精品解析：辽宁省锦州市某校2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题

2026届高三第一学期期中考试 数学试题 注意事项 1本试卷满分150分，考试时间120分钟 2答卷前考生务必将姓名准考证号填写在答题卡上 3答选择题时请用2B铅笔把答案涂在答题卡上. 一、单选题（每题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则在复平面内的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 设，是两条不同的直线，，是两个平面，下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，那么 5. 在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月天计算，记此人第日布施了子安贝（其中，），数列的前项和为.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的取值范围为（   ） A. B. C. D. 二、多选题（每题满分6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，错选得0分） 9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱､圆锥､球的体积之比为 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象可由图象向左平移个单位得到 B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 函数的单调递增区间为 D. 直线与函数在上的图象恰有7个交点 11. 已知函数与的定义域都为是的导函数，若，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 4为的一个周期 D. 三、填空题（每题5分） 12. 已知函数且的图像过定点，若角的终边过点，则__________. 13. 已知向量，，，若，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 14. 已知函数，关于x的不等式只有1个整数解，则实数a的取值范围是_________． 四、解答题 15. 设正项数列的前n项和，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16. 在中，内角，，的对边分别是，，，若，且. （1）求角 （2）求边 （3）若边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长. 17. 某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为 了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 投入额 10 30 40 60 80 90 110 年收入的附加额 7．30 （1）求y关于x的线性回归方程； （2）若年收入的附加额与投入额的比值大于，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望． 参考数据：，，． 附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，． 18. 如图，四边形与均为菱形，，，且. （1）求证：平面； （2）求钝二面角的余弦值； （3）若为线段上的一点，满足直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程． （2）若有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （ii）设是的极小值点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三第一学期期中考试 数学试题 注意事项 1本试卷满分150分，考试时间120分钟 2答卷前考生务必将姓名准考证号填写在答题卡上 3答选择题时请用2B铅笔把答案涂在答题卡上. 一、单选题（每题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出对应集合后结合交集定义即可得. 【详解】，， 则. 故选：C. 2. 已知，则在复平面内的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】应用复数的乘法求，确定对应点坐标，即可得. 【详解】由题设，对应点坐标为，位于第三象限. 故选：C 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系以及完全平方公式化简即可求解. 【详解】已知，两边平方可得， 即； 因为， 所以，解得. 则. 故选：C. 4. 设，是两条不同的直线，，是两个平面，下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，那么 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，在长方体中记平面为平面，平面为平面，直线为直线，由此可得，，但，故A错误，对于B，设，在直线上任取一点，在平面内过作，在平面内过作，由可得，证明，，由此可得，判断B，对于C，过直线作平面，，过直线作平面，，由线面平行性质定理可得，，再由线面平行判定定理证明，再证明结论，判断C，对于D，结合面面平行的定义和线面平行的定义即可判断. 【详解】对于A，如图，多面体为长方体， 记平面为平面，平面为平面，直线为直线， 则若，，此时，故A错误， 对于B，如图，，，， 设，在直线上任取一点，在平面内过作，在平面内过作， 因为，，，，所以，又， 所以， 同理， 因为，，，， 所以为二面角的平面角，又， 所以，又，，所以，B正确， 对于C，如图，，， 过直线作平面，，因为，，所以， 过直线作平面，，因为，，所以， 所以，又，，所以，又，， 所以，又，所以，C正确， 对于D，因为，所以平面与平面没有公共点， 又，所以直线与平面没有公共点， 所以，D正确， 故选：A. 5. 在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，且，，从而得到，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有，，，， 设，则，且，， ， 因，当时，，当时，， 故． 故选：D． 6. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，求得的最小值，进而求得的最小值，得到答案. 【详解】由题意知：实数，且， 又 因为 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故选：B 7. 古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月天计算，记此人第日布施了子安贝（其中，），数列的前项和为.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的定义写出通项公式和前n项和，将问题化为恒成立，应用基本不等式求右侧最小值，注意取值条件，即可得参数范围. 【详解】由题设，是首项、公比都为2的等比数列，故，， 所以，即，，， 所以恒成立，而，当且仅当时等号成立， 又，当，时；当，时； 综上，即实数的取值范围为. 故选：D 8. 棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的取值范围为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用给定条件判断的轨迹，再建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法将所求夹角余弦值表示为三角函数，结合三角函数的有界性求出取值范围即可. 【详解】首先，记在底面内的投影为，则底面， 因为平面，所以， 因为在正四面体中，是等边三角形， 则，是的中心， 则， 由题意得，则， 所以的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系： 设与轴正半轴所成的角为，则，， 所以， 设直线与直线所成的角为， 所以， 因为，所以. 故选：A. 二、多选题（每题满分6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，错选得0分） 9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱､圆锥､球的体积之比为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件确定圆柱的底面半径、高以及圆锥的底面半径、高和母线长，利用圆柱、圆锥的侧面积公式、球体的表面积，圆锥、圆柱、球体的体积公式求解并判断选项即可. 【详解】由题意可知，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为， A项，圆柱的侧面积为，故A正确； B项，圆锥的母线长为， 所以，圆锥的侧面积为，故B错误； C项，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确； D项，圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 球的体积为， 因此，圆柱、圆锥、球的体积之比为，D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象可由图象向左平移个单位得到 B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 函数的单调递增区间为 D. 直线与函数在上的图象恰有7个交点 【答案】BD 【解析】 【分析】由题，求出函数的解析式，根据三角函数的图象与性质及图象变换规律，分析各个选项，即可求解. 【详解】由题，可得，所以，则， ， 又，即，，所以， . 对于A，将的图象向左平移个单位得到的图象，故A错误； 对于B，因为，所以直线是图象的一条对称轴，故B正确； 对于C，令，，得， 所以函数的单调递增区间为，故C错误； 对于D，因为，令，又， 所以函数在上与有7个交点， 即直线与函数在上的图象有7个交点，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数与的定义域都为是的导函数，若，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 4为的一个周期 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A由得，令即可求，进而判断，对于B由得即可判断，对于C由有，又得，进而得，即可判断，对于D由求，又由得，利用周期即可求解. 【详解】对于A：由有，为常数， 令得，所以，所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于B：由有， 所以的图象关于点对称，故B错误； 对于C：由有，又， 所以，即，所以， 所以4为的一个周期，故C正确； 对于D：由，令得，令得， 又，令得，所以，所以 ，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每题5分） 12. 已知函数且的图像过定点，若角的终边过点，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用指数函数定义求出定点坐标，再利用正弦函数定义可得. 【详解】因为函数过定点，由指数函数性质可知点横坐标为3， 代入可得，由正弦函数定义可知. 故答案为：. 13. 已知向量，，，若，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据，可求得，再由投影向量的计算公式求解即可. 【详解】因为，，， 所以，解得， 所以， 即向量在向量上的投影向量的坐标为. 14. 已知函数，关于x的不等式只有1个整数解，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】通过求导得出函数的单调性和最值，进而画出函数图象.然后对参数进行分类讨论，根据不同的取值范围求解不等式，再结合函数性质和整数解的条件确定的取值范围. 【详解】解：由， 令，解得：，令，解得：， 的递增区间为，递减区间为，故的最大值是； 时，时，， 故在时，，在时，，函数的图象如下： ①时，不等式化为，无整数解，不合题意； ②时，由不等式得，无整数解； ③时，由不等式，得或， 而时，没有整数解，进而的解集整数解只有一个， 且在递增，在递减， 而，这一个正整数只能为3， 所以，即； 综上，a的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题 15. 设正项数列的前n项和，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据和之间的关系，结合等差数列的定义和通项公式进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行求解即可. 【小问1详解】 由得，可知， 两式相减得， 即， ， ∵当时，， 则是首项为1，公差的等差数列， 的通项公式为； 【小问2详解】 ， ， . 16. 在中，内角，，的对边分别是，，，若，且. （1）求角 （2）求边 （3）若边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的正切值即可求解， （2）利用正余弦定理边角互化，即可求解， （3）利用余弦定理以及向量的模长可得，进而利用等面积法即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 又，故，,则； 【小问2详解】 因为，， 由余弦定理及正弦定理得：, 所以，解得； 【小问3详解】 由余弦定理得：， 即有①； 设为的中点，即，如下图： 又因为， 所以，即②， 由①，②得：，， 所以，所以， 因为为的平分线，所以， 则， 即. 17. 某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为 了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 投入额 10 30 40 60 80 90 110 年收入的附加额 7．30 （1）求y关于x的线性回归方程； （2）若年收入的附加额与投入额的比值大于，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望． 参考数据：，，． 附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，． 【答案】（1） （2） X 0 1 2 3 P . 【解析】 【分析】（1）根据最小二乘法即可求解， （2）根据超级几何概率公式求解概率，即可由期望公式求解. 【小问1详解】 依题意，， ， ， ， 所以y关于x的线性回归方程为. 【小问2详解】 由题意，7个年收入的附加额与投入额的比值大于0.1的有3个， 所以X的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 所以X的期望是. 18. 如图，四边形与均为菱形，，，且. （1）求证：平面； （2）求钝二面角的余弦值； （3）若为线段上的一点，满足直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）设与相交于点，连接，利用菱形的性质可得出，利用等腰三角形三线合一的性质可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）推导出平面，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得钝二面角的余弦值； （3）设，求出向量的坐标，利用空间向量法结合已知条件可得出关于的方程，结合可求得的值，由此可求得结果. 【详解】（1）设与相交于点，连接， 四边形为菱形，， 且为中点，，， 又，平面，平面，平面； （2）连接，四边形为菱形，且，为等边三角形， 为的中点，， 又，，平面，平面，平面. 、、两两垂直，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，如下图所示： 因为，四边形为菱形，，，， 为等边三角形，， 则，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，得. 设平面的法向量为，则， 令，则，，得. 所以. 又因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为； （3）设， 则， 所以， 化简，解得：或（舍）. 所以. 【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下： （1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）； （3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程． （2）若有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （ii）设是的极小值点，证明：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）根据（i）可知，当或时，，单调递增，当时，单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点，即． 又， 所以． 设，由可知． 令，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，，即． 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义和点斜式方程求解； （2）（i）求导，根据有两个极值点得到对应方程有两个根，根据根的判别式和韦达定理建立不等式，求出取值范围； （ii）根据（i）求出函数的极小值点，根据韦达定理进行变形得到，令，，构造函数，利用导数判断单调性，得出结论. 【小问1详解】 若，则， 所以， 故所求的切线方程为． 【小问2详解】 （i）． 设为的两个极值点，则是方程的两个实数根，即方程的两个正实数根． 所以解得， 即的取值范围是． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $