰三角形”有逆定理吗？______．（填“有”或“没有”） 11．下列定理中，有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 题型四：线段垂直平分线的判定 解题思路：① 若一点到线段两个端点的距离相等，则该点在线段的垂直平分线上。② 欲证明某直线是线段的垂直平分线，必须找到两个满足上述条件的点。③ 依据“两点确定一条直线”完成证明。④ 仅证得一个点，只能说明该点在垂直平分线上，不能证明整条直线为垂直平分线。 12．如图，点O是内一点，且，则点O是___________的交点．    13．近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 14．如图，，，下列判断正确的是（   ） A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD C．CD平分 D． 15．如图，，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若，，则的周长最小值是______． 题型五：直角三角形的两个锐角互余 解题思路：① 确认三角形为直角三角形。② 运用性质：直角三角形的两个锐角互余，即两角之和为 90。③ 利用角度关系建立算式，求解未知角。④ 该结论是直角三角形的性质，不可用于判定直角三角形。 16．如图，在中，是斜边上的高，，则为______． 17．如图，在中，，为边延长线上的一点，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 18．如图，在中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，若，，则___________． 19．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，与交于点，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，，则的度数为（     ） A． B． C． D．与的大小有关 题型六：斜边的中线等于斜边的一半 解题思路：① 确认三角形为直角三角形。② 准确识别斜边，避免将直角边误判为斜边。③ 运用数量关系：斜边上的中线长 =斜边长。④ 利用该等式求解线段长度或证明线段相等。⑤ 其逆命题可用于判定直角三角形，注意区分性质与判定。 20．如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为______________． 21．如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，连接，则的长为_____． 22．如图，在中，，点是边的中点，则（     ） A． B． C． D． 23．如图，直角三角形中，分别是斜边上的高和中线，，则的值是（    ） A．15 B．12 C． D．5 题型七：锐角互余的三角形是直角三角形 解题思路：① 计算三角形中两个内角的和。② 检验两角之和是否等于 90。③ 结合三角形内角和 180，推得第三个内角为 90。④ 据此判定该三角形为直角三角形。⑤ 该结论是直角三角形的判定，与“直角三角形两锐角互余”互为逆命题。 24．在中，，则___________，是___________三角形． 25．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 26．如图，，，，且，，三点在同一条直线上，连接，，则下列结论中错误的是(   )    A． B． C． D． 27．如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则________． 解答题 1．写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题： (1)如果，那么； (2)如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角． 2．如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 3．如图， ， ， ，， 垂足分别为， (1)证明： ； (2)求的长． 4．如图，在锐角三角形中，、分别是边，上的高，、分别是线段，的中点． (1)求证：； (2)连接，，若°，求的度数． 5． 如图，在中，于点D，E是上的一点，且． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $